resitencia de materiales

UniversidadTecnologicaNacional

FacultadRegionalSanta Fe

TEORÍAESTADOS

Ing. Hugo A. Tosone

Marzo de 2010

Profesor Titular:

Ing. CIVILR

ES

IST

EN

CIA

DE

MA

TE

RIA

LES

τyz

A

zσy

τyx

τxy

σy

τxz

τzx

τzy

σz

y

x

ρx

ρy

ρ

ϕτ σ

S

R

T

n

β

α

ρz

γ

TENSIONALES

ESTADOS TENSIONALES

CONTENIDOS

Concepto de tensión en un punto interior de un sólido sometido a carga.

Estado de tensión, clasificación: estado simple, doble y triple.

Estado triple de tensiones.

Componentes de la tensión.

Tensiones en un plano inclinado genérico.

Equilibrio del tetraedro elemental.

Tensiones normal y de corte en el plano inclinado.

Tensiones y planos principales.

Tensión de corte máxima. Tensiones octaédricas.

Estado doble, biaxial o plano.

Tensión normal máxima.

Tensión de corte máxima.

Representación gráfica de Mohr. Procedimiento para dibujarlo.

Círculo de Mohr para tensiones principales.

Ejemplo de aplicación para estado triple de tensiones.

BIBLIOGRAFÍA

E. Fliess Estabilidad II

Ortiz Berrocal. Resistencia de Materiales. Teoría de la Elasticidad.

Beer y Johnston, Jr Mecánica de Materiales. Ed. Mc Graw Hill

Timoshenko S. Resistencia de Materiales, Tomo I.

Feodosiev V. I. Resistencia de Materiales. Editorial MIR

Stiopin P. A. Resistencia de Materiales. Editorial MIR.

RESISTENCIA DE MATERIALES ESTADOS TENSIONALES

Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pág. 1

ESTADOS TENSIONALES

CONCEPTO DE TENSION Sea un cuerpo sólido continuo, isótropo y

homogéneo, solicitado por un sistema de fuerzas exteriores en equilibrio, en el que se considera al punto interior A y a un plano π, que cortando imaginariamente al sólido pase por el punto A.

En los alrededores de A se define una pequeña superficie de área ∆F. Si la fuerza que actúa sobre ∆F es ∆P, entonces se define “tensión absoluta” ρ en el punto A para dicho plano π del siguiente modo:

P dPdFF 0

límF∆ →

∆ρ = =

∆ [1]

Si se cambia la posición del plano π de tal modo que siga conteniendo al punto A, se obtiene en general otro valor para la tensión ρ.

ESTADO DE TENSIÓN - CLASIFICACIÓN Al conjunto de tensiones que se obtienen al considerar las infinitas posiciones posibles

del plano π se lo denomina estado de tensión en A .

A los estados de tensión se los clasifica en: simples, dobles y triples.

Estado simple: al estado se lo denomina simple cuando al variar la inclinación de π el vector ρ se mantiene paralelo a una determinado recta.

Estado doble: al estado se lo denomina doble cuando al variar la inclinación del plano π el vector ρ se mantiene paralelo a un determinado plano.

Estado triple: al estado se lo denomina triple cuando al variar la inclinación del plano π el vector ρ se ubica en cualquier posición en el espacio.

COMPONENTES DE LAS TENSIONES Sea el paralelepípedo elemental de dimensiones

dx, dy, dz, ubicado en la vecindad de A. En cada cara del paralelepípedo actúan diferentes tensiones ρ que se consideran datos del problema. Cada una de ellas se puede descomponer en una que sea perpendicular a la cara considerada (σ), y otras dos contenidas en dicha cara (τ) que poseen las direcciones de los ejes coordenados como se muestra en la fig. 2. Resultan las siguientes tensiones que hacen un total de 9 componentes:

σx τxy τxz

σy τyx τyz

σz τzx τzy

A

∆F ∆P

Pi

P1 P2

P3

Pn

π

fig.1

τxy

z

σy

τzx

τzy

τyz

τxz

τyx

y

σx

x

σzτzx

τzy

σy

σz

τxz

τxy

A τyzτyx

σy

dx

dy

dz

fig. 2



Si se plantean ecuaciones de momento estático con respecto a cada uno de los 3 ejes coordenados, se puede demostrar que:

τxy = τyx τxz = τzx τyz = τzy A las tres expresiones resultantes se las conoce como ley de Cauchy

Quedan entonces solamente 6 componentes diferentes de la tensión:

σx σy σz τxy τyz τzx

TENSIONES EN UN PLANO INCLINADO GENERICO

El objetivo es hallar el estado de tensión en A, lo que requiere evaluar ρ para cualquier posición genérica del plano π.

Se identificará la posición de π por medio de los cosenos directores de su normal “n”.

Si los ángulos que forma “n” con los ejes coordenados son α, β, γ, entonces es:

l = cos α m = cos β n = cos γ

Componentes de la tensión “ρ”

Al vector ρ se lo puede descomponer de dos maneras:

1. En σ y τ (normal y rasante al plano π)

2. En ρx, ρy, ρz paralelas a los ejes

coordenados.

