resistencia de materiales

Henry Luis Pérez Guzmán Ingeniero Civil - Especialista en Vías y Transporte - Especialista en Servicios Públicos Domiciliarios

Materia: Resistencia de Materiales - Fundación Universitaria del Área Andina

Resistencia de Materiales Introducción a la Resistencia de Materiales

También conocido como Mecánica de Materiales. Esta materia analiza los

cuerpos como elementos deformables a diferencia de la Estática que suponía

que los sólidos no se deformaban.

La Resistencia de Materiales le sirve al Ingeniero para diseñar elementos que

puedan soportar las cargas solicitadas y que sean a la vez elementos seguros y

baratos.

Los tipos de problema a solucionar con la Resistencia de Materiales son de dos

tipos:



a. Dimensionamiento de los miembros de una estructura.

b. Verificación de los miembros que componen una estructura.

Trabajaremos con las siguientes Hipótesis:

a. Los materiales son continuos.

b. Los materiales se consideran homógeneos.

c. Los materiales son isotropos.

d. Las fuerzas interiores que preceden a las cargas son nulas.

e. Es válido el principio de superposición de efectos.

f. Es aplicable el principio de Saint Venant.

g. Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas.

Tipos de cuerpos analizados: miembros cargados axialmente, ejes sujetos a

torsión, cascarones delgados, vigas y columnas.

Esfuerzo y Deformación

Supóngase una barra prismática que funcione como miembro estructural,

sometida a una fuerza axial de tensión. La fuerza se aplica en el eje de la barra.



Dado que la barra está en equilibrio, las fuerzas internas deben ser iguales a la

fuerza externa aplicada. La intensidad de la fuerza se denomina esfuerzo y sería

igual a la suma de todas las cargas soportadas por cada fibra del sólido dentro

del área transversal A.

𝜎 = 𝑃

𝐴

δ

P P

P P

P

m

n



Esfuezos normal, de tension y de compresión.

Ejemplo 1. Si P = 10.000 lb a tensión, y A = 2 pulg2, ¿cuánto sería el esfuerzo

normal? Si se disminuye A a ½ pulg2, ¿cómo varía el esfuerzo?

Unidades del Esfuerzo:

SI 1 N/m2 = 1 Pa;

103 N/m2 = 1 kN/m2 = 1 kPa = 1 x 103 Pa;

1 MPa = 1 x 106 Pa = 106 N/m2,

1 GPa = 1 x 109 Pa = 109 N/m2,

Inglés lb/pulg2 = psi



Ejemplo 1. En el brazo mostrado en la figura, el miembro horizontal AC es una

barra circular de 30 mm de diámetro, y el miembro inclinado BC es una barra

sólida con una sección transversal de 60 mm x 100 mm. Determinar el esfuerzo en

cada uno de los miembros cuando P = 24 kN.

Resolviendo el ejercicio hallamos que BC = 40 kN (compresión) y AC = 32 kN

(tensión). Aplicando la fórmula para el esfuerzo hallamos que σAC = 45,3 MPa y

σBC = 6,67 MPa.

Ejemplo 2. Two solid cylindrical rods AB and BC are welded together at B and

loaded as shown. Determine the magnitude of the force P for which the tensile

stress in rod AB is twice the magnitude of the compressive stress in rod BC.



Ejercicios para resolver:

1. In Example 2, knowing that P = 160 kN, determine the average normal stress

at the midsection of (a) rod AB, (b) rod BC.

2. Una varilla redonda de acero de 20 mm de diámetro está sujeta a una

carga de tensión de 60 kN. Determinar el esfuerzo en la varilla.

3. Un cubo con una sección transversal cuadrada de 100 mm de lado está

sometido a una carga de compresión de 250 kN. Halle el esfuerzo de

compresión del cubo.

4. Un cilindro hueco de latón soporta una carga axial de compresión de

10.000 N. Si el diámetro exterior es de 60 mm y el diámetro interior es de 30

mm, ¿cuál es el esfuerzo de compresión en el cilindro?

5. Una mesa de 1,3 m x 1,7 m soporta una carga uniformemente distribuida

sobre su superficie. Determinar la carga máxima que puede soportar la

mesa. Cada una de las cuatro patas de madera tiene una sección

transversal de 50 mm x 50 mm (tamaño natural). El esfuerzo unitario de

compresión no debe exceder de 4,2 MPa.

6. Un tubo de latón soporta una carga axial de 360 kN. Si el diámetro interior

es de 30 mm, ¿cuál debe ser el diámetro exterior? El esfuerzo unitario no

debe exceder de 75 MPa.

7. Two solid cylindrical rods AB and BC are welded

together at B and loaded as shown. Knowing that the

average normal stress must not exceed 175 MPa in rod

AB and 150 MPa in rod BC, determine the smallest

allowable values od d1 and d2.



Deformación

Al soportar una fuerza sobre su eje la barra prismática se alarga una distancia δ.

Este alargamiento se denomina también elongación o contracción. Dichos

cambios de longitud son deformaciones.

La deformación total es el cambio total de la longitud del miembro (δ). La

deformación unitaria es el cambio de longitud por unidad de longitud (ε).

휀 = 𝛿

𝐿

ε es la deformación unitaria en pulg/pulg, o en m/m; δ es la deformación total

en pulg o m, y L es la longitud total original de la barra en pulg o m.

