Apuntes para una breve introduccin a laRESISTENCIA DE MATERIALESy temas relacionados.Universidad de Valladolidrea de Mecnica de Medios Continuos y Teora de estructurasJulio de 2011Prlogo y LicenciaEstos Apuntes para una breve introduccin a la Resistencia de Materiales y temas relacionados han sido elaborados con la intencin de que sirvan de gua al alumno en su primera (y segn el caso, nica) asignatura relacionada con la Resistencia de Materiales y las estructuras, en las titulaciones de Grado que han comenzado a impartirse el curso 2009-10 en el mbito del Espacio Europeo de Enseanza Superior en la Universidad de Valladolid. Se abordan tantos aspectos relacionados con los slidos resistentes y las estructuras como se ha considerado razonablemente posible, sin profundizar demasiado en ninguno de ellos, sino ms bien pretendiendo ofrecer un panorama general amplio sobre la materia. Con ello se espera cubrir tanto las necesidades del estudiante que solamente cursar una asignatura relacionada con la Resistencia de Materiales, el cual adquirir la deseable cul tura general al respecto para juzgar casos sencillos y para poder comunicarse eficazmente en el futuro con un especialista, como las del estudiante que cursar (o tendr oportunidad de cursar) otras asignaturas relacionadas,el cual podr construirse un marco mental de referencia donde ir colocando los conocimientos en los que profundizar.Debido al carcter introductorio del curso, cada uno de los contenidos abordados en estos apuntes se pueden encontrar tratados con mayor amplitud y profundidad en muchos otros textos. Precisamente, se ha considerado que la oportunidad de este documento radica en ofrecer al estudiante una referencia concisa y justamente del nivel pretendido de la amplia diversidad de temas previstos, recomendando como complemento referencias existentes en las que el nivel inevitablemente supera lo establecido para el curso. ______________________Este trabajose publicabajolalicenciaAttribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0Unported de Creative Commons. Se trata de una licencia pensada para compartir, y notanto para restringir las condiciones de utilizacin. Para ver una copia de esta licencia,visitehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/o bien escriba una carta a CreativeCommons, 444CastroStreet, Suite900, MountainView, California, 94041,USA. En resumen, dicha licencia establece que Ud. es libre de: Compartir- copiar, distribuir y transmitir este trabajo. Reutilizar- adaptar el trabajo y hacer obras derivadas.Bajo las siguientes condiciones: Atribucin (BY)- Ud. debe atribuir este trabajo a sus autores en la manera especificada porellos (pero no de una manera que sugiera que los autores le respaldan a Ud. o al uso que Ud. hace deltrabajo de ellos). En este caso, debe atribuir la autora al rea de Mecnica de Medios Continuos yTeora de estructuras de la Universidad de Valladolid, como forma genrica de reconocimiento a losprofesores de dicho rea que han elaborado este trabajo. No comercial(NC)- Ud. no debe usar este trabajo para fines comerciales. Compartir de la misma manera (SA)- Si Ud. transforma, o hace una obra derivada de estetrabajo, Ud. puede distribuir el resultado nicamente bajo una licencia como la presente.ndice de contenido1.- Introduccin................................................................................................1Algunos enfoques de estudio del slido real.......................................................................1Formas estructurales bsicas............................................................................................. 3Materiales........................................................................................................................... 6Acciones sobre la estructura............................................................................................... 7Objetivos en el anlisis de la estructura..............................................................................82.- Equilibrio y Tensin..................................................................................10Equilibrio esttico.............................................................................................................. 10Concepto de Tensin........................................................................................................ 11Tensor de Tensiones........................................................................................................ 14Simetra del tensor de tensiones................................................................................................ 17Direcciones y Tensiones Principales................................................................................19Representacin de Mohr.................................................................................................. 213.- El Slido Elstico......................................................................................25Nociones sobre la Deformacin........................................................................................25Ensayo de Traccin.......................................................................................................... 27Ensayo de Torsin............................................................................................................ 31Ley de Comportamiento Elstica Lineal............................................................................35Criterios de Plastificacin................................................................................................. 36Lneas Lder.............................................................................................................................. 37Ensayos de Lode....................................................................................................................... 37Ensayos de Bridgman................................................................................................................ 38Criterio de Tresca....................................................................................................................... 40Criterio de Von Mises................................................................................................................. 434.- Traccin Flexin de Barras Rectas......................................................47Introduccin y Concepto de Esfuerzo ..............................................................................47Hiptesis adoptadas......................................................................................................... 53Relacin entre cargas y esfuerzos. Ecuaciones de Equilibrio...........................................56Clculo de Tensiones Normales en la Seccin.................................................................58Relacin entre Giros y Desplazamientos transversales....................................................62Trazado de Diagramas de Esfuerzos y Desplazamientos.................................................63Trazado a mano alzada.............................................................................................................. 