resolucion de problemas-una estrategia metodologica innovadora para ensenar matematicas
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Resolución de problemas: Una estrategia metodológica innovadora para enseñar Matemáticas
Johan Espinoza González Universidad Nacional
Pérez Zeledón Costa Rica
Marianela Zumbado Castro Liceo Noc. Alfredo González Flores
Heredia Costa Rica
Jonathan Espinoza González Universidad Nacional
Pérez Zeledón Costa Rica
Palabras claves Resolución de problemas, situación didáctica, enseñanza de las Matemáticas
1. Resolución de Problemas y sus antecedentes
En busca de una adecuada orientación pedagógica para lograr el aprendizaje de las Matemáticas y su mejor
utilización dentro de un sistema educativo, se han realizado diversos intentos para desarrollar la Enseñanza de las
Matemáticas por medio de la resolución de problemas. Lo que se pretende es lograr un equilibrio entre distintos
niveles de complejidad de los ejercicios, con el propósito persistente de fortalecer y trabajar aquellos problemas y
ejercicios que se escapan de lo rutinario.
Esta estrategia se ha convertido, desde hace algunas décadas, en una importante contribución a la Educación
Matemática en muchas partes del mundo. Puede considerarse como pionera la obra de Pólya, escrita en los años
40 del siglo XX, pero traducida a otras lenguas hasta los años 60 y 70. Su trabajo How to solve it dio un impulso
significativo y constituye una referencia obligatoria para todos los autores que, con posterioridad se han dedicado
al estudio del tema. Más tarde, Pólya publicó dos obras importantes: Mathematical and Plausible Reasoning
(1954) y Mathematical Discovery (1965). Luego, en los años 70 y 80 del siglo XX, se realizaron muchas
investigaciones en este campo, donde destacan autores como Kilpatrick, Lester, Goulding, Glasier, Schoenfeld y
otros.
Schoenfeld (1985) estudió y criticó el método heurístico de Pólya, perfeccionándolo en buena medida, al derivar
subestrategias más asequibles al trabajo con los estudiantes, centrando el interés en los elementos que intervienen
en la resolución de problemas como los contenidos, las estrategias, el saber cómo y cuándo utilizarlas, las
creencias que el estudiante tenga sobre las Matemáticas, sobre sí mismos, entre otras.
Stanic y Kilpatrick (1988) señalan que desde la antigüedad, los problemas han tenido su lugar de privilegio dentro
del currículo matemático. Sin embargo, existe una confusión sobre lo que se entiende por resolución de
problemas, ya que su auge es reciente. Según estos autores, la utilización de los términos “problema” y
“resolución de problemas” ha tenido múltiples y contradictorios significados a través de los años.
Lester (1994) citado por Margaret Taplin (2007), indica que lo más importante en la enseñanza de temas
matemáticos a través de la resolución de problemas, es que éstos sean contextualizados y orientados. Además,
debe caracterizarse porque el profesor ayude al estudiante a construir un profundo entendimiento de las ideas
matemáticas y procesos, para que los estudiantes se ocupen de hacer matemáticas, esto es, crear, conjeturar,
explorar, evaluar y verificar.
En 1980, la IV reunión internacional de la Comisión Internacional de Instrucción Matemática (ICMI) tuvo un
grupo de trabajo sobre la resolución de problemas; a partir de ese momento, este tema ha sido central en la
Educación Matemática internacional. El ICMI, ha seguido proponiendo el tema en los años posteriores.
En los años 90 la resolución de problemas ha pasado ha ser tema central de debate en congresos, simposios y
reuniones entre educadores matemáticos; continuamente aparece en artículos, memorias y libros relacionados con
el tema; es el motivo de un trabajo sistemático para la puesta en marcha y desarrollo de proyectos y centros de
investigación en muchos países.
En las universidades de Granada, Valencia y Barcelona en España, se han desarrollado numerosos trabajos de
investigación sobre el tema, destacándose los trabajos de los profesores e investigadores Luis Rico y Joseph
Gascón, entre otros. En México, surgieron muchas publicaciones en revistas como Educación Matemática,
donde resalta el aporte del Dr. Santos Trigo. En Cuba también se han realizado investigaciones importantes sobre
el tema distinguiéndose el grupo de investigación “BETA”, dirigido por la Dra. Herminia Hernández.
