MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA (I): PRUEBA DIRECTA Y

REDUCCIÓN AL ABSURDO

RESUELVETU DUDA ???

DIFERENTES VÍAS DE RESOLUCIÓN

A la hora de intentar resolver un problema matemático o de demostrar un teorema, existen diversos procedimientos utilizados comúnmente en Matemáticas.

Prueba directa, reducción al absurdo, inducción, analogía,…

Nos detendremos en los dos primeros y utilizaremos ejemplos prácticos…

RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)

Es el método generalmente empleado, el más intuitivo.

Procedimiento:

1) Se parte de los datos del problema.

2) Se aplican las reglas de la lógica y la teoría desarrollada.

3) Tras un número finito de pasos se llega a una solución o conclusión.

RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración MatemáticaRESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)

PRUEBA DIRECTA

Un hombre de 1,80 m. de estatura da la vuelta alrededor del mundo, siempre sobre el ecuador.

¿ HABRÁ RECORRIDO LA MISMA DISTANCIA SU CABEZA QUE SUS PIES?

PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:

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PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:

RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)

Aún sin saber la respuesta, es bastanteobvio el camino a tomar:Con los datos aportados, y a partir de

expresiones matemáticas ya demostradas,calcularemos y obtendremos DIRECTAMENTE una conclusión para elproblema propuesto.

RTierra

1,80 m.

Lcircunferencia=2ΠR

PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:

1) Datos:

2-a) Teoremas ya demostrados:

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PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:

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2-b) Inferencias lógicas: Rpies = RTierra

Rcab. = RTierra + Altura hombreLpies = 2·Π·Rpies = 2·Π·RTierra

Lcab. = 2·Π·Rcab. = 2·Π·(RTierra + 1,80)

Operamos:Lcab.–Lpies =2·Π·(RTierra+1,80)-2·Π·RTierra =

=2·Π·RTierra+2·Π·1,80-2·Π·RTierra == 2·Π·1,80 = 11,31 m.

PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:

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3) Conclusión:- Por cada vuelta alrededor del mundo,la cabeza recorre 11,31 m. más que los pies.- Este resultado es independiente del radio del objeto alrededor del cual efectuamos el giro.

Cuando falla o no es obvia la Prueba Directa, otro de los enfoques más utilizados es la Reducción al Absurdo.

Procedimiento:

1) Suponemos que la proposición inicial a demostrar es falsa.

2) Usamos inferencias lógicas.

3) Llegamos a una contradicción, lo que demuestra la afirmación inicial.

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REDUCCIÓN AL ABSURDO

RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)

REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:

Si estimamos que en España hay unapoblación de 40 millones de habitantes y sabiendo que en cada mm² de cuero cabelludo hay 5 pelos, averiguar (obviando las personas calvas) si habrá dos españoles con el mismo número depelos.

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REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:

1) Proposición inicial falsa:“No hay dos españoles con el mismo nº de cabellos”.2-a) Inferencias lógicas:- Español nº 1 tiene 1 cabello.- Español nº 2 tiene 2 cabellos.………………………………………………………………………………………………

- Español nº 40.000.000 tiene 40.000.000 de cabellos.

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REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:

2-b) Inferencias lógicas:

Si hay 5 pelos por cada mm², el cuero

cabelludo del español nº 40.000.000

debería ocupar, al menos, un área de:

________400000005

= 8000000 mm² = 8 m²

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REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:

c) Contradicción lógica:Es imposible que el cuero cabelludo deun ser humano posea esa extensión.Por tanto:- Resulta FALSO que no haya dos

españoles con el mismo nº de cabellos.- Es más, debe haber BASTANTES

compatriotas cuyo total sea el mismo.

Video Youtube: COMO RESOLVER UN PROBLEMA MATEMÁTICO

http://youtu.be/0KbITwsKdZI