67Trazado mediante integracin explcita de las ecuaciones........................................................74Estimacin de las Tensiones Tangenciales en la Seccin................................................77Secciones Macizas.................................................................................................................... 77Secciones con Alma................................................................................................................... 78Secciones de Pared Delgada..................................................................................................... 805.- Torsin Uniforme en Barras Rectas........................................................82Generalidades.................................................................................................................. 82Torsin en barras de seccin circular...............................................................................83Seccin circular hueca de pared delgada..................................................................................83Seccin circular hueca de pared gruesa.................................................................................... 86Perfil circular macizo.................................................................................................................. 86Nociones sobre la torsin en barras de seccin no circular..............................................876.- Inestabilidad y Pandeo.............................................................................91Concepto de Inestabilidad Mecnica................................................................................91Carga Crtica de Euler...................................................................................................... 93Longitud de Pandeo.......................................................................................................... 94Esbeltez Mecnica............................................................................................................ 97Mtodo de coeficientes parciales......................................................................................98Otros fenmenos de Inestabilidad..................................................................................100Pandeo Lateral......................................................................................................................... 100Abolladura................................................................................................................................ 1017.- Estructuras de Barras.............................................................................103Concepto de Hiperestaticidad......................................................................................... 103Armaduras Isostticas.................................................................................................... 107Un ejemplo............................................................................................................................... 109Notas sobre la ejecucin.......................................................................................................... 113Estructuras Hiperestticas de Nudos Rgidos.................................................................115Fundamentos del Mtodo de Compatibilidad...........................................................................116Fundamentos del Mtodo de Equilibrio.................................................................................... 1178.- Nociones sobre temas relacionados....................................................123El Hormign.................................................................................................................... 123El Terreno....................................................................................................................... 128Resistencia y fallo del terreno.................................................................................................. 129Comportamiento en servicio del terreno................................................................................... 133La Cimentacin............................................................................................................... 135Zapatas.................................................................................................................................... 136Otros elementos de cimentacin directa..................................................................................141Cimentaciones profundas......................................................................................................... 143Uniones en Estructura Metlica......................................................................................144Medios de unin....................................................................................................................... 145Nudos....................................................................................................................................... 148Perfiles compuestos................................................................................................................. 153La Nave Industrial........................................................................................................... 154Las cerchas y los prticos........................................................................................................ 155La cubierta............................................................................................................................... 156Los entramados laterales y la viga contraviento......................................................................158El puente gra.......................................................................................................................... 160Apndice Algebra de Vectores Deslizantes................................................................162Generalidades................................................................................................................ 162Operaciones bsicas...................................................................................................... 163Adicin (o suma) de vectores................................................................................................... 163Producto escalar de dos vectores............................................................................................ 164Producto vectorial de dos vectores.......................................................................................... 164Momento de un vector deslizante respecto de un punto..........................................................165Momento de un vector deslizante respecto de una recta.........................................................165Sistemas de vectores deslizantes...................................................................................166Campo de momentos............................................................................................................... 167Momento Mnimo y Eje Central................................................................................................ 