2. Resolución de Problemas en Costa Rica
Nuestro país no ha estado ajeno a los cambios producidos en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
Matemáticas mediante la resolución de problemas. En la antigua Escuela Normal Superior, Moya (1972) presenta
su trabajo de investigación en Resolución de problemas aritméticos en tercer año de secundaria. Esta
investigación tiene más de 30 años de desarrollada en el país, sin embargo, fue un intento aislado para
implementar esta estrategia metodológica y no tuvo mayor proyección.
Otro intento por producir resultados sobre esta línea, fue realizado en la Universidad de Costa Rica (UCR) por
Buján (1983) en su trabajó Resolución de Problemas de Matemáticas en la Educación Primaria. En él, propuso
“problemas típicos de libros de texto” y “problemas proceso” (como los definió el autor) con el objetivo de
alcanzar diversos niveles de conocimiento; ambos tipos de problemas son complementarios. Además, enfoca la
estrategia de resolución de problemas en Pólya 1957, 1980; LeBlanc 1977, 1980.
En el 2001, se inició el proyecto de investigación titulado Apoyo a la Investigación en la Escuela de
Matemáticas, (AIEM) en la Universidad Nacional (UNA), el cual ha producido investigaciones sobre Resolución
de problemas en la Enseñanza de las Matemáticas. En el 2006, el AIEM organizó un seminario de investigación
titulado Conceptos teóricos de la resolución de problemas y la escuela francesa de Didáctica de las Matemáticas.
(CIMM, 2007)
También en el 2006, se realizó el “Primer Encuentro de la Enseñanza de las Matemáticas” promovido por la
Universidad Estatal a Distancia (UNED), la cual dentro de sus ponencias presentaba la resolución de problemas
como una temática a tratar. (UNED, 2007)
En el vigésimo segundo “Simposio Costarricense de Matemáticas, Ciencias y Sociedad, efectuado en el Campus
Omar Dengo (U.N.A) en noviembre del 2007, se impartió un taller sobre el planeamiento de una clase mediante la
resolución de problemas. Además, en el material digital proporcionado se incluyen al menos doce artículos sobre
la resolución de problemas.
En los años 2006 y 2007, el AIEM, apoyó un proyecto interinstitucional de investigación en resolución de
problemas en la Educación Matemática, cuyo objetivo general era desarrollar investigación en el tema y capacitar
profesores en servicio sobre los principales aspectos teóricos. Los objetivos específicos de esta investigación
fueron el gestionar y realizar conferencias y talleres de divulgación sobre la resolución de problemas en la
Educación Matemática y producir material didáctico y de investigación en el campo de la resolución de problemas
en la enseñanza de las Matemáticas. (CIMM, 2007)
Lo anterior pone de manifiesto que la resolución de problemas matemáticos se encuentra presente en el currículo
de la Educación Matemática costarricense, esto reflejado en los programas de estudios vigentes, en los textos
producidos, en las actividades académicas y en los proyectos de investigación de las universidades.
3. Elementos teóricos sobre resolución de problemas
A continuación se presentarán las principales ideas de la Escuela Francesa sobre los fundamentos de la Didáctica
de las Matemáticas, destacando la posición de Guy Brousseau e Yves Chevallard, acerca de los protagonistas en
el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas: el alumno, el docente y el conocimiento. Se realizará
una descripción del rol del alumno, el docente y el conocimiento; además, se considerarán los comportamientos
cognoscitivos del estudiante, las situaciones para enseñarles, la comunicación del saber y los fenómenos
generados por esta comunicación.
También se expondrán varias definiciones y apreciaciones de autores como Pólya, Schoenfeld, Krulik, Rudnik,
Stanic, Kilpatrick, Mancera y Santos sobre la definición de “problema” y lo que se entiende por “resolución de
problemas”.
Además, se mencionará la metodología empleada por Pólya para la resolución de problemas y la importancia de
lo que él denomina el razonamiento plausible en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas.
Luego, se describirá el trabajo de Alan Schoenfeld, quien critica la metodología expuesta por Pólya, y propone
nuevos elementos que deben considerarse para el desarrollo de habilidades matemáticas en el estudiante.