Si se define a l área del triángulo TRS como unitaria (área TRS = 1), resulta entonces

Area ATR = l

Area AST = m

Area ARS = n

Equilibrio del tetraedro elemental

Partiendo de las tres ecuaciones de proyección sobre los ejes y considerando que:

ρx .1 = ρx ρy .1 = ρy ρz .1 = ρz resulta entonces:

ρx = σx . l + τxy . m + τxz . n

ρy = τyx . l + σy . m + τyz. . n

ρz = τzx. l + τzy . m + σz .. n

Las anteriores expresan la tensión ρ en función de los cosenos directores l, m, n

Tensiones normal y de corte en el plano inclinado

Proyectando las componentes ρx, ρy, ρz sobre la dirección “n” se obtiene σ:

τyz

A

zσy

τyx

τxy

σyτxz

τzx

τzy

σz

y

x

ρx

ρy

ρ

ϕτ σ

S

R

T

n

β

α

ρz

γ

fig. 3



σ = ρx . l + ρy . m + ρz .n

Reemplazando las expresiones de ρx , ρy , ρz resulta:

σ = σx . l 2 + σy . m2 + σz n

2 + 2 (τxy . l . m + τxz . l . n + τyz . m . n) [2]

La tensión de corte τ se obtiene del triángulo rectángulo (fig. 3) haciendo:

222222 σρρρσρτ −++=−= zyx 2 [3]

Alternativamente se puede también calcular σ y ρ proyectando al vector ρ sobre la normal “n” y sobre el plano π respectivamente:

ϕρσ cos.= [4] ϕρτ sen.= [5]

lo que exige calcular el ángulo ϕ comprendido entre las direcciones de “ρ” y “n”.

Designando a los cosenos directores de ρ como: lρ , mρ , nρ, entonce haciendo el producto escalar de los dos versores resulta:

cosf= l . lρ + mρ . m + nρ . n siendo: xlρ =ρρ

ymρ =ρρ

znρ =ρρ

con: 222zyx ρρρρ ++= y finalmente: ϕϕ 2cos - 1=sen

TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALES

Como la tensión ρ varía al cambiar la orientación de la normal “n” por cambio de inclinación del plano π, habrá entonces planos para los cuales ρ será máxima o mínima. Para esas situaciones ρ tendrá la dirección de “n” y no habrá tensión τ (recordar que τ=ρ.sen ϕ).

Para esos dos planos τ=0 y por la ley de Cauchy se sabe que son perpendiculares entre sí. Habrá además un tercer plano perpendicular a ambos para el que, por el mismo motivo, resulta τ=0 y en este último también existirá solamente tensión normal. Dicha tensión normal se denomina intermedia.

Hay entonces tres tensiones principales (σ1 > σ2 > σ3) actuando en planos para los cuales τ=0, siendo σ1 la máxima, σ2 la intermedia y σ3 la mínima.

Denominando genéricamente σi a cada tensión principal, sus cosenos directores serán los de la normal “n” por coincidir con su dirección y en consecuencia:

ρx = σi . l ρy = σi . m ρz = σI . n Pero esas mismas componentes de ρ se pueden expresar en función de los datos del

problema del modo visto, o sea:

ρx = σx . l + τxy . m + τxz . n

ρy = τyx . l + σy . m + τyz . n

ρz = τzx . l + τzy . m + σz . n

A

z

y

x

ρx

ρy

σi

S

R

T

n

ρz

β

γ

fig. 4

α



Por igualación de ambos grupos de ecuaciones, pasando todo a los primeros miembros y sacando factores comunes se obtiene:

(σx - σi). l + τxy. m + τxz . n = 0

τyx . l + (σy - σi). m + τyz . n = 0

τzx . l + τzy. m + (σz - σi) . n = 0 En este sistema homogéneo de ecuaciones, para que l, m, n, tengan solución distinta

que la trivial (l = m = n = 0) deberá ser nulo el determinante de la matriz de los coeficientes, o sea:

(σx - σi) τxy τxz τyx (σy - σi) τyz = 0 τzx τzy (σz - σi)

Desarrollando y ordenando se obtiene finalmente el siguiente polinomio de tercer grado en σi:

x y z

2 2 2i x y y z z x xy yz z x

2 2 2x y z xy yz zx xy z yz x z x y

)

( )

( 2. ) 0

3 2i i- (

⋅

σ σ σ + σ + σ

+ σ σ ⋅ σ + σ ⋅ σ + σ σ − τ − τ − τ

− σ ⋅ σ ⋅ σ + τ ⋅ τ ⋅ τ − τ ⋅ σ − τ ⋅ σ − τ ⋅ σ =

[6]

Este polinomio brinda siempre 3 raíces reales, cosa que se puede demostrar (ver

Estabilidad II, Enrique Fliess).

Resolviendo dicho polinomio se obtienen finalmente σ1, σ2, σ3.

Casos particulares: a las seis componentes de la tensión se las puede agrupar en una

matriz de 3 x 3 denominada “tensor” o “matriz de tensiones”:

xy xz

yx yz

zx zy

x

y

z

σσ

σ

τ τ τ τ τ τ

Si la matriz de tensiones (tensor) es incompleto , por faltar por ejemplo dos tensiones de

corte, entonces se puede desarrollar el determinante por los elementos de una línea y

dejar factorizado el resultado así obtenido, de modo que una de las raíces queda resuelta

inmediatamente. En dicho caso no es necesario resolver un polinomio de tercer grado,

puesto que queda una ecuación de segundo grado a la que se le aplica la conocida

resolvente.

Planos principales

Las tensiones σ1, σ2, σ3 actúan en 3 planos cuyos cosenos directores son:



l1 , m1 , n1 l2 , m2 , n2 l3 , m3 , n3

los que se pretende calcular.

Por ejemplo, para calcular l1 , m1 , n1 del plano donde actúa σ1, debe plantear:

(σx - σ1). l1 + τxy. m1 + τxz . n1 = 0

τyx . l1 + (σy - σ1). m1 + τyz . n1 = 0

τzx . l1 + τzy. m1 + (σz - σ1) . n1 = 0

El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema anterior de ecuaciones es:

(σx - σi) τxy τxz τyx (σy - σi) τyz = 0 τzx τzy (σz - σi)

Denominando ∆1, ∆2, ∆3 a las “menores“ correspondientes al desarrollo por la primera fila del determinante de la matriz de los coeficientes, ellos son:

1

1

y yz 1

zy z

( - )( - )

σ σ τ∆ =

τ σ σ 1

yx yz 2

zx z( - )τ τ

∆ =τ σ σ

1yx y 3

zx zy

( - )τ σ σ∆ =

τ τ [7]