168Equivalencia y Reduccin de sistemas de vectores deslizantes..............................................169Aplicacin a la Esttica................................................................................................... 170Apndice B Propiedades estticas.................................................................................171Centros de Gravedad..................................................................................................... 171Centros de rea.............................................................................................................. 172Momentos de Inercia...................................................................................................... 173Apndice CNotas sobre el Clculo Grfico de Armaduras..........................................175Clculo grfico de reacciones......................................................................................... 175Clculo grfico de esfuerzos en las barras.....................................................................178Apndice DTablas y Grficos.........................................................................................183Bibliografa....................................................................................................1861.- IntroduccinAlgunos enfoques de estudio del slido realEl comprender de manera completa la totalidad de los fenmenos que ocurren en un proceso fsico cualquiera puede ser algo demasiado difcil, y en general resultar de dudosa utilidad desde el punto de vista prctico.Frecuentemente es posible identificar un conjunto de parmetros que representen de manera suficiente aquellos aspectos del proceso que ms nos interesan. Las leyes fsicas expresan relaciones predecibles entre esos parmetros de inters, permitiendo con ello el estudio sistemtico de casos particulares, con vistas a las labores de anlisis y de diseo.En el caso de los slidos sobre los que actan fuerzas, puede ocurrir que slo estemos interesados en el estado de reposo o movimiento del slido como un conjunto, y no en fenmenos internos que podran ocurrir en el interior del mismo, como por ejemplo la deformacin o la rotura. En ese caso, el modelo proporcionado por la Dinmica del Slido Rgido ser suficiente para su estudio. Este modelo es particularmente elegante, ya que se formula en base a un nmero de parmetros muy reducido, y a slo dos ecuaciones vectoriales. stas son las conocidas:F=maM=Io (1.1)Que relacionan, respectivamente, la resultante de las fuerzas aplicadas y su momento resultanterespectodeunpuntoconparmetrosinstantneosdemovimiento(laaceleracin lineal y la aceleracin angular, respectivamente), a travs de las propiedades de inercia del slido (masa y momentos de inercia). En el caso particular de que los trminos de inercia sean de magnitud despreciable frente a las fuerzas y momentos que intervienen en el problema, los miembros derechos de las ecuaciones anteriores se pueden suponer nulos: F=0 M=0 (1.2)Las anteriores son las ecuaciones de la Esttica del Slido Rgido, de comn aplicacin en el clculo de reacciones y otras fuerzas, en problemas de slidos resistentes. Puede incluso ocurrir que, por la naturaleza del problema, los movimientos de rotacin puedan despreciarse. En estos casos, slo la ecuacin de fuerzas es relevante, y el problema implica en la prctica el estudio de un punto con masa: es la Dinmica del Punto Material. Si adems el trmino de inercia es despreciable, el modelo adquiere la forma ms simple de Esttica delPunto Material, en elqueslo hay que asegurar elequilibriode fuerzas que pasan por el punto. Resistencia de Materiales Pg. 2Todos los modelos citados anteriormente hacen uso de la herramienta matemtica denominada lgebra de Vectores Deslizantes, que es especialmente adecuada para este tipo de problemas ya que como es sabido:El estado de movimiento o reposo de un cuerpo rgido no cambia siuna fuerza actuante es aplicada en otro punto de su recta de accin.Enestecursoestamosinteresadosenlosfenmenosdedeformacin, dao, yposible rotura, que pueden ocurrir en los slidos reales. Centraremos el estudio en las condiciones estticas (trminos de inercia despreciables) que son frecuentes en los problemas de estructuras convencionales.Aunque el estudio de los fenmenos asociados a la deformacin requiere modelos matemticos diferentes que la Esttica del Slido Rgido, sta ser an de utilidad, ya que la imposi cin de las condiciones de equilibrio se realiza mediante las mismas ecuaciones (1.2) de suma de fuerzas igual a cero, y suma de momentos igual a cero.El estudio del slido real (deformable) se divide tradicionalmente en varias disciplinas, que estn fuertemente interconectadas entre s, pero que al mismo tiempo tienen sus particularidades en cuanto al mbito de aplicacin, objeto de estudio, y modelos matemticos o aproximaciones que utilizan. A continuacin se enumeran estas disciplinas:Elasticidad.- No presupone ninguna particularidad en la geometradel slido que pudiera conducir a simplificaciones aproximadas del modelo. Sus resultados son por tanto de aplicacin a slidos de cualquier geometra. Habitualmente, en especial al abordarunprimerestudio, suelenasumirseunconjuntodehiptesisqueporuna parte simplifican el modelo, y por otra parte se adaptan bien al comportamiento del acero y de otras aleaciones metlicas. En concreto supondremos materialhomogneo (las propiedades son iguales en distintos puntos) e istropo (en cualquier punto dado las propiedades no dependen de la direccin de observacin), comportamiento elstico (el slido recupera su forma inicial tras la descarga) y lineal (existe proporcionalidad entre cargas y desplazamientos),pequeos desplazamientos y cambios de forma (lo bastante para que sea buena aproximacin plantear el equilibrio en la configuracin indeformada), y ausencia de efectos dinmicos.Resistencia de Materiales.-Estudia el slido con forma de barra esbelta, generalmente recta. Se asumen el resto de hiptesis bsicas usadas en la Teora de la Elasticidad. La particularidad geomtrica de que una dimensin sea mucho mayor que las otras dos, permite realizar simplificaciones muy tiles en el modelo matemtico. Esta tipologa de barra es mayoritariamente utilizada tanto en estructuras de edificacin como de ingeniera civil, de ah la importancia de su estudio particular. Teora de Estructuras.