METODOS DE ENERGIACAPTULO Capitulo 11 : Mtodos de energia14

MTODOS ENERGTICOS

INTRODUCCIN

La relacin entre una carga aplicada a una mquina o a una estructura y las deformaciones resultantes es una parte importante de la mecnica de materiales. Esta relacin carga-deformacin se puede determinar y expresar de varias maneras. Las primeras partes de este libro usan el equilibrio esttico y la geometra para establecer las relaciones carga-deformacin. Este capitulo introduce las tcnicas energticas para relacionar las cargas aplicadas con las deformaciones estructurales resultantes.

La conservacin de la energa es un concepto til en muchas reas de la ciencia. En la mecnica de materiales proporciona una base para manejar varios tipos de problemas. La aplicacin ms frecuente de las tcnicas energticas est en el clculo de pendientes y deflexiones de vigas, marcos, armaduras y otras estructuras. Ciertos tipos de problemas se ajustan particularmente bien a las tcnicas energticas. Las deformaciones de los miembros curvos, el anlisis de cargas de impacto y el movimiento de las armaduras son los problemas en que estas tcnicas ofrecen una clara ventaja sobre tcnicas analticas alternativas. En otros tipos de problemas, las tcnicas energticas proporcionan interesantes mtodos alternativos de solucin.

Hay muchas tcnicas que caen bajo la amplia clasificacin de mtodos energticos. El trabajo real, el trabajo virtual y el teorema de Castigliano son algunas de las ms populares. Todas ellas estn relacionadas, pero cada una tiene su propio procedimiento de solucin. Este capitulo introduce los conceptos energticos fundamentales e ilustra algunas aplicaciones.

ENERGA DE DEFORMACIN

TRABAJO Y ENERGA

El trabajo se define como el producto de una fuerza por la distancia que se mueve en la direccin de la fuerza. Por ejemplo, la figura indica dos fuerzas actuando sobre un cuerpo. Pueden presentarse otras fuerzas, pero no se indican. El cuerpo se mueve desde la posicin (a) hasta la posicin (b). Por consiguiente, la fuerza F1 se mueve desde la posicin A2 hasta la posicin A2 una distancia d1. Anlogamente, la fuerza F2 se mueve desde B1 hasta B2, a travs de una distancia d2.

El trabajo efectuado por la fuerza F1 es F1 veces s1, ya que la fuerza y la distancia deben tener la misma lnea de accin. Anlogamente, el trabajo hecho por la fuerza F2 es F2 veces s2. El trabajo puede ser positivo o negativo. El trabajo positivo ocurre cuando la fuerza y la distancia tienen el mismo sentido. El trabajo negativo ocurre cuando la fuerza y la distancia tienen sentido opuesto. En la figura, si el cuerpo se mueve desde (a) hasta (b), el trabajo de las fuerzas F1 y F2 es positivo. Si el movimiento es desde (b) hasta (a), el trabajo es negativo.

La figura indica un resorte sin deformar. Cuando se aplica una fuerza P, el resorte se alarga una distancia . Supngase que la fuerza se incrementa gradualmente desde cero hasta su valor final P. La figura indica la grafica de la relacin entre P y .

El trabajo hecho por la fuerza P es la fuerza por su distancia. Sin embargo, la fuerza cambia su magnitud desde cero hasta su valor final P1. El cambio en el trabajo desde una posicin a la siguiente es Pd, como se indica mediante el rea elemental de la figura (c). El trabajo total es la suma de cada incremento Pd, O sea:

Trabajo = Cuando la relacin P - es lineal, como en la figura, el trabajo es igual a P, que es el rea bajo la cuerva P-.

El resorte, deformado, es capaz de realizar trabajo para regresar a su posicin sin deformar. Este trabajo interno se llama la energa interna de deformacin, y se le da el smbolo U. La energa interna de deformacin, o simplemente la energa de deformacin, U, s igual en magnitud al trabajo externo. Establecido matemticamente,

La integral es el rea bajo el diagrama carga-deformacin. Cuando la relacin carga-deformacin es lineal, como en la figura (a), todo el trabajo externo se convierte en energa elstica de deformacin. Esta energa elstica es recuperable y hace que la estructura regrese a su posicin original despus de quitar la carga.

La energa total de deformacin siempre es el rea bajo una curva carga-deformacin. Sin embargo, cuando se excede el lmite elstico, como en la figura (b), queda alguna deformacin permanente despus de que se quita la carga. La energa recuperable es el rea triangular que define el movimiento de regreso. A otra porcin del rea bajo el diagrama carga-deformacin representa la energa de deformacin que se gasta en deformar permanentemente el material. Esta energa se disipa en forma de calor.

Energa de deformacin para cargas axiales

El hecho de que el trabajo externo sea igual a la energa interna de deformacin puede usarse directamente como un mtodo para determinar deflexiones. Por ejemplo, la barra simple de la estructura de la figura tiene una carga Q aplicada gradualmente. Si el sistema se conserva elstico, el trabajo externo es Q/2. Si podemos determinar la energa interna de deformacin de las barras AC y BC, podemos calcular la deflexin .

Desarrollaremos una expresin para la energa de deformacin de una barra cargada axialmente, de la siguiente manera. La figura indica una barra sujeta a la aplicacin gradual de una carga P. La barra experimentara un alargamiento total . La deformacin interna de un segmento de la barra, la longitud dx es igual a la fuerza promedio por el cambio de longitud dx. El cambio de longitud de un miembro cargado axialmente est dado por la ecuacin como . La energa interna de deformacin para el segmento dx es

La energa total de deformacin para toda la barra es la suma de las energas de deformacin para cada segmento:

Conociendo la energa interna de deformacin, puede calcularse la deflexin . El ejemplo ilustra el procedimiento.

Energa de deformaciones para cargas de flexin

El mtodo del trabajo real usado en el ejemplo tambin puede aplicarse para otros tipos de carga. Solamente necesitamos desarrollar una relacin para la energa interna de deformacin de la respuesta de la carga.

La figura indica una viga con una carga concentrada actuando en B. El trabajo externo involucra el movimiento de la fuerza Q a travs de la deflexin de la viga. El trabajo externo es igual a Q, y reconocemos otra vez la relacin lineal carga-flexin.