Igualmente, se expondrá el trabajo realizado por Eduardo Mancera y Luz Manuel Santos en resolución de
problemas, dos mexicanos que han trabajado en promover esta estrategia dentro del sistema educativo y que
ofrecen en sus obras, un apoyo para los docentes que quieran iniciar un cambio en el currículum.
Finalmente, se exponen algunas experiencias que se han realizado para la enseñanza de las Matemáticas por
medio de la resolución de problemas y otras formas que se escapan de lo magistral, que permitan dar un panorama
de las investigaciones recientes realizadas en este campo.
3.1 Fundamentos y métodos de la Didáctica de las Matemáticas según la Escuela Francesa
3.1.1 Objetos de estudio en Didáctica de las Matemáticas
Existen cuatro objetos de estudio en Didáctica de las Matemáticas: el saber matemático y la transposición
didáctica, el trabajo del matemático, el trabajo del alumno y por último, el papel del profesor.
a.1 El saber matemático
Para Brousseau (1986), el saber sabio o saber matemático es aquel conocimiento que ha sido presentado por la
comunidad científico-matemática, el cual sufre una serie de cambios didácticos que lo convierten en un saber a
enseñar.
Según Chevallard (1991) se da la existencia de tres objetos de saberes:
• Las nociones matemáticas: Son objetos de saber, candidatos a ser objetos de enseñanza.
• Las nociones paramatemáticas: Son objetos de saberes auxiliares que no constituyen objetos de
enseñanza en un momento dado, sino que juegan el papel de herramientas en la enseñanza de algún
concepto de interés.
• Las nociones protomatemáticas: Son las habilidades presentes en el aprendizaje de las Matemáticas
tales como la capacidad lógica de reconocimiento y el descubrimiento de patrones y similitudes.
a.2 La transposición didáctica
Todo saber que ha sido designado como contenido a enseñar, sufre ciertas transformaciones que lo adaptan para
ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza y llegar a ser un saber enseñado. Esta transformación que sufre el
saber, es lo que Chevallard (1991) denomina transposición didáctica.
Para el didacta de las Matemáticas, la transposición didáctica se centra en las interacciones que se realizan entre el
docente, los alumnos y un “saber matemático”. Este tercer elemento, que no ha sido tomado en cuenta por algunas
corrientes filosóficas de enseñanza como el constructivismo, se diferencia del “saber a enseñar” en el sentido que
hay una distancia entre ellos y es la transposición didáctica el elemento que los une.
Para el docente, el reconocimiento de la transposición didáctica inicia cuando se da cuenta que para poder enseñar
un determinado contenido es necesario que éste sufra una transformación que lo haga apto para la enseñanza. En
este sentido se afirma que: “El saber-tal-como-es-enseñado, el saber enseñado, es necesariamente distinto del
saber-inicialmente-designado-como-el-que-debe-ser-enseñado, el saber a enseñar” (Chevallard, 1991, p.16); sin
embargo, debe existir una relación entre saber enseñado y el saber a enseñar.
Según Chevallard (1991), en algunas ocasiones, el efecto de la transposición didáctica produce situaciones en las
que se genera una verdadera sustitución didáctica de objetos. Esto significa que se sustituye el objeto de
enseñanza por el objeto de saber y en otros casos se crean objetos didácticos, como, por ejemplo, el caso de la
teoría de conjuntos en donde surgen los diagramas de Venn, los cuales se transforman en un objeto de enseñanza
que no corresponde a ningún objeto del saber matemático.
En función de lo anterior, se debe estar en constante vigilancia para que el objeto de estudio no sea sustituido por
una creación didáctica. Esto es denominado por Chevallard (1991), como el principio de “vigilancia
epistemológica”, que debe efectuar el didacta. Se considera que este proceso es importante para garantizar una
enseñanza en la cual los conceptos presentados al estudiante sean pertinentes.
b. El trabajo del matemático
Según Brousseau (1986) el trabajo del matemático consiste en investigar las teorías matemáticas para construir el
saber sabio. Esta tarea no es fácil de hacer, ya que dentro de todos los resultados y conclusiones a las que puede
llegar, se enfrenta a la decisión de determinar los descubrimientos que son idóneos para presentar, es decir, cuáles
se convierten en un saber matemático nuevo e interesante para los demás.
