resumen 1 eje temático numeros 2015

7/26/2019 Resumen 1 Eje Temtico Numeros 2015

1/8

1

PREUNIVERSITARIO PREUTECHDEPTO. MATEMTICA.

PROFESOR. CARLOS AGUAYO G.

RESUMEN PSU MATEMTICA N 1

NMEROS

NMEROS

I. NMEROS NATURALES Y CARDINALES ( IN, IN0 )

Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3, } se denominan nmeros naturales. Si a esteconjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2, } llamado conjuntode los nmeros cardinales.

NMEROS ENTEROS (Z)

Los elementos del conjunto Z = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, } se denominan nmeros enteros .Algunos subconjuntos de Z son:

Z+= {1, 2, 3, } enteros positivos Z 0 = {0, 1, 2, } enteros no negativos

Z-= {-1, -2, -3, } enteros negativos Z 0 = {0, -1, -2, -3, } enteros no positivos

1. Son cuadrados perfectoslos enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196,225, 256,

2. Son cubos perfectoslos enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, y tambin: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343,

MLTIPLO Y DIVISOR

En la expresin a = b c en que a, b y c son nmeros enteros, a es mltiplo de b y de co bien b y c son divisores o factores de a.


2/8

2

DEPTO. MATEMTICA. PREUNIVERSITARIO PREUTECH.

REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Un nmero entero es divisible:

Por Cuando

2 Termina en cifra par.

3 La suma de sus cifras es mltiplo de tres.4 Las dos ltimas cifras forman un nmero mltiplo de cuatro o bien son

Ceros.5 La ltima cifra es cero o cinco.6 Es divisible por dos y por tres a la vez.7 La diferencia entre el doble de la ltima cifra y el nmero que forman las

Cifras restantes es mltiplo de siete.8 Las tres ltimas cifras forman un nmero mltiplo de ocho o bien son

Ceros.9 La suma de sus cifras es mltiplo de nueve.10 Termina en cero.11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y

Las que ocupan los lugares impares es mltiplo de once.

NMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIN EN FACTORES

Nmeros primos: Son aquellos enteros positivos que tienen slo dos divisores distintos. Losprimeros nmeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,

Nmeros compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Losprimeros nmeros compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21,

TEOREMA FUNDAMENTALTodo nmero compuesto se puede expresar de manera nica como el producto de factores denmeros primos

MNIMO COMN MLTIPLO (m.c.m.)Es el menor mltiplo comn positivo de dos o ms enteros.

MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.)Es el mayor divisor comn entre dos o ms enteros.

CLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIN EN FACTORES PRIMOS

Se descomponen los nmeros en factores primos:

1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores

primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que poseael exponente menor.


3/8


4/8

4


RELACIN DE ORDEN EN Z

Si a y b son nmeros enteros, entonces diremos que:i) a > b si y slo si (a - b) es un entero positivo.ii) a < b si y slo si (a - b) es un entero negativo.iii) a b si y slo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).

iv) a b si y slo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).

II. NMEROS RACIONALES

Los nmeros racionales son todos aquellos nmeros de la formab

acon a y b nmeros enteros y b

distinto de cero. El conjunto de los nmeros racionales se representa por la letra Q.

2. IGUALDAD ENTRE NMEROS RACIONALES

ADICIN Y SUSTRACCIN DE NMEROS RACIONALES

Sid

c,

b

aQ, entonces:

OBSERVACIONES

1. El inverso aditivo (u opuesto) de

b

aes -

b

a, el cual se puede escribir tambin como

b

ao

b

a

2. El nmero mixto Ac

bse transforma a fraccin con la siguiente frmula:

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE NMEROS RACIONALES

Sid

c,

b

aQ, entonces:

MULTIPLICACIN

DIVISIN


5/8

5


OBSERVACIN

El inverso multiplicativo (o recproco) deb

aes 0acon,

a

b

b

a 1

RELACIN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES:

1. Para comparar nmeros racionales, tambin se pueden utilizar los siguientes procedimientos:a) igualar numeradores.b) igualar denominadores.c) convertir a nmero decimal.

2. Entre dos nmeros racionales cualesquiera hay infinitos nmeros racionales.

NMEROS DECIMALES

Al efectuar la divisin entre el numerador y el denominador de una fraccin, se obtiene un desarrollodecimal, el cul puede ser finito, infinito peridico o infinito semiperidico.

a) Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales.Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales

b) Desarrollo decimal infinito peridico: Son aquellos que estn formados por la parte entera y

el perodo.Ejemplo: 0,444.... = 0,4

c) Desarrollo decimal infinito semiperidico: Son aquellos que estn formados por la parteentera, un anteperodo y el perodo.

