Tarea5: Resolución de problemas siguiendo las 4 etapas esenciales

de Polya

El problema que he seleccionado, es un problema planteado al nivel 3ºESO. Lo

seleccioné teniendo en cuenta los 6 rasgos que caracterizan a los buenos problemas, vistos en

la UD.1.

PROBLEMA:

Un padre negociador hace un pacto con su hijo:

Después del próximo examen de matemáticas, deberá sumar, por un lado, las notas de

todos los compañeros y compañeras que le hayan superado y, por otro, todas las que queden

por debajo de la suya, y entonces:

Si las bajas superan a las altas en 50 puntos o más, le regalará una moto.

Si las altas superan a las bajas en 20 puntos o más, se quedará en casa

estudiando todos los domingos durante un mes.

En el resto de los casos, quedan en paz.

Las notas de sus compañeros y compañeras han sido: 5-5-4-9-8-6-3-6-3-7-4-5-6-6-7-

7-4-7-5-2-6-5-5-8-3-9-10-5

Cuestión1: ¿Te parece un trato ventajoso para el chico?

Cuestión 2: ¿Qué ocurre si su nota es un 5?, ¿y si saca un 6?

Cuestión 3: ¿Qué nota necesita sacar para conseguir la moto?

Solución: antes de comenzar a escribir mi respuesta (teniendo en cuenta las fases de

Polya), comentar que lo he resuelto sin mirar en que tema estaba planteado, para no influir en

mi forma de resolverlo. Al final comparé mi procedimiento de resolución con los conceptos y

procedimientos explicados en el tema y busqué la relación con los míos.

Fase 1: Comprender el problema

He leído el problema una primera vez para ver de qué trataba y ponerme en situación, y luego

lo he vuelto a leer una segunda vez (más despacio) para tomar datos y organizarlos.

Me organizo todos los datos (las notas de los compañeros y compañeras) en una tabla:

Notas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de alumnos 0 0 1 3 3 7 5 4 2 2 1

¿Cuántos alumnos son en clase?: 28 compañeros + hijo.

¿Cuánto suman las notas de todos sus compañeros? :

160 puntos (0x0+1x0+2x1+3x3+4x3+5x7+6x5+7x4+8x2+9x2+10x1)

Fase 2: Trazar un plan para resolverlo

Reorganizo el problema: primero estudio los casos particulares y al final respondo a la

primera cuestión (ya que a simple vista no sé si el trato es ventajoso para el hijo o no).

Fase 3: Poner en práctica el plan

1) ¿Qué ocurre si su nota es un 5?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 1 3 3 7 5 4 2 2 1

Observando la tabla vemos que:

Hay 7 alumnos con menos nota suma= 23 puntos (0x0+1x0+2x1+3x3+4x3)

Hay 14 alumnos con más nota suma =102 puntos (6x5+7x4+8x2+9x2+10x1)

102-23 = 79 puntos el hijo se quedará en casa estudiando todos los domingos.

2) ¿Qué ocurre si saca un 6?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 1 3 3 7 5 4 2 2 1

Observando la tabla vemos que:

Hay 14 alumnos con menos nota suma= 58 puntos (0x0+1x0+2x1+3x3+4x3+5x7)

Hay 9 alumnos con más nota suma=72 puntos (7x4+8x2+9x2+10x1)

72-58=14 puntos quedan en paz.

Si con un 5 se queda en casa estudiando y con un 6 quedan en paz, ¿qué ocurriría si sacara

entre 5 y 6?:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 1 3 3 7 5 4 2 2 1

Hay 14 alumnos con menos nota suma= 58 puntos (0x0+1x0+2x1+3x3+4x3+5x7)

Hay 14 alumnos con más nota suma= 102 puntos (6x5+7x4+8x2+9x2+10x1)

102-58=44puntos el hijo se queda en casa estudiando todos los domingos

Por tanto podemos decir que si el hijo se saca menos de un 6, se quedará en casa los

domingos estudiando durante un mes.

3) ¿Qué nota necesita sacar para conseguir la moto?

Sabemos que con un 6, quedan en paz y con menos de un 6 se queda en casa estudiando

entonces:

¿qué ocurre si sacara más de un 6 pero menos de un 7?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 1 3 3 7 5 4 2 2 1

suma=0

0x0

suma=0

0+1x0

suma=2

0+2x1

suma=11

2+3x3

suma=23

11+4x3

suma=58

23+5x7

suma=88

58+6x5

Si se saca entre un 6 y un 7, entonces la suma de las bajas es 88 puntos y como la suma de

todas las notas es 160, la suma de las altas será 72 puntos (160 -88 ó 7x4+8x2+9x2+10x1=72)

88-72 =16 puntos. En este caso, quedarán en paz.

¿qué ocurre si se sacara un 7?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 1 3 3 7 5 4 2 2 1

suma=0

0x0

suma=0

0+1x0

suma=2

0+2x1

suma=11

2+3x3

suma=23

11+4x3

suma=58

23+5x7

suma=88

58+6x5

suma=116

88+7x4

Si se saca un 7, entonces la suma de las bajas es 88 puntos y la suma de las altas 160-116=44

puntos (ó 8x2+9x2+10x1=44 puntos) 88-44=44 puntos. En este caso, también quedarán en

paz.

¿qué ocurre si se saca más de un 7?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 1 3 3 7 5 4 2 2 1

suma=0

0x0

suma=0

0+1x0

suma=2

0+2x1

suma=11

2+3x3

suma=23

11+4x3

suma=58

23+5x7

suma=88

58+6x5

suma=116

88+7x4

Si se sacara más de un 7, la suma de las bajas como mínimo va a ser 116 puntos y por tanto la

suma de las altas será como máximo de 160-116=44 puntos, por tanto podemos decir, que la

diferencia entre las bajas y las altas será como mínimo de 72 puntos (ya que cuanto más nota

saque mayor será la suma de las notas bajas y por el contrario disminuye la suma de las altas)

y en este caso, el hijo se comprará la moto.

4) Ahora ya puedo responder a la primera cuestión: ¿te parece un trato ventajoso para

el chico?

Desde mi punto de vista, podría decir que no, ya que para que el hijo se beneficie, debería

sacar en el examen más de un 7 y es una nota alta.

Fase 4: Comprobamos la solución

Comprobando todos los casos observados, llegamos a la conclusión de que el hijo se quedará

en casa estudiando si saca menos de un 6, se llevará la moto si saca más de un 7 y se

quedarán en paz si saca más de un 6 ó un 7.

Una vez terminado el ejercicio, miré la teoría del tema en el que estaba planteado el ejercicio, y

observé que sin darme cuenta, al ordenar los datos en una tabla (de datos desordenados,

dibuje una tabla con los datos ya ordenados, diferenciando entre nº de alumnos y notas) lo que

estaba haciendo era una tabla de frecuencias, en donde la variable representa todos los

posibles valores de las notas y representa el nº de alumnos que obtienen esa nota.

También, al calcular cuántos compañeros tiene el hijo, lo que en realidad estoy haciendo es:

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 1 3 3 7 5 4 2 2 1

También, cuando estamos resolviendo cada cuestión (calculando la suma de las notas bajas y

las altas), lo que en realidad estamos haciendo es:

Entonces con todo esto, podemos calcular cual es la media (la cual nos informa sobre el centro

alrededor del cual se distribuyen todos los valores), mediana (el valor de la nota que está en

medio, es decir, que tiene tantos individuos por debajo como por encima) y moda (el valor con

mayor frecuencia, es decir, la nota con mayor nº de alumnos).

MEDIA:

MEDIANA: = entre 5 y 6 puntos (si la nota del hijo fuera entre 5 y 6, habría en mismo nº de

compañeros con notas más bajas que la suya y más altas).

MODA: = 5 puntos (5 puntos es la nota con más nº de alumnos).