La energa interna de deformacin para un segmento de longitud dx se determina sumando la energa de deformacin dU para cada fibra que existe en dx. Primero, considerando la deformacin en una sola fibra localizada a una distancia y a partir del eje neutro, tenemos

El esfuerzo en esta fibra es . Entonces,

La energa interna de deformacin para esta fibra es P. La fuerza P sobre la fibra se obtiene a partir de . Otra vez, el esfuerzo unitario se determina a partir de la formula de la flexin, . Por consiguiente:

La energa interna de deformacin en esta fibra es

La energa interna de la deformacin para el segmento dx es la suma de la energa de deformacin en todas las fibras de ese segmento

La energa de deformacin para toda la viga se determina sumando la energa de deformacin para cada segmento dx sorbe la longitud L. Esto es

La ecuacin determina la energa interna de deformacin por flexin. Conociendo sta, ahora podemos calcular las deflexiones mediante el mtodo del trabajo real.

Energa de deformacin para cargas cortantes

La influencia del esfuerzo cortante sobre la deflexin de la viga es de muy pequea magnitud, y por consiguiente se desprecia en la determinacin de pendientes y deflexiones. Si queremos calcular la contribucin de los esfuerzos cortantes a la deformacin total de una viga, los mtodos energticos proporcionan una tcnica muy til. Sin embargo, debera notarse que la expresin para la energa de deformacin depende de la forma de la seccin. Es decir, diferentes formas de seccin transversal darn diferentes expresiones para la energa de deformacin.

La figura (a) indica una viga de seccin transversal rectangular. Las cargas externas producen una fuerza cortante no est distribuido uniformemente sobre la seccion transversal, sino que varia segn la ecuacin como . Consideramos una fibra, tal como la indicada en la figura (b). El trabajo que se realiza mientras que la fibra de longitud dx est siendo distorsionada es

Trabajo =

El movimiento es igual a ya que los ngulos son pequeos, y sen

El rea dA es igual a bdy, segn la figura (c). El ngulo representa deformacin unitaria por cortante, y segn la ecuacin . El trabajo hecho sobre esta sola fibra puede representarse, entonces, como

Trabajo =

=

La ecuacin (b) de la energa de deformacin para un solo elemento, situado a una distancia y del eje neutro. El esfuerzo cortante puede expresarse mediante la ecuacin como = VQ/Ib. El momento esttico Q del rea que queda sobre la fibra es

Sustituyendo esto en la ecuacin (b) nos da

Trabajo = El trabajo para el segmento dx se determina sumando la ecuacin (c) para todas las fibras que existen en dx. Esto se convierte en

Trabajo =

Sustituyendo I = 1/1 2bd3 en la ecuacin (d), y reconociendo que A = bd, encontramos

Trabajos =

El trabajo es la energa interna de deformacin. Integrando la ecuacin (e) sobre la longitud, obtenemos

Para cualquier forma de seccion transversal, la ecuacin puede escribirse como

El factor K puede deducirse para cualquier seccin transversal de una manera semejante. Para un crculo, K=10/9 y para una vigueta de acero de patin ancho, K es, aproximadamente, igual a 1, si se toma como A el rea del alma solamente.

Energa de deformaciones para cargas de torsin

La figura indica una flecha circular sujeta a un par de torsin, T. El trabajo externo involucra el movimiento del par T a travs de la rotacin . El trabajo externo es T.

La energa interna de deformacin dU para un segmento dx en la figura (b) es:

La ecuacin da el ngulo de torsin de una cara con respecto a la otra, como

La energa de deformacin para el segmento dx es

La energa de deformacin en toda la longitud de la flecha se obtiene sumando la energa de deformacin para cada segmento. Esto se convierte en

Limitaciones del mtodo del trabajo real

En las secciones se describieron mtodos para calcular la energa de deformacin en miembros sujetos a los principales tipos de carga. Las ecuaciones para la energa interna de deformacin U son generales, y pueden usarse con cualquiera de los mtodos energticos.

El mtodo del trabajo real se uso para ilustrar aplicaciones de la energa de deformacin. Aunque los conceptos del trabajo real, son tiles, su aplicacin se limita a unas cuantas situaciones especiales.

El trabajo es una fuerza por una distancia, o un par por el ngulo de rotacin. Por consiguiente, este mtodo es solamente valido para encontrar una deflexin o una rotacin en la direccin de la fuerza o el par. Todos los ejemplos de las ecuaciones cumplieron esta condicin. Sin embargo, si queremos la deformacin en un lugar diferente de donde se aplica la carga, el mtodo no es valido. Adems, si se aplican simultneamente sobre un miembro ms de una carga externa. Aparecer ms de una incgnita o , en la expresin para el trabajo externo, y la solucin es imposible de calcular.

Los conceptos de trabajo y energa discutidos en las secciones son la base de todas las tcnicas energticas usadas para calcular pendientes y deflexiones. Sin embargo, las limitaciones de la tcnica de trabajo real nos impulsan a adaptar los conceptos y deducir otros mtodos energticos relacionados que no sean tan limitados en su aplicacin.

En este capitulo se discuten dos de los mtodos energticos ms populares. La seccin B describe el mtodo del trabajo virtual: Este mtodo verstil es una tcnica conveniente para determinar la pendiente o la deflexin en cualquier lugar de un miembro. La seccin C describe la aplicacin del teorema de Castigliano para obtener pendientes y deflexiones.

Mtodo del trabajo virtual

El mtodo del trabajo virtual es la ms til y verstil de las tcnicas energticas. Puede usarse para determinar deformaciones en cualquier lugar de una estructura, que sean causadas por cualquier tipo o combinacin de cargas. La nica limitacin de la teora es que debe poderse aplicar el principio de superposicin.

La palabra virtual significa que existe en efecto, pero no de hecho. Una fuerza virtual es una fuerza ficticia que se incorpora en algn punto de la estructura. El trabajo virtual es el movimiento de esta fuerza virtual a travs de una distancia. Al aplicar el mtodo del trabajo virtual, la distancia es generalmente el desplazamiento real de la estructura bajo sus cargas reales aplicadas.

