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PREUNIVERSITARIO PREUTECH DEPTO. MATEMÁTICA. Profesor: Carlos Aguayo G.

RESUMEN PSU MATEMÁTICA Nº 2 ÁLGEBRA Y FUNCIONES I

UNIDAD: ÁLGEBRA DE POLINOMIOS EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal. USO DE PARÉNTESIS En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:

Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis.

Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.

Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera. OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIÓN DE POLINOMIOS Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS MONOMIO POR MONOMIO: Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir, a ···· (b ···· c) = (a ···· b) ···· c MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir, a(b + c + d) = ab + ac + ad

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DEPTO. MATEMÁTICA. PREUNIVERSITARIO PREUTECH. POLINOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay. PRODUCTOS NOTABLES: · Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 · Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2 · Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab · Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 · Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac · Suma de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 · Diferencia de cubos: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

__________________________________________________________________________________________________ SIMBOLOGÍA:

· Números natural cualquiera = n · El antecesor de un número = n – 1 · El sucesor de un número = n + 1 · Número natural par = 2n · Número natural impar = 2n – 1 · El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1)2 · El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1 · El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2 · Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1 · El inverso aditivo u opuesto de un número = – n

· El inverso multiplicativo o recíproco de un número = n1

· El triple de un número = 3n · Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d = 10d + u · Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u

· La razón o cuociente entre p y q = q

p

· El valor absoluto de un número = | n |

· p es directamente proporcional a q : )tetancons(kq

p =

· p es inversamente proporcional a q :pq = k (constante)

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DEPTO. MATEMÁTICA. PREUNIVERSITARIO PREUTECH. UNIDAD: ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CONCEPTOS ECUACIÓN es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen elementos desconocidos llamados incógnitas. RAÍZ O SOLUCIÓN de una ecuación es(son) el(los) valores de(s) la(s) incógnita(s) que satisfacen la igualdad. CONJUNTO SOLUCIÓN es el conjunto cuyos elementos son las raíces o soluciones de la ecuación. ECUACIONES EQUIVALENTES son aquellas que tienen el mismo conjunto solución RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Para encontrar la o las soluciones de una ecuación se tiene que despejar o aislar la incógnita. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incógnita es 1. Toda ecuación de primer grado en una variable puede expresarse en la forma: ax + b = 0 Donde a y b son números reales y x la incógnita que hay que determinar. ECUACIÓN CON COEFICIENTES LITERALES Es una ecuación que además de la incógnita tiene otras letras que representan cantidades conocidas. ECUACIONES FRACCIONARIAS

∗∗∗∗ Una ecuación es fraccionaria cuando alguno de sus términos o todos tienen denominadores. Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica el siguiente método:

∗∗∗∗ Multiplicar los miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores que aparecen.

∗∗∗∗ Efectuar las operaciones indicadas en los paréntesis.

∗∗∗∗ Agregar y reducir términos en los miembros de la igualdad.

∗∗∗∗ Colocar los términos en x en un miembro y los numéricos en otro.

∗∗∗∗ Resolver la ecuación equivalente de primer grado obtenida.

∗∗∗∗ Comprobar el resultado con la ecuación dada ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO El número de soluciones de la ecuación ax + b = 0 depende de los valores de a y b. Se pueden dar tres casos: Caso 1: Si a ≠ 0, la ecuación tiene SOLUCIÓN ÚNICA Caso 2: Si a = 0 y b = 0, la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES Caso 3: Si a = 0 y b ≠ 0, la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN

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DEPTO. MATEMÁTICA. PREUNIVERSITARIO PREUTECH. UNIDAD: PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO En los problemas de planteamiento aparecen expresiones o vocablos que debemos traducir a lenguaje matemático ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO Existen diversos tipos de problemas de planteamiento, sin embargo en todos ellos es conveniente:

∗∗∗∗ Leer total y cuidadosamente el problema, antes de empezar a resolver.

∗∗∗∗ Hacer un listado de incógnitas y datos.

∗∗∗∗ Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere.

∗∗∗∗ Plantear y resolver la(s) ecuación(es) si el caso lo requiere.

∗∗∗∗ Comprobar la(s) solución(es). PROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un número.

La fracción b

a de un número x se calcula multiplicando

b

a por x.

PROBLEMAS DE DÍGITOS Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un número de la forma x y z queda representado por 012 10z10y10x •+•+•

PROBLEMAS DE EDADES En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda:

Edad pasada (hace b años)

Edad actual

Edad futura (dentro de c años)

x – b x x + c

y - b y y + c

PSU. MAT/CAG/cag.