Control de Procesos con Respuesta Inversa

Antonio Flores T. ∗

Departmento de CienciasUniversidad Iberoamericana

Prolongacion Paseo de la Reforma 880Mexico DF, 01210, MEXICO

October 29, 2002

1 Introduccion

La parte derivativa del controlador PID le confiere propiedades de ”prediccion” de larespuesta incorrecta del proceso en sistemas con respuesta inversa. La forma como elcontrolador PID opera en este caso se muestra en la figura 1. Al inicio de la operacion

Figura 1:

del sistema de control el error aumenta en vez de reducirse. Sin embargo, durante esteperiodo la derivada del error sera negativa con lo cual coadyuva a reducir el error de

∗E-mail: antonio.flores@uia.mx, http://200.13.98.241/˜aflores, phone/fax: (+52)5 2674279

1

la senal d control:

u = Kc

(1 +

1

τI

∫ t

oedt− τD

de

dt

)(1.1)

el signo negativo antes del termino derivativo pone de relieve el punto anterior. Cuandotermina el periodo de inversion, la parte derivativa se vuelve ahora positiva con lo cualcoadyuva a incrementar la magnitud de la accion de control.

Debe notarse claramente que la bondad de la parte derivativa en sistemas con respuestainversa: al inicio, durante el periodo de direccion erronea de respuesta, la parte deriva-tiva contribuye a reducir la magnitud de la accion de control. De esta forma se evitanacciones de control fuertes que podrıan traer como consecuencia problemas de esta-bilidad y desempeno. Cuando ha finalizado la respuesta inversa la parte derivativacontribuye a lograr mas rapidamente los objetivos de control.

1.1 Sintonizacion de controladores

Para sintonizar controladores que operan sobre sistemas con respuesta inversa puedenemplearse reglas como las de Ziegler-Nichols. Otras reglas, como las de Cohen-Coon,requieren un cuidado especial para su aplicacion. El problema en concreto con elmetodo de Cohen-Coon es que resulta difıcil decidir donde trazar la tangente a lacurva de reaccion del proceso para identificar los parametros de una planta de primerorden con retardo que sustituira a la planta original.

Existe un procedemiento practico para obtener la curva de reaccion del proceso parasistemas con respuesta inversa. El procedimiento se basa en reconocer que la aprox-imacion de Pade de un retardo introduce un cero positivo (o sea, respuesta inversa);dicha aproximacion tambien introduce un polo negativo. Por ejemplo, si se emplea unaaproximacion de primer orden:

e−θs ≈ 1− θ2s

1 + θ2s

(1.2)

despejando de esta ecuacion:

1− ξs = (1 + ξs)e−2ξs (1.3)

donde,

ξ =θ

2(1.4)

supongamos que la planta a controlar estuviera dada por la siguiente funcion de trans-ferencia:

g(s) =(1− αs)

(τ1s + 1)(τ2s + 1)(1.5)

2

reemplazando el numerador de esta planta por la ecuacion 1.3 tenemos:

g(s) =(1 + ξs)e−2ξs

(τ1s + 1)(τ2s + 1)(1.6)

cuya respuesta sera parecida a la mostrada en la figura 2. ; de donde resulta mas facil

y

t

0

Figura 2:

obtener una funcion de transferencia de primer orden con retardo para aproximar laplanta original dada por la ecuacion 1.5.

2 Control convencional

En principio resulta posible usar controladores PI o PID para el control de sistemascon respuesta inversa. Sin embargo, debido a la inclusion de la parte derivativa, resultama apropiado, para este tipo de sistemas, el empleo de controladores PID.

Ejemplo 1 Emplear controladores PI y PID para el control de la siguiente planta:

Gp(s) =−2s + 1

s2 + 1.5s + 0.5

para cambios unitarios en el set-point de la variable controlada; sintonizar los controladoresempleando las reglas de sintonizacion de ZN. Suponer que la magnitud de las variablesmanipuladas esta acotada en el rango [−2, +2].

La ganancia final y el periodo final de oscilacion son 0.75 y 5.6198, respectivamente.En la siguiente tabla se muestran los parametros de sintonizacion para cada tipo decontrolador usando las reglas de ZN.

3

Controlador kc τI τD

PI 0.3375 4.6832PID 0.45 2.8099 0.7025

En la figura 3 se muestran las respuestas del sistema de control a lazo cerrado ası comola magnitud de las variables manipuladas.

0 5 10 15 20 25 30−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(a) Tiempo

Res

pues

ta

PIPID

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

(b) Tiempo

U

PIPID

Figura 3: (a) Respuesta a lazo cerrado de la planta nominal para cambio unitario enel set-point, (b) Conducta dinamica de la variable manipulada.

3 Control de sistemas con respuesta inversa

De manera semejante al caso del predictor de Smith, se puede utilizar una estrategiade diseno de controladores para plantas que muestran respuesta inversa sobre un rangodel horizonte de operacion. Para este proposito supongamos que la planta a controlarGp(s) la representamos de la siguiente forma equivalente:

Gp(s) = G−(s)G+(s) (3.7)

donde G−(s) es la parte de la planta con dinamica ”normal”, mientras que G+(s)contiene la parte de Gp(s) cauzante de la respuesta inversa. Por ejemplo para lasiguiente planta usada con anterioridad;

Gp(s) =−2s + 1

s2 + 1.5s + 0.5(3.8)

4

G−(s) y G+(s) estarıan dadas por:

G−(s) =1

s2 + 1.5s + 0.5(3.9)

G+(s) = −2s + 1 (3.10)

en terminos de diagramas de bloques el problema de control se puede representar talcomo se muestra en la figura 4. para obtener el esquema de control para sistemas

G_(s)Gc(s) G (s)+

yr

Figura 4: Control de un sistema con respuesta inversa.

con respuesta inversa introducimos una modificacion al diagrama de bloques de lafigura 4. Esta modificacion consiste en introducir un lazo interno feeback alrededordel controlador Gc(s) tal como se muestra en la figura 5. El sistema de control a lazo

G_(s)Gc(s) G (s)+

yr

G_(s)λs

++

- -

εc

ψ

u

Figura 5: Modificacion del esquena de control feedback para tomar en consideracionsistemas con respuesta inversa.

cerrado mostrado en la figura 5 ”desplaza” el cero positivo (representado por G+(s))del lado derecho del eje de los reales al lado negativo del mismo eje real. Esto significaque, usando tal esquema de control, se ha logrado ”remover” el efecto que el ceropositivo original tiene sobre el sistema de control. Para lograr que esta remocion seaefectiva se debe cumplir una condicion adicional la cual sera discutida un poco masadelante. Por el momento demostraremos la veracidad del comentario anterior; o seaque, el esquema de control mostrado en la figura 5 coadyuva a remover el cero positivopresente en la planta original a controlar.

La senal de error εc que ingresa al controlador esta dada por la siguiente ecuacion:

εc = r − y − ψ (3.11)

5

donde ψ es la senal generada por el lazo menor. La ecuacion anterior la podemosreescribir como:

εc = r − y′

(3.12)

donde

y′

= y + ψ (3.13)

= Gp(s) + G−(s)λs (3.14)

= G−(s)(1− γs) + G−(s)λs (3.15)

= G−(s)[(1 + s(λ− γ)] (3.16)

como podemos notar de esta ultima ecuacion, la ubicacion del cero del sistema estadada por la solucion de la siguiente ecuacion:

1 + s(λ− γ) = 0 (3.17)

o sea que

s = − 1

λ− γ(3.18)

para que el cero del sistema sea negativo (es decir, para que el sistema no presenterespuesta inversa) se requiere que el signo de la raız s sea negativo. Esto solo puedesuceder si se cumple la siguiente desigualdad:

λ > γ (3.19)

aunque, en principio, uno puede seleccionar cualquier valor de λ que satisfaga la de-sigualdad anterior, se acostumbra emplear el siguiente valor de λ:

λ = 2γ (3.20)

Ejemplo 2 Repetir el ejemplo 1 empleando el esquema anterior para tomar en cuentaexplicitamente la presencia de ceros positivos en plantas a lazo abierto.

En la figura 6 se muestran las respuestas del sistema a lazo cerrado y de las variablesmanipuladas. El valor que se uso de λ = 2.

6

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1

1.5

(a) Tiempo

Res

pues

ta PIPID

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

(b) Tiempo

U

PIPID

Figura 6: Control PI y PID de un sistema con respuesta inversa tomando en cuantaexplicitamente la presencia del cero positivo.

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