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Resolver funciones logaritmicas
y exponenciales usando
propiedadesMATE 3012 - UPRA
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Resolver funciones logarítmicas
• El hecho de que las funciones logaritmicas son uno-a-
uno, nos permite resolver dos tipos de ecuaciones
logarítmicas sencillas.
• CASO 1: la igualdad de dos expresiones logarítmicas
con base igual
• Resolver:
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Resolver funciones logarítmicas
• CASO 2: una expresión logarítmica igualada a un número se resuelve usando la definición de logaritmopara convertir a una exponencial.
a) log3(x+2) – 2 = 1Primeramente, aislamos la expresión logarítmica.
log3(x+2)= 3
Ahora cambiamos a la forma exponencial,
𝒙 + 𝟐 = 𝟑𝟑
𝒙 + 𝟐 = 𝟐𝟕
𝒙 = 𝟐𝟓
Finalmente, verificamos en la ecuación original:
log3(x+2) – 2 = log3(25+2) – 2 = log3(27) – 2 = 3 – 2 =1
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Práctica adicional
• Resolver usando la propiedad uno-a-uno de
funciones logarítmicas :
a) log3(2x2) = log3(5x + 3)
b) log2(x2 – 30) = log2(x)
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Práctica
• Resolver usando la definición de logaritmos :
a) log3(x+2) – 2 = 1
b) log2(x2 – 2x) = 3
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Leyes de exponentes vs. Leyes de logaritmos
loga(x/y) = logax - logay
loga(xy) = logax + logay
logaxn = nlogax
am an = am+n
am/an = am-n
(am)n = amn
Así el logaritmo de un producto es una suma de logaritmos.
Por lo que el logaritmo de un cociente es una diferencia delogaritmos
El logaritmo de la potencia de un número es el exponente por el logaritmo del número.
1)
2)
3)
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EjemplosUse las leyes de logaritmos para escribir las siguientes
expresiones sin logaritmos de potencias.
1 𝑙𝑜𝑔2311
2 𝑙𝑜𝑔3𝑥3
𝑦
= 𝑙𝑜𝑔2 11
13
=13∙ 𝑙𝑜𝑔2 11
= 𝑙𝑜𝑔3(𝑥3) 1 2
𝑦 1 2
= log3𝑥32
𝑦12
= 𝑙𝑜𝑔3𝑥3
𝑦
= log3 𝑥3
2 − log3 𝑦1
2 =3
2log3 𝑥 −
1
2log3 𝑦
loga
𝑥
𝑦= logax - logay
loga(xy) = logax + logay
logaxn = nlogax
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Escribir como un solo logaritmo.
loga
𝑥
𝑦= logax - logay
loga(xy) = logax + logay
logaxn = nlogax
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Resolver
8loglog3 x
log 𝑥3 = log 8
𝑥3 = 8
𝑥 =38
𝑥 = 2VERIFICACION:
Si x = 2:
3 log 2 = log 8
3 log 2 = log 23
3 log2 = 3log2
Aplicar la propiedad (3):
Cambiar a la forma exponencial.
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Resolver
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 1 + 𝑙𝑜𝑔2 3 = 3
𝑙𝑜𝑔2 3 𝑥 + 1 = 3
𝑙𝑜𝑔2 3𝑥 + 3 = 3
3𝑥 + 3 = 23
3𝑥 + 3 = 8
3𝑥 = 5
𝑥 = 53
Prop. (1):
Cambiar a la forma
exponencial
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Resolver
10log)1log(log xx
loga
𝑥
𝑦= logax - logay
loga(xy) = logax + logay
logaxn = nlogax
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Bases Especiales• Cuando la base a es…
o 10 , llamamos log10 x el logaritmo común de x ;
• normalmente se escribe log x en vez de log10 x .
o e, llamamos loge x el logaritmo natural de x ;
• normalmente escribimos ln x en vez de loge x .
Ejemplo: Determinar x si:
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Fórmula para cambiar de base• Las propiedades de logaritmos se pueden usar para
derivar una fórmula para cambiar de base .
• La fórmula es útil ya que muchas calculadoras sólo
incluyen formas para determinar el logaritmo común
y el logaritmo natural.
• Sea u > 0 y a,b números reales positivos distintos de
1, entonces
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
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Formula para cambiar de baseDetermine el valor, redondeado a 2 lugares
decimales, de
log5105
Usando la fórmula para cambiar de base
log5105 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎𝟓
𝒍𝒐𝒈 𝟓≈ 𝟐. 𝟖𝟗
Nota que si utilizamos el logaritmo natural
log5105 = 𝒍𝒏 𝟏𝟎5
𝒍𝒏 5≈ 2.89
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
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Resolver ecuaciones
exponenciales con bases
diferentes usando el método de
tomar logaritmos en ambos
lados de la ecuación
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Ejemplo• Resolver : 5x = 105
• Cambiamos a la forma logarítmca
x = log5 105
• log5 105 es la solución exacta.
• Para una aproximación
o función de la calculadora
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“Tomar el logaritmo de ambos lados”
• Para resolver una ecuación que envuelve expresiones
exponenciales con bases diferentes y expresiones variables
en la posición del exponente, es usual resolver “tomando el
logaritmo en ambos lados de la ecuación” y aplicando las
leyes de los logaritmos para resolver.
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Ejemplo• Resolver: 2x = 3x – 2
log(2x ) = log(3x – 2)
o
ln(2x ) = ln(3x – 2)
x log 2 = (x – 2) log 3
x log 2 = x log 3 – 2 log 3
x log 2 – x log 3= – 2 log 3
x(log 2 – log 3) = –2log 3
x= –2 log 3
(log 2 – log 3)≈ 5.419