SEGUNDO EXAMEN PARCIAL FÍSICA I 20/01/14 MODELO 2

1 . - Dos masas de 3 kg cada una tienen las velocidades v1=2i+3j m/s y v2=4i- 6j m/s. Determina la velocidad del centro de masas. a) (3i- 1 , 5j) m/s b) (1 8i- 9j) m/s c) (2, 5i- j) m/s d) (6i- 3j) m/s La velocidad del centro de masas es:

s/m5,1333

)64(3)32(3mmmm

m

m

21

21N

1i1

N

1ii

jijijivvvv 21

iCM −=

+−++

=++

=∑

∑=

=

=

Respuesta correcta: a)

2. - Un bloque de masa m1=1 , 60 kg, inicialmente en movimiento a la derecha con una rapidez de 4 m/s sobre una pista horizontal sin fricción, choca con un resorte unido a un segundo bloque de masa m2=2, 1 0 kg inicialmente en

movimiento hacia la izquierda con una rapidez de 2, 50 m/s, como se ve en la figura. La constante del resorte es 600 N/m. ¿Cuál es la compresión máxima del resorte durante la colisión? a) ∆xmáx=0, 1 73 m b) ∆xmáx=0, 1 35 m c) ∆xmáx=0, 253 m d) ∆xmáx=0, 208 m La compresión máxima se producirá cuando las velocidades de los dos bloques sean exactamente iguales. En ese instante, por conservación de la cantidad de movimiento:

p=cte ⇒ pantes=pdespués ⇒ m1v1+m2v2=m1v+m2v

1,60 · 4-2,10 · 2,50=(1,60+2,10)v ⇒ v=0,311 m/s Ahora aplicamos el teorema del trabajo-energía cinética, entre la posición del dibujo (1) y la posición de máxima deformación (2):

W12=∆EC ⇒ Wmg+WN+Wk∆l=∆EC Las fuerzas que actúan durante el movimiento son los pesos, las normales y la fuerza de recuperación elástica. Los pesos no realizan trabajo porque no hay variación de altura, y por tanto no hay variación de energía potencial gravitatoria. Las normales tampoco realizan trabajo por ser perpendiculares al desplazamiento, y sólo realiza trabajo la fuerza de recuperación elástica, que como es conservativa, coincide con la variación de energía potencial cambiada de signo:

Wmg+WN+Wk∆l=∆EC ⇒ Wk∆l=∆EC ⇒ -∆U=∆EC ⇒ U1-U2=EC2-EC1 ⇒ -U2=EC2-EC1

( ) 222

211

221

2máx vm

21vm

21vmm

21xk

21

−−+=∆− ⇒ ( ) 221

222

211

2máx vmmvmvmxk +−+=∆

( ) m253,0x311,010,260,150,210,2460,1x600 máx2222

máx =∆⇒⋅+−⋅+⋅=∆

Respuesta correcta: c)

3. - Tres carros de masas 4 kg, 1 0 kg y 3 kg se mueven sobre una vía horizontal sin fricción con magnitudes de rapidez de 5

m/s, 3 m/s y 4 m/s, como se ve en la figura. Unos acopladores Velcro hacen que los carros se peguen entre sí después de chocar. Encuentra la velocidad final del tren de tres carros. a) 2, 235 m/s b) 3, 647 m/s c) 3, 455 m/s d) 5, 636 m/s Primero chocan el bloque 1 y el bloque 2, y en el choque se conserva la cantidad de movimiento:

p=cte ⇒ pantes=pdespués ⇒ m1v1+m2v2=(m1+m2)v’ ⇒ 4 · 5+10 · 3=(4+10)v’ ⇒ v’=3,571 m/s Los dos bloques unidos se mueven hacia la derecha con una velocidad de 3,571 m/s, y chocan contra el tercer bloque, manteniéndose constante de nuevo la cantidad de movimiento:

p=cte ⇒ pantes=pdespués ⇒ (m1+m2)v’+m3v3=(m1+m2+m3)v’’ (4+10) · 3,571-3 · 4=(4+10+3)v’’ ⇒ v’’=2,235 m/s

Podemos ver que sale lo mismo si empezamos suponiendo que chocan en primer lugar los bloques 2 y 3. Tendremos en primer lugar conservación de la cantidad de movimiento:

Respuesta correcta: a)

p=cte ⇒ pantes=pdespués ⇒ m2v2+m3v3=(m2+m3)v’ ⇒ 10 · 3-3 · 4=(10+3)v’ ⇒ v’=1,385 m/s Estos dos bloques unidos se mueven hacia la derecha con velocidad de 1,385 m/s, de modo que serán alcanzados por el bloque 1, produciéndose un segundo choque en el que se conserva la cantidad de movimiento:

p=cte ⇒ pantes=pdespués ⇒ (m2+m3)v’+m1v1=(m1+m2+m3)v’’ (10+3) · 1,385+4 · 5=(4+10+3)v’’ ⇒ v’’=2,235 m/s

Y también lo podemos hacer de una sola vez: p=cte ⇒ pantes=pdespués ⇒ m1v1+m2v2+m3v3=(m1+m2+m3)v’

4 · 5+10 · 3-3 · 4=(4+10+3)v’ ⇒ v’=2,235 m/s

4. - La figura representa dos ruedas dentadas solidarias sometidas a las fuerzas que se indican. Calcula el momento neto respecto de un eje que pase por O. a) 1 409, 54 Ncm b) 1 500 Ncm c) 73500 Ncm d) 69067, 41 Ncm

Tenemos dos fuerzas luego el momento será: M=M1+M2=1500cos20º · 25-2400cos20º · 15=1409,54 Ncm

Respuesta correcta: a)

5. - Una varilla uniforme de longitud L y masa M puede rotar libremente alrededor de un pasador sin rozamiento que pasa por un extremo. La varilla se suelta desde el reposo en la posición horizontal. ¿Cuál es la velocidad del centro de masas cuando alcanza su posición más baja? Momento de inercia de una varilla respecto de

su punto medio 2ML1 21 .

a) gL3vCM =

b) gL321vCM =

c) gLvCM =

d) 2gL3vCM =

Aplicamos el teorema del trabajo-energía cinética entre la situación inicial (1), cuando la barra se suelta desde el reposo en la posición horizontal, y la situación final (2), cuando la barra pasa por la posición más baja. Así:

W12=∆EC Las fuerzas que actúan sobre la barra son el peso y la reacción del pasador. La reacción del pasador no realiza trabajo porque no se desplaza, y el peso es una fuerza conservativa, luego el trabajo realizado por ella es igual a la variación de energía potencial gravitatoria cambiada de signo:

W12=∆EC ⇒ Wmg+WO=∆EC ⇒ -∆U=∆EC U1-U2=EC2-EC1 ⇒ U1-U2=EC2

2G

2CM2CM1CM I

21mv

21mghmgh ω+=−

El centro de masas realiza una circunferencia en torno a O de radio 2L , luego su

velocidad es:

Lv2

2Lrv CM

CM =ω⇒ω=ω=

Sustituyendo todo:

( )2

CM22CM2CM1CM

2G

2CM2CM1CM L

v2mL

121

21mv

21hhmgI

21mv

21mghmgh

+=−⇒ω+=−

gL321

4gL3vv

34gLv

31vgLv

61v

21

2Lg CM

2CM

2CM

2CM

2CM

2CM ==⇒=⇒+=⇒+=

Respuesta correcta: b)

6. - El péndulo A tiene una lenteja de masa mA y longitud LA; el péndulo B tiene una lenteja de masa mB y longitud LB. Si el período de A es doble del de B podemos afirmar que: a) LA=2LB y mA=2mB b) LA=4LB y mA=mB c) LA=4LB cualquiera que sea la relación entre las masas d) 4LA=LB cualquiera que sea la relación entre las masas Para el péndulo A:

gL2T A

A π=

Y para el péndulo B:

gL2T B

B π=

Vemos ya que el período es independiente de la masa, luego nos centraremos en las respuestas c) y d). Ahora, si el período de A es doble del de B:

BABABA

BA L4LL2LgL22

gL2T2T =⇒=⇒π⋅=π⇒=

Respuesta correcta: c)

7. - Una masa de 3 kg se mueve en el extremo de un resorte de constante de fuerza 0, 40 N/m, sometida a la acción de una fuerza amortiguadora F=- 0, 9v, siendo v la velocidad de la masa y estando las unidades en el Sistema Internacional. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación de la masa? a) 0, 058 Hz b) 0, 063 Hz c) 0, 085 Hz d) 0. 053 Hz La frecuencia natural de la oscilación es:

s/rad365,0340,0

mk

0 ===ω

Y el parámetro de amortiguamiento: 1s15,0

329,0

m2−=

⋅=

γ=β

Así, la frecuencia angular de la oscilación es:

s/rad333,015,0365,0' 22220 =−=β−ω=ω

Y entonces:

Hz053,02333,0

2'2' =

π=

πω

=ν⇒πν=ω

Respuesta correcta: d)

8. - a) Considérese la situación de choque completamente inelástico entre dos partículas A y B, estando la partícula B en reposo inicialmente. Obtener la expresión de la pérdida de energía cinética debida al choque. b) ¿Qué magnitud mide la

capacidad de las fuerzas para provocar el giro de los sólidos rígidos? ¿De qué depende? Explicitar cómo se calcula. c) En la representación de Fresnel se considera una partícula P como extremo de un vector de módulo A, girando con velocidad angular constante ω0. Demostrar que las proyecciones sobre el eje vertical de la posición, velocidad y aceleración de esta partícula, en cualquier instante de tiempo, corresponden justamente con las expresiones x(t), v(t) y a(t) de un M. A. S.

a) El coeficiente de restitución del choque entre dos partículas A y B en función de las velocidades iniciales y finales vale:

BA

ABvv'v've

−−

=

Si el choque es completamente inelástico e=0 de modo que nos queda:

'v'v'v0'v'vvv'v'v0

vv'v've ABAB

BA

AB

BA

AB ==⇒=−⇒−−

=⇒−−

=

Las partículas después del choque tienen la misma velocidad y por tanto salen juntas. En esta situación las fuerzas restauradoras son nulas y por tanto se disipa energía. Las fuerzas no son conservativas, pero se puede aplicar la conservación de la cantidad de movimiento (tendremos en cuenta ya que antes del choque la partícula B está en reposos vB=0):

pantes=pdespués ⇒ mAvA=(mA+mB)v’ ⇒ ABA

A vmm

m'v+

=

Así, las energías cinéticas antes y después del choque son: 2AAC vm

21E =

( ) ( ) ( )2A

BA

2A

2

ABA

ABA

2BAC v

mmm

21v

mmmmm

21'vmm

21'E

+=

++=+=

Tendremos pues:

( )C

BA

AC

BA

A2AA

2A

BA

2A

C

C Emm

m'Emm

m

vm21

vmm

m21

E'E

+=⇒

+=

+=

donde puede verse que efectivamente se pierde energía cinética ya que E’C<EC. También podemos determinar la variación de energía cinética, que será:

( )2A

BA

BA2A

BA

BA2A

2A2

AA2A

BA

2A

CCC vmm

mm21v

mmmmmm

21vm

21v

mmm

21E'EE

+−=

+−−

=−+

=−=∆

donde también puede verse que se pierde energía cinética, ya que la variación de dicho parámetro es negativo. b) La magnitud que mide la capacidad de las fuerzas para provocar el giro de los sólidos rígidos es el momento de la fuerza. Dicho momento se puede calcular a través del producto vectorial de la fuerza por el vector de posición del centro de momentos a cualquier punto de la recta de acción de la fuerza:

M=r x F

El momento depende de la magnitud de la fuerza, de su dirección y de la posición del punto de aplicación respecto del lugar donde se considera su efecto.

c) Partimos de lo que aparece en la figura, una partícula P que recorre una circunferencia de radio A con velocidad constante ω0. En el origen de tiempos la partícula se encuentra en la posición P, siendo el ángulo inicial ϕ, de modo que en un instante t se habrá movido un ángulo θ hasta ocupar la posición Q. Puesto que el movimiento es circular y uniforme:

tt

cte 00 ω=θ⇒θ

==ω

La proyección de la posición en cualquier instante de P sobre el eje vertical será por tanto:

x=Asen(θ+ϕ) Así, nos queda:

x=Asen(ω0t+ϕ) En cuanto a la velocidad, tendremos que es tangente a la trayectoria y sentido el de avance del móvil, tal como dibujamos en el gráfico. Su módulo será:

v=ω0ρ=ω0A Y por tanto, la proyección sobre el eje vertical podemos ver que es:

( ) ( )ϕ+ωω=ϕ+ω= tcosAtcosvx o0o En cuanto a la aceleración de la partícula, por ser un movimiento circular y uniforme

(módulo de la velocidad constante), sólo tiene componente normal, en la dirección del radio de curvatura y apuntando hacia el centro de curvatura. Su módulo será:

( ) 20

20

2n A

AAvaa ω=

ω=

ρ==

Y la proyección sobre el eje vertical: ( ) ( )ϕ+ωω−=ϕ+ω−= tsenAtasenx o

20o