MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA (I): PRUEBA DIRECTA Y

REDUCCIÓN AL ABSURDO

RESUELVE TU DUDA ???

DIFERENTES VÍAS DE RESOLUCIÓN

A la hora de intentar resolver un problema matemático o de demostrar un teorema, existen diversos procedimientos utilizados comúnmente en Matemáticas.

Prueba directa, reducción al absurdo, inducción, analogía,…

Nos detendremos en los dos primeros y utilizaremos ejemplos prácticos…

RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)

Es el método generalmente empleado, el más intuitivo.

Procedimiento: 1) Se parte de los datos del

problema. 2) Se aplican las reglas de la lógica

y la teoría desarrollada. 3) Tras un número finito de pasos

se llega a una solución o conclusión.RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración MatemáticaRESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)

PRUEBA DIRECTA

Un hombre de 1,80 m. de estatura da la vuelta alrededor del mundo, siempre sobre el ecuador.¿ HABRÁ RECORRIDO LA MISMA DISTANCIA SU CABEZA QUE SUS PIES?

PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:

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PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:

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Aún sin saber la respuesta, es bastanteobvio el camino a tomar: Con los datos aportados, y a partir de expresiones matemáticas ya demostradas,calcularemos y obtendremos DIRECTAMENTE una conclusión para elproblema propuesto.

RTierra

1,80 m.

Trayectoria cabeza

Trayectoria

pies

L circunferencia=2ΠR

PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:

1) Datos:

2-a) Teoremas ya demostrados:

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PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:

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2-b) Inferencias lógicas: Rpies = RTierra

Rcab. = RTierra + Altura hombre Lpies = 2·Π·Rpies = 2·Π·RTierra

Lcab. = 2·Π·Rcab. = 2·Π·(RTierra + 1,80) Operamos: Lcab.–Lpies =2·Π·(RTierra+1,80)-2·Π·RTierra = =2·Π·RTierra+2·Π·1,80-2·Π·RTierra = = 2·Π·1,80 = 11,31 m.

PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:

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3) 3) Conclusión: - Por cada vuelta alrededor del mundo,la cabeza recorre 11,31 m. más que los pies. - Este resultado es independiente del radio del objeto alrededor del cual efectuamos el giro.

Cuando falla o no es obvia la Prueba Directa, otro de los enfoques más utilizados es la Reducción al Absurdo.

Procedimiento: 1) Suponemos que la proposición

inicial a demostrar es falsa. 2) Usamos inferencias lógicas. 3) Llegamos a una contradicción, lo

que demuestra la afirmación inicial.

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REDUCCIÓN AL ABSURDO

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REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:

Si estimamos que en España hay unaSi estimamos que en España hay unapoblación de 40 millones de habitantes y población de 40 millones de habitantes y sabiendo que en cada mm² de cuero sabiendo que en cada mm² de cuero cabelludo hay 5 pelos, averiguar cabelludo hay 5 pelos, averiguar (obviando las personas calvas) si habrá (obviando las personas calvas) si habrá dos españoles con el mismo número dedos españoles con el mismo número depelos.pelos.

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REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:1)1) Proposición inicial falsa:Proposición inicial falsa: “ “No hay dos españoles con el mismo nº No hay dos españoles con el mismo nº de cabellos”.de cabellos”.2-a) 2-a) Inferencias lógicas:Inferencias lógicas: - Español nº 1 tiene 1 cabello.- Español nº 1 tiene 1 cabello. - Español nº 2 tiene 2 cabellos.- Español nº 2 tiene 2 cabellos. ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… - Español nº 40.000.000 tiene - Español nº 40.000.000 tiene 40.000.000 de cabellos.40.000.000 de cabellos.

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REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:

2-b) Inferencias lógicas: Si hay 5 pelos por cada mm², el cuerocabelludo del español nº 40.000.000 debería ocupar, al menos, un área de:

________400000004000000055 = 8000000 mm² = 8 m²= 8000000 mm² = 8 m²

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REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:

c) c) Contradicción lógica:Contradicción lógica: Es imposible que el cuero cabelludo deEs imposible que el cuero cabelludo deun ser humano posea esa extensión.un ser humano posea esa extensión. Por tanto:Por tanto: - Resulta FALSO que no haya dos - Resulta FALSO que no haya dos españoles con el mismo nº de cabellos.españoles con el mismo nº de cabellos. - Es más, debe haber BASTANTES - Es más, debe haber BASTANTES compatriotas cuyo total sea el mismo.compatriotas cuyo total sea el mismo.

Video Youtube: COMO RESOLVER UN PROBLEMA MATEMÁTICO

http://youtu.be/0KbITwsKdZI