-Para enunciarlo brevemente, podemos decir que estudia el comportamientodelossistemasdebarrasconectadasentres,bajolasmismas hiptesis que la Resistencia de Materiales. En realidad la lnea divisoria entre ambas disciplinas es confusa, siendo habitual incluir estudios de sistemas de barras senciResistencia de Materiales Pg. 3llos en el mbito de la Resistencia de Materiales. Por otra parte, muchos textos sobre Teora de Estructuras abordan el estudio de fenmenos (como pueden ser la plasticidad o los grandes desplazamientos) que se salen de las hiptesis ms tpicas del primer estudio de la Elasticidad y la Resistencia de Materiales.Aunque la clasificacin anterior debiera ser suficiente para que elrecin llegado se forme una idea rpida del contenido de cada disciplina,debe tenerse noticia de que hay varios aspectos que no se han mencionado, fundamentalmente porque no sern objeto de estudio en este curso. Tales son los estudios de placas y lminas (formas estructurales que mencionaremos seguidamente), que suelen realizarse en el mbito de la Resistencia de Materiales, o ciertos estudios de slidos que no admiten simplificaciones geomtricas claras y que suelen estudiarse como parte de la Teora de Estructuras, como pueden ser los detalles de las uniones en estructuras y en su cimentacin, por ejemplo.El estudio de las disciplinas bsicas enumeradas da paso al de otras ms especializadas. Entre ellas, como continuacin y aplicacin de sus conocimientos, podemos citar las Estructuras Metlicas, Estructuras de Hormign, Estructuras de Madera, etc. Como materias adyacentes, pero cuyo estudio slo cobra sentido tras adquirir los conocimientos bsicos, estn las materias relacionadas con Proyectos de Estructuras, Construcciones Industriales, Puesta en Obra, etc. Como profundizacin en el estudio del comportamiento del slido resistente, existen diversas disciplinas, generalmente derivadas de relajar alguna de las hiptesis bsicas que se realizaron en el primer estudio, o de incluir nuevos fenmenos. Podemos citar la Plasticidad, la Viscoelasticidad, la Termoelasticidad, los modelos de Grandes Deformaciones, la Mecnica de la Fractura, el estudio del Material Orttropo y de los Apilados de Lminas, entre otros muchos. Formas estructurales bsicasEn cuanto a su geometra, podemos clasificar las formas estructurales de acuerdo con elsiguiente esquema:Con una dimensin mucho mayor que las otras dos:Barras rectasVigas, Columnas, y Barras de ArmadurasVigas curvas, Vigas de seccin variableArcosCablesCon una dimensin mucho menor que las otras dos:Membranas, Placas, y LminasForma generalFrecuente en nudos y uniones entre los elementos anteriores, y en elementos de mquinas (bielas, cigeales...)Resistencia de Materiales Pg. 4Comosehaapuntado, laformadebarrarectaeslamsampliamenteutilizadaenlas estructuras de todo tipo, y ser a la que prestemos especial atencin en este curso. Su geometra es la engendrada por una superficie plana que llamaremos seccin o perfilde la barra, al desplazarse a lo largo de un segmento de recta perpendicular a ella, que llamamos directriz de la barra. Entendemos por viga (fig 1.1a) aquella barra que est sujeta en algunos (pocos) puntos, y que soporta cargas transversales a ella, situadas en otros puntos. Por columna (fig 1.1b) entendemos aquella barra que soporta cargas fundamentalmente longitudinales con su eje. Frecuentemente se reserva el calificativo de columna para las barras verticales de las construcciones de edificacin, que suelen trabajar de la manera indicada, en concreto a compresin (no a traccin). Las armaduras (fig 1.1e) son estructuras metlicas debarrasmuyligerasyesbeltas, comolasquesuelenformarel cuerpodelasgrandes gras (para obra civil o urbana, portuarias, etc), y los esqueletos resistentes de las cubiertas de muchas naves industriales, polideportivos, etc. Las barras de las armaduras, por cmo estn diseadas y montadas, en general slo admiten cargas longitudinales con la propia barra, siendo en ese sentidoparecidasa las columnas. Pero por una parte, estas barras para armaduras suelen ser mucho ms esbeltas, y por otra parte pueden trabajar a traccin o a compresin. Su gran esbeltez las hace especialmente propensas a sufrir fenmenos de inestabilidad, y su montaje y puesta en servicio difiere mucho del de las columnas, por lo que se estudian por separado.Las vigas curvas se utilizan generalmente debido a exigencias de la funcionalidad que debe prestar el elemento resistente, aunque en ocasiones obedecen a criterios estticos. Algunos semforos de trfico, cuyo soporte tiene directriz curva, constituyen un ejemplo sencillo de viga curva. La exigencia de funcionalidad es, en este caso que las luces del semforo cuelguen del centro de la carretera sin que el soporte obstaculice el trfico.Unavigadeseccinvariableseproyectageneralmenteconlaintencindeaprovechar mejor el material. La idea bsica es poner seccin ms gruesa donde la solicitacin va a ser mayor. Laejecucindeunavigadeseccinvariableesmscomplicada-yporlotanto cara-, que una de seccin constante. Este es un factor que puede contrarrestar fcilmente el ahorro de material, y que debe ser sopesado al considerar elementos de este tipo. Un arco tiene una geometra similar a la de una viga curva, por lo que conviene enfatizar la diferencia entre ambos: elarco tiene su curvatura y sus apoyos diseados de modo que, para el estado de carga previsto, trabaje a compresin en todos sus puntos. Esto permite realizar arcos en materiales que no resisten traccin, como pueden ser la piedra o el hormi gn, e incluso formar el arco con piezas que no presenten cohesin entre s (sillera). Por el contrario, en una viga curva se cuenta con que habr traccin en muchos de sus puntos. Es evidente que el diseo de un arco debe ser especialmente cuidadoso, ya que la aparicin indeseadadetraccionespuedearruinar fcilmenteel arco. Muchascatedralesgticasy romnicas tienen magnficos ejemplos de arcos realizados en piedra.Los cables(fig 1.1d), al contrario que los arcos, no pueden soportar otra cosa que no sea traccin. Su geometra se adapta de forma natural a las cargas para que ello resulte as. En estructuras convencionales, el cable suele usarse en forma de tirante, es decir para intentar Resistencia de Materiales Pg. 5mantener la distancia entre dos puntos de la estructura que de otro modo tenderan a separarse entre s. En esos casos el cable recibe las acciones por sus extremos, y adopta una geometra recta.Una membranapuede entenderse como un cable con una dimensin ms:no presenta resistencia a ser doblada y no puede soportar compresiones (al igual que el cable). Un ejemplo familiar de membrana es la tela que forma un globo aerosttico. En estructuras habituales, las membranas son escasamente usadas como elemento resistente.Una placa(fig 1.1c) puede entenderse como una viga recta con una dimensin ms. Al igualque las vigas, presenta resistencia a ser curvada, y tpicamente est sustentada en algunospuntosmientrassoportaaccionestransversalesalaplacaenotrospuntos. Un ejemplo familiar de placa es el tablero de una mesa, o tambin la plancha de acero que se suele poner en las calles sobre una zanja (realizada normalmente para operaciones de mantenimiento), para que puedan continuar pasando vehculos por encima. El suelo (forjado) entre plantas de un edificio no es un buen ejemplo de placa, debido a su construccin con vigas y direcciones preferentes (forjado unidireccional). Un suelo construido a base de un emparrillado de vigas (forjado bidireccional) podra asimilarse ms a una placa.Unalminapuedeentendersecomounavigacurvaconunadimensinms. Tieneen comn con las placas todas sus caractersticas, salvo que su geometra no es plana sino alabeada. El tpico ejemplo de lmina lo constituye la chapa de la carrocera de un automvil bajo la carga aerodinmica, o bajo la accin accidental de un peso (una persona apoyada o sentada sobre la chapa, etc).Se han desarrollado modelos matemticos especficos para el estudio de cada una de las tipologas resistentes anteriores. Estos modelos, ms o menos