resumen autovectores
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R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)
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Autovalores y autovectores. Diagonalización
Autovalores.
Def.: Se dice que es autovalor o valor propio de
si existe
A matriz asociada respecto de la base canónica
nnf : / 0 nx
xxA
xxf
)(
)(
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Obtención de los autovalores.
es un polinomio de grado n, denominado polinomio característico de la matriz. Tiene n raíces en total, incluyendo las reales, las complejas y sus multiplicidades.Las raíces reales son los autovalores1 y su multiplicidad como raíces se denomina multiplicidad algebraica.
0 | | la trivial dedistinta
solución tiene0 ) ( 0 con
)P(IA
xIAxxxA
||)(
1
1311
nnn aa
aa
IAP
)P(
nn1 x x y CC
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Propiedad: Los autovalores de las matrices triangulares son los elementos de la diagonal principal.
En efecto el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal, por tanto:
niaPaaIAP
ii
nn
,,1para , 0)( por tanto )( )(||)( 11
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Autovectores. Subespacios propios.
Def.: Se dice que es autovector o vector propio de
f correspondiente al autovalor si
o lo que es lo mismo
xxA
xxf
)(
nx
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Def.: El conjunto de todos los autovectores correspondientes a un autovalor λ se denomina subespacio propio correspondiente al autovalor λ
siendo rλ la multiplicidad algebraica del autovalor. A la dimensión de Vλ se le denomina multiplicidad geométrica del subespacio propio.
dim 1I) ( rango- dim
I) (Ker
0 I) ( /
/ )( /
nrVAnV
AV
xAxV
xxAxxxfxVn
nn
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Observación: Nótese que por ser Vλ subespacio, los múltiplos y combinaciones lineales de autovectores de un λ son autovectores del mismo λ.
La suma de subespacios propios es suma directa.
Dados λ1 , λ2 , , … , λm autovalores distintos, se cumple:
... 21
n
mVVV
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Ejercicio 1: Autovalores, autovectores y subespacios propios del endomorfismo de R2 :
010)1)(2(015
22
0 | | la trivial dedistinta solución
0 ) ( 0)1( 5
0 2 )2(
5
22
15
22
IA
xIAyx
yx-
yyx
xyx-
y
x
y
x
15
22A
Polinomio característico:
Raíces reales = autovalores: 3 y 4
0122
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Autovectores para el autovalor -4
vectorialsubespacio
del vectoreslos son 4-a asociados propios vectoresLos
000
011 ~
011
011 ~
055
022
0 ) )4(( indeterm. compatible SL elResolver
0)41( 5
0 2 )42(
45
422 4
15
22
yx
xIA
yx
yx-
yyx
xyx-
y
x
y
x
1) (1, 4V
El subespacio propio tiene dimensión 1, por tanto multiplicidad geométrica 1. (Ya lo sabíamos pues multiplicidad algebraica 1).
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vectorialsubespacio
del vectoreslos son 3a asociados propios vectoresLos
5
2
000
025 ~
025
025
0 ) 3( indeterm. compatible SL elResolver
0)31( 5
0 2 )32(
35
322 3
15
22
yx
xIA
yx
yx-
yyx
xyx-
y
x
y
x
Autovectores para el autovalor 3
1) ,5
2(- 3V
El subespacio propio tiene dimensión 1, por tanto multiplicidad geométrica 1. (Ya lo sabíamos pues multiplicidad algebraica 1).
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Ejercicio 2: Calcula los autovalores y subespacios propios de los endomorfismos de R3 :
133
353
331
4
000
000
000
3
00
00
00
2
100
010
001
1
A
A
a
a
a
AA
Ejercicio 3: ¿Se puede decir algo sobre los autovalores y autovectores de los siguientes endomorfismos?
f en R3 tal que Kerf = < (1,2,0), (0,3,1)>
f en R2 tal que la recta y = 6x permanece fija
f en R3 tal que los vectores del plano x+2y-3z=0 permanecen fijos.