Puede usarse el principio de la conservacin de la energa para las fuerzas virtuales como

Trabajo virtual externo = Energa de deformacin virtual interna

La aplicacin de la ecuacin puede verse a partir de la figura. Supngase una carga unitaria ficticia unida a la estructura en el punto A, como se indica en la figura (b). Tambin suponemos que no se presenta ninguna otra fuerza. Ahora consideremos la figura (c). Se quita la fuerza unitaria virtual, pero se aplican las cargas reales. El punto A se desplazar hasta A2 debido a las deformaciones estructurales producidas por las cargas reales. La deflexin en A en la direccin de la carga virtual es A. La ecuacin se convierte en

Trabajo virtual externo =Energa de deformacin virtual interna

Dondel = la fuerza virtual unitaria A = la deflexin real del punto A en la direccin de la fuerza virtual

= Las fuerzas internas en las fibras debidas a la fuerza virtual

= deformaciones reales internas en las fibras debidas a las cargas reales

Las diversas secciones siguientes ilustran la aplicacin de la ecuacin para cargas axiales, de flexin, y de torsin

Trabajo virtual para cargas axiales

El mtodo del trabajo virtual se aplica fcilmente a estructuras articuladas cuyos miembros estn cargados axialmente, tal como la armadura de la figura. El miembro izquierdo de la ecuacin es el trabajo virtual externo de la carga unitaria virtual de la figura (b) por la deflexin real C de la figura (a). El miembro derecho de la ecuacin es la energa de deformacin interna total. Es el producto de la fuerza interna producida por la carga virtual y la deformacin producida por las cargas reales sobre cada miembro. El trabajo puede ser positivo o negativo. Si la fuerza y la deformacin tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo. Si tienen sentidos opuestos, el trabajo es negativo.

La figura (a) indica cualquier barra y su fuerza virtual. En sistemas cargados axialmente, a la fuerza virtual interna sobre la barra se le representa con la letra u. El cambio de longitud debido a las cargas reales es , se determina segn la ecuacin como .

La deformacin de cualquier punto sobre una estructura articulada puede determinarse entonces segn

Donde1 = carga virtual, lb o N = deflexin plg, o m, U = Fuerza virtual sobre una barra interna resultante de la carga virtual, lb o N. P = fuerza interna en la barra producida por las cargas reales, lb o N,L = longitud de la barra, plg o m,A = rea de la seccin transversal de la barra, plg2 o m2, E = modulo de elasticidad, lb/plg2 o Pa. El procedimiento general para la solucin de este tipo de problema involucra los pasos siguientes.

1. Se aplica la carga virtual unitaria en el lugar y en la direccin 2. Para cada barra de la estructura se calcula la fuerza interna producida por la carga unitaria. Es importante determinar si la barra est a tensin o a comprensin. Es til designar las fuerzas de tensin como positivas y las de comprensin como negativas. 3. Se aplican las cargas reales sobre la estructura, y se calculan las fuerzas internas en las barras producidas por estas cargas. De nuevo, es til considerar la tensin como positiva, y la comprensin como negativa. 4. Se incorporan los valores obtenidos en la ecuacin, y se determina la deflexin.

Trabajo virtual para cargas de flexin

La deflexin de una viga puede determinarse mediante el mtodo del trabajo virtual. Para obtener la deflexin en cualquier punto especifico, se aplica una carga unitaria ficticia en ese punto, en la direccin de la deflexin deseada. A partir de esta carga ficticia resultante un momento virtual interno. El producto de este momento por la rotacin de la seccin sobre la que ocurre el momento en el trabajo virtual interno.

La figura (a) indica una viga y su carga real. Supongamos que queremos determinar la deflexin en el punto D. Aplicamos una fuerza ficticia unitaria en D, como se indica en la figura (b). Esta carga ficticia produce un momento m en cada lugar x, como se indica en la figura (c). Las cargas reales hacen que la cara vertical sobre la cual acta m gire un ngulo d. La ecuacin indica que d=Mdx/EI. El trabajo interno para la viga es La deflexin de una viga se calcula mediante

Trabajo virtual externo = trabajo virtual interno

El procedimiento para calcular la deflexin de una viga mediante el trabajo virtual es como sigue:

1. Se aplica una carga unitaria ficticia a la viga descargada en el lugar donde se desea la pendiente o la deflexin. 2. Se calculan las reacciones para esta carga virtual. Se corta la viga en las secciones necesarias, se traza un diagrama de cuerpo libre, y se escriben las ecuaciones para el momento interno m como funcin de la variable x. 3. Se aplican las cargas reales a la viga. Se calculan las reacciones correspondientes a las cargas reales, se corta la viga en las secciones necesarias, y se escriben las ecuaciones para M como funciones de la variable x. 4. Se incorporan las ecuaciones en la ecuacin y se despeja x.

Las secciones necesarias de los pasos 2 y 3 son aquellas que aparecen cada vez que el sistema de cargas produce un cambio en la ecuacin bsica, ya sea de m, o de M.

El ejemplo ilustra este procedimiento. Ntese que el trabajo virtual interno puede ser positivo o negativo. El trabajo positivo ocurre cuando el sentido de rotacin de m y de dO (es decir, de M) tienen la misma direccin. El trabajo negativo ocurre cuando el sentido rotacional de m y de M es opuesto.

Trabajo virtual para cargas de Torsin

La solucin de problemas que involucran cargas de torsin es anloga a la de las cargas de flexin. La figura (a) indica una flecha circular sujeta a un par de torsin aplicado, T. Queremos calcular la rotacin angular .

En B se aplica un par unitario ficticio. El par de torsin interno producido por el par de torsin virtual es t. La rotacin del segmento dx producido por las cargas reales est dada por la ecuacin como . Por consiguiente, el trabajo interno se convierte en . La rotacin angular de una flecha se determina entonces como

Trabajo virtual externo = trabajo virtual interno

Trabajo virtual para cargas combinadas

El mtodo del trabajo virtual es muy verstil. Cuando una estructura tiene cargas aplicadas que dan por resultado una combinacin de fuerzas internas axiales, de momentos, o de pares de torsin, pueden usarse las ecuaciones en el mismo tipo de combinacin. En tanto que las ecuaciones para las fuerzas internas y pares internos de las cargas reales y ficticias sean consistentes, el mtodo permite calcular la deformacin.

Teora y aplicacin del teorema de Castigliano

A Alberto Castigliano, un ingeniero de ferrocarriles italiano, se le acreditan contribuciones significativas en el campo del anlisis estructural. En 1876 publico dos teoremas. Lo que se describe como el primer teorema de Castigliano proporciona una tcnica para determinar las pendientes y las deflexiones de vigas y marcas utilizando derivadas parciales de la energa interna de deformacin. Su segundo teorema, generalmente llamado el mtodo del mnimo trabajo es un mtodo poderoso para resolver problemas que involucran estructuras estticamente indeterminadas; particularmente, estructuras articuladas de un nmero grande de indeterminacin.

El primer teorema de Castigliano da por resultado una tcnica que incorpora los principios de la energa de deformacin descritos anteriormente en este capitulo. Es notablemente semejante al mtodo del trabajo virtual. Podemos demostrar el primer teorema considerando la viga de la figura. Las fuerzas P1 y P2 se han aplicado a la viga gradual y simultneamente. Por el principio del trabajo real,Trabajo externo = energa interna de deformacin

Supngase ahora que P1 se incrementa en dP1, mientras que P2 se mantiene constante, como se indica en la figura (b). La deflexin en 1 se incrementa en d1, y la deflexin en 2 tambin se incrementa. La rapidez de variacin de 1 con respecto a P1 es

Anlogamente, si queremos el cambio de deflexin en 2 que es producido por el cambio dP1, encontramos

El cambio total, en la ecuacin (a), por la adicin de dP1 es

El termino () se desprecia debido a que es un termino de orden superior. La ecuacin (d) puede entonces simplificarse usando las ecuaciones b y c hasta obtener:

Pero segn la ecuacin a

Tomando la derivada parcial con respecto a P1 obtenemos

Restando la ecuacin f de la ecuacin e encontramos

La ecuacin es la expresin matemtica del primer teorema de Castigliano, que puede enunciarse como sigue:

La deflexin de una estructura en el punto de aplicacin y en la misma direccin de una fuerza aplicada se obtiene calculando la primera derivada parcial de la energa de deformacin total interna, con respecto a la carga aplicada.

Notamos que la deduccin del teorema de Castigliano uso el principio del trabajo real. Consecuentemente, las limitaciones descritas en la seccin se aplican tambin. Por ejemplo en la figura (a), podemos determinar la deflexin en B, que est directamente debajo de la carga P, pero no podemos determinar la deflexin en ningn otro lugar, tal como el punto D. Este problema puede resolverse fcilmente incorporando una carga ficticia Q en el lugar donde se necesita la deflexin. Para completar la solucin, hacemos Q = O, y obtenemos las deflexiones deseadas.

El teorema de Castigliano puede usarse para calcular tanto pendientes como deflexiones. Cuando se desea hallar pendientes, incorporamos un par ficticio en vez de una fuerza ficticia.

El procedimiento para obtener deformaciones estructurales mediante el teorema de Castigliano es como sigue:1. Se traza la estructura y sus cargas. Si existe una fuerza concentrada (o un par real) en el lugar donde se desea hallar la deflexin (o la pendiente), dejamos esa fuerza (o el par) en funcin de la variable P. Si no existe alguna fuerza (o un par) en el lugar deseado, incorporamos una fuerza ficticia Q (o un par ficticio Q) en ese punto. Ntese que siempre podemos ser consistentes en nuestras soluciones indicando las cargas reales por sus valores numricos e incorporando siempre una fuerza ficticia Q (o un par ficticio Q) en el lugar donde se desea hallar la deflexin (o la pendiente). 2. Se escriben las ecuaciones para la energa interna de deformacin U en funcin de los valores numricos de las cargas reales y de la carga ficticia Q:3. Se determina la deflexin (o la pendiente) tomando la derivada parcial de la ecuacin para la energa de deformacin, con respecto a Q. Es decir .

En el paso 3 lo podramos efectuar de cualquiera de dos formas. Primero podramos escribir la ecuacin para U elevando al cuadrado los trminos P, M o T, de las ecuaciones. La operacin requiere elevar al cuadrado las expresiones para P, M o T y despus integrar, y despus calcular finalmente la derivada parcial. Esto es a menudo, tedioso. Una forma mas conveniente de efectuar el paso 3 es diferenciar primero bajo el signo integral, y despus integrar. Cuando hacemos esto, encontramos la deflexin usando la energa de deformacin segn las ecuaciones, para obtener

Ntese la semejanza entre estas tres ecuaciones y las ecuaciones

Los ejemplos siguientes ilustran el calculo de pendientes y deflexiones mediante el teorema de Castigliano.

ENERGA DE DEFORMACIONES PARA CARGAS DE DEFLEXIN

El mtodo del trabajo real, tambin puede aplicarse para otros tipos de cargas. Solamente necesitamos desarrollar una relacin para la energa interna de deformacin de la respuesta de la carga.Indica una viga con una carga concentrada actuando en B. el trabajo externo involucra el movimiento de la fuerza Q a travs de la deflexin de la viga. El trabajo externo en igual a , y reconocemos otra vez la relacin lineal carga- deflexin.La energa interna de deformacin para un segmento de longitud se determina sumando la energa de deformacin para cada fibra que existe en . Primero, considerando la deformacin en una sola fibra localizada a una distancia y a partir del eje neutro, tenemos: Q A B Fy eje neutro

El esfuerzo de esta fibra es . Entonces,

La energa interna de deformacin para esta fibra es . La fuerza P sobre la fibra se obtiene a partir de . Otra vez, el esfuerzo unitario se denomina a partir de la formula de la flexin, . Por consiguiente,

La energa interna de deformacin en esta fibra es

La energa interna de deformacin para el segmento es la suma de la energa de deformacin en todas las fibras de ese segmento

La energa de deformacin para toda la viga se determina sumando la energa de deformacin para cada segmento sobre la longitud L. Esto es

La ecuacin determina la energa interna de deformacin por flexin. Conociendo esta, ahora podemos calcular las deflexiones mediante el mtodo del trabajo real.LIMITACIONES DEL MTODO DEL TRABAJO REALEn las secciones se describieron mtodos para calcular la energa de deformacin en miembros sujetos a los principales tipos de carga. Las ecuaciones para la energa interna de deformacin U son generales, y pueden usarse con cualquiera de los mtodos energticos.El mtodo del trabajo real se uso para ilustrar aplicaciones de la energa de deformacin. Aunque los conceptos del trabajo real son tiles, su aplicacin se limita a unas cuantas situaciones especiales.El trabajo es una fuerza por una distancia, o un par por el Angulo de rotacin. Por consiguiente, este mtodo es solamente valido para encontrar una deflexin o una rotacin en la direccin de la fuerza o el par. Todos los ejemplos de las secciones cumplieron esta condicin, sin embargo, si queremos la deformacin en un lugar diferente de donde se aplica la carga, el mtodo no es vlida. Adems, si se aplican simultneamente sobre un miembro ms de una carga externa, aparecer ms de una incgnita en la expresin para el trabajo externo, y la solucin es imposible de calcular.Los conceptos de trabajo y energa discutidos en las secciones, son las base de todas las tcnicas energticas usadas para calcular pendientes y deflexiones, sin embargo, las limitaciones de la tcnica del trabajo real nos impulsan a adaptar los conceptos y reducir otros mtodos energticos relacionados que no sean tan limitados en su aplicacin.En este captulo se discuten dos de los mtodos energticos ms populares. La seccin B describe el mtodo el trabajo virtual. Este mtodo verstil es una tcnica conveniente para determinar la pendiente o la deflexin en cualquier lugar de un miembro. La seccin C describe la aplicacin del teorema de castigliano para obtener pendientes y deflexiones.TRABAJO VIRTUAL PARA CARGAS DE DEFLEXIN

La deflexin de una viga puede determinar mediante el mtodo del trabajo virtual. Para obtener la deflexin en cualquier punto especifico, se aplica una carga unitaria ficticia en ese punto, en la direccin de la deflexin deseada. A partir de esa carga ficticia resultante un momento virtual interno. El producto de este momento por la rotacin de la seccin sobre la que ocurre el momento es el trabajo virtual interno.

Indica una viga y una carga real. Supongamos que queremos determinarla deflexin en el punto D. Aplicamos una fuerza ficticia unitaria en D, como se indica. Esta carga ficticia produce un momento m en cada lugar x. las cargas reales hacen que la cara vertical sobre la cual acta m gire un angulo . La ecuacin indica que . El trabajo interno para la viga es La deflexin de una viga se calcula medianteTrabajo virtual externo = trabajo virtual interno

P 1(ficticia) A B D C x m

x

El procedimiento para calcular la deflexin de una viga mediante el trabajo virtual es como sigue:

1. Se aplica una carga unitaria ficticia a la viga descargada en el lugar donde se desea la pendiente o la deflexin.2. Se calculan las reacciones para esta carga virtual. Se corta la viga en las secciones necesarias, se traza un diagrama de cuerpo libre y se escriben las ecuaciones para el momento interno m como funcin de la variable x.3. Se aplican las cargas reales a la viga. Se calculan las reacciones correspondientes a las cargas reales, se corta la viga en las secciones necesarias, y se escriben las ecuaciones para M como funciones de la variable x.4. Se incorporan las ecuaciones y se despeja x.

Las secciones necesarias de los pasos 2 y 3 son aquellas que aparecen cada vez que el sistema de cargas produce un cambio en la ecuacin bsica, ya sea de m, o de M.

El ejemplo ilustra este procedimiento. Ntese que el trabajo virtual interno puede ser positivo o negativo. El trabajo positivo ocurre cuando el sentido de rotacin de m de (es decir de M) tienen la misma direccin. El trabajo negativo ocurre cuando el sentido rotacional de m y de M es opuesto.. TEOREMA DE CASTIGLIANO ACERCA DE LAS DEFLEXIONES

Al calcular deflexiones en sistemas elsticos o menudo se puede aplicar con ventaja el siguiente teorema: la derivada parcial de la energa de deformacin de un sistema linealmente elstico con respecto a una fuerza seleccionada que acta sobre el sistema, da el desplazamiento de esa fuerza en la direccin de su lnea de accin. Las palabras 2fuerza y desplazamiento tienen un sentido generalizado e incluyen tambin, respectivamente, al par y a la rotacin angular. Este es el (segundo) teorema de Castigliano. Su deduccin se da a continuacin.La expresin para la energa interna de deformacin de sistemas linealmente elsticos se puede poner en esencia en la siguiente forma:

Sin embargo, como se indico en el artculo 13-2, puesto que los esfuerzos dependen de las fuerzas aplicadas, la energa de deformacin de un cuerpo dado se puede expresar tambin como una funcin cuadrtica de las fuerzas externas es decir.

Supngase que esta energa corresponde a un cuerpo como el que se muestra en la figura. El incremento infinitesimal de esta funcin, para un incremento infinitesimal en todas las fuerzas aplicadas, y , se deduce aplicando la regla de diferenciacin. Esto da

En esta expresin se utiliza la notacin y en vez de la notacin diferencial ordinaria, para hacer nfasis en la independencia lineal de estas cantidades. Desde este punto de vista, si solo la fuerza cambiara en una cantidad , el incremento de la energa de deformacin sera

Por consiguiente, como el trabajo de las reacciones es cero, la energa total de deformacin, U, correspondiente a la aplicacin de todas las fuerzas externas y , es

Una expresin igual a esta se formulara en seguida invirtiendo el orden o secuencia de aplicacin de las cargas. Al aplicar primero , se produce un desplazamiento infinitesimal . En el caso de un cuerpo linealmente elstico se puede despreciar el trabajo externo de que corresponde a ste, ya que es un infinitesimal de segundo orden. Adems, el trabajo externo que realizan las fuerzas no lo altera la presencia de . De otra manera, durante la aplicacin de estas fuerzas, la fuerza realiza trabajo al recorrer una distancia en la direccin de . Este trabajo adicional es igual a . Por consiguiente, el trabajo total que efecta el sistema externo de cargas, incluyendo el trabajo que realiza , es

Esta relacin puede hacerse igual a la ecuacin, puesto que el orden de aplicacin de las cargas es diferente, y el trabajo externo es igual a la energa interna de deformacin:

Simplificando.

Por la retencin de trminos diferentes en la deduccin,

que la rotacin de un miembro en un punto p en el sentido del momento aplicado .Estas verstiles ecuaciones establecen la proposicin enunciada al principio de este artculo. Al aplicar dichas ecuaciones, la resolucin de un problema no est limitada por el nmero de fuerzas aplicadas. La adicin de una fuerza ficticia en un sitio en que no se aplica ninguna fuerza real permite utilizar las ecuaciones anteriores en cualquier localizacin en un cuerpo. Haciendo igual a cero la fuerza ficticia, se determina el desplazamiento real en el extremo.

5. TEOREMA DE RECIPROCIDAD En sistemas estructurales lineales la deflexin en el punto i debida a las fuerzas en i y en j, de acuerdo con la ecuacin se puede expresar como

Similarmente, la deflexin en j es

donde son los coeficientes de flexibilidad de un sistema dado.Si la energa de deformacin del sistema debida a la aplicacin de estas fuerzas es U, de conformidad con el segundo teorema de Castigliano, las mismas cantidades se pueden expresar tambin como

Igualando las dos expresiones de la derivada de con respecto a que resultan de sus dos ecuaciones anteriores, se tiene:

y similarmente

Sin embargo, puesto que el orden de derivacin es indiferente,

Esto expresa que la deflexin en un punto i debida a una fuerza unitaria en un punto j es igual a la deflexin en j debida a una fuerza unitaria en i, siempre que coincidan las direcciones de las fuerzas y las deflexiones en cada uno de los dos casos. A esto se le llama teorema de reciprocidad o ley de las deflexiones reciprocas de Maxwell.

6. GENERALIZACIN DE LOS TEOREMAS DE CASTIGLIANOEs interesante examinar de nuevo el teorema de Castigliano, en relacin con un diagrama fuerza-deformacin para un miembro cargado axialmente. La respuesta linealmente elstica que antes se consider. Observe que para este caso la energa de deformacin elstica, U, es igual a la energa de deformacin complementaria . En este diagrama se puede ver que para un incremento de carga , el trabajo externo complementario es . Esto a su vez es igual a , en consecuencia , de lo cual en forma generalizada se tiene que

Para el caso linealmente elstico donde . Sin embargo, una inspeccin demuestra que esta relacin permanece vlida para un material elsticamente no lineal siempre que se utilice en vez de U.Considerando el trabajo externo realizando por un cambio en e igualndolo a la energa de deformacin , en una u otra figura, se halla que . Expresado en forma generalizada

Que es el primer teorema de Castigliano. Su significado es anlogo al del segundo, pero se intercambian las posiciones de la fuerza y el desplazamiento. Esta ecuacin se aplica tanto a materiales elsticos lineales como a no lineales.La aplicacin del primer teorema de Castigliano y de los dos teoremas para materiales no linealmente elsticos no se llevara ms adelante en este texto.

ProblemasProblema 1Determinar la deflexin mxima en una viga simplemente apoyada de longitud L con una carga concentrada P en el centro de su claro.SolucinDCL PA 0 B Rb

Calculo de las reaccionesRa +Rb = P Ma = 0 Rb = P/2Fy= 0 Ra = P/2Calculo del momento Calculo de la energa = = = = U = Trabajo externo = energa interna Problema 2Determinar la reflexin mxima en una viga simplemente poyada, de longitud L, que soporta una carga uniformemente distribuida de w N/m aplicada en toda su longitud.Solucin:DCL A B Calculo de los momentos Trabajo virtual externo = trabajo virtual interno

=

= =

Problema 3Determinar el mximo valor de EIy en la mnsula de la figura, cargada como se indica. Considerar el origen de coordenadas en el empotramiento. a P L

Solucin: a P L P

M = P

Trabajo virtual externo = trabajo virtual interno

=

Problema 4Obtener la ecuacin de la elstica de la mnsula de la figura, sometida a una carga triangular que vara desde cero en el empotramiento hasta w N/m en el extremo libre.

LSolucin: w Q x L

n = M = (

Problema 5 Como se indica en la figura, una viga simplemente apoyada se sostiene dos cargas concentradas simtricamente colocadas. Calcular la deflexin mxima y comparar el resultado con la flecha en el centro, del caso 7 de la tabla 6-2. Contrastar el resultado obtenido, poniendo a = L/2 y comparndolo con la solucin del problema 605. P P a a L Solucin Q a P P a L

M = -PX+PLM = P (L-X)

Problema 6 La viga apoyada de la figura, soporta una carga uniforme w simtricamente distribuida en una porcin de su longitud. Determinar la deflexin mxima y confrontar el resultado, poniendo a = 0, con la solucin del problema 606. a 2b a L Solucin: W(x-a) w (2b) a b b W a 1A x-a B C 0.5 0.5Mtodo de trabajo virtual M = M =

Si a = 0 L = 2b

Problema 7Calcular el valor de EI en el centro del claro en la viga representada en la en la figura. Si E = 10GN/, determinar el valor de I necesario para que la deflexin en el centro no sobrepase 1/360 del claro. Indicacin: considerar el origen de x en el apoyo derecho siendo x positiva hacia la izquierda.

300 2m 2m Solucin: 300A B C Calculo de las reacciones MA = 0 600(1) = (4) Calculo del momento

M = (450+

M = (150+

Calculo de la deflexin por el teorema de castigliani

EIQ = 0

= 300 + 200

Problema 8Calcular el valor de EI en el centro de la viga cargada como se indica en la figura. 2m 1.5m 300 0.5m 4m

Solucin: 2m 1.5m 0.5m 300 0.5m A B C 4m Calculo de las reacciones 600(2.5) = D.C.L. Q 600N.m 1.5 0.5 0.5 1m 0.5 A 2m B C Calculo del momento

M =

M = Calculo de la deflexin por el mtodo de castigliani

(EI) = = = 262.5 + 362.5 = 625N

Problema 9Calcular el valor de EIy en el extremo derecho de la viga cargada como indica la figura. 3m 400N 400Nm 1m 1m 4m Solucin: 3m 400 1m 1m 400 A 4m Q B Calculo de las reacciones

D.C.L. 1 A 4m C 1m B Calculo de los momentos M = 650X - 200 m = M = 650X 1200(X 1.5)M =

M = -400Xm = m = -XCalculo de la energa

= 450 120.83 + 133.33 EIy = 462.5N

Problema 10Calcular la pendiente de la elstica en el apoyo derecho de la viga con voladizo de la figura.

800N 800Nm 1m 2m 1m Solucin: 800 MA 800 1m 2m 800 A B 1 C Calculo de las reacciones Calculo de los momentos

M = 400X 800(X 1) + 1200(X 3) - 400m = Calculo de la energa MA = 0

Problema 11Calcular el valor de EIy en el centro entre apoyos de la viga con voladizo de la figura.

4kN 2k 2k 2m 2m 2m

Solucin: 4kN 4Kn 4kN 1 1 2 1 1 2 2 2 2 Calculo de las reacciones

D.C.L. 4 4 Q 4 1 1 2 1 1A B C 4 8

Calculo de los momentos

Calculo de la energa

= 3.33 + 23 7 EIy = 19.33KN

Problema 12Determinar (a) la ordenada y la pendiente de la elstica bajo la carga P y (b) la mxima deflexin entre apoyos, en la viga de la figura.

a b P LSolucin: A a B b P C LCalculo de las reacciones D.C.L. a b P a b Calculo de los momentos Trabajo externo = energa interna de deformacin

Trabajo externo = energa interna

Calculo de la mxima deflexin La mxima deflexin se consigue cuando energa interna = 0 y por el teorema de castigliani obtenemos: EIy mx. =

Problema 13Sustituir la carga P del problema 616 por un par M aplicado en el extremo derecho, y determinar la pendiente y ordenada en el mismo punto.

Solucin: a b x MCalculo de las reacciones a b 1

D.C.L. a b a b 1 X MCalculo de los momentos

Calculo de la energa

.Problema 14 Una viga simplemente apoyada resiste la accin de un par M aplicado como se indica en la figura P-618. Determinar la ecuacin de la elstica y la deflexin en el punto de aplicacin del par. Despus, poniendo a = L y a = 0, comparar el resultado con los casos 11 y 12 de la tabla 6-2. M a LSolucin: A M C a B L Calculo de las reacciones

D.C.L. Q

Calculo del momento

Calculo de deflexin por el teorema de castigliani

Problema 15Determinar el valor de EIy en el centro de la viga representada en la figura P-619. (Indicacin: Use el hecho de que, debido a la simetra, la pendiente en el punto medio es nula.) 400N/m 400N/m 2m 2m 2m

Solucin: 400 400 400 A 2 B 2 C 2 D Calculo de las reacciones

D.C.L. 800 Q 3 3 Calculo del momento

Calculo de la deflexin por el teorema de castigliani

Si Q = 0

Problema 16Determinar la deflexin en el centro de la viga de la figura P-620. Indicacin: considerar el origen de coordenadas en el centro de la viga ya deformada.

Solucin: x A B C y Calculo de las reacciones Calculo del momento w Q A B C origen de coordenadas Calculo de deflexin por el teorema de castigliani

Problema 17Calcular EI en el centro del claro, en la viga de la figura P-621. Confrontar el resultado obtenido, haciendo a= 0, con el resultado del problema 606. Tngase en cuenta la misma indicacin del problema anterior. a L a Solucin: A B a L a

Calculo de las reacciones x 1 a a 0.5 0.5 Calculo del momento Trabajo externo = trabajo interno

Problema 18Calcular el valor de la deflexin en el punto medio del claro en la viga representada en la figura. Indicacin: trazar el diagrama de momentos por partes, empezando por el centro del claro hacia los extremos. Por simetra, la tangente en el centro es horizontal.

600 600 2 1 2 Solucin: 600 600 2 1 2 Calculo de las reacciones 1200 1200 A 1 1 1 1 1 B Calculo de los momentos 1kb 2.5 2.5 0.5 0.5 Aplicando la ecuacin del trabajo virtualTrabajo virtual externo = trabajo virtual interno

Problema 19 Determinar el valor de a 1m de en la viga de la figura. Indicacin: trazar la tangente de referencia en el apoyo derecho. 600 2 1 Solucin: 600 2 1

Calculo de las reacciones 1200 A 1 1 1 B Calculo de los momentos 1 2 1 Aplicando la ecuacin del trabajo virtual

Problema 20Obtener el valor de bajo la carga concentrada de la viga de la figura.

200 500 A 1m 1m 2m B Solucin: 200 500 A 1m 1m 2m B Calculo de las reacciones Calculo de los momentos 1kb 1 3 Aplicando la ecuacin de trabajo virtual 656. calcular el valor de bajo la carga concentrada de 100N.m en la viga representada en la figura. M=100N.m 500 A 1m 2m 1m B Solucin: 500 100N.m A 1m 2m 1m B Calculo de las reacciones

Calculo de los momentos 1kb 3 1 0.25 0.75 Aplicando la ecuacin del trabajo virtual

TEOREMA DE CASTIGLIANO ACERCA DE LAS DEFLEXIONES

Al calcular deflexiones en sistemas elsticos a menudo se puede aplicar con ventaja el siguiente teorema: La derivada parcial de la energa de defo4macion de un sistema linealmente elstico con respecto a una fuerza seleccionada que acta sobre el sistema, da el desplazamiento de esa fuerza en la direccin de su lnea de accin. Las palabras fuerzas y desplazamiento tienen un sentido generalizado e incluyen tambin, respectivamente, al par y a la rotacin angular. Este es el segundo teorema de castigliano. Su deduccin se da a continuacin.

La expresin para la energa interna de deformacin de sistemas linealmente elsticos se puede poner en esencia en la siguiente forma:

.. (1)

Sin embargo los esfuerzos dependen de las fuerzas aplicadas, la energa de deformacin de un cuerpo dado se puede expresar tambin como una funcion cuadrtica de las fuerzas externas P1, P2, ., Pk,.,Pn, M1, M2,....,Mm,...., Mn, es decir:

U=U(P1, P2, ., Pk,.,Pn, M1, M2,....,Mm,...., Mn)..(2)

Supngase que esta energa corresponde a un cuerpo como el que se muestra en el grafico (a). El incremento infinitesimal de esta funcion, , para un incremento infinitesimal en todas las fuerzas aplicadas y , se deduce aplicando la regla de diferenciacin. Esto da:

.. (3)

En esta expresin se utiliza la notacin y en vez de la notacin diferencial ordinaria, para hacer nfasis en la independencia lineal de estas cantidades. Desde este punto de vista, si solo la fuerza . Grafico (b), el incremento de la energa de deformacin seria:

.. (4)

Por consiguiente, como el trabajo de las reacciones es cero, la energa total de deformacin, U*, correspondiente a la aplicacin de todas las fuerzas externas y . Grafico (c). Es:

.. (5)

Una expresin igual a esta se formulara en seguida invirtiendo el orden o secuencia de aplicacin de las cargas, grficos (a), (b) y (d). Al aplicar primero , se produce un desplazamiento infinitesimal . En el caso de un cuerpo linealmente elstico se puede despreciar el trabajo externo de que corresponde a este, ya que es un infinitesimal de segundo orden. Adems el trabajo externo We que realizan las fuerzas P1, P2, ., Pk,.,Pn, M1, M2,....,Mm,...., Mn no lo altera la presencia de . De otra manera, durante la aplicacin de estas fuerzas, la fuerza realiza trabajo al recorrer una distancia en la direccin de Pk. Este trabajo adicional es igual a . Por consiguiente, el trabajo total We* que efecta el sistema externo de cargas, incluyendo el trabajo que realiza , grafico (d), es:

.. (6)Esta relacin puede hacerse al igual a la ecuacin (5), puesto que el orden de aplicacin de las cargas es indiferente, y el trabajo externo es igual a la energa interna de deformacin:

..... (7)Simplificando:

Por la retencin de trminos diferentes en la deduccin:

La cual es la que da la rotacin de un miembro en un punto p en el sentido del momento aplicado Mp.

Esta verstil ecuacin establece la proposicin enunciada al principio de este tema. Al aplicar dicha ecuaciones, la resolucin de un problema no esta limitada por el numero de fuerzas aplicadas. La adicin de una fuerza ficticia en un sitio en que no se aplica ninguna fuerza real permite utilizar las ecuaciones anteriores en cualquier, localizacin de un cuerpo. Haciendo igual a cero la fuerza ficticia, se determina en desplazamiento real en el extremo. Este y otros detalles en relacin con la aplicacin del teorema de Castigliano acerca de las deflexiones se ilustraran en los siguientes problemas.El anlisis de sistemas lineales estticamente indeterminados siempre se puede utilizar el mtodo de superposicin. En tal procedimiento es posible emplear el teorema de Castigliano para determinar los desplazamientos en una estructura reducida a la determinacin esttica. Alternativamente las redundantes se pueden considerar como fuerzas externas desconocidas que se identifican adecuadamente con smbolos algebraicos. Entonces la funcin de energa de deformacin contendr como incgnitas las cantidades redundantes. Sin embargo, las condiciones cinemticas prescritas para cada redundante proporcionaran las condiciones necesarias para resolver un problema.

1. Una viga prismtica elstica esta cargada como se ve en la figura. Utilizando e teorema de Castigliano. Hllese la deflexin debida a flexin causada por la fuerza P que se aplica en el centro del claro.Realizando un D.C.L:

Ahora:

Realizando un corte a la viga:

Hallando M:

Tomando momento:

Entonces aplicamos el mtodo de energa:

Pero:

Reemplazando datos:

Operando obtenemos:

2. Usando el teorema de Castigliano determinar la deflexin en el extremo libre de una viga en voladizo cargada uniformemente como se muestra en el grafico. La rigidez EI es constante.Resolucin:

Como se nota ninguna fuerza esta aplicada al extremo de la viga voladiza, donde hay que hallar los desplazamientos. Por consiguiente, a fin de poder aplicar el teorema de Castigliano se debe aadir una fuerza ficticia que corresponda al desplazamiento solicitado. Adems de las cargas especificadas se ha introducido una fuerza adicional RA. Esto permite determinar , Ra da la deflexin vertical del punto A. Realizando un corte en la carga homognea

Hallando M:

Tomando momento:

Ahora:

Pero: Reemplazando datos:

Pero sabemos que Ra=0 Entonces Operando obtenemos:

El signo negativo indica que la deflexin es en sentido contrario al supuesto para la fuerza Ra.

3. Determinar la deflexin o desplazamiento horizontal del marco elstico simple que se indica en el grafico. Considere solo la desviacin causada por la flexin. La rigidez a la flexin EI de ambos miembros es la misma y se considera constante.Resolucin:La funcin de energa de deformacin es un escalar. Por tanto, se pueden sumar algebraicamente las energas internas separadas para elementos diferentes de un sistema elstico. Una vez que se determina la energa total de deformacin, su derivada parcial con respecto a una fuerza dar el desplazamiento de esta.Realizando un corte en la carga homognea:Desde A hasta B:Hallando M:

Tomando momento:

Ahora:

Desde B hasta C:

Hallando M:

Tomando momento:

Ahora:

Entonces:

Reemplazando datos:

Entonces Operando obtenemos:

4. Considere una viga elstica cargada uniformemente, empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro, como se indica en la figura. Determine la reaccin en A.Resolucin:Realizando un corte en la carga homognea

Hallando M:

Tomando momento:

Ahora:

Pero:

Reemplazando datos:

Entonces:

Operando obtenemos:

5. En la viga apoyada y empotrada de la figura, calcular R y trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.

Resolucin

Realizando un corte en la carga homognea:

:

Hallando M:

Tomando momento:

Ahora:

Pero: Entonces aplicamos el mtodo de energa:

Entonces:

Diagrama de fuerza contante y Momento Flexionante::

6. Calcular el valor de R y trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante en la viga apoyada y empotrada de la figura.ResolucinRealizando un corte en la carga heterognea:

Tomando momento:

Ahora:

Pero: Entonces aplicamos el mtodo de energa:

Entonces:

Diagrama de esfuerzo cortante y Momento Flexionante:

7. Calcular la reaccin R en la viga de la figura.

ResolucinRealizando un corte en la carga heterognea:

Tomando momento:

Ahora:

Pero:

Entonces aplicamos el mtodo de energa:

Entonces:

8. Determinar los momentos de empotramiento en la viga doblemente empotrada de la figura.

Realizando un D.C.L:

Entonces:

Tomando momento:

Ahora:

Tomando momento:

Ahora:

Pero: Entonces aplicamos el mtodo de energa:

Entonces:

9. Calcular los momentos de empotramiento en la viga de la figura.

Realizando un D.C.L:

Entonces:

Tomando momento:

Ahora

Tomando momento:

Ahora:

Pero: Entonces aplicamos el mtodo de energa:

Entonces:

10. Calcular los momentos de empotramiento en la viga doblemente empotrada de la figura.

Realizando un D.C.L:

Entonces:

Tomando momento:

Ahora

Tomando momento:

Ahora:

Pero:

Entonces aplicamos el mtodo de energa:

Entonces: