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VIBRACIONES MECANICAS

TRABAJO INTEGRADOR

ING FREDDY TELLO

INTEGRANTES:

MONCAYO MATUTE FREDDY PATRICIO

Respuesta del yunque de un martillo de forja

El yunque de un martillo de forja pesa 5000 N y está montado sobre una base con una rigidez de 5 ∙ 10^6N/m y constante de amortiguamiento viscoso de 10000 N-s/m. Durante una operación de forja particular, se hace que el martillo (peso que cae), cuyo peso es de 1000 N, caiga desde una altura de 2 m sobre el yunque. El yunque está en reposo antes del impacto del martillo y el coeficiente de restitución entre el tanque y el martillo es de 0,4.a) Exprese todas las leyes de la Física mecánica a partir de las cuales pueda elaborar un modelo matemático que describa el movimiento del yunque. Considere el desplazamiento metros y el tiempo en segundos.Sugerencias: aplicar principio de conservación de la cantidad de movimiento, conservación de la energía, coeficiente de restitución para determinar la velocidad inicial del yunque.b) Encuentre la solución de dicho problema con valores iniciales. Identifique el término correspondiente al estado transitorio (régimen transitorio) y al estado estable (estado estacionario).

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c) Grafique la solución con escalas adecuadas (tiempos no negativos) aplicando software matemáticod) Analizar con las gráficas, tabla de valores y realizar cálculos matemáticos para determinar lo siguiente

La respuesta de la vibración del yunque. La frecuencia natural y amortiguada del yunque. Los valores máximos de la velocidad y aceleración experimentados por el yunque.

e) Análisis de resultados, observaciones y conclusiones.Datos.

Martillo de forja pesa 5000 N Muelle con una rigidez de 5 ∙ 10^6N/m Constante de amortiguamiento viscoso de 10000 N-s/m Martillo (peso que cae), cuyo peso es de 1000 N Altura de 2 m Coeficiente de restitución entre el tanque y el martillo es de 0,4.

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a) Exprese todas las leyes de la Física mecánica a partir de las cuales pueda elaborar un modelo matemático que describa el movimiento del yunque. Considere el desplazamiento metros y el tiempo en segundos.Sugerencias: aplicar principio de conservación de la cantidad de movimiento, conservación de la energía, coeficiente de restitución para determinar la velocidad inicial del yunque.SOLUCION

Si la masa m cae desde una altura h que golpeara la masa M con una velocidad ‘’g’’ debido a la gravedad.D.C.L

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Leyes de la Física mecánica

Desplazamiento del yunque se mide desde su posición de equilibrio estático y todas las velocidades son positivas para esto aplicamos el principio de conservación de energíaM ¿) = m (Vt1-Vt2) conservación de energía.En este caso Va1=0 la masa m está en reposo antes del impacto. Tomamos en cuenta las ecuaciones de energía potencial y energía cinética justo antes del impacto la energía potencial desde la altura 2 mEnergía cinética ¿

12m(Vt 1)2

Energía potencial= mgh

Vt1= √ (2gh)= √ (2*9.81*2)= 6.264m/s ‘’ velocidad con la que cae la masa m’’Movimiento del yunque

Conservación de energía.M ¿) = m (Vt1-Vt2)

((5000)/ (9.81))(Va2-0) = ((1000)/ (9.81)) (6,2641-Vt2)

509.684Va2 = 638.55-101.937Vt2

Ahora tomamos en cuenta la ecuación del coeficiente de restitución e=0.4

e=-(Va2-Vt2) / (Va1-Vt1)

0.4=-(Va2-Vt2)/(0-6.26418)

-Vt2 = Va2-2.50567

-Va2=Vt2+2.50567

Ecuaciones de movimiento

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509.684Va2 = 638.55-101.937Vt2

509.684*(Vt2+2.50567) = 638.55-101.937Vt2

Vt2= -1.044m/s

Va2=1.46 m/s

La masa M se desplaza con una velocidad lineal de 1.46m/s

Explicación:

Todas las leyes de la Física mecánica las cuales se ocuparon para crear un modelo matemático que describa el movimiento del yunque. Lo primero que consideramos fue Si la masa m cae desde una altura h entonces esta golpeara la masa M con una velocidad ‘’g’’ debido a la gravedad.Utilizamos el modelo de energía cinética, energía potencial ‘’conservación de energía’’ se trata de una masa en la que interactúa la altura desde que es lanzado y la aceleración gravitacional esta es una ley física.Bibliografía.Ecuaciones tomadas del libro de dinámica 12 edición R.C.HIBBELER. pág. (205) chapter 14También ocupamos otra ley física que fue la de ‘’conservación de la cantidad de movimiento lineal de un sistema de partículas’’.Proceso de análisis.En general el principio de impulso y cantidad de movimientos lineales o el de la conservación de la cantidad de movimiento lineal se aplica a un sistema de partículas para determinar velocidades finales de una partícula justo después de un periodo de tiempo considerado. Ecuaciones tomadas del libro de dinámica 12 edición R.C.HIBBELER. pág. (237) chapter 14Otra temática que usamos fue la de impacto.

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El impacto ocurre cuando dos cuerpos chocan entre si un periodo muy corto, lo que hace que se ejerzan fuerzas (impulsoras) relativamente grandes entre los cuerpos. El golpe del martillo sobre el yunque, o el palo de golf sobre una bola son ejemplos comunes de cargas de impacto.Coeficiente de restitución.El coeficiente de restitución es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas.

b) Encuentre la solución de dicho problema con valores iniciales. Identifique el término correspondiente al estado transitorio (régimen transitorio) y al estado estable (estado estacionario).Solucionando las ecuaciones tenemos las velocidades Vt2= -1.044 m/s

Velocidad negativa por lo que la masa “martillo” al impactar con la masa ‘’yunque’’ y por presencia del coeficiente de restitución este tiende a regresar pero con signo contrario la velocidad.

Va2=1.46 m/s

CONDICIONES INICIALES DEL SISTEMA.

C.I { x (0 )=0x ' (0 )=1.46

DESARROLLO DEL MODELO MASA- RESORTE

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Ecuación auxiliar

Caso 3

El sistema esta subamortiguado

Calculo de raíces y tipo.

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Solución

Reemplazando valores en la ecuación

SEGUNDA CONDICION INICIAL

x’ (0)=1.46

c1=0

c2=b=

x (t)= e(- 9.81·t)·(c1·COS(98.55·t) + c2·SIN(98.55·t))

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x’(t)= -exp (- 9.81·t) ·(0.01·(981·a - 9855·b)·COS(98.55·t) + 0.01·(9855·a + 981·b)·SIN(98.55·t))

1.461 = - exp (- 9.81·0) ·(0.01·(981·0 - 9855·b)·COS(98.55·0) + 0.01·(9855·0 + 981·b)·SIN(98.55·0))

1461/1000= 2464·b/25

C2=b= 0.0148

Reemplazando las constantes en c1 y c2 tenemos el siguiente modelo

x (t)= 0.0148·exp(-9.81t) ·SIN(98.55·t)

ECUACION GENERAL ‘’MODELO DEL SISTEMA MASA-RESORTE’’

x (t)= 0.0148·exp(-9.81t) ·SIN(98.55·t) condición inicial x(0)=0

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El movimiento descrito por la grafica del modelo es oscilatorio pero debido al coeficiente exp (-9.81t), las amplitudes de vibración 0 cuando t ∞

Estado (régimen transitorio)x (t)= 0.0148·exp(-9.81t)

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Respuesta transitoria.

Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado final.

(ESTADO REGIMEN ESTABLE) no cumple la grafica relación con el modelo porqué esta ecuación es homogénea y no tiene solución particular porque esta no se amortiguaría seria solo oscilatoria.

c) Grafique la solución con escalas adecuadas (tiempos no negativos) aplicando software matemáticox (t)= 0.01482·exp(-9.81t) ·SIN(98.55·t)

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Aquí podemos observar el comportamiento de la grafica y también que cumple las condiciones iniciales del sistema también podemos ver y demostrar que es un sistema subamortiguado. Cumple un desplazamiento máximo de 0.07 m en 0.004 s y una mínima de 0.008m en 0.007 s

d) Analizar con las gráficas, tabla de valores y realizar cálculos matemáticos para determinar lo siguiente La respuesta de la vibración del yunque.13

Una analizado los cálculos observamos determinamos que la vibración del yunque es subamortiguado por el comportamiento de las gráficas y los cálculos obtenidos respaldándonos de la teoría

Argumento de un sistema de vibración subamortiguado.

La frecuencia natural y amortiguada del yunque.14

FRECUENCIA NATURAL Y AMORTIGUADO DEL YUNQUE

ωn=√ ( 5000000509.684

)

= 99.04 rad/s

Procedemos a calcular el coeficiente de amortiguamiento.

δ=c /2√ kM

= (10000N-s/m) / (2√5000000∗(5000/9.81)¿

= 0.099

‘’Frecuencia angular de M’’

ωd=(ωn∗(√1−δ 2 ))

= 98.60 rad/s

Los valores máximos de la velocidad y aceleración experimentados por el yunque.15

Una vez realizado los cálculos la velocidad máxima que experimenta el yunque como condición inicial 1.461m/s

SEGUNDA CONDICION INICIAL Modelo de velocidad

x’ (0)=1.46

x’(t)= -exp(- 9.81·t)·(1.46·COS(98.56·t) - 0.145·SIN(98.56·t))

Velocidad máxima 1.46 m/s

También el sistema experimenta una velocidad negativa debida a la fuerza elástica del resorte y se va amortiguando hasta que este tenga velocidad cero.

Tabla de valores

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La velocidad que experimenta el yunque es de 1.46 m/s una vez cesada la carga su movimiento es subamortiguado como podemos verificar en la gráfica el movimiento vibratorio se amortigua en un tiempo de 0.84 s y su velocidad es cero en t segundos aproximadamente.

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Modelo de aceleración

d^2/dt^2 = - exp ( - 9.81·t) · (28.65· COS (98.56·t) + 142.53·SIN(98.56·t))

Tabla de valores

La desaceleración ejerce el sistema masa resorte es de -28.67 m/s^2 en un tiempo de 0 s luego su alcanza una min desaceleración de -127.05m/s^2 en un tiempo de 0.027sg después alcanza una máxima aceleración de 97 m/s^2 en un tiempo de 0.054 s y asi la aceleración se amortigua hasta que la aceleración tienda a cero. 18

e) Análisis de resultados, observaciones y conclusiones.Análisis de resultados.El trabajo realizado genera un abanico de posibilidades para desarrollar y profundizar a futuro problemas de ingeniería que generan un exhaustivo análisis en este punto de vibraciones mecánicas.Como todo trabajo integrador, a medida que fuimos desarrollando y analizando los datos obtenidos, nos encontramos con problemas y resultados inesperados e ideales para nosotros, los cuales nos fueron generando una serie de desafíos que debíamos superar. Este tipo de situaciones, las cuales son completamente nuevas para nosotros, dado el tipo de formación que hemos recibido, nos han resultado de sobremanera estimulantes y nos han abierto otra perspectiva de cómo se puede obtener modelos de sistemas mecánicos ‘’VIBRATORIOS’’.Llevándonos a una gran gama de cálculos y problemas por analizar que son muy importantes en la rama de mecánica. A continuación realizamos una breve reseña de algunos de los problemas y resultados que fueron desafiantes para nosotros a medida que desarrollábamos nuestro trabajo.

a) Cuando comenzamos a analizar el sistema masa – resorte, tuvimos problema en plantear las ecuaciones y leyes dinámicas para obtener las velocidades y así verificar como se comportaba el sistema.b) Una vez analizada estas ecuaciones pudimos llegar a la conclusión de cómo se comportan aplicando conservación de energía entre masas (M, m).

c) Una vez obtenida la velocidad final y junto a ella las condiciones iniciales del sistema de resorte amortiguador.d) procedimos a plantear el modelo y con una tabla sacar todos los datos importantes del problema y tratar de suplementarlos en el modelo y asi poder hallar las constantes c1 y c2 de la solución homogénea ya analizada.

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Observaciones.Esta son unas observaciones que se pueden añadir a un problema de esta magnitud para realizar cálculos más pretenciosos y poder analizar su comportamiento.Aumentar el coeficiente de viscosidad del sistema. De esta forma se podrían hacer más visibles los efectos del amortiguamiento. A su vez, se podrían llegar a estudiar los casos de amortiguamiento crítico y sobreamortiguado.Conclusiones.Con este trabajo aprendimos a considerar diversos sistemas lineales dinámicos que se nos pueden presentar en los cuales cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones iniciales especificadas en el tiempo t°. Al haber realizado este trabajo podemos identificar tipos de vibraciones que se presentan en sistemas mecánicos poder analizar a fondo su comportamiento este proyecto también nos sirve para predecir movimientos futuros que se presentara en una aplicación que la deseemos construir físicamente diseñarla y predecir su funcionamiento si es o no el adecuado. Bibliografía. http://www.elsolucionario.net/vibration-analysis-handbook-james-l-taylor-1ed/http://www.elsolucionario.net/mechanical-vibrations-singiresu-s-rao_10/http://www.elsolucionario.net/teoria-y-problemas-de-vibraciones-mecanicas-schaum-william-w-seto-1ed/http://www.elsolucionario.net/matematicas-avanzadas-para-ingenieria-2/

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