Ejemplo 2. Una barra prismática rectangular de 20 x 40 mm y longitud 3,0 m está

sometida a una fuerza de tensión axial de 80 kN. El alargamiento medido de la

barra es δ = 1,2 mm. Calcular los esfuerzos de tensión y la deformación unitaria

de la barra.

σ = 80 kN / (0,002) / (0,004) = 100 MPa

δ

P P

P P

L



ε = 0,0012 / 3 = 400 x 10-6 m/m

Ejemplo 3. Un poste pequeño, construido con un tubo

circular hueco de aluminio, soporta una carga de

compresión de 26 kips. Los diámetros interno y externo del

tubo son d1 = 4,0 pulg y d2 = 4,5 pulg, respectivamente, y su

longitud es 16 pulg. Se mide el acortamiento del poste

debido a la carga y resulta ser de 0,012 pulg. Determinar el

esfuerzo y la deformación unitaria de compresión en el poste

(no tenga en cuenta el peso del poste mismo y suponga que

el poste no se pandea bajo la carga).

A = 3,338 pulg2 σ = 7.790 lb/pulg2 ε = 750 x 10- 6

Ejercicios para resolver:

1. Una barra de 3 m de longitud está sujeta a una carga axial de tensión que

reproduce una elongación de 0,7 mm. Determinar la deformación unitaria

de la barra.

2. Un alambre tiene una deformación unitaria de 0,0002 μ y una deformación

total de 7 mm. ¿Cuál es la longitud del alambre?

Diagramas Esfuerzo – Deformación

Para saber cómo se comporta un material es necesario hacer experimentos en

laboratorios, a través de pruebas estandarizadas que puedan ser replicadas en

cualquier parte del mundo.

Las pruebas de tensión se hacen sobre especímenes cargados en máquinas de

pruebas de tensión.



Para observar un ensayo realizado siga ese enlace:

http://www.youtube.com/watch?v=4p7bvJGN4Po

Luego de realizar el ensayo a tensión o compresión del elemento se puede trazar

un diagrama esfuerzo-deformación, el cual es típico de cada elemento probado.

http://www.youtube.com/watch?v=Klx9KO1gOdI

El acero estructural es utilizado en casi todas las obras de ingeniería tales como

edificios, puentes, grúas, barcos, torres, columnas, vigas, etc. Por tal razón

analizaremos su diagrama esfuerzo-deformación típico. Las deformaciones

unitarias se grafican en el eje horizontal y los esfuerzos en el eje vertical.

http://www.youtube.com/watch?v=4p7bvJGN4Po

http://www.youtube.com/watch?v=Klx9KO1gOdI



Elasticidad y Plasticidad

Ahora analizaremos qué pasa cuando en un ensayo a tracción o compresión el

material se descarga.

Si está en su zona elástica, el material cargado hasta el punto A es descargado

y recupera sus dimensiones originales (material elástico). Si el material se carga

hasta el punto B, mucho mayor que A, el material sigue la línea BC; al llegar a C

el material queda con una deformación permanente o residual (línea OC). Este

alargamiento de la barra de prueba se llama cedencia permanente (material

parcialmente elástico).

El límite Elástico (E) suele ser un poco mayor que el límite de proporcionalidad y

se suponen iguales.

http://www.youtube.com/watch?v=CFJp0weHMG0

Elasticidad Lineal, Ley de Hooke y Coeficiente de Poisson

Materiales como el acero tienen un comportamiento elástico y lineal en las

primeras etapas de carga material elástico lineal.

http://www.youtube.com/watch?v=CFJp0weHMG0



Ley de Hooke σ = Еε

σ es la tensión normal

ε es la deformación lineal

E es el Módulo de Elasticidad o Módulo de Young. Es la pendiente del diagrama

tensión-deformación en la región elástica lineal.

Coeficiente de Poisson



Cuando se deforma un elemento axialmente también aparece una

deformación normal a ese eje. La deformación

unitaria lateral (ε´) es proporcional a la

deformación unitaria axial (ε) y su relación se

denomina relación de Poisson o coeficiente de

Poisson (𝝑).

𝜗 = − 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙

𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙= −

휀´

휀

¿Qué indica el signo negativo?

Si se conoce la relación de Poisson de un material

es posible conocer su deformación unitaria

lateral a partir de la axial:

ε´ = εv

v varía de 0,25 a 0,35 para la mayor parte de los

metales y muchos materiales. El concreto tiene

un v entre 0,1 y 0,2.

Para que se cumpla la relación de Poisson el

material debe ser 1) homogéneo y 2) isotrópico.

Ejemplo. A bar made of A-36 steel has the dimensions shown in the figure. If an

axial force of P = 80 kN is applied to the bar, determine the change in its length

and the change in the dimensions of its cross section after applying the load. The

material behaves elastically.



Normal Stress: σ = 16 x 106 Pa

Note that for A-36 steel E = 200 GPa.

Strain in z direction: ε = σ / Е = 80 x 10-6 mm/mm

Axial elongation of the bar: δz = εz Lz = 120 x 10-6 m = 120 μm

For steel, v = 0,32 εx = εy = - v εz = - 25,6 μm/m

Changes in the dimensions of the cross section:

δx = εx Lx = -25x10-6 μm/m * 0,1 m = -2,56 μm

δy = εy Ly = -25x10-6 μm/m * 0,05 m = -1,28 μm

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