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Ejercicio 4: Calcula los autovalores, subpespacios propios y dimensiones de los endomorfismos de R3 :
112
014
023
200
700
185
133
364
342
812
612
614
DCBA
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Matriz Raíces Autovalores Subespacio propiodim Vλ
(mult. geo- métrica)
A 2 doble
9
2 doble
9
V2 = < (1,2,0), (0,6,1)>
V9 = < (1,1,1) >
2
1
B -2 doble
1
-2 doble
1
V-2 = < (-1, 1 0) >
V1 = <(1, -1, 1) >
1
1
C -2
0
5
-2
0
5
V-2 =< (-58, -49, 14) >
V0 = < (8, 5, 0) >
V5 = < ( 1, 0, 0) >
1
1
1
D 1
1-2i
1+2i
1 V1 =< (0, 0, 1) > 1
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Endomorfismos diagonalizables.
Un endomorfismo f en Rn con matriz asociada A se dice diagonalizable si cumple cualquiera de estas características equivalentes, vistas en el Capítulo 4:
• Existen matrices P inversible y D diagonal tales que A = P D P-1
• Existe base B de Rn
La matriz asociada respecto a B es:] [
0
0
)(
)(
/ },,, {
21
11
1111
21
n
nn
nnnn
n
bbbP
d
d
D
bdbf
bdbf
bbbB
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Observamos por tanto que f diagonalizable si y sólo si existe base de Rn formada por vectores propios.
Expresado en palabras f ( o la matriz A ) diagonalizable si y sólo si todas las raíces del polinomio característico son reales y las multiplicidades algebraica y geométrica coinciden.
....
dim
dim
dim ... dim ...
21
11
1
1
nrrr
rV
rV
nVVVV
m
mm
m
m
n
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La matriz P tiene por columnas una base de autovectores y los elementos de D son los correspondientes autovalores.
0
0
] )]([ ... )]([ )][([
] [
)( .... )( Si
1
BB2B1
21
111
m
n
n
nmn
bfbfbfD
bbbP
bbfbbf
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¿Son diagonalizables las matrices del Ejercicio 4?
Matriz Autovalores Subespacio propio ¿Diagonalizable?
Base de autovectores
A 2 doble, 9 V2 = < (1,2,0), (0,6,1) >
V9 = < (1,1,1) >
Sí,
B = { (-3,0,1),(1,2,0), (1,1,1) }
B -2 doble
1
V-2 = < (-1, 1 0) >
V1 = <(1, -1, 1) >
No
C -2
0
5
V-2 =< (-58, -49, 14) >
V0 = < (8, 5, 0) >
V5 = < ( 1, 0, 0) >
Sí,
B = {(-58, -49, 14), (8,5,0) , (1,0, 0) }
D 1 V1 =< (0, 0, 1) > No
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Varias propiedades:
Propiedad: Si A tiene n autovalores distintos, entonces es diagonalizable.
Potencia de una matriz A diagonalizable.
Supongamos que queremos calcular la potencia k de una matriz A diagonalizable.
Entonces podemos utilizar:
A = P D P-1 => Ak = ( P D P-1) … ( P D P-1) = P Dk P-1
k veces
Dk es sencilla de obtener, porque es la matriz diagonal cuyos elementos son los originales de D elevados a la potencia k.
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Otras propiedades: • Si s es autovalor de A y x es un autovector asociado,
entonces sk es autovalor de Ak y x es autovector asociado. Dem: Ak x = sk x
• A es singular (no inversible) si y sólo tiene el autovalor 0. Dem: Si tiene autovalor nulo |A – 0 I | = | A | = 0
• A y At tienen los mismos autovalores.• Si A y B son semejantes tienen los mismos autovalores.• Toda matriz A real y simétrica es ortogonalmente
diagonalizable. Esto significa que A se puede factorizar como A = P D P-1, siendo P una matriz ortogonal, es decir una matriz con P-1 = Pt.