UNIVERSIDAD DEL PAPALOAPAN CAMPUS LOMA BONITA

CAMPUS LOMA BONITADEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECATRÓNICAASIGNATURA: DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL

Respuesta Natural en el tiempo del nivel de líquido en un sistema de tanquesObtenido mediante la matriz de transición de estados.

Trabajo que presenta el equipo:

C.Marcos Infante JacoboC. Mariana Mendez MoralesC. Rosalino Mayoral Lagunes

Para la asignatura de Diseño de Sistemas de Control

Catedrático:Dr. Hiram Netzahualcóyotl García Lozano

Loma Bonita, Oaxaca a 24 de marzo del 2014

Índice general

1. Respuesta Natural Del Sistema De Nivel De Liquido 1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Modelado del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Sistema a Variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Obtención de la matriz de transición de estados . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Solución en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

i

ii ÍNDICE GENERAL

Índice de …guras

1.1. Sistema de dos tanques en serie, donde la salida del primero es la entrada delsegundo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Respuesta en el tiempo del nivel de agua del segundo tanque. (Programadoen MATLAB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Programacion en Simulink(La altura inicial se le pone en el segundo integradorcomo condicion inicial). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Respuesta en el tiempo del nivel de agua del segundo tanque. (Gra…cado apartir del sistema que se muestra en la …gura 1.3) . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Respuesta en el tiempo del nivel de agua del segundo tanque(Gra…cado enExcel con la funcion dependiente del tiempo). . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

iii

iv ÍNDICE DE FIGURAS

Resumen

En el presente trabajo se muestra la obtención de la respuesta en el tiempo de un sistemade nivel de agua, mediante el uso de la matriz de transición de estados.Hay muchas formas de sistemas de nivel de líquido, en los cuales interactúan uno, dos, tres

o más tanques, en diversas con…guraciones; en este trabajo solo mostraremos la interacciónde dos tanques, en serie, en el cual, la salida del primer tanque es la entrada del segundo,como se puede observar en la …gura 1.1. La simulación del sistema se realizó con ayuda delprograma MATLAB

R°y MATLAB

R°/Simulink

R°.

Capítulo 1

Respuesta Natural Del Sistema DeNivel De Liquido

1.1. Introducción

Al analizar sistemas que implican el ‡ujo de líquidos, resulta necesario dividir los regímenesde ‡ujo en laminar y turbulento, de acuerdo con la magnitud del número de Reynolds. Siel número de Reynolds es mayor que entre 3000 y 4000, el ‡ujo es turbulento. El ‡ujo eslaminar si el número de Reynolds es menor que unos 2000. En el caso laminar, tiene lugar un‡ujo estable en las corrientes, sin turbulencia. Los sistemas que contienen un ‡ujo laminarse pueden representar mediante ecuaciones diferenciales lineales.Con frecuencia los procesos industriales implican un ‡ujo de líquidos a través de tubos

y tanques conectados. El ‡ujo en tales procesos resulta a menudo turbulento y no laminar.Los sistemas que contienen un ‡ujo turbulento se representan a menudo mediante ecuacionesdiferenciales no lineales. Sin embargo, si la región de operación está limitada, tales ecuacionesdiferenciales no lineales se pueden linealizar.En este trabajo se considera que el ‡ujo es laminar, es decir que el ‡ujo se encuentra en

estado permanente.

1.2. Modelado del sistema

Como el caudal de entrada menos el caudal de salida durante el pequeño intervalo detiempo dt es igual a la cantidad adicional almacenada en el tanque, se observa que:

1 = ( ¡ 1) (1.1)

Para el ‡ujo laminar, la resistencia 1 se obtiene como: =

1

2 CAPÍTULO 1. RESPUESTA NATURAL DEL SISTEMA DE NIVEL DE LIQUIDO

Figura 1.1: Sistema de dos tanques en serie, donde la salida del primero es la entrada delsegundo.

por lo tanto, la relacion entre 0 y se obtiene mediante

1 =11

(1.2)

sustituyendo la ecuación 1.2 en la ecuacion 1.1 se obtiene la siguiente ecuacion diferencial:

11 _1 + 1 = 1 (1.3)

al trasformar la ecuación 1.3 a Laplace, se tiene:

(11 + 1)1() = 1() (1.4)

dado que lo que nos interesa del primer tanque es la salida con respecto de la entrada yno la altura, la ecuación 1.4 se transforma a

1() = 1()1

(11 + 1)1()1 = 1()

1()

()=

1

11 + 1(1.5)

Para el segundo tanque se realiza algo similar, la diferencia es que en esta parte si nosinteresa el nivel de líquido, por lo tanto el modelo del segundo tanque de la altura conrespecto de la entrada es:

2()

()=

222 + 1

(1.6)

Al relacionar las ecuaciones 1.5 y 1.6, se tiene:

2()

()=

211222 + (11 + 22) + 1

(1.7)

Al regresar el sistema a ecuaciones diferenciales, la ecuación 1.7 cambia a :

1122Ä2 + (11 + 22) _2 + 2 = 2 (1.8)

1.3. SISTEMA A VARIABLES DE ESTADO 3

1.3. Sistema a Variables de estadoPor simplicidad, vamos a de…nir nuevas variables.

= 1122

= (11 + 22)

= 1

Por lo tanto, la ecuación 1.8 queda de la siguiente forma;

Ä2 + _2 + 2 = 2

Ä2 +

_2 +

2 =

2 (1.9)

A continuación se de…nen las variables de estado:

1 = 2¡ _1 = 22 = _2¡ _2 = Ä = 2

¡

2 ¡

1

Al pasar a la forma matricial _ = + se tiene:·_1_2

¸=

·0 1¡ ¡

¸ ·12

¸+

·02

¸() (1.10)

como = 0; la ecuación 1.10 queda como _ = ·_1_2

¸=

·0 1¡ ¡

¸ ·12

¸(1.11)

1.4. Obtención de la matriz de transición de estadosDe la ecuación 1.11 se tiene que:

=

·0 1¡ ¡

¸Los valores propios se obtienen de la siguiente manera:

0 = j ¡j0 =

¯̄̄̄· 00

¸¡·0 1¡ ¡

¸¯̄̄̄0 =

1

¡2 + +

¢12 = ¡ 1

2

³§p¡4+ 2

´(1.12)

4 CAPÍTULO 1. RESPUESTA NATURAL DEL SISTEMA DE NIVEL DE LIQUIDO

Para los vectores propios, los cuales se de…nen como: (¡ 1)1 = 0; y (¡ 2)2 = 0se hace lo siguiente:

··0 1¡ ¡

¸¡·1 00 1

¸¸ ·1121

¸=

·00

¸· ¡1 1¡ ¡1 ¡

¸ ·1121

¸=

·00

¸reduciendo la matriz anterior por operaciones de renglon se llega a la forma:

· ¡1 10 0

¸ ·1121

¸=

·00

¸¡111 + 21 = 0

si 11 = 1;

21 = 1;

Por lo tanto el primer vector propio es:

1 =

·1121

¸¡ 1 =

·11

¸para el segundo vector propio se hace algo similar, pero ahora con 2 por lo tanto el

(¡ 2)2 = 0 queda como:

··0 1¡ ¡

¸¡·2 00 2

¸¸ ·2122

¸=

·00

¸· ¡2 1¡ ¡2 ¡

¸ ·2122

¸=

·00

¸· ¡2 10 0

¸ ·2122

¸=

·00

¸¡221 + 22 = 0

si 21 = 1;

22 = 1;

2 =

·2122

¸! 2 =

·12

¸Dado que la matriz de valores propios es = [1 2]; esta queda de la siguiente forma:

=

·1 11 2

¸

1.4. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS 5

la inversa de es:

¡1 =· ¡ 2

1¡21

1¡211¡2 ¡ 1

1¡2

¸

Ahora se obtiene la matriz diagonal de la siguiente manera: ¡1 = · ¡ 21¡2

11¡2

11¡2 ¡ 1

1¡2

¸ ·0 1¡ ¡

¸ ·1 11 2

¸=

"¡ 1¡2 ¡ 1 2

1¡2 ¡ 11¡2 ¡

1¡2 ¡221¡2 ¡ 2

1¡2

1¡2 +211¡2 +

11¡2

1¡2 + 1

21¡2 +

21¡2

#=

Asumiendo que 1 6= 2 ,es decir que no hay multiplicidad, la matriz diagonal se reducea:

=

·1 00 2

¸por lo tanto la matriz exponencial es:

=

·1 00 2

¸Como la matriz de transicion de estados es () = ¡1 queda de la forma siguiente:

() =

·1 11 2

¸ ·1 00 2

¸ · ¡ 21¡2

11¡2

11¡2 ¡ 1

1¡2

¸() =

"1

21¡2 ¡ 2

1

1¡211¡2 ¡ 2

1¡212

21¡2 ¡ 12

1

1¡2 111¡2 ¡ 2

2

1¡2

#

6 CAPÍTULO 1. RESPUESTA NATURAL DEL SISTEMA DE NIVEL DE LIQUIDO

1.5. Solución en el tiempo

Como la solución en el tiempo debe ser expresada como () = ()(0) la solucion enforma matricial es:

·1()2()

¸=

"1

21¡2 ¡ 2

1

1¡211¡2 ¡ 2

1¡212

21¡2 ¡ 12

1

1¡2 111¡2 ¡ 2

2

1¡2

# ·1(0)2(0)

¸

donde 1() = 2()y 2() = _2()

1.6. Simulación

Si damos los valores 1 = 14;2 = 05;1 = ¤ (25)2;2 = ¤ 22; se obtienen

1 = ¡003642 = ¡01592

0 10 20 30 40 50 600.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Respuesta en el tiempo del nivel de agua del segundo tanque

Tiempo t[seg]

Altu

ra d

el s

egun

do ta

nque

(h2)

[m]

Figura 1.2: Respuesta en el tiempo del nivel de agua del segundo tanque. (Programado enMATLAB)

1.6. SIMULACIÓN 7

El codigo en MATLAB produce la grá…ca de la respuesta de este sistema en el tiempoque se muestra en la …gura 1.2%%%%%% Programa que muestra el comportamiento de la altura del segundo%%%%%%%%% tanque cuando se tienen condiciones iniciales distintas de cero.%%%R1=1.4;R2=0.5;C1=pi*2.5^2;C2=pi*2^2;m=R1*C1*R2*C2;c=R1*C1+R2*C2;k=1;x1=2;%altura inicial del segundo tanque.x2=0;%razon de cambio inicial de la altura en el tiempo.t=0:0.001:60;l1=(1/(2*m))*(-c+sqrt((c^2)-4*k*m));%lambda 1l2=(1/(2*m))*(-c-sqrt((c^2)-4*k*m));%lambda 2%%%% altura en el tiempo del segundo tanque%%%%%h2=(1/(l2-l1))*((l2*exp(t*l1)-l1*exp(t*l2))*x1+(exp(t*l2)-exp(t*l1))*x2);plot(t,h2);grid on;title (’Respuesta en el tiempo del nivel de agua del segundo tanque’);xlabel(’Tiempo t[seg]’);ylabel(’Altura del segundo tanque (h2) [m]’);%%%%%%%%%%%%%%%%%%FIN%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Figura 1.3: Programacion en Simulink(La altura inicial se le pone en el segundo integradorcomo condicion inicial).

8 CAPÍTULO 1. RESPUESTA NATURAL DEL SISTEMA DE NIVEL DE LIQUIDO

0 10 20 30 40 50 600.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo t[seg]

Altu

ra d

el s

egun

do ta

nque

h2[

m]

Figura 1.4: Respuesta en el tiempo del nivel de agua del segundo tanque. (Gra…cado a partirdel sistema que se muestra en la …gura 1.3)

Figura 1.5: Respuesta en el tiempo del nivel de agua del segundo tanque(Gra…cado en Excelcon la funcion dependiente del tiempo).

1.7. CONCLUSIONES 9

1.7. ConclusionesSe puede observar que la solución en el tiempo del sistema coincide realmente con el

simulado a partir de la ecuación diferencial en MATLABR°/Simulink

R°.

Además se demostró que realmente la función de transición de estados contiene la dinámi-ca del sistema.