Según este autor, la teoría encontrada por el investigador matemático debe ser presentada de forma general, en la
que los resultados siguen siendo verdaderos, sin precisar los procedimientos erráticos, conclusiones y errores
cometidos durante el proceso de investigación, produciendo una despersonalización, descontextualización y
destemporalización del saber encontrado.
c. El trabajo del estudiante
El trabajo intelectual del alumno es muy importante dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje. Para Brousseau
(1986), éste no debe basarse en solo aprender definiciones y teoremas para reconocer su aplicación a ciertos
ejercicios.
Este autor señala que su papel debe ser semejante al realizado por el investigador dentro de una comunidad
científica: éste debe descubrir los resultados por sí mismo mediante la elaboración de conjeturas y construcción de
lenguajes y modelos, llevar a cabo un proceso de comprobación y refutación, y luego intercambiarlos con otros.
d. El trabajo del profesor
El papel del docente es esencial dentro del proceso de enseñanza, ya que éste guía al estudiante hacia la
aprehensión del conocimiento; además, conoce el saber a enseñar antes de ser presentado al alumno.
Para Chevallard (1991), el papel que juega el docente en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las
Matemáticas es tan importante como el del matemático y el alumno. Su trabajo debe asemejarse al realizado por el
investigador matemático, dado que éste debe propiciar los medios adecuados para que los estudiantes logren
recontextualizar y redespersonalizar el saber.
Además, debe promover que en su lección los estudiantes conformen algo semejante a una sociedad científica, en
donde descubran el conocimiento mediante las situaciones-problemas planteadas con este fin. De esta manera, se
logra que los conceptos tengan sentido para ellos. Lo anterior lo apunta claramente Brousseau (1986) cuando
afirma que: “El profesor debe pues simular en su clase una micro sociedad científica, si quiere que los
conocimientos sean medios económicos para plantear buenos problemas y para solucionar debates, simulación
que por supuesto no es la verdadera actividad científica” (p. 4).
2.2 Fenómenos de Didáctica
En algunas ocasiones, la presión del docente por desarrollar los programas de estudios y la necesidad de que la
mayoría de los estudiantes se apropien de un conocimiento, provoca lo que Brousseau (1986) denomina
“fenómenos de la didáctica matemática”, los cuales están ligados a la transposición didáctica y pueden influir de
una u otra manera en la adecuada ejecución de las actividades propias de la enseñanza. Este autor ha puesto en
evidencia, en contextos diferentes, algunos de estos fenómenos, que rigen la intimidad de una lección particular.
Entre ellos se encentran el Efecto Topaze, el efecto Jourdain, el deslizamiento metacognitivo, el uso abusivo de la
analogía, el envejecimiento de las situaciones de enseñanza
2.3 Situación didáctica y situación a-didáctica
En las situaciones didácticas, el estudiante obtiene el conocimiento participando en un “juego” que el profesor
plantea y lleva a cabo con el desarrollo de situaciones de aprendizaje (problemas) que el estudiante resuelve y en
las cuales debe emerger el conocimiento que se quiere enseñar. Además, el juego se ve envuelto en una serie de
reglas que los actores deben cumplir.
La concepción moderna de la enseñanza requiere que el docente le plantee problemas al estudiante que le
permitan mediante la utilización de conocimientos previos y habilidades, reflexionar en la búsqueda de la
respuesta correcta. Lo más importante es que el estudiante haga uso del conocimiento que debe adquirir para
resolver el problema. Si esto no ocurre, una posibilidad es que el problema esté mal planteado.
Durante este proceso no se evidencia explícitamente una intención didáctica por parte del profesor; sin embargo,
el alumno sabe que el problema ha sido propuesto con el fin de adquirir un nuevo conocimiento y que es capaz de
resolverlo por sí mismo, sin ayuda del docente.
En este sentido, Brousseau (1986) afirma que:
No solo puede sino, que también debe (resolverlo), pues solo habrá adquirido verdaderamente este
conocimiento cuando él mismo sea capaz de ponerlo en acción, en situaciones que encontrará fuera de
todo contexto de enseñanza y en ausencia de cualquier indicación intencional. (Brousseau, 1986, p.14).