Dicho desarrollo por los elementos de la primera fila, teniendo en cuenta el signo según la posición, resulta:

) 01x 1 xy 2 xz 3(σ − σ ⋅∆ − τ ⋅ ∆ + τ ⋅ ∆ =

Comparando esta ecuación con la primera del sistema de 3 ecuaciones, surge que: 1 1 1

1 2 3

m nK= − = =

∆ ∆ ∆l

de donde: 1 1K= ⋅ ∆l 1 2-Km = ⋅ ∆ 1 3Kn = ⋅ ∆

Elevando al cuadrado las 3 expresiones y sumando m. a m. se obtiene:

2 2 2 2 2 21 1 1 2 3K .( )2

1 m n+ + = ∆ + ∆ + ∆l pero: 2 21 1

21 m n 1+ + =l

Por lo tanto: 2 2 21 2 3

1K =

∆ + ∆ + ∆ y entonces:

1

2 2 21 2 3

1 ∆

=∆ + ∆ + ∆

l 2

2 2 21 2 3

1m−∆

=∆ + ∆ + ∆

3

2 2 21 2 3

1n ∆

=∆ + ∆ + ∆

[8]

Para calcular l2 , m2 , n2 se reemplaza la tensión principal σ2 en el determinante.

De modo similar se pueden calcular: l3 m3 n3.

Nota: tanto las tensiones principales como así también los planos principales, pueden ser

resueltos calculando los “autovalores” y los “autovectores” de la matriz de tensiones

(tensor). Para los planos principales se obtienen las componentes cartesianas de un

vector normal al plano correspondiente. Las calculadoras programables (manuales)

suelen tener esas dos funciones incorporadas en forma directa.



Tensión de corte máxima

Se puede demostrar que la máxima tensión de corte se produce en el plano bisector de los dos planos a los que le corresponden la máxima tensión σ1 y la mínima tensión σ3.

Como se conocen las tensiones principales resulta sencillo calcular τmáx.

Cuando se analice el estado tensional doble , se demostrará como se evalúa τmáx.

Utilizando entonces las tensiones extremas σ1, σ3 se obtiene: 2

31 σστ −=máx [9]

Para el plano de la máxima tensión de corte, la tensión normal será: 2

31 σσσ

+= [10]

En las fig. 5 se muestra un ejemplo cuyo círculo de Mohr se representa en la fig. 6.

z

σ3

σ1τ

máx

σ2

σ2

σ3y

σ1

x

σ1 > σ2 > σ3

fig. 5

TENSIONES OCTAEDRICAS Se denominan así a las tensiones σ y τ que ocurren en

las caras de un octaedro que se obtiene por medio de planos que tienen sus 3 cosenos directores iguales en relación al sistema de ejes coordenados de dirección paralela a las tensiones principales σ1, σ2 y σ3 .

Partiendo de un prisma elemental sobre el que actúan solo las tensiones principales σ1, σ2, σ3 como datos del problema, teniendo en cuenta que las tensiones de corte son nulas y realizando el correspondiente análisis a partir de las expresiones de σ y τ con l=m=n se obtiene finalmente:

1 2 3

OCT

3 σ + σ + σσ = [11]

OCT 1 2 3 1 2 2 3 3 121

2 ( ) 6 ( )3

τ = ⋅ ⋅ σ + σ + σ − ⋅ σ ⋅σ + σ ⋅ σ + σ ⋅σ

ó OCT 1 2 2 3 3 12 2 21

( ) ( ) ( )3

τ = ⋅ σ − σ + σ − σ + σ − σ [12]

z

x

y

-x-z

-y

fig. 8

−τ

fig. 6

τmáx

σ

σ3

τ

σ1 σσ2

fig. 7

σ3

σ1

σ2

y // σ2

x // σ1

z // σ3



ESTADO TENSIONAL DOBLE, BIAXIAL O PLANO Se ha definido estado tensional plano a aquel estado

para el cual al variar la posición del plano inclinado que pasa por el punto en estudio, la tensión resultante ρ cambia de posición pero se mantiene en un mismo plano.

Sea el paralelepípedo elemental en las vecindades de un punto “A”, aislado por medio de los planos paralelos a los planos coordenados y solicitado por un estado tensional plano como el indicado en el croquis (fig. 9) al que luego se lo secciona con un plano cualquiera paralelo al eje z, cuya normal forme un ángulo α con el eje x (fig. 10).

Debido a que se trata de un estado plano en x-y, se puede suponer que el prisma triangular tiene un espesor unitario en la dirección del eje z.

Se denominará:

ρ : tensión en el plano abcd.

ρx, ρy : componentes de ρ según los ejes x e y.

Se admite que las tensiones se distribuyen uniformemente en la totalidad de cada área sobre las que actúan. Además se conviene que las tensiones de corte se consideran positivas cuando sus sentidos son contrarios a los del análisis del estado triple, figs. 9 y 10.

El equilibrio del prisma elemental de caras triangulares exige que sean nulas las sumas de las dos proyecciones de las fuerzas que actúan sobre el mismo.

Dichas proyecciones según las direcciones de los ejes coordenados x e y son:

ΣX = 0 ΣY = 0

x yxX ab 1 ab 1 cos ab 1 sen 0x Σ = ρ ⋅ ⋅ − σ ⋅ ⋅ ⋅ α + τ ⋅ ⋅ ⋅ α =

y xyY ab 1 ab 1 sen ab 1 cos 0y Σ = ρ ⋅ ⋅ −σ ⋅ ⋅ ⋅ α + τ ⋅ ⋅ ⋅ α =

Operando queda:

x yxcos senx ρ = σ ⋅ α − τ ⋅ α

y xysen cosy ρ = σ ⋅ α − τ ⋅ α Siendo σ y τ las componentes de la tensión resultante ρ según la dirección normal “n” y

según la dirección paralela al plano abcd, ellas podrán ser calculadas proyectando las componentes ρx y ρy sobre dichas direcciones del siguiente modo:

x ycos sen σ = ρ ⋅ α + ρ ⋅ α

x ysen cos τ = ρ ⋅ α−ρ ⋅ α

A

zσy

τyx

σx

τxyτyx

yy

σx

xτxy

fig. 9

σyz

σx

τxy

τyxA

y

x

1

ρ

n

ρx

ρy

α

normald

e

a

b

c

fig. 10

σy

σx

τxy

τyx

y

x

ρn

ρx

ρy

α

a

b

fig. 11

α

A



Sustituyendo las expresiones de ρx y ρy se obtiene: 2 2

x xy y xycos sen cos sen sen cos σ = σ ⋅ α − τ ⋅ α ⋅ α + σ ⋅ α − τ ⋅ α ⋅ α 2 2

x xy y xycos sen sen sen cos cos τ = σ ⋅ α ⋅ α − τ ⋅ α − σ ⋅ α ⋅ α + τ ⋅ α operando resulta :

2 2x y xycos sen 2 sen cos σ = σ ⋅ α + σ ⋅ α − τ ⋅ α ⋅ α

2 2x y xy) cos sen (cos sen ) ( τ = σ − σ ⋅ α ⋅ α + τ α − α

quedando finalmente:

2 2x y xycos sen sen 2 σ = σ ⋅ α + σ ⋅ α − τ ⋅ α [13]

x yxy

)sen 2 cos 2

(

2σ −σ

τ = ⋅ α + τ α [14]

TENSION NORMAL MÁXIMA Resulta entonces que σ y τ son funciones del ángulo α , es decir, de la posición del

plano p . Para conocer los valores máximo y mínimo, así como la orientación de los respectivos planos donde ellas ocurren se debe recurrir al concepto matemático de máximo y mínimo de una función. El ángulo (variable independiente de la función) para el que ocurre un máximo o un mínimo, se obtiene igualando a cero la primera derivada de la función con respecto a dicha variable .

Derivando con respecto a α se obtiene:

x y xyd

sen cos 2 cos sen 2 cos 2d

- 2 σ

= σ ⋅ α ⋅ α + σ ⋅ α ⋅ α − τ ⋅ αα

y x xyd

) 2sen cos 2 cos2d

( σ

= σ − σ ⋅ α⋅ α − τ ⋅ αα

y x xyd

) sen 2 2 cos2d

( σ

= σ − σ ⋅ α − τ ⋅ αα

Esta derivada se hace cero para un cierto ángulo α1:

y x 1 xy 1) sen 2 2 cos 2 0( σ − σ ⋅ α − τ ⋅ α = [14´ ]

Por lo tanto: xy

y x

21tg 2

τ=

σ − σα [15]

Existen dos ángulos que satisfacen la expresión [15] que son: (2 α1) y (2α1 + π), de donde que se obtiene (α1) y (α1 + π/2) que corresponden a dos planos ortogonales entre sí que son los planos principales en los que se producirán las máximas y mínimas tensiones normales (tensiones principales).

Multiplicando por “2” a la expresión [14] y comparándola con la [14´], se comprueba que en los planos principales las tensiones de corte son nulas (τ = 0).



Para hallar los valores de las tensiones principales σmáx y σmin que se identificarán como: σ1 y σ2 (siendo σ1 ≥ σ2 ) se debe sustituir el valor de los ángulos α1 y α1+π/2 en la expresión [13].

Como el ángulo α1 está expresado por su tangente en la [15], es necesario recurrir a las siguientes identidades trigonométricas:

22cos1 α

α+

= cos2 2

tg 2

1 tg 2

sen 2 αα = ±+ α

1 cos 2sen2

2

− αα = α

α21

1cos

2tg+±= 2

Operando algebraicamente se obtienen las tensiones principales máxima y mínima

respectivamente (ver también Estabilidad II, E. Fliess, pág. 63):

22

1 22 xyyxyx τ

σσσσσ +

−+

+= [16a] 2

2

2 22 xyyxyx τ

σσσσσ +

−−

+= [16b]

TENSIONES DE CORTE MAXIMAS Se pueden obtener de un modo similar partiendo de la expresión [14]:

x yxy

2sen 2 cos 2

σ − στ = ⋅ α + τ ⋅ α

x yxy

d2 cos2 2 sen2

d 2

τ σ − σ= ⋅ ⋅ α − ⋅ τ ⋅ α

α

x y 2 xy 2) cos2 2 sen 2 0 ( σ − σ ⋅ α − ⋅ τ ⋅ α =

xy 2 x y 22 sen 2 ) cos2 (⋅ τ ⋅ α = σ − σ ⋅ α

resultando: y x

2xy

tg 22

-

σ − σα =

τ [17]

La [7] brinda dos soluciones: 2 α2 y 2 α2 + π lo que implica que existen dos planos para α2 y α2 + π/2 en los que ocurren las máximas tensiones de corte. Dichos planos difieren en π/2 = 90° lo que indica que son perpendiculares entre si. Como: tg 2α2 = -1 / tg 2 α1= - ctg 2 α1 entonces 2 α2 = 2 α1- π/2

o también: α2 = α1 - π/4 Esto indica que los planos de corte máximo forman un ángulo de 45° con los planos de

las máximas tensiones normales.



Para calcular la magnitud de τmáx. se sustituye α2 en la expresión [14], utilizando identidades trigonométricas y operando, con lo que se obtiene finalmente:

2x y 2

xy2

máx σ − σ = ± +

τ τ [18]

Representación gráfica de Mohr Retomando las ecuaciones [13] y [14] que eran:

2 2x y xycos sen sen 2 σ = σ ⋅ α + σ ⋅ α − τ ⋅ α [13]

x yxy

) sen 2 cos 2( 2

σ − στ = ⋅ α + τ α [14]

y sustituyendo: 1 cos 2

22

cos + α

α = 1 cos 2

sen2

2

− αα = se obtiene:

x yxy(1 cos 2 ) (1 cos 2 ) sen 2

2 2σ σσ = + α + − α − τ ⋅ α

x y x yxycos 2 sen 2

2

2σ + σ σ − σ

σ = + ⋅ α − τ ⋅ α

x y x yxycos 2 sen 2

2

2σ + σ σ − σσ − = ⋅ α − τ ⋅ α [19]

x yxy

) sen 2 cos 2(

2σ −στ = ⋅ α + τ α [20]

Elevando al cuadrado las [19] y [20] y sumando m. a m. resulta finalmente:

2 2x y x y2 2

xy2

2

σ + σ σ − σ σ − + τ = + τ [21]

Esta es una ecuación del tipo:

(x – a)2 + y2 = r2

que describe una circunferencia en función de los parámetros: σx , σy , τxy y cuyas variables son σ y τ.

Tiene su centro sobre el eje σ con abscisa x y

a2

σ + σ= y radio 2

2

2 xyyxr τ

σσ+

−=

La solución gráfica de Mohr es una representación de las ecuaciones analíticas que sirve alternativamente como croquis guía a los cálculos numéricos.

Dada la sencillez de las expresiones analíticas el método gráfico no ofrece una ventaja manifiesta sobre el método analítico, pero su croquis permite una rápida visualización de las tensiones que ocurren en los diferentes planos que pasan por el punto, como así también la localización inmediata de los valores máximos y de las direcciones principales.

y

xC

x

a

yr

fig. 12



La circunferencia de Mohr es el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas representan las tensiones que ocurren en todos los planos inclinados que pasan por un punto de un sólido cargado. Las abscisas de los puntos de la circunferencia representan tensiones normales y las ordenadas la tensiones cortantes.

Las convenciones a utilizar serán:

-Tensiones de tracción: se consignan con abscisas positivas.

-Tensiones de compresión: corresponden abscisas negativas.

-Tensiones de corte positivas: se consignan con ordenadas positivas.

-Tensiones de corte negativas: se consignan con ordenadas negativas.

-Los ángulos se consideran positivos para giros en sentido contrario a las agujas del reloj.

-Lo anterior se complementa con el siguiente croquis:

σ+- -

τ+α+σ τ

fig. 13

Se puede demostrar que en la construcción de Mohr los ángulos en relación con el centro de la circunferencia, son de magnitud doble que las magnitudes angulares entre las secciones planas que pasan por un punto interior del cuerpo cargado.

Además, las dos coordenadas de cada punto de la circunferencia, brinda las tensiones normal y de corte que ocurren en cada plano que pasa por dicho punto del cuerpo en estudio.

En consecuencia es posible dibujar el gráfico de Mohr si se conoce estado tensional en dos planos perpendiculares entre sí, ya que los puntos de la circunferencia, representativos de las tensiones que ocurren en esos dos planos perpendiculares (90°), se encontraran posicionados en la circunferencia con una diferencia de 180° (ángulo doble), lo que implica que son los extremos de un diámetro.

Procedimiento para dibujar el círculo de Mohr

1. Datos: las tensiones σx , τxy y τyx en dos planos perpendiculares.

2. En un sistema cartesiano ortogonal (σ−τ) y con los datos de las tensiones, se ubican los puntos A y B que constituyen un diámetro.

3. Uniendo A con B se obtiene un diámetro. En su intersección con el eje de abscisas determina el punto C que es el centro de la circunferencia.

4. Con el centro en C y radio CA ó CB se dibuja la circunferencia.



τyx

σx

σ1

σ1

τxy

τyx

σ2

σ2

α1

τmáx

τ

σ

AP

B

C

τxy

τyx=

-τx

yE

2

σxσy

σ1σ2

τmín

F

G

Oα1

2α1

σy

τxyσx

σy

fig. 14 -τ

1

12

Cada punto de la circunferencia caracteriza al estado tensional en un determinado

plano. En el caso dibujado corresponde al conjunto de los planos paralelos al eje z.

En el gráfico se observa que la máxima tensión normal σ1 = σmáx está representada por el segmento OF y la mínima σ2 por el segmento OE. La máxima tensión de corte τmáx está representada por CG.

Para localizar las direcciones de σ1 y σ2 se puede utilizar el punto auxiliar de la circunferencia denominado foco o polo “P”. Para ubicar el polo P, se traza por el punto A (ligado a la tensión σx) una paralela a la dirección x; o por B (ligado a la tensión σy) una paralela a la dirección y; donde intercepten a la circunferencia se obtiene el polo P.

Uniendo el polo P con los puntos F y E se obtienen las direcciones de las tensiones principales σ1 y σ2 respectivamente, señaladas con los números 1 y 2 en la figura.

Círculo de Mohr para tensiones principales. Se considerará el caso tensional espacial cuando en

las caras del prisma elemental actúan las tres tensiones principales σ1, σ2 y σ3 de modo que:

σ1 > σ2 > σ3

Las tensiones normales y tangenciales que ocurran en un plano cualquiera paralelo al eje z, no dependerán de σ3, sino de las tensiones σ1 y σ2 y se caracterizarán por una circunferencia de tensiones con diámetro d=σ1−σ2 como la de la fig. 16a:

El mismo análisis se puede efectuar para planos paralelos al eje “y” ó para los planos paralelos al eje “x”, obteniéndose circunferencias de diámetros σ1−σ3 ó σ2−σ3.

X

y

z

σ2

σ1

σ3

σ3

σ2

σ1

fig. 15



σσ2 σ1 σ3 σ1

Planos paralelos al eje z

σ3 σ2 σ3 σ1σ2

y

σ3

σ1

x

σ2 σ2 σ2

fig. 16

y y

z z zx x

τ

σ σ σ

τ τ

(a) (c)(b)

τ

(d)

σ1 σ1

σ3 σ3

Planos paralelos al eje y Planos paralelos al eje x

Se pueden dibujar las tres círcunferencias de Mohr en una misma representación, fig.

