resolución de sistemas lineales métodos directos
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Resolución de Sistemas Lineales
Métodos directos
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Generalidades
Cbx
AC
bAx
bAx
)2
)1
estable) poco (caro, Algoritmo1
1
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Sistemas fáciles de resolver
Matrices diagonalesMatrices triangulares inferioresMatrices triangulares superiores
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Métodos Directos: Eliminación de Gauss
Triangularización
operaciones elementales
Sustitución hacia atrás
bxU
bxA
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Fase de Reducción
1443
1332
1221
3:
:
2:
48140
10120
43210
43121
81423
33241
43452
43121
fffP
fffP
fffP
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Reducción para EG
610057
57
10
21
21
23
1
45
554
59
00
57
57
10
21
21
23
1
2
812057
57
10
21
21
23
1
58120
775021
21
23
1
2
4
7212
5511421
21
23
1
27212
55114
1132
722
55114
132
33233
22133
1221
1
321
321
321
fffff
fffff
ffff
f
xxx
xxx
xxx
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Eliminación de Gauss
)()1()1()()1()1(
)()1()()1(
)()(
)()()1(
1
)(
)(
)()()()1(
)1()()(
10
0
1
0
001
,...1,
nk
nnn
nk
nnn
nk
n
kkik
ki
ki
nk
kk
k
kkk
kik
ikkkjik
kij
kij
kkk
bLLxALL
bLxAL
bxA
bmbb
m
m
L
a
amnkjiamaa
ALA
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Resolver todo por reducción
213
10672
13
12000
10030067
0010
213
0001
48140
10120
43210
43121
484
12
432
432
432
32
432
4321
x
xxx
xx
xxx
xxxx
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Pivoteo
Permutar filas (equivale a premultiplicar A por una matriz P)
fila pivote p Dividir por números
pequeños también puede amplificar los errores numéricos
Guardar un vector de permutación
1
max
0
)(
)(
)()(
)(
kpk
kik
ik
kik
nik
kpk
kkk
a
am
aa
a
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Ejemplo: necesidad de pivoteo en EG
3005
2004
0
997.1
6006
4001
0
5000
0
0
5092:500000
300520040
32001.0
60064001.00
300520040
32001.0
3
2
001.0
1000
623.4
712.3
1
3005
2004
0
1997.10
010
001
102000
011000
001
643.5072.12
623.4712.31
32001.0
23233
12
1
2
121221
fmff
VV
AMM
AM
M
fmffM
A
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Conclusión
Se hubiera obtenido lo mismo partiendo de:
pivoteo!
~
612
541
32001.0~
yx
byA
bAx
A
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Normalización (escalado)
ijnj
i
i
ad
ddiagD
DbDAx
bAx
1max
1
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Método de Gauss-Jordan
2
13
106
72
13
12000
1003006
70010
2
130001
12000
763003
21010
53001
4:
2:
2:
2020900
76300
43210
129301
48140
10120
43210
43121
2443
2332
2111
x
fffP
fffP
fffP
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Alternativas: EG – desc LU
yUx
bLy
Lyb
LybLL
ybLUx
bLUx
bAx
Resolver3)
Resolver2)
LUA Factorear1)
:Algoritmo
1
1
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Factorización LU
iu
il
nnn
n
aaa
aaa
aaa
u
uu
uuu
lll
ll
l
ii
ii
1Crout
1Doolittle
:de Métodos
libertad de grados incógnitas
ecuaciones
00
00
00
2
2
333231
232221
131211
33
2322
131211
333231
2221
11
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Ejemplo
2000
4200
6930
6422
12
3
3
2
2
1
0112
5
0012
30001
71111
17185
15363
6422
1000
2100
2310
3211
2321
0235
0033
0002
71111
17185
15363
6422
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Algoritmo de factorización LU
jsuisl
ulula
u
uu
uu
uuu
llll
lll
ll
l
sjis
ji
ssjis
n
ssjisij
nn
knkk
n
n
nnnknkn
kkkk
00
000
0
0
0
0
00
),min(
11
222
11211
11
21
2221
11
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kkik
k
sskis
k
sskisik
kk
kjkk
k
ssjks
k
ssjkskj
kk
kkkk
k
sskks
k
sskkskk
ji
ssjisij
ululula
uki
ululula
lkj
ululula
ula
1
11
1
11
1
11
),min(
1
0
0
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Método de Factorización QR
A=QR Q: ortogonal R: triangular superior
Q-1 = QT
A x = b
QR x = b
Q y = b => y = QT b
R x = y ¿Cómo efectuar la descomposición QR?
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Características de Q
Las columnas de Q forman un conjunto ortogonal de vectores
Un conjunto de vectores es ortogonal si y sólo si cada par u,v tal que uv verifica que (u,v) = 0
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CM: Encontrar la solución de:
yQRx
yQRRxR
yQRQRxQR
yQRxQRQR
yAAxA
yAx
T
TTT
TTTT
TT
TT
)()()(
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Calculo de inversas
1-
22
11
2121
1
AIIA
:práctican Disposició
nn
nn
eAx
eAx
eAx
eeexxxA
AXIAX
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Sistemas lineales especiales
1000
7100
6510
4321
4000
0300
0020
0001
1764
0153
0012
0001
4000
21300
121020
4321
1764
0153
0012
0001
23993204
9362163
201662
4321
TLDLA
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Factorización de Choleski
TT
M
T MMLDLDLDLA 2
1
2
1
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Factorización de Choleski
Esto es posible siempre que A sea: Simétrica Definida positivaEs decir:
00
xAxx
AAT
T
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Teorema: factorización de Choleski
0con inferior r triangulaMcon MMA Además,
0con Dy
diagonal laen unoscon inferior r triangulaes L donde LDLAen
pivoteosin EG usando afactorizadser puedeA Entonces
positiva. definiday simétrica Sea
T
T
ii
iiii
nxn
m
dd
A
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Cálculo de los elementos de M
! 0 exige
0
00
000
cálculo deOrden
00
000
00
2122222
222
21222
11
111111
11
1212121112
11111121111
222
11211
21
2212
11
mammma
ma
mmma
ma
mmma
aamma
m
mm
mmm
mmm
mm
m
MMA
nnnn
nn
n
n
nnnn
T
![Page 28: Resolución de Sistemas Lineales Métodos directos](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062222/5665b4d11a28abb57c93f759/html5/thumbnails/28.jpg)
Evaluación de determinantes
Teorema: sobre cómo afectan al determinante las operaciones elementales entre filas
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Teorema
det(A))Adet(
A de cualquiera fila otra aA de fila una de múltiploun a
adicionar de resulta que matriz la es A Si a)
det(A)-)Adet(
A de filas dos
ar intercambi de resulta que matriz la es A Si b)
det(A)k)Adet(
k constante lapor A de fila una
r multiplica de resulta que matriz la es A Si a)
A Sea mxn
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Ejemplo
165)det(
100
510
321
)55(3
5500
510
321
310
5100
510
321
32
162
510
321
3
162
510
963
162
963
510
)det(
162
963
510
1
233
133
A
fff
fff
A
A
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Observar:
0
8411
5193
0000
4231
)det(
2
8411
5193
8462
4231
122
A
fff
A
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Lectura obligatoria
Gerald págs 104-144