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Unidad 13. Áreas y perímetros

PÁGINA 261

■ Resuelve problemas con el teorema de Pitágoras

47 Calcula la diagonal de un cuadrado de 28 cm de perímetro.

l = 28 : 4 = 7 cm

x = √72 + 72 = √98 ≈ 9,9 cm7 cm

7 cm

x

La diagonal del cuadrado mide 9,9 cm.

48 Halla el área y el perímetro de un rombo cuyas dia-gonales miden 42 cm y 40 cm.

l = √212 + 202 = √841 = 29 cm

P = 4 · 29 = 116 cm20 cm

21 c

m l

49 Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 110 m y 30 m, y el lado oblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área.

x = √892 – 802 = √1 521 = 39 m

A = 30 + 1102

· 39 = 2 730 m2

110 m

30 m

80 m

89 mx

P = 110 + 89 + 30 + 39 = 268 m

50 Halla el área de un triángulo equilátero de 60 dam de perímetro.

l = 60 : 3 = 20 dam

x = √202 – 102 = √300 ≈ 17,32 dam

10 dam

20 damx

A = 20 · 17,322

= 173,2 dam2

51 Los lados de un triángulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba que es rectángulo, halla su área y calcula la altura sobre el lado más largo.

532 = 2 809 cm2; 452 + 282 = 2 809 cm2

Como 532 = 452 + 282, es un triángulo rectángulo.

A = 45 · 282

= 630 cm2 630 = 53 · ah 8 ah = 63053

≈ 11,9 cm

La altura sobre la hipotenusa mide 11,9 cm.

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Unidad 13. Áreas y perímetros

52 Halla el perímetro y el área de esta figura:

26 dm

10 dm x = √262 – 102 = √576 = 24 dm

A = 24 · 102

= 120 dm2

A 1/2 = π · 122

2 ≈ 226,08 dm2

26 dm

10 dm

x

A 1/2 = π · 52

2 ≈ 39,25 dm2

A = 120 + 226,08 + 39,25 = 385,25 dm2

P = 26 + 2π · 52

+ 2π · 122

≈ 79,38 dm

53 Calcula las dimensiones y el área de cada una de las siguientes secciones de un cubo:

6 cm3 cm

3 cm

3 cm 6 cm6 cm

6 cm6 cma) b)

a) x = √32 + 32 = √18 ≈ 4,24 cm

A = 4,24 · 6 = 25,44 cm2

P = 2 · 6 + 2 · 4,24 = 20,48 cm

x

6 cm

b) x = √62 + 32 = √45 ≈ 6,71 cm

A = 6,71 · 6 = 40,26 cm2

P = 6,71 · 2 + 6 · 2 = 25,42 cm

x

6 cm

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Unidad 13. Áreas y perímetros

54 Halla el perímetro y el área de esta figura:

13 m4 m

3,5 m

5 m

x = √52 – 42 = √9 = 3

y = √132 – 52 = √144 = 12

z = √122 + 3,52 = √156,25 = 12,5 m

13 m4 m

3,5 m

5 m

x

z

y

2

3

1

A① = 4 · 32

= 6 m2; A② = 5 · 122

= 30 m2; A ③ = 3,5 · 122

= 21 m2

A = 6 + 30 + 21 = 57 m2

P = 3,5 + 4 + 3 + 13 + 12,5 = 36 m

55 Calcula el perímetro y el área de esta figura:

18 m

8 m

8 m12 m

x = √102 + 42 = √116 ≈ 10,77 m

A = 18 · 8 = 144 m2

A = 8 + 182

· 4 = 52 m2

A 1/2 = π · 42

2 ≈ 25,12 m2

18 m

10 m

8 m

8 m

4 mx

4 m

A = A + A – A 1/2 = 144 + 52 – 25,12 = 170,88 m2

P = 18 + 8 + 10,77 + 2π · 42

+ 12 ≈ 61,33 m

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Unidad 13. Áreas y perímetros

■ Problemas “+” (con Pitágoras)

56 Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio. Halla el área del recinto comprendido entre ambas figuras.

a = √62 – 32 = √27 ≈ 5,2 cm

A = 6 · 6 · 5,22

= 93,6 cm2

A = π · 62 ≈ 113,04 cm23 cm

6 cm

a

A = A – A = 19,44 cm2

57 En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro:

a) b)

10 m60°

8 mm

x x

x

x

a) x = √102 – 52 = √75 ≈ 8,7 m

A = π · 102

360 · 60 – 10 · 8,7

2 ≈ 8,8 m2

10 m

5 m

x

P = 2π · 10360

· 60 + 10 ≈ 20,5 m

b) (2x)2 + x2 = 82 8 5x2 = 82 8 x ≈ 3,6 mm

A = 3,6 · 2 · 3,6 · 22

– 3,6 · 2 · 3,62

≈ 13 mm

P = 2 · 8 + 3,6 · 2 = 23,2 mm

8 mm

x x

x

x

58 Halla el área y el perímetro de la figura roja, obtenida mediante un corte plano a un cubo de 6 cm de arista.

En primer lugar, hallamos las dimensiones del trapecio isósce-les que se ha obtenido: 6 cm

3 cm 3 cm

b = √62 + 62 ≈ 8,49 cm; b' = √32 + 32 ≈ 4,24 cm

a = √62 + 32 ≈ 6,71 cm; c = b – b'2

= 2,13 cm

h = √a 2 – c 2 = √6,712 – 2,132 ≈ 6,36 cm

b'

bc

a h

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Unidad 13. Áreas y perímetros

Ahora, ya podemos calcular su área y su perímetro:

A = b + b'2

· h = 8,49 + 4,242

· 6,36 ≈ 40,48 cm2

P = b + b' + 2a = 8,49 + 4,24 + 2 · 6,71 = 26,15 cm

59 Calcula el área y el perímetro de la figura roja:

En primer lugar, hallamos las dimensiones del rombo que se ha obtenido:

6 cm

3 cm

3 cm

d = √62 + 62 + 62 ≈ 10,39 cm

d' = √62 + 62 ≈ 8,49 cm

l = √62 + 32 ≈ 6,71 cm

d'd

l

Ahora, ya podemos calcular su área y su perímetro:

A = d · d'2

= 10,39 · 8,492

= 44,11 cm2

P = 4l = 4 · 6,71 = 26,84 cm

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