respuesta al impulso unitario
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Análisis de Señales y Sistemas U. T. N. 2007
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Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo
A) Ejemplo 1. Dado el siguiente circuito:
R + + Con: R= 1 [MΩ] y C= 1 [μf] x(t) i(t) C y(t) - -
a. Hallar la ecuación diferencial que establece la relación entrada salida.
Las relaciones volt-ampere (ley de Ohm) de los componentes del circuito son:
Resistor: (t)i R (t)v RR (5) ; Capacitor: dt
tdvCti C
C
)()( (6)
Utilizando la ley de las tensiones de Kirchhoff, podemos escribir:
)()( v (t)x R tyt
Utilizando (5): cx (t ) i( ) ( ) i ( ) ( )R t y t R t y t
Utilizando (6): ( )
x (t ) ( )Cdv tR C y t
dt (7)
Reemplazando valores: ( ) ( )
x (t ) ( ) ( )dy t dy t
RC y t y tdt dt
(8)
Que es la relación entrada-salida que define el sistema en cuestión.
b. Hallar la respuesta impulsiva Considerando x(t) = δ (t), la (8) queda.
(9)
(Tengamos presente que al perturbar con el impulso, la salida y(t) coincide con h(t)).
Dividiremos el análisis en tres partes:
1. Para: t<0, δ (t)=0
El sistema no ha sido perturbado y puesto que lo consideramos relajado (condiciones iniciales nulas) y es pasivo (sin fuentes de energía internas), la salida será nula.
)()(
(t) tydt
tdyCR
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Y(t)=0 para todo t<0
2. Para t>0, δ (t)=0
La (9) queda:
Que, como sabemos, posee una solución del tipo:
Para t>0
Donde K es una constante arbitraria que quedará definida por lo que suceda en el instante cero.
3. Sólo nos resta saber qué sucede cuando t=0.
Este caso podemos analizarlo integrando ambos miembros de (9) entre los instantes 0- y 0+.
El termino
0
0
)( dtty será nulo salvo que y(t) posea una singularidad de orden superior en el origen.
Sin embargo, si así fuese, dt
tdy )( sería un doblete unitario o singularidad de orden superior, y puesto
que en el primer miembro de (9) no hay ningún doblete se deduce que 0)(0
0
dtty
Con esto: 1 (0 ) (0 )RC y y
Pero y(0-)=0, así 1
(0 )yRC
y la respuesta impulsiva del sistema queda :
Reemplazando valores, RC = 1:
0)()(
tydt
tdyCR
RC
t
Kety
)(
dttydtdt
tdyCRdt
0
0
0
0
0
-0
)()(
(t)
0
0
1 (0 ) (0 ) ( )RC y y y t dt
)()( tueth t
)(1
)( tueRC
th RC
t
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hHtL
Podríamos haber llegado al mismo resultado derivando la respuesta del sistema al escalón unitario, u(t). Pues:
)()(
)(
)()(
)()(
thdt
tdyt
dt
tdy
dt
tdu
tytu
u
u
u
; Pero )()(
tdt
tdu
Este método es más práctico ya que la función escalón es más fácil de sintetizar con un menor error que la función impulso.
c. Hallar la respuesta a la entrada , x(t) = 15 Sen (10t). u(t) por el método de convolución
Considerando los datos y la h(t) calculada en el punto c, la respuesta del sistema queda:
Integrando por partes obtenemos: (no desarrollar esta expresión)
deSenedtueuSenthtxtyt
tt
0
)( ).10(15)().()10(.15)(*)()(
2202 101150))]10(.10)10((
101[15))10(.10)10((
101[15)( ]
ttt
tt e
tCostSene
eCosSene
ety
tetCostSenty 48,1)10(48,1)10(148,0)(
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