Ejemplo: 24,42323 ... = 24,423

OPERATORIA CON NMEROS DECIMALES

1. Adicin o sustraccin de nmeros decimales: Para sumar o restar nmeros decimales seubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la

decimal y a continuacin se realiza la operatoria respectiva.As por ejemplo: 0,19

3,81+ 22,2

26,20


6/8

6


2. Multiplicacin de nmeros decimales: Para multiplicar dos o ms nmeros decimales, semultiplican como si fueran nmeros enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha aizquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los nmeros en conjunto.

As por ejemplo: 3,21 2,3963

6427,383

3. Divisin de nmeros decimales: Para dividir nmeros decimales, se puede transformar eldividendo y el divisor en nmeros enteros amplificando por una potencia en base 10.As por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100

224: 120 y se dividen como nmeros enteros

TRANSFORMACIN DE DECIMAL A FRACCIN1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dgitos que forman el nmero decimal y enel denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho nmero.

Por ejemplo: 3,24 =

100

324

2. Decimal infinito peridico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el nmero decimalcompleto (sin considerar la coma) y el nmero formado por todas las cifras que anteceden al perodoy en el denominador tantos nueves como cifras tenga el perodo.

Por ejemplo: 2,15=99

2215

3. Decimal infinito semiperidico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el nmerocompleto (sin considerar la coma) y el nmero formado por todas las cifras que anteceden al perodoy en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el perodo, seguido de tantos ceroscomo cifras tenga el anteperodo.

Por ejemplo: 5,3 4 =90

53534

III. POTENCIAS EN Z

DEFINICIN

PROPIEDADES1. 0n= 0, si n Z+2. 1n= 13. Si n es par, (-1)n = 14. Si n es impar, (-1)n = -1

Signos de una potencia: an=

imparesny0asiNegativo

paresny0asiPositivo


7/8

7


MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE POTENCIASSean a y b Z, m y n Z+

1.- Multiplicacin de potencias de igual base

2.- Divisin de potencias de igual base

3.- Multiplicacin de potencias de distinta base e igual exponente

4.- Divisin de potencias de distinta base e igual exponente

DEFINICIN

OBSERVACIN:00no est definidoPOTENCIA DE UNA POTENCIA

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO

POTENCIAS DE BASE 10

100

= 1 10-1

=10

1

=0,1

101= 10 10-2=100

1=0,01

102= 100 10-3=1000

1=0,001

103= 1000

Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un nmero de las siguientes formas:

1. Un nmero est escrito en notacin cientfica si se escribe de la forma k 10n, en que 1 k< 10 y n Z.

2. Un nmero est escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p 10n, en que p es el

menor entero y n Z.3. Un nmero esta inscrito en notacin ampliada o desarrollada si se expresa como la sumade las cantidades que resulten de multiplicar cada dgito de dicho nmero por la potencia de diez

correspondiente a su posicin (... centena, decena, unidad, dcima, centsima...) abc,de = a

102+ b 101+ c 100+ d 10-1+ e 10-2


8/8

8


V. SIMBOLOGA:

Nmeros natural cualquiera = n El antecesor de un nmero = n 1 El sucesor de un nmero = n + 1 Nmero natural par = 2n Nmero natural impar = 2n 1 El cuadrado del sucesor de un nmero = (n + 1)2 El sucesor del cuadrado de un nmero = n2+ 1 El cuadrado del sucesor del antecesor de un nmero = n2 Dos nmeros naturales impares consecutivos = 2n 1, 2n +1 El inverso aditivo u opuesto de un nmero = n

El inverso multiplicativo o recproco de un nmero =n

1

El triple de un nmero = 3n Un nmero de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es uy la cifra de lasdecenas es d= 10d + u

Un nmero de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de lasdecenas es dy la cifra de las centenas es c= 100c + 10d + u

La razn o cuociente entre py q=q

p

El valor absoluto de un nmero = | n |

pes directamente proporcional a q= )tetancons(kq

p

pes inversamente proporcional a q= pq = k(constante)

_____________________________________________________________________PSU. MAT/CAG/cag.

resumen 1 eje temático numeros 2015

Documents