Esta característica de resolver el problema fuera del contexto de enseñanza, en ausencia de indicaciones
intencionales y sin ninguna intención de enseñar, es precisamente lo que hace que la situación sea llamada
una situación a-didáctica.
Por otra parte, la situación a-didáctica forma parte de una situación más general llamada situación didáctica.
Cuando aparecen elementos didácticos, es decir, en el momento en que se hace explícita la intención de enseñar,
se pasa de una fase a-didáctica a una didáctica.
El estudiante se encuentra en fase a-didáctica, cuando el docente le plantea un problema y éste sabe que debe
aprender algo, aunque no tenga la certeza de lo que es, en este momento el estudiante debe sentir que le hace falta
un conocimiento para resolverlo, de ahí la importancia de escoger un buen problema. Inicialmente, el estudiante
no distingue en cual de las dos situaciones se encuentra.
Como se ha mencionado, se debe enfocar la enseñanza como un juego en el que actúan tres sujetos: saber-alumno-
profesor, donde la estrategia ganadora es el conocimiento, pero como en todo juego existe una serie de reglas
implícitas que lo rigen, las cuales pueden cambiar a lo largo del mismo. Es importante que los actores del juego
(profesor y estudiante) cumplan a cabalidad dichas normas para un buen funcionamiento de la situación didáctica.
A este conjunto de reglas Brousseau (1986) le denomina contrato didáctico.
2.4. Resolución de problemas
Tradicionalmente existen concepciones erróneas sobre lo que significa resolver un problema. La mayor parte de
las veces el alumno piensa que resolver un problema es equivalente a resolver ejercicios ya discutidos en clase,
empleando los algoritmos y explicaciones brindadas por el profesor.
Resolver un problema implica otro tipo de actividad mental de mayor exigencia, que debe estar orientada hacia
una mayor participación del alumno en la búsqueda de la solución. Para ello, el profesor debe elaborar problemas
interesantes y adecuados al conocimiento del estudiante, que le permitan desarrollar aptitudes y facultades
inventivas, que no quiten la responsabilidad que debe sentir el alumno por resolverlo y disfrutar la satisfacción
que genera el encontrar, por sus propios medios, la respuesta.
Schoenfeld (1985) define la resolución de problemas como: “el uso de problemas o proyectos difíciles por medio
de los cuales los alumnos aprenden a pensar matemáticamente.” Entendido el término “difícil” como una
situación en la que el estudiante desconoce un algoritmo que lo lleve inmediatamente a la solución, por lo cual el
éxito depende de los conocimientos y habilidades que éste tenga.
La resolución de problemas, según Santos (2007), se debe considerar como una forma de pensar, donde el
estudiante continuamente tiene que desarrollar diversas habilidades y utilizar diferentes estrategias en su
aprendizaje de las Matemáticas. Al respecto indica: “El término problema se vincula no solamente a situaciones
específicas rutinarias o no rutinarias, donde el estudiante intenta encontrar la solución, sino también incluye tener
que aprender algún concepto matemático”. (Santos, 2007, p.11)
Stanic y Kilpatrick (1988), plantean el uso de la resolución de problemas como vía para enseñar Matemáticas y
puede darse en tres direcciones: como contexto, como una habilidad que se debe enseñar en el currículo, como el
medio para “hacer matemática”. Esta última visión es la que se está imponiendo entre los investigadores actuales
en Educación Matemática.
Respecto al concepto de problema matemático, Krulik y Rudnik (1980) coinciden con Pólya al considerar que es
una situación a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución pero que el medio para hallarla
no es obvio. Para Brousseau (1986) un problema es una situación que el profesor propone al alumno para hacerle
adquirir un conocimiento nuevo. Para Mancera, “Un problema es conceptualizado como una situación que nos
hace pensar, así de simple”. (Mancera, 2000, p.16).
2.5 El trabajo de Pólya en resolución de problemas
La posición de Pólya respecto al papel de la resolución de problemas en la Enseñanza de las Matemáticas se
resume en la siguiente declaración que aparece en The goals of mathematical education in Mathematics Teaching,
Pólya (2002):
Mi punto de vista es que la parte más importante de la forma de pensar que se desarrolla en matemáticas
es la correcta actitud en la manera de acometer y tratar los problemas. Tenemos problemas en la vida
diaria, en las ciencias, en la política; tenemos problemas por doquier. La actitud correcta en la forma de
pensar puede ser ligeramente diferente de un dominio a otro, pero sólo tenemos una cabeza y, por lo tanto,
es natural que en definitiva haya solo un método de acometer toda clase de problemas. Mi opinión
personal es que lo central en la enseñanza de las matemáticas es desarrollar tácticas de resolución de
problemas. (Pólya, 2002, p. 181)
La obra, How To Solve It , propone cuatro pasos necesarios para resolver un problema: Comprender el problema,
concebir un plan, ejecución del plan, examinar la solución obtenida
Este mismo autor indica que la intuición hace que intentemos por varias vías llegar a la solución, haciendo
modificaciones en el camino y es por medio de la observación y el buen uso de la analogía que podemos llegar a
una intuición más satisfactoria.
Para Pólya (1966), la importancia del razonamiento plausible en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las
Matemáticas, radica en que de él depende la capacidad creadora del estudiante, por lo que juega un papel
fundamental en la resolución de problemas.
2.6 El trabajo de Alan Schoenfeld en resolución de problemas
Para Barrantes (2006), a pesar de que las ideas de Pólya sobre la resolución de problemas son muy interesantes y
de gran provecho para la implementación de esta estrategia como medio de crear conocimiento matemático y sus
posibilidades en el aprendizaje de esta disciplina, su trabajo fue una síntesis de ideas que él tenía, pensamientos
que sistematizó, pero no realizó investigación de campo con estudiantes propiamente.
Schoenfeld realizó experiencias con estudiantes y profesores en las que les proponía problemas a resolver
siguiendo las ideas de Pólya, llegando a la conclusión de que hay que tomar en cuenta situaciones más allá de las
puras heurísticas, pues de lo contrario no funciona, Santos (1992)
La crítica que hace Schoenfeld (1985) al trabajo de Pólya radica en que según las heurísticas tal como las propone
Pólya son muy generales por lo que tienen definiciones tan amplias que son demasiado vagas como para ser
implementadas; pues, por ejemplo, no en todo problema se puede dar como heurística hacer dibujos, como lo
indica Pólya. El éxito de las heurísticas para Schoenfeld (1985) está en conocerlas, saber cómo usarlas y tener la
habilidad para hacerlo, pero esto es sólo uno de los aspectos a considerar en la resolución de problemas.
En dichos estudios Schoenfeld (1985) propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la
complejidad del comportamiento en la resolución de problemas citados a continuación.
a. Recursos
Schoenfeld (1985), se refiere a los recursos como los conocimientos previos que posee el individuo: conceptos,
fórmulas, algoritmos, intuiciones, en general, todas las nociones que considere necesario saber para enfrentarse a
un determinado problema.
b. Heurísticas
Las heurísticas para Schoenfeld (1985) son las estrategias y técnicas que permiten progresar en la solución de un
problema no familiar (no estándar), reglas de manejo para resolver problemas de forma efectiva: dibujo de
figuras, introducción de notación apropiada, exploración de problemas relacionados, reformulación de problemas,
trabajo hacia atrás, examen y verificación de procedimientos.
c. Control
El control según Schoenfeld (1985), son decisiones que permiten un uso eficiente de los recursos y estrategias
disponibles, es decir, cuales son pertinentes en la solución del problema tratado.
d. Sistema de creencias
El sistema de creencias según Schoenfeld (1985) es nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de las
Matemáticas y como trabajar en ella. Las creencias sobre las Matemáticas inciden notablemente en la forma en
que los estudiantes y profesores abordan la resolución de problemas.
2.6. El trabajo de Eduardo Mancera en resolución de problemas
La propuesta didáctica de Mancera (2000) es utilizar los problemas matemáticos al inicio, antes de abordar la
teoría y no al final como tradicionalmente se hace, esto para estimular el pensamiento del estudiante y que pueda
responderse la pregunta: ¿para qué me sirven las Matemáticas? Al respecto Mancera indica: “Si a los estudiantes
se les presentan problemas después de que se les ha informado sobre los procedimientos que se pueden emplear
para resolverlos, se convierten en ejercicios rutinarios”. (Mancera, 2000, p.17)
El punto inicial de esta propuesta es comenzar las clases con problemas de aplicación matemática y con un nivel
de dificultad adecuado; es decir, situaciones que puedan interesar a la mayoría. (Mancera, 2000)
El profesor Mancera señala que al iniciar con un problema, el estudiante no conoce los contenidos que tiene que
usar para resolverlo, por lo que debe poner en juego sus habilidades y conocimientos previos, para poder generar
una discusión. También resalta la importancia de que el docente esté preparado para las posibles soluciones que
el estudiante pueda proporcionar. (Mancera, 2000)
Mancera (2000) llevó a cabo una experiencia con docentes y estudiantes de primer grado de secundaria y obtuvo
que los estudiantes exploran caminos más intuitivos que los docentes. Al respecto el autor apunta: “Esta manera
de intuir, esos recursos que tal vez se han perdido por haber avanzado en el estudio de temas superiores es el
principal asunto que podemos aprender de los estudiantes”. (Mancera, 2000, p.70). Otro resultado, fue que los
docentes tardaron más tiempo que los estudiantes en desarrollar la actividad, lo que se explica entre otras cosas,
por la resistencia por parte de los profesores a opinar de manera abierta o equivocarse, lo cual refleja que tienen
una concepción más rígida sobre el trabajo en la resolución de problemas que los estudiantes.
2.7 El trabajo de Luz Manuel Santos Trigo en resolución de problemas
Santos (2007) hace un aporte para la implementación de la resolución de problemas en la enseñanza de las
Matemáticas por medio de su libro La resolución de problemas matemáticos: fundamentos cognitivos, en el cual
indica que la actividad matemática se debe conceptualizar desde una perspectiva dinámica, que permita
desarrollar y promover una disposición matemática en los estudiantes. Este autor mencionó que aprender
Matemáticas no se reduce a un conjunto de reglas que pueden aplicarse en la resolución de problemas. La
propuesta de la resolución de problemas para el aprendizaje y enseñanza de esta disciplina se presenta como una
alternativa que permita al estudiante desarrollar o reconstruir las ideas matemáticas en el salón de clases.
Bajo esta visión, Santos (2007) indica que el estudiante deberá discutir ideas alrededor del entendimiento del
problema planteado, usar representaciones, estrategias cognitivas y metacognitivas, habilidades, recursos y al
mismo tiempo, deberá ser capaz de implementar estas herramientas en diversas situaciones similares. Al trabajar
con problemas, no solamente es importante que el estudiante conozca estrategias, sino que sepa identificar en qué
momento utilizarlas.
Por otra parte, establece que bajo el enfoque de resolución de problemas, se debe propiciar en el salón de clases
actividades consistentes con las que los matemáticos o profesores de Matemáticas realizan. Indica que para
implementar esta propuesta pedagógica, es necesario hacer un análisis de cómo resuelven las personas problemas
matemáticos. Para ello, se debe recurrir a diversos métodos de recolección de información y basarse en modelos
que permitan identificar categorías, las cuales expliquen el comportamiento de los individuos al resolver
problemas. En este sentido, el autor expone los elementos considerados por Pólya y por Schoenfeld, los cuales ya
se abordaron en este marco teórico.
Para Santos (2007), los docentes cuestionan la viabilidad de la propuesta de resolución de problemas, entre otros
factores, por la extensión de los programas y la cantidad de estudiantes en el salón de clases. Ante esta posición,
recomienda que los docentes inicien la propuesta ayudando a sus estudiantes a ser autónomos en su aprendizaje de
las Matemáticas, creando un ambiente, donde éstos puedan desarrollar naturalmente estrategias para leer,
conceptualizar y escribir argumentos matemáticos. Además, sugiere no cubrir amplios contenidos de los
programas, sino, concentrarse en algunos básicos.
Finalmente, Santos (2007) expone una serie de problemas como un apoyo para el docente que quiera iniciar esta
estrategia en su salón de clase, ya que sirven para generar discusión de aspectos relacionados con contenidos
matemáticos, estrategias de solución, representaciones, análisis de información y viabilidad de la solución o
soluciones.
3. Resultados de investigaciones en resolución de problemas
En esta sección se describen los principales resultados de algunas experiencias realizadas por diferentes
investigadores en materia de resolución de problemas, en países como Japón, España, Estados Unidos, entre otros,
con el fin de tener un punto de referencia sobre algunos trabajos recientes en esta temática.
De acuerdo con estas experiencias, una estrategia basada en resolución de problemas genera en los estudiantes una
mayor motivación e interés. Esto se vio reflejado en el trabajo de Sasaki (2005) Condición necesaria y condición
suficiente, donde el autor rescata que los estudiantes encontraron gran placer con la realización de estas
actividades; el propósito de la actividad era ayudar a los estudiantes en el aprendizaje de proposiciones y sobre
cómo determinar su valor de verdad.
Además, se rescata que la participación de los estudiantes fue más activa. En la propuesta de Aoyagi (2005)
Nuevas operaciones, el estudiante debía encontrar la mayor cantidad de nuevas operaciones posibles utilizando
las cuatro operaciones básicas. El autor destaca que la discusión grupal durante la misma fue muy activa y que los
estudiantes presentaron más respuestas de las esperadas.
Otros resultados apuntan a la dificultad que manifiestan los estudiantes cuando enfrentan actividades de esta
naturaleza. En la propuesta Construcción de las rectas notables en un triángulo recopilada por Herbst (2006), se
observó que el cambio al nuevo esquema fue difícil debido a que los alumnos están muy acostumbrados al trabajo
tradicional, axiomático y estructurado. En dicha experiencia, los estudiantes construyeron con regla y compás las
rectas notables en un triángulo para conjeturar con respecto a las áreas determinadas por ellas.
Según J. Espinoza, J. Espinoza, M. González, I. Ramírez, M. Zumbado (2008), en su trabajo “La resolución de
problemas en la Enseñanza de las Matemáticas: Una experiencia con la función exponencial, polígonos y
Estadística” la resolución de problemas permite a los estudiantes adquirir nuevos conocimientos, promueve la
partición activa de los estudiantes, contribuye a mantener su motivación y en consecuencia un mejor ambiente en
el salón de clase.
Estos autores también afirman que esta metodología propicia la aplicación de nociones protomatemáticas,
paramatemáticas y las heurísticas que no han sido estimuladas dentro del sistema educativo costarricense. Por
último, recomiendan que para aplicar una estrategia metodológica de este tipo, el docente debe exponerse a un
proceso de sensibilización respecto a la teoría de resolución de problemas matemáticos, con el objetivo de
minimizar los fenómenos citados por Brousseau (1986), las improvisaciones y la falta de planificación.
REFERENCIAS [1] Brousseau, G. (1986). Fundmentos y Métodos de la Didáctica de la Matemáticas.
Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol 7, N° 2, 33 – 115. [2] Pólya, G. (1965) ¿Cómo plantear y resolver problemas? México: Editorial Trillas. [3] Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica, Del Saber Sabio al Saber Enseñado.
Aique Grupo Editor. Buenos Aires, Argentina. [4] Santos, L. (2007). La resolución de problemas matemáticos. Fundamentos cognitivos. México:
Editorial Trillas. [5] J. Espinoza, J. Espinoza, M. González, I. Ramírez, M. Zumbado (2008). La resolución de problemas en la Enseñanza de las
Matemáticas: Una experiencia con la función exponencial, polígonos y Estadística. Seminario de graduación. UNA, Heredia, Costa Rica.
[6] Barrantes, H. (2006). Resolución de Problemas: el trabajo de Allan Schoenfeld. En Editorial CIMM,/UCR. Cuadernos de investigación y formación en Educación Matemática. “Resolución de problemas: Conceptos básicos.” Año 1, N°1. San José, Costa Rica.
[7] Mancera, E. (2000). Saber Matemáticas es saber resolver problemas. Grupo Editorial Iberoamérica. México D.F: [8] Schoenfeld, A. (1985). Mathematics Problem Solving. (NCTM). The National Council of Teachers of Mathematics. Orlando.
Estados Unidos.