16d; los puntos de cada una de dichas circunferencias representan las tensiones que se producen en cada uno de los infinitos planos paralelos a cada uno de los ejes coordenados.

Se puede demostrar que el estado tensional que se produce en planos no paralelos a ningún eje coordenado, se encuentra representado por los puntos contenidos en la zona sombrerada limitada por las tres circunferencias, fig. 16d.

Ejemplo de aplicación para Estado tensional triple.

PROBLEMA “MOHRT 260”

En la figura se representa un estado tensional para el que solamente se muestran las tensiones que actúan en las caras visibles, especificando sus intensidades en kgf/cm2,.

Se pide calcular lo siguiente :

1) Tensiones σ y τ para un plano que forme ángulos iguales con los tres ejes coordenados.

2) Tensiones principales σ1, σ2 y σ3.

3) Posición de los planos principales: (l1,m1,n1), (l2,m2, n2) y (l3,m3,n3)

4) Tensión de corte máxima.

5) Tensiones octaédricas σOCT y σOCT.

Expresar los resultados en en kgf/cm2 y en MPa, usando para la conversión de unidades la siguiente equivalencia aproximada: 10 kgf/cm2 ≅1 MPa.

RESOLUCIÓN

1) Tensiones σ y τ

Tensión normal σ.

Se sabe que l = m = n, por lo tanto: l 2 +m 2 + n 2 = 1 ⇒ 3 l 2 = 1 ⇒ l 2 = 1/3

z

y

x

400

200

100500

300 800



de donde: 3l = m = n = 54,736º

3=

Calcularemos a partir de las componentes ortogonales de la tensión “ρ“ en lugar de utilizar la expresión final de “σ” puesto que dichos valores son necesarios para el cálculo de "τ".

Los signos de las tensiones normales y de corte que son datos del problema, deben adecuarse de acuerdo al sentido de los correspondientes vectores que las representan.

Para este caso particularmente son todas positivas !.

ρx=σx.l+τxy.m+τxz.n=33 (σx+τxy+τxz) = 3

3 (800 + 100 + 300 )= 692,82 kgf/cm2≅ 69,28 MPa

ρy= τyx.l+σy.m+τyz.n=33 (τyx+σy+τyz)= 3

3 (100 + 400 + 500 )= 577,30 kgf/cm2 ≅ 57,73 MPa

ρy= τzx.l+τzy.m+σz.n=33 (τzx+τzy+σz)= 3

3 (300+ 500 + 200 ) = 577,30 kgf/cm2 ≅ 57,73 MPa

σ = ρx . l + ρy . m + ρz . n = 33 ??( 692,80 + 577,30 + 577,30 )

σ = 1066,67 kgf/cm2 ó aproximadamente σ = 106,67 MPa

Tensión de corte τ.

τ2= ρ2-σ2=ρx2+ρy

2+ρz2-σ2= 692,802+ 577,302+ 577,30 2 - 1066,67 2= 8673,53 (kg/cm2)2

τ = 93,13 kgf/cm2 ó aproximadamente τ = 9,13 MPa

2) Tensiones Principales

Expresando las componentes ortogonales ρx , ρy , ρz en función de las tensiones principales (generalizada como σi), como también en función de las tensiones que ocurren en los planos ortogonales (datos del problema) e igualando se obtiene:

σi . l = σx . l + τxy . m + τxz . n

σi . m = τyx . l + σy . m + τyz . n

σi . n = τzx . l + τzy . m + σz . n

las que se pueden agrupar por factores comunes (cosenos directores) del siguiente modo:

(σx − σi ) . l + τxy . m + τxz . n = 0 τyx . l + ( σy - σi ) . m + τyz . n = 0 τzx . l + τzy . m + ( σz - σi ) . n = 0

Estas expresiones constituyen un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, l, m y n.

Para que tenga solución distinta de la trivial ( l = m = n = 0 ), debe ser nulo el determinante de la matriz de los coeficientes:

0)(

)()(

izzyzx

y ziyy x

xzxyix

=σ−σττ

τσ−στττσ−σ

desarrollando el determinante y operando algebraicamente se obtiene finalmente un polinomio de tercer grado, ver fórmula [6] de teoría:



x y z

2 2 2i x y y z z x x y yz zx

2 2 2x y z x y yz z x x y z yz x zx y

)( )

( 2 . ) 0

3 2i i- (

⋅

σ σ σ + σ + σ+ σ σ ⋅ σ + σ ⋅ σ + σ σ − τ − τ − τ− σ ⋅ σ ⋅ σ + τ ⋅ τ ⋅ τ − τ ⋅ σ − τ ⋅ σ − τ ⋅ σ =

Este polinomio tiene tres raíces reales (Fliess, Estabilidad, Tomo II).

Las raíces pueden calcularse de distintas formas, por ejemplo mediante el uso de una calculadora graficadora en la que se representa y= f(σi), obteniendo una curva como la representada.

De la representación se puede obtener el valor aproximado de las tres raíces, con los cuales luego se pueden calcular un valor más exacto mediante el procedimiento de Newton – Rawson o por prueba y error.

En algunas calculadoras, como la HP48G, se puede aplicar el “solver” de ecuaciones, o bien pueden emplearse programas de PC, tales como Excel, que cuenta con una aplicación dentro del menú Herramientas, denominada “Solver”, que permite calcular las raíces de este tipo de ecuaciones.

