Resolución de problemas por el

método de Gauss

En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss o eliminación de

Gauss-Jordan, llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son

algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de

ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se

resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la

reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una

incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se

conoce como: "forma escalonada”.

El método fue presentado por el matemático Carl Friedrich Gauss, pero se conocía

anteriormente en un importante libro matemático chino llamado Jiuzhang suanshu o

Nueve capítulos del arte matemático.

Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan

1. Ir a la columna no cero extrema izquierda.

2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que

no lo tenga.

3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos

adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.

4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz

restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se

encuentra en la forma de escalón).

5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada

renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando

múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.

Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación

de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en

ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo)

así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada

reducida.

Veamos algún problema en el que se aplique este método de Gauss.

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 litros de leche, 6

kg de jamón serrano y 12 litros de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,

sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que 1 litro de leche y que un kilogramo de

jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 de leche.

Comenzaremos planteando el sistema de ecuaciones:

Precio de 1 litro de leche: x

Precio de 1 kilogramo de jamón serrano: y

Precio de 1 litro de aceite de oliva: z

�24� + 6� + 12 = 156 = 3�� = 4 + 4� �

Organizamos las ecuaciones y las incógnitas de forma que nos sea más propicio para

resolver por el método de Gauss.

�24� + 6� + 12 = 1564� − � + 4 = 03� − = 0�

Comenzaremos eliminando la x de la 2ª y la 3ª ecuación, aunque de tener algo de

pericia en la resolución con este método quizás sería mejor optar por eliminar la y.

Multiplicando la 2ª ecuación por -6 y la 3ª por -8, obtenemos lo siguiente:

�24� + 6� + 12 = 156−24� + 6� − 24 = 0−24� + 8 = 0�

Sumamos la 2ª ecuación con la 1ª y la 3ª con la 1ª, obteniendo:

�24� + 6� + 12 = 15612� − 12 = 1566� + 20 = 156 �

Queremos eliminar la y de la 3ª ecuación, y para ello multiplicamos la 3ª por -2:

�24� + 6� + 12 = 15612� − 12 = 156−12� − 40 = −312 �

Sumamos a la 3ª la 2ª, quedando:

�24� + 6� + 12 = 15612� − 12 = 156−52 = −156�

Ya podemos obtener z:

−52 = −156 → = − ����� = 3

Sustituyendo en la 2ª ecuación podemos obtener el valor de y:

12� − 12 = 156 → 12� − 12 ∙ 3 = 156 → 12� − 36 = 156 → 12� = 192 → � = 16

Y sustituyendo en la 1ª ecuación podemos obtener el valor de x:

24� + 6� + 12 = 156 → 24� + 6 ∙ 16 + 12 ∙ 3 = 156 → 24� = 156 − 132 → 24� = 24→ � = 1

Por lo tanto el precio de 1 litro de leche es de 1 €, de 1 kilogramo de jamón serrano 16

€ y el de 1 litro de aceite de oliva, 3 €.