resuelva por coeficientes indeterminados y coeficientes constantes
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8/12/2019 Resuelva Por Coeficientes Indeterminados y Coeficientes Constantes
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Resuelva4 3 2
4 3 2
d Q d Q d Q dQ8 32 64 64Q 0
dx dx dx dx
Solucin
La ecuacin caracterstica tiene races 2 i2 y 2 i2 : de aqu que 1 2 i2 y2 2 i2 son ambas races de multiplicidad dos. La solucin es:
2x 2x1 3 2 4
2x 2x1 2 3 4
y e c cos2x c sen2x xe c cos2x c sen2x
y c c x e cos2x c c x e sen2x
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y'''' 8y''' 32y'' 64y' 64y 0
Input:
y 4
x 8 y 3 x 32 y x 64 y x 64 y x 0
ODE classification:
higher-order linear ordinary differential equation
Alternate forms:
y 4
x 8 y 3 x 32 y x 64 y x 64 y x
y
4
x 64 y x 8 y 3
x 4 y x 8 y x y
4x 32 y x 64 y x 8 y 3 x 8 y x
Differential equation solution: Approximate form Step by step solution
y x c 12 x sin 2 x c 2 2 x x sin 2 x c 3 2 x cos 2 x c 4 2 x x cos 2 x
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Resuelva por coeficientes indeterminados y ' 5y (x 1)senx (x 1)cosx
Solucin
De la ecuacin diferencial homognea y ' 5y 0 , su ecuacin caracterstica es
5 0 , que tiene una nica raz 1 5 . La solucin es entonces5x
1y c e Ahora determinamos la forma de la solucin particular de
y ' 5y (x 1)senx (x 1)cosx
Primero consideramos lo siguiente
Si en cambio x n(x) e p (x)cos x es el producto de una funcin polinomial, unaexponencial y un trmino seno, o si x n(x) e p (x)sen x es el producto de unafuncin polinomial, una exponencial y un trmino de coseno, entonces se asume
x n x np n 1 0 n 1 0y e sen x A x ... A x A e cos x A x ... A x A Donde j A y jB j 0,1...,n son constantes que an se deben de determinar
Aqu (x) (x 1)senx (x 1)cosx , una solucin asumida para (x 1)senx
esta dada por la ecuacin siguiente con 0 : 1 0 1 0 A x A senx B x B cos x
Y una solucin asumida para x 1 cosx esta dada por:
1 0 1 2C x C senx D x D cos x
(Obsrvese que se ha usado C y D en la ltima expresin, pues las constantes A y B ya han sido usadas). Entonces tomamos
p 1 0 1 0 1 0 1 0y A x A senx B x B cos x C x C senx D x D cos x
Combinando trminos similares llegamos a
p 1 0 1 0y E x E senx F x F cos x
Como la solucin asumida, donde j j j j j jE A C y F B D ( j 0,1)
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Adems p 1 1 0 1 0 1y ' E F x F senx E x E E cos x
Sustituyendo estos valores en la ecuacin diferencial y simplificando, obtenemos:
1 1 0 1 0 1 1 0 0 15E F xsenx 5E E F senx 5F E xcos x 5F E F cos x(1)xsenx ( 1)senx (1)xcos x (1)cosx
Igualando coeficientes de trminos similares tenemos
1 1
0 1 0
1 1
0 0 1
5E F 1
5E E F 1
E 5F 1
E 5F F 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos
1 0 1E 2 / 13,E 71/ 338,F 3 / 13 y 0F 69 / 338 . Entonces tenemosque
p2 71 3 69
y x senx x cos x13 338 13 338
Y la solucin general es:
5x1
2 71 3 69y c e x senx x cos x
13 338 13 338
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Plots of sample individual solutions:
x
y
y
y
y 0 1
y 0 0 y 0 0
y 3
0 0
x
y
y
y
y 0 0
y 0 1 y 0 0
y 3 0 0
x
y
y
y
y 0 0
y 0 0 y 0 1
y 3 0 0
x
y
y
y
y 0 0
y 0 0 y 0 0
y 3 0 1
Sample solution family:
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4x
60
40
20
20
40
60
80
y
sampling y 0 , y 0 , y 0 and y 3 0
y''''-8y'''+32y''-64y'+64y=0
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Solve the linear equation y x
x 5 y x sin x x 1 cos x :
Let x 5 x 5 x .Multiply both sides by x :
y x
x
5 x
5 y x 5 x
cos x x 1 sin x 5 x
Substitute 5 5 x x
5 x : y x
x
5 x
x 5 x y x
cos x x 1 sin x 5 x
Apply the reverse product rule g f
x f g
x
x f g to the left-hand side:
x
y x 5 x
cos x x 1 sin x 5 x
Integrate both sides with respect to x :
x y x
5 x x cos x x 1 sin x 5 x x
Evaluate the integrals:
y x 5 x
5 cos x 13 x 18 13 x 47 sin x 338 5 x c1, where c1 is an arbitrary constant.
Divide both sides by x 5 x :
y x 1
3385 cos x 13 x 18 13 x 47 sin x 338 c1 5 x
Simplify the arbitrary constants:
Answer:
y x 45 cos x
169
5
26 x cos x
47 sin x
338
1
26 x sin x c1 5 x