También se puede utilizar la solución incorporada en las calculadoras programables, que se denomina “autovalores” en matemática. Por cualquiera de esos caminos se llega a los siguientes valore σ1=1083,54 kgf/cm2 σ2=555,64 kgf/cm2 σ3=-239,18 kgf/cm2

o aproximadamente: σ1=108,35 MPa σ2=55,56 MPa σ3=-23,92 MPa

3) Posición de los planos principales

El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones lineales que define los valores de l, m y n para las direcciones principales es:

0

izzyzx

y ziyy x

xzxyix

=σ−σττ

τσ−στττσ−σ

Reemplazando σi por la tensión principal σ1 = 1083,5 kgf/cm2 se obtiene:

050.883500300

50050.68310030010050.283

50.108320050030050050.108340010030010050.1083800

=−

−−

=−

−−

Los “menores complementarios” de los elementos de la primera fila del determinante son:

eliminando la primera fila y la primera columna: 35387250.883500

50050.6831 =

−−

=∆

eliminando la primera fila y la segunda columna: 23835050.883300

5001002 −=

−=∆

eliminando la primera fila y la tercera columna: 255050500300

50.6831003 =

−=∆

además: 2 2 2 2 2 21 2 3

1 1 1K

496934353872 ( 28335) 255050= = =

∆ + ∆ + ∆ + − +

σi

f(σi)

-239

555

1083



Resulta entonces:

11 1

2 2 21 2 3

353872l 0.712 44.6º

496934∆

= = = ⇒ α =∆ + ∆ + ∆

21 1

2 2 21 2 3

2383500.479 61.3º

496934m

−∆= = = ⇒ β =

∆ + ∆ + ∆

31 1

2 2 21 2 3

2550500.513 59.1º

496934n

∆= = = ⇒ γ =

∆ + ∆ + ∆

En este caso los ángulos (versor N1 en la fig.) que definen el plano principal de máxima son:

α1 = 44,6º β 1 = 61,3º γ1 = 59,1º

Mediante la expresión de σ en función de l1, m1 y n1 calculados en el paso anterior, se pueden verificar que la tensión normal es aproximadamente 1083,54 kgf/cm2.

Para obtener el plano correspondiente a la tensión principal “intermedia” reemplazamos σi

por σ2=555,6 resultando:

800 555,6 100 300 244,4 100 300

100 400 555,6 500 100 155,6 500 0

300 500 200 555,6 300 500 355,6

−

− = − =

− −

Eliminando la primera fila y la primera columna resulta: 1

155,6 500194668

500 355,6

−∆ = = −

−

Eliminando la primera fila y la segunda columna se obtiene: 2

100 500185560

300 355,6∆ = = −

−

Eliminando la primera fila y la tercera columna se obtiene: 3

100 155,696680

300 500

−∆ = =

2 2 2 2 2 21 2 3

1 1 1K

285788( 194668) ( 185560) 96680= = =

∆ + ∆ + ∆ − + − +

12 2

2 2 21 2 3

194668l 0.68 132,94º

285788∆ −

= = = − ⇒ =∆ + ∆ + ∆

α

22 2

2 2 21 2 3

( 185560)0.649 49,5º

285788m

∆ − −= = = + ⇒ β =

∆ + ∆ + ∆

32 2

2 2 21 2 3

966800.338 70,2º

285788n

∆= = = ⇒ =

∆ + ∆ + ∆γ

En este caso, los ángulos (versor N2 en la fig.) que definen el segundo plano principal son:

α2 = 132,94º β 2 = 49,5º γ2 = 70,2º

Para la tercera tensión σ3:= - 239,2 kgf/cm2 (la mínima) resulta

z

y

x

0,479

0,513

0,712

N1 ( l1,m1,n1)

z

y

x

0,649

0,338

-0,68

N2 (l2,m2,n2)



800 239,2 100 300 1039,2 100 300

100 400 239,2 500 100 639,2 500 0

300 500 200 239,2 300 500 439,2

+

+ = =

+

Eliminando la primera fila y la primera columna: 3073720.439500

50020.6391 ==∆

Eliminando la primera fila y la segunda columna: 10608020.439300

5001002 −==∆

Eliminando la primera fila y la tercera columna: 141760500300

20.6391003 −==∆

2 2 2 2 2 21 2 3

1 1 1K

17970430737 ( 106080) ( 141760)= = =

∆ + ∆ + ∆ + − + −

13 3

2 2 21 2 3

30737l 0,17 80,15º

179704∆

= = = ⇒ α =∆ + ∆ + ∆

23 3

2 2 21 2 3

( 106080)0,59 53,82º

179704m

−∆ − −= = = ⇒ β =

∆ + ∆ + ∆

33 3

2 2 21 2 3

1417600,79 142,08º

179704n

∆ −= = = − ⇒ γ =

∆ + ∆ + ∆

En este caso, los ángulos (versor N3 en la fig.) que definen el plano principal para la tensión mínima son:

α3 = 80,15º β 3 = 53,82º γ3 = 142,08°

4) Tensión de corte máxima.

Se parte de un prisma elemental sometido a las tensiones principales recién obtenidas, referido a un sistema de coordenadas cuyos ejes son paralelos a las direcciones de las tensiones principales σ1, σ2 y σ3.

En el plano 1-2:

τmax(1-2) =−

=σ−σ

=2

60.55550.10832

21 263,95kgf/cm2 ≅ 26,39 MPa

Análogamente, para 2-3:

τmax (1-3) =−−

=σ−σ

=2

)20.239(50.10832

31 661,35 kgf/cm2 ≅ 66,14 MPa

En el plano 2-3:

τ max (2-3) 40.3972

)20.239(60.5552

32 =−−

=σ−σ

= kg/cm2 ≅ 39,74 MPa

Se han realizado los tres cálculos para mostrar los valores de todas las tensiones que ocurren en planos bisectrices. No obstante ello, como se puede apreciar, es suficiente calcular la tensión de corte que ocurre en el plano bisectriz de los planos que corresponden a la máxima y mínima tensión principal, ya que allí ocurre la máxima tensión de corte en el material. En la figura se muestra dicho plano sombreado.

z

y

x

0,59

0,17

N3 (l3,m3,n3)

-0,79



Resulta entonces:

τmax = τmax (1-3) = 661,35 kgf/cm2 ≅ 66,14 MPa

5) Tensiones Octaédricas

En un plano para el cual α=β=γ: en relación con las direcciones principales:

OCT1 2 3 1083,5 555,6 ( 239.2)

3 3σ + σ + σ + + −

σ = =

σOCT = 466,63 kgf/cm2 ó aproximadamente: σOCT = 46,66 MPa

OCT 1 2 2 3 3 12 2 21

( ) ( ) ( )3

τ = ⋅ σ − σ + σ − σ + σ − σ

[ ]OCT22 21

(1083,5 555,6) 555,6 ( 239,2) ( 239,2 1083,5)3

τ = − + − − + − −

τOCT = 543,72 kgf/cm2 ó aproximadamente: τOCT = 54,37 MPa

Este material de apoyo didáctico, cuyos manuscritos originales fueran preparados por el ex-profesor de la Cátedra “Estabilidad II”, Ing. Guillermo Pons, fue adaptado, modificado, reordenado y ampliado y está destinado exclusivamente para el uso interno de la cátedra “Resistencia de Materiales” de Ingeniería Civil, de la Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N. Profesor Titular: Ing. Hugo A. Tosone. Marzo de 2010

σ3

σ1

σ2

y // σ2

x // σ1

z // σ3

z

x

y

-x

-z

-y

z

σ3

σ2y

σ1

x

RESUMEN DE FÓRMULAS: “ESTADOS TENSIONALES” ESTADO TRIPLE

τyz

A

zσy

τyx

τxy

σyτxz

τzx

τzy

σz

y

x

ρx

ρy

ρ

ϕτ σ

S

R

T

n

β

α

ρz

γ

fig. 3 Tensiones normal y de corte en el plano inclinado σ = σx . l 2 + σy . m

2 + σz n2 + 2 (τxy . l . m + τxz . l . n + τyz . m . n) [2]

222222 σρρρσρτ −++=−= zyx 2 [3]

Tensiones Principales

Tensor:

xy xz

yx yz

zx zy

x

y

z

σσ

σ

τ τ τ τ τ τ

⇒ i

ii

xy xz

yx yz

zx zy

x

y

z

−−

− −

σ σσ σ

σ σ

τ ττ ττ τ

=0

Polinomio: x y z

2 2 2i x y y z z x xy yz z x

2 2 2x y z xy yz zx xy z yz x z x y

)( )

( 2. ) 0

3 2i i- (

⋅

σ σ σ + σ + σ+ σ σ ⋅ σ + σ ⋅ σ + σ σ − τ − τ − τ− σ ⋅ σ ⋅ σ + τ ⋅ τ ⋅ τ − τ ⋅ σ − τ ⋅ σ − τ ⋅ σ =

Planos Principales (versor normal)

2 2 21 2 3

1K =

∆ + ∆ + ∆

2 21 1

21 m n 1+ + =l

1

1

y yz 1

zy z

( - )( - )

σ σ τ∆ =

τ σ σ 1

yx yz 2

zx z( - )τ τ

∆ =τ σ σ

1yx y 3

zx zy

( - )τ σ σ∆ =

τ τ [7]

1

2 2 21 2 3

1 ∆

=∆ + ∆ + ∆

l 2

2 2 21 2 3

1m−∆

=∆ + ∆ + ∆

3

2 2 21 2 3

1n ∆

=∆ + ∆ + ∆

[8]

Tensión de corte máxima, y normal p/ese plano:2

31 σστ −=máx [9] 2

31 σσσ

+= [10]

Tensiones Octaédricas

1 2 3

OCT

3 σ + σ + σσ = [11]

OCT 1 2 2 3 3 12 2 21

( ) ( ) ( )3

τ = ⋅ σ − σ + σ − σ + σ − σ [12]

fig. 7

σ3

σ1

σ2

y // σ2

x // σ1

z // σ3

τxy

z

σy

τzx

τzy

τyz

τxz

τyx

y

σx

x

σzτzx

τzy

σy

σz

τxz

τxy

A τyzτyx

σy

dx

dy

dz

fig. 2

ESTADO DOBLE 2 2

x y xycos sen sen 2 σ = σ ⋅ α + σ ⋅ α − τ ⋅ α [13]

x yxy

)sen 2 cos 2

(

2σ −σ

τ = ⋅ α + τ α [14]

Tensiones principales

xy

y x

21tg 2

τ=

σ − σα [15]

22

1 22 xyyxyx τ

σσσσσ +

−+

+= [16a] 2

2

2 22 xyyxyx τ

σσσσσ +

−−

+= [16b]

Tensión de corte máxima

y x2

xytg 2

2 -

σ − σ

α =τ [17]

2x y 2

xy2

máx σ − σ = ± +

τ τ [18]

Representación gráfica de Mohr

Círculo de Mohr para tensiones principales. Es: σ1 > σ2 > σ3

Cátedra: Resistencia de Materiales Profesor Titular: Ing. Hugo A. Tosone. Marzo de 2010

σ+- -

τ+α+σ τ

fig. 13

τyx

σx

σ1

σ1

τxy

τyx

σ2

σ2

α1

τmáx

τ

σ

AP

B

C

τxy

τyx=

-τx

yE

2

σxσy

σ1σ2

τmín

F

G

Oα1

2α1

σy

τxyσx

σy

fig. 14 -τ

1

12

σσ2 σ1 σ3 σ1

Planos paralelos al eje z

σ3 σ2 σ3 σ1σ2

y

σ3

σ1

x

σ2 σ2 σ2

fig. 16

y y

z z zx x

τ

σ σ σ

τ τ

(a) (c)(b)

τ

(d)

σ1 σ1

σ3 σ3

Planos paralelos al eje y Planos paralelos al eje x

σyz

σx

τxy

τyxA

y

x

1

ρ

n

ρx

ρy

α

normald

e

a

b

c

fig. 10

resitencia de materiales

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