complejos, resultan en todo caso de aplicar simplificaciones razonables al modelo elstico general. Los slidos resistentes de geometra general, es decir aquellos cuya forma y condiciones de trabajo no permiten aplicar razonablemente aproximaciones simplificadoras, deben ser analizados mediante tcnicas basadas directamente en la Teora de la Elasticidad. Aparte de los rganos de mquinas, existen un gran nmero de detalles constructivos (en los nudos o uniones de las estrucResistencia de Materiales Pg. 6turas por ejemplo) que caen en esta categora. No obstante, la existencia de normativa al respecto, sustentada por una amplia experiencia, facilita al proyectista en anlisis de estos detalles constructivos en la mayora de los casos comunes.MaterialesLos materiales utilizados para construir slidos con funcin resistente son muy diversos. Se emplean desde materiales que se encuentran en la naturaleza como la madera o la piedra, hastalosmsmodernoselaboradospor el hombre, comolosmaterialesreforzadoscon fibrasoel aceroyaleacionesmetlicas. Enestructurasdeedificacineindustriales, los materiales ms utilizados son el acero y el hormign. El acero es un producto industrial obtenido a partir de mineral de hierro, mediante sucesivos procesos de extraccin y refinado (alto horno, convertidor... etc). El acero es bsicamente hierro con una proporcin de carbono menor que el 2% (el hierro con mayor proporcin de carbonosueledenominarsefundicin, ypresentapropiedadesdistintas). El aceropara estructuras es acero extradulce, de bajo contenido en carbono (del orden del 0.2%).La norma vigente en Espaa, llamada Cdigo Tcnico de la Edificacin (CTE), en su apartado 4.2, contempla cuatro tipos de aceros para estructuras. Se denominan:S235S275S355S450El nmeroqueacompaaaladenominacinesel valordel Lmite Elstico, caracterstica particular de la que hablaremos ms tarde. La S es la inicial de steel, acero en ingls. El hormign consiste en una mezcla de cemento con ridos (arena, grava...), y agua, y frecuentementeotrosmateriales(aditivos)adicionales. Trasuncientotiempodefraguadoy endurecimiento (tpicamente 28 das), adquiere sus propiedades nominales de resistencia. Las vigas y columnas de hormign para estructuras suelen ejecutarse con barras de acero convenientemente embebidas en el interior, a modo de armado, debido a que el hormign por s mismo no tiene apenas capacidad de resistir tracciones. Por tanto, en condiciones normales de servicio, el hormign y sus armaduras de acero constituyen un material fuertemente no homogneo, circunstancia que aconseja abordar su estudio tras haber comprendido el comportamiento de un material homogneo.La normativa vigente relativa al hormign est recogida en la instruccin EHE, que es una norma aparte del CTE, y no est incluida en ste. La mayora de las estructuras de otros materiales (acero, madera, fbrica de ladrillo, etc), as como otros aspectos del servicio de la estructura (cargas, cimentacin, salubridad, etc), s estn recogidos y reglamentados en el CTE.Resistencia de Materiales Pg. 7La maderamerece aqu al menos una breve mencin como material estructural. Su moderna ejecucin en forma de apilados de tablas (no en bruto, sino en forma de laminados), le confiere caractersticas muy interesantes en cuanto a resistencia, homogeneidad del producto y predectibilidad decomportamiento frente a acciones como el fuego, o las propias cargas de uso de la estructura.Acciones sobre la estructuraCualquier estructura, entendida en un sentido amplio, se disea para realizar una cierta funcin, como puede ser transmitir un movimiento (caso tpico de un elemento de maquinaria), omantener enposicinloscerramientos(paredesetc) deunedificio, entreotras muchas funciones imaginables. El uso y funcionalidad previstos de nuestra estructura conllevarn unas acciones sobre la misma, pero stas no sern las nicas acciones a considerar. Hay que prever eventuales acciones climticas y trmicas (de origen climtico o no), y acciones producidas por eventos poco probables pero que de ocurrir pueden suponer daos graves (sismos, impactos, etc), entre otras acciones accidentales posibles.En los casos de estructuras de edificaciones convencionales, las acciones que deben considerarse estn reguladas por la normativa, en funcin del uso previsto de la estructura, su ubicacin geogrfica, etc. La normativa vigente en el territorio espaol est recogida en el CTE, Documento Bsico de Seguridad Estructural, punto 4 (Mtodo de Coeficientes Parciales), y Documento Bsico de Seguridad Estructural Acciones en la Edificacin (que detalla los valores concretos de las acciones a considerar en la aplicacin del citado Mtodo de los Coeficientes Parciales). La norma divide las acciones en tres categoras:Acciones Permanentes:Actuarn en todo instante, en la misma posicin. Comoel pesopropio, pesodeelementosfijos, empujesdel terreno,etc. Acciones Variables: Las que en un instante dado pueden actuar, o no, y cambiar de posicin. Las acciones debidas al uso, y las acciones climticas, por ejemplo.AccionesAccidentales:Aquellascuyaprobabilidaddeocurrir noes grande, pero que podran suponer daos importantes a la estructura. Como terremotos, fuego, impactos y explosiones.ElMtodo deCoeficientesParciales paralas acciones queimponela norma consisteen aplicar combinaciones de acciones ponderadas por coeficientes. Los coeficientes de ponderacin son de dos tipos: coeficientes de simultaneidad (que tienen en cuenta la muy escasa probabilidaddequetodas lasacciones variables independientesocurranconsuvalor mximo en el mismo instante) y coeficientes de seguridad (que tienen en cuenta la incertiResistencia de Materiales Pg. 8dumbre existente en relacin con el mximo valor al que pudiera llegar una accin variable). Su valor aplicable en cada caso est basado en tcnicas probabilsticas. Bsicamente, se trata de generar un caso de carga por cada accin variable. De cada uno de ellos derivan otros, considerando cada accin accidental. Adems hay casos de carga adicionales segn el tipo de fallo considerado (lmites de resistencia o de desplazamientos). Todo ello suele implicar un gran nmero de combinaciones de carga, incluso para estructuras relativamente sencillas.Objetivos en el anlisis de la estructuraDesde el punto de vista del anlisis, estaremos interesados en aquellas variables que afecten al correcto comportamiento de la estructura en condiciones de servicio. Esto conlleva la necesidad de realizar comprobaciones relativas a la resistenciade la misma, a su estabilidad, y a la magnitud de sus desplazamientos. Aparte de posibles pruebas experimentales, generalmente muy costosas, las comprobacionesse realizan sobre modelos matemticos que proporcionan la informacin necesaria acerca de dichos aspectos del comportamiento.Para elcaso del tipo de estructuras contempladas en el CTE, que fundamentalmente son aquellascuyo uso previsto involucrelaseguridado lacomodidad de personas, lanorma introduce el concepto de Estados Lmite, dividiendo stos en dos categoras:Estadoslmiteltimos:Sonlosestadosdelaestructuraque, deser superados, implican un riesgo para las personas, generalmente por un colapso total o parcial de la estructura.Estados lmite de servicio: Son aquellos estados de la estructura que, de ser superados, afectan negativamente al bienestar de las personas, o a la apariencia de la construccin.Tpicamentelosanlisisrelativosaestadoslmiteltimosrequieren comprobaciones acerca de la resistencia y la estabilidad, mientras que los anlisis relativos a estados lmite de servicio requieren comprobaciones sobre los desplazamientos. Cabe entender lo anterior como la manera en que la normativa expresa el hecho, generalmente vlido para el anlisis de cualquier slido resistente, de que es preocupante que el slido se rompa, pero tambin que se deforme excesivamente, aunque ello no supusiese peligro de rotura. En resumen, los mencionados modelos matemticos de aplicacin habitual en el anlisis, deben proporcionar predicciones acerca de:El comportamiento esperado del materialbajo las acciones previstas. Interesa en particular saber si el mismo se romper o sufrir algn tipo de alteracin indeseable.La magnitud de los desplazamientosde la estructura bajo las acciones previstas, para poder juzgar si los mismos sern aceptables o no en condiciones de servicio.Resistencia de Materiales Pg. 9Lascomprobacionesanteriores, basadasenlasprediccionesofrecidaspor losmodelos matemticos, se utilizan para validar un determinado diseo estructural, o apreciar la necesidad de su modificacin.Por supuesto existen otros criterios aparte de los puramente funcionales y de resistencia. Tpicamente, los condicionantes econmicos y estticos pueden ser determinantes para validar o no un diseo. No obstante, dichos aspectos caen fuera del mbito de este curso.2.- Equilibrio y TensinEquilibrio estticoConsideremos como objeto de anlisis un slido cualquiera, que en principio podemos suponer rgido, o bien considerar que es deformable y que se encuentra en su estado deformado tras la aplicacin de unas cargas. Hemos adoptado como hiptesis bsica el que los desplazamientos y los cambios de forma del slido son pequeos. Ello permite plantear el equilibrio en la configuracin indeformada con excelente aproximacin.Las mencionadas cargas sern un conjunto de fuerzas concentradas (cargas puntuales) o distribuidas (como la accin de la gravedad), y en todo caso se representan matemticamente mediante un sistema de vectores deslizantes. Como se indic en el tema anterior, en ausencia de efectos dinmicos dicho sistema de vectores debe cumplir las ecuaciones (1.2):F=0 M=0 (1.2 bis)Que expresan que la resultante de las fuerzas debe ser nula, y que su momento resultante respecto de un punto (cualquiera) delespacio debe sertambin nulo.Convieneenfatizar que elequilibrio de un slido, y por tanto las ecuaciones anteriores, no son algo opcional que un slido en reposo podra cumplir o no:Enlanaturaleza, yenausenciadeefectosdinmicos, unslido, o cualquier porcin de un slido, siempre estar en equilibrio. Por tanto, el sistema de fuerzas que acta sobre l siempre cumplir las ecuaciones (1.2) de equilibrio.Ocasionalmente utilizamos expresiones como el slido no estara en equilibrio, que parecen sugerir que tal estado de no equilibrio fuese posible, cuando en la realidad fsica, de una u otra forma, el slido siempre estar en equilibrio. Lo que en realidad queremos decir con expresionescomoesaesque,ennuestroanlisis, estamosaplicandomal, odeforma incompleta, las ecuaciones de equilibrio. De hecho, incluso en presencia de efectos dinmicos pueden definirse unas fuerzas de inercia, que permiten aplicar formalmente las ecuaciones de equilibrio esttico (1.2), aunque ello no sea de nuestro inters en este curso. Como se ha mencionado anteriormente, el lgebra de Vectores Deslizantes es la herramienta matemtica oportuna para analizar las condiciones de equilibrio de un slido, debido a que el estado de equilibrio no se ve afectado por la posicin de las fuerzas dentro de su recta de accin. A modo de resumen, en el Apndice A se incluye una breve descripcin de Resistencia de Materiales Pg. 11los aspectos de mayor inters del lgebra de Vectores deslizantes, y su aplicacin al equilibrio esttico.Concepto de TensinLatensinesprobablementeel conceptofsicomsimportantedetodalamecnicade medios continuos en general, y de la mecnica de slidos en particular. Considrese un slido en equilibrio esttico bajo a la accin de un determinado sistema de fuerzas. Frecuentemente dichas fuerzas estarn producidas por el contacto con otros slidos, y por tanto actuarn en la superficie del slido. Pueden ser fuerzas concentradas (que actan en un punto y tienen unidades de fuerza), o distribuciones de fuerzas(que actan sobre cierto rea del contorno del slido, y tienen unidades de fuerza dividida por superficie). Adems de las fuerzas en el contorno anteriores, pueden existir fuerzas en el dominio, (que actan en el interior del slido y tienen dimensiones de fuerza dividida por volumen), como por ejemplo la accin de la gravedad .Frecuentemente nos referiremos a todas estas acciones como cargas aplicadas o acciones exteriores en el slido.Las acciones aplicadas sobre el slido son esas fuerzas concentradas o distribuidas en el contorno, y la posible fuerza en el dominio. Usualmente son datos, y no se deben confundir con las tensiones internas en el slido, concepto diferente que definiremos a continuacin, y que raramente es dato en un problema elsticoImaginemos nuestro slido dividido en dos partes por una cierta superficie S como indica la figura 2.1a. Consideremos una de las partes del slido para nuestro anlisis (la izquierda en la figura). Definimos un vector n adimensional, de mdulo unidad, direccin perpendicular a la superficie S en cada uno de sus puntos, y sentido saliente de la parte del slido considerada. Asumimos que S es tal que la evolucin de n es continua (S no tiene esquinas). La porcin del slido que hemos aislado debe estar, cmo no, en equilibrio. Las acciones que actan sobre ella, y bajo las que debe estar en equilibrio, sern las que ya actuaban en esa porcin en el slido original, ms las acciones que la porcin eliminada del slido ejerce sobre la porcin considerada a travs de la superficie S.Figura 2.1: Porcin de un slido en equilibrio y concepto de tensin.dSdFSnotTndSSnb) a)Resistencia de Materiales Pg. 12La hiptesis fundamental de la Mecnica de los Medios Continuos establece que dicha interaccin entre ambas porciones del slido, es una distribucin continua de fuerzas por unidad de superficie.El valor vectorial de dicha distribucin de fuerzas en cada punto de S, es lo que conocemos como vector tensin (o simplemente tensin, cuando el contexto no da lugar a ambigedades). Toda la mecnica de los medios continuos se apoya en este concepto.La distribucin de fuerzas transmitida a travs de la superficie S es, por tanto, de caractersticas similares a lo que habamos definido como la distribucin de fuerzas que poda actuar como carga aplicada en una zona de la superficie real del slido. De hecho, ambas tienen las mismas dimensiones (fuerza dividido por superficie), y en realidad tienen idntico significado fsico una vez que hemos asumido que nuestro slido de estudio es la porcin considerada del slido original. De esta manera (ver nuevamente fig. 2.1a), en un elemento de rea dS, de normal n, perteneciente a la superficie S, actuar una fuerza elemental dF, que ser la resultante de la distribucin de tensin que acta en ese pequeo rea. Puede demostrarse que el momento resultante que pudiramos considerar tiende a cero al tomar un dS arbitrariamente pequeo. Lo anterior puede intuirse sin demostracin, ya que al ser continua la distribucin de tensiones,sta ser de direccin(tambin mdulo) aproximadamente constante en elpequeo dS, lo que permite su reduccin a slo la resultante.La figura 2.1b muestra el vector tensin Tnen el punto considerado de la superficie S. La notacin que empleamos incluye el superndice n para denotar que el vector tensin en ese mismo punto,pero segn otrasuperficiede cortecuya normal nofuesen ,seradistinto . Debe entenderse por tanto que el vector tensin vara con el punto considerado del slido, pero tambin con la orientacin de la superficie ideal de corte en ese punto.En rigor no haca falta toda la superficie S para ilustrar el concepto de vector tensin en un punto: con la superficie elemental dS habra bastado. El vector tensin en ese punto no depende de la forma u orientacin que tenga S en los dems puntos. Se ha incluido un corte completo S porque una explicacin basada en equilibrio resulta ms clara.Otra particularidad que se ilustra en la figura 2.1b es que, aunque tiene dimensiones de presin (fuerza partido por superficie), el vector tensin Tn no tiene porqu ser perpendicular a la superficie S. Por ello Tnno tienela direccin de nen la figura. De hecho, en la misma figura se representan las componentes del vector tensin en la direccin de n (componente o, llamada tensin normal), y en el plano perpendicular a n, que coincide con el plano tangente a S en el punto (componente t, llamada tensin tangencial). Se conoce al conjunto de ambas, o, t, como componentes intrnsecas del vector tensin. Vienen dadas por las expresiones:o = Tn nt2 = |Tn|2 o2(2.1)Resistencia de Materiales Pg. 13Siendo el resultado de un producto escalar, la tensin normal o puede tener signo positivo o negativo.Decimosque esta componente oes detraccincuandoelproductoescalar es positivo, y que es de compresin cuando es negativo. Esto coincide con la idea intuitiva de que si Tn apunta hacia el slido el elemento de superficie dS est siendo comprimido hacia adentro del slido, mientras que siTnapunta hacia afuera del slido estamos tirando del elemento de superficie hacia el exterior del slido. Por su parte, la tensin tangencial t aparece en la frmula elevada al cuadrado (ello es resultado de haber sido calculada como un cateto de un tringulo rectngulo usando el teorema de Pitgoras). Por tanto el signo de t es irrelevante. Diremos que la tensin tangencial t es un escalar sin signo. Lo anterior refleja el hecho fsico de que la tensin tangencial puede tener cualquiera de las infinitas direcciones dentro del plano tangente a S, y un simple cambio de signo no puede servir para discriminar entre infinitas posibilidades. Sin embargo, para la tensin normal slo hay dos posibilidades (hacia adentro o hacia afuera), que s pueden asociarse a un cambio de signo.Finalmente, consideremos por un momento la porcin del slido que fue descartada del anlisis en la figura 2.1 (porcin derecha). La misma est limitada por la misma superficie S, pero en este caso la normal exterior en un punto sera directamente opuesta a la normaln que obtenamos al aislar la porcin izquierda. Por tanto, la normal exterior en el punto al aislar la porcin derecha, ser -n (ver figura 2.2). Por otra parte, el principio de accin y reaccin de Newton indica que la fuerza dFque la porcin derecha ejerce sobre la izquierda a travs del dS, debe ser igual y contraria a la que la porcin izquierda ejerce sobre la derecha. Esta reciprocidad es inmediatamente trasladable a los vectores tensin, ya que slo hay que dividir la fuerza elemental por el escalar dS. Por lo tanto, tal como se muestra en la figura 2.2:Tn = - T-n(2.2)Figura 2.2: Vector tensin al considerar la otra porcin del slidoTndSSndSST -n = -T n-nResistencia de Materiales Pg. 14Tensor de TensionesEl vector tensin, pese a su notable inters, no es una magnitud adecuada para ser usada directamenteenlaelaboracindeunmodelomatemticoparael slidodeformable. La razn es que dicho vector tensin depende del plano de corte, para un mismo punto consi derado. Es decir, el vector tensin no describe completamente cmo se transmiten las fuerzas en el entorno del punto, ya que no proporciona informacin acerca de los otros -infinitos- planos posibles que pasan por el punto del slido. Para elaborar un modelo matemtico nos gustara disponer de una magnitud que, para un problema dado, tuviese un nico valor para cada punto del slido, y que describiese completamente cmo se produce la transmisin de fuerzas enel entornodedichopunto(proporcionaseinformacinacercadetodos los planos).Dicha magnitud existe, es del tipo denominado tensor de orden dos, y puede expresarse mediante 9 componentes reales. Aunque una presentacin formal de los tensores cae fuera del mbito de este curso, daremos al menos noticia de que los tensores pueden entenderse como una generalizacin de los conceptos de escalar y vector: Un escalar consta de una nica componente, y sera un tensor de orden cero (30=1). Un vector en el espacio tridimensional puede expresarse mediante 3 componentes, y sera un tensor de orden uno (31=3). Un tensor de orden 2 puede expresarse mediante las 32=9 componentes citadas, y en general un tensor de orden k tendra 3k componentes en un espacio tridimensional. Cuando hacemos girar los ejes cartesianos coordenados, las componentes de los tensores cambian de acuerdo con unas ecuaciones de cambio de base, de las que las conocidas ecuaciones de cambio de base para los vectores son un caso particular. El lector interesado puede consultar bibliografa ms especfica [9,10,11,12] al respecto de ste y otros muchos detalles acerca de la tensin que aqu se omitirn.A modo de ejemplo, puede considerarse el caso del campo de velocidades del slido rgido. A cada punto del slido corresponde un vector velocidad, que describecompletamente su velocidad.Y para ellono serasuficienteusar unescalar. Hayproblemas, comoel quenos ocupa, en que ni siquiera un vector es suficiente. Se necesita otro tipo de magnitud, que eventualmente llamamos tensor.Vamos a indicar sin mayor justificacin qu contienen las 9 componentes del tensor de tensiones. Considrese un punto P del interior de un slido, y que se han definido unos ejes cartesianos x,y,z, que tienen asociados los vectores unitarios ex,ey,ez. Se considera una superficie plana de corte cuya normal exterior es ey , y que por tanto es perpendicular al eje y, y tiene slido a su izquierda. En el punto P, y en el plano de corte indicado, el vector tensin esTey, que puede expresarse, como todo vector, por sus tres componentes cartesianasTxey,Tyey,Tzey segn los ejes x,y,z. Como indica la figura 2.3, adoptamos para estas componentes la denominacin alternativa oyx, oyy, oyz, respectivamente. Ntese cmo el primer subndice indica el plano de corte (ms precisamente, el eje coordenado perpendicular Resistencia de Materiales Pg. 15al plano de corte, que es y en este caso), y el segundo subndice indica la direccin de la componente de tensin.En un plano de corte que pase por el mismo punto P, y cuya normal exterior coincidiese con ex, habramos obtenido otro vector tensin (en general diferente), denotado comoTex, de componentesoxx, oxy, oxz. Anlogamente, si el plano de corte tuviese de normal exterior ez , habramos obtenido otro nuevo vector tensinTez, cuyas componentes llamaramos ozx, ozy, ozz. Las componentes de los tres vectores tensin considerados forman un conjunto de nueve nmeros reales, que son las nueve componentes del Tensor de Tensiones. Por conveniencia, es frecuente escribir las componentes del tensor de tensiones en forma compacta como una matriz, por ejemplo:|cxxcxycxzcyxcyycyzczxczyczzDonde, segnloexpuesto, cadatrminooji(conj, i, tomandolosposiblesvaloresx,y,z) queda definido por:cji=Tiej ( i,j = x,y,z ) (2.3)El convenio de signos para los trminos del tensor de tensiones est implcito en la ecuacin (2.3) anterior. No habra que decir ms al respecto, pero existen algunas implicaciones de ello que pueden resultar sorprendentes en un primer estudio, y en las que se insiste a conti nuacin.Por una parte, la ecuacin (2.3) define cada trmino del tensor de tensiones como componente de un vector tensin. Segn ella, hemos de observar un plano de corte cuya normal exterior sea +ej, es decir est dirigida en el mismo sentido que uno de los ejes coordenados. En tal plano, una componente del tensor de tensiones es positiva tal como lo sera una componente de un vector.Resistencia de Materiales Pg. 16Por otra parte, en un problema concreto, podemos conocer el vector tensin en un plano cuya normal exterior tiene el sentido opuesto a un eje (-ej). Nos gustara inducir a partir de ese vector tensin los signos de las tres componentes correspondientes del tensor de tensiones. La ecuacin (2.3) no es aplicable al caso, ya que en ella aparece +ej. Pero podemos usar (2.2), que en nuestro caso se traduce en Tiej=Tiej, para hacer aparecer -ejen la (2.3), con el resultado:cji=Tiej ( i,j = x,y,z ) (2.4)Que indica que en un plano de normal exterior contraria al sentido de un eje,una componente del tensor de tensiones es positiva contrariamente a como lo sera una componente de un vector.Nota: la experiencia nos dice que el recin llegado tender a realizar cualquier razonamiento (incorrecto) que conduzca a que algo es positivo si tiene el sentido del eje. Aunque eso es cierto para las componentes de los vectores, se acaba de mostrar que no lo es para las de los tensores. Asmase que se est tratando con una magnitud distinta, cuyo convenio de signos es necesariamente de un tipo distinto.Recapitulandoloobtenidodelaobservacinde(2.3)y(2.4), podemosconcluirqueuna componente del tensor de tensiones es positiva en cualquiera de los dos casos siguientes: El plano tiene la normal exterior en el sentido de un eje, y la componente de tensin tiene tambin el sentido de un eje. El plano tiene la normal exterior contraria al sentido de un eje, y la componente de tensin es tambin contraria a un eje.El los dems casos, la componente del tensor ser negativa. stos son los dos casos cruzados, de normal segn un eje y componente contraria a un eje, o bien de normal contraria a un eje y componente en el sentido de un eje.Como ejemplo, la figura 2.4 muestra algunos valores de tensin en planos paralelos a los coordenados que pasan por el punto considerado, junto con el signo de la componente del tensor detensiones correspondiente.Puedeentenderseindistintamente que los cubos se dibujan slo para visualizar tres planos con slido a uno y otro lado de los mismos, o bien puede entenderse que se trata de cubos diferenciales materiales, obtenidos mediante seis cortes ideales por planos paralelos a los coordenados. En este ltimo caso, los valores de Figura 2.4: Ejemplos de valores de componentes de tensinyzx472cxx=4 cxy=7 cyy=2Resistencia de Materiales Pg. 17una componente de tensin seran ligeramente distintos (un diferencial de primer orden) en caras paralelas, y debera entenderse que este diferencial se ha despreciado en las figuras. Por lo dems, es importante que se aprecie que el haber dibujado como dato una sola de las dos flechas en cada uno de los dibujos, permitira dibujar la otra (aplicando el principio de accin y reaccin, ya que son prcticamente el mismo plano de corte, con normal opuesta), as como conocer el signo de la componente del tensor correspondiente.Hemos dicho que el conocer las 9 componentes del tensor de tensiones permite calcular el vector tensin en un plano de cualquier orientacin, peronosehamencionadocmo. Aunquenousaremos (ni demostraremos) ese resultado en este curso, a ttulo de curiosidad, las componentesdel vectortensinTnenel planodenormal exteriorn pueden obtenerse de:|cxxcyxczxcxycyyczycxzcyzczz(nxnynz)=(TxnTynTzn)Simetra del tensor de tensionesConsideremos esta vez un elemento diferencial material, limitado por 6 planos de corte paralelosalosplanoscoordenados, comomuestralafigura2.5. Dichoelementotendrde dimensionesdx, dy, dz, enlasdireccionescorrespondientes. Tomaremosmomentosrespecto de una recta paralela al eje z, como por ejemplo la que pasa por el centro del cubo elemental. Las nicas fuerzas que dan momento respecto de esta recta son las que derivan de las tensiones oxy, y las oyx. Obsrvese cmo se han dibujado todas ellas positivas. El valor de las tensiones en dos caras paralelas no ser exactamente el mismo, ya que son planos distintos, pero en las condiciones de continuidad que suponemos a la evolucin de las tensiones en el slido, slo diferirn en un diferencial de tensin (ntese por ej.: si en la cara izda. el valor es p, en la derecha se ha denotado como aproximadamente p), el cual no afectar al equilibrio de momentos que vamos a plantear. Las tensiones normales, as como las fuerzas de volumen siexisten,se pueden suponer constantes en eldiferencial, y por tanto la recta de accin de su resultante cortara a nuestra recta, por lo que su momento Resistencia de Materiales Pg. 18sera nulo respecto de ella. Por tanto, la ecuacin de equilibrio de momentos, salvo diferenciales de orden superior, conduce a:p(dydz)dx2 +p(dydz)dx2 =q( dxdz)dy2 +q( dxdz)dy2 p=q cxy=cyxImponiendo el equilibrio de momentos respecto de rectas paralelas al eje x o al eje y, obtendramos similarmente cxz=czx,cyz=czy. Es decir que cuando representamos los trminos del tensor de tensiones en forma de matriz, resultar una matriz simtrica:|cxxcxycxzcxycyycyzcxzcyzczz (se cumple cij=cji)(2.5)Por lo tanto, las componentes deltensor de tensiones pueden expresarse mediante solamente 6 nmeros reales (en lugar de los 9 planteados inicialmente).Un corolario interesante de la simetra del tensor de tensiones es el llamado Principio de Reciprocidad de las Tensiones Tangenciales. Su demostracin se realiza considerando dos planos perpendiculares entre s que pasan por el punto considerado, como los de la figura 2.6. El sentido de las normales exteriores adoptadas de indica en la primera figura. Dado que no estamos obligados a adoptar unos ejes coordenados en particular, podemos imaginar circunstancialmente que tomamos unos ejes como muestra cualquiera de las otras dos figuras. Es decir, con un eje en la interseccin de los dos planos, y los otros dos ejes contenidