Presentacin de una novedad

Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas

Mtodos de resolucin de sistemas

Indicaremos en qu consiste resolver un sistema ecuaciones.Nos dedicaremos en la presentacin a los de dos ecuaciones con dos incgnitas.

Mtodos de resolucin de sistemas

Igualacin

Sustitucin

Reduccin

Les indicaremos brevemente los tres mtodos algebraicos para resolver los sistemas que trataremos.Cuando desarrollemos cada uno describiremos mejor los pasos.Les recordaremos que, como todo en Matemticas, se aprende practicando.

Mtodo de Sustitucin

El mtodo de sustitucin consiste en despejar una incgnita en una ecuacin y sustituirla en la otra

Les indicaremos que deben elegir la incgnita que sea ms fcil de despejar.

Mtodo de Sustitucin

Ejemplo: 3X- 2Y=1X+ 4Y=19

Recordaremos que debemos encontrar dos nmeros, uno para X y otro para Y que al sustituirlos en las ecuaciones se verifique la igualdadLes indicaremos que deben elegir la incgnita que sea ms fcil de despejar.

Mtodo de Sustitucin

Despejamos X en la segunda ecuacin:

3X- 2Y=1X+ 4Y=19 X=19 - 4Y

Recordaremos que debemos encontrar dos nmeros, uno para X y otro para Y que al sustituirlos en las ecuaciones se verifique la igualdadLes indicaremos que deben elegir la incgnita que sea ms fcil de despejar.

Mtodo de Sustitucin

3X- 2Y =1X+ 4Y=19Sustituimos X=19 4Y en la primera ecuacin:3(19 4Y) 2Y =1

Quitamos parntesis:57 12Y 2Y=1

Recordaremos que debemos encontrar dos nmeros, uno para X y otro para Y que al sustituirlos en las ecuaciones se verifique la igualdadLes indicaremos que deben elegir la incgnita que sea ms fcil de despejar.

Mtodo de Sustitucin

3X- 2Y =1X+ 4Y=19Resolvemos la ecuacin:57 12Y 2Y=1 14Y= 56Y=( 56)/( 14) = 4

Recordaremos que debemos encontrar dos nmeros, uno para X y otro para Y que al sustituirlos en las ecuaciones se verifique la igualdadLes indicaremos que deben elegir la incgnita que sea ms fcil de despejar.

Mtodo de Sustitucin

3X- 2Y =1X+ 4Y=19Sustituimos Y= 4 en la segunda ecuacin:X+4 4 =19

Despejamos X:X=19 16 = 3

Recordaremos que sustituimos el valor de y =4 en una ecuacin para calcular la x. Tomamos la ecuacin ms sencilla.

Mtodo de Sustitucin

3X- 2Y =1X+ 4Y=19

Por tanto la solucin del sistema es:

X=3 ; Y=4

Ahora sera conveniente que comprobaran que efectivamente esos valores de X y de Y verifican las dos ecuaciones.

Mtodo de Igualacin

El mtodo de igualacin consiste en despejar la misma incgnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.

Hay que incidir en que se debe despejar la incgnita que sea ms sencilla de despejar.Debemos explicar mejor el mtodo aclarando que despus se resuelve la ecuacin y, con el valor de la incgnita obtenido, se sustituye en cualquiera de las la ecuaciones del sistema, la ms sencilla, de nuevo, y se calcula el valor de la otra incgnita.

Mtodo de Igualacin

Ejemplo:X Y = 2X + 2Y = 17

Recordaremos que la incgnita ms sencilla de despejar en las dos ecuaciones es la X

Mtodo de Igualacin

Despejamos X en las dos ecuaciones:X Y = 2 X=Y+2X + 2Y = 17 X=17 2Y

Recordaremos que la incgnita ms sencilla de despejar en las dos ecuaciones es la X

Mtodo de Igualacin

Igualamos las expresiones obtenidas:

Y+2 = 17 2Y Resolvemos la ecuacin:3Y=15Y=15/3=5Luego Y =5

Recordaremos que la incgnita ms sencilla de despejar en las dos ecuaciones es la X

Mtodo de Igualacin

Sustituimos Y por su valor, 5, en cualquiera de las ecuaciones del sistema:X 5 = 2

Luego X = 5+2 = 7

Recordaremos que la ecuacin ms sencilla es la primera.

Mtodo de Igualacin

Luego la solucin del sistema:X Y = 2X + 2Y = 17

Es:

X = 7 ; Y= 5

Sera conveniente que los alumnos comprobaran que realmente satisfacen la dos ecuaciones los valores de X e Y encontrados.

Mtodo de Reduccin

Consiste en:

Multiplicar o dividir a cada ecuacin por un nmero adecuado para conseguir que una de las incgnitas tenga signos opuestos en las dos ecuaciones.

Sumar las dos ecuaciones para obtener una ecuacin con una sola incgnita.

Se explicar mas detalladamente en qu consiste el mtodo, sobre todo con el ejemplo que se propone a continuacin.

Mtodo de Reduccin

Ejemplo:2 X + Y = 83X + 2Y = 13

Aqu avisamos que lo mejor es conseguir que la y tenga los coeficientes opuestos.

Mtodo de Reduccin

Multiplicamos por -2 a la primera ecuacin 2 X + Y = 8 - 4X - 2Y = -16 3X + 2Y = 13 3X+2Y = 13

Multiplicando por -2 en la primera conseguimos coeficientes opuestos.

Mtodo de Reduccin

Sumamos las ecuaciones-4 X -2Y = -16

3X + 2Y = 13

-X = -3 X = 3

Multiplicando por -2 en la primera conseguimos coeficientes opuestos.

Mtodo de Reduccin

Sustituimos el valor de X=3 en la primera ecuacin :2X +Y =8 23+Y=8

3X + 2Y = 13 Y = 8 - 6 =2 La solucin del sistema:

X = 3 Y=2

Sustituimos el valor de X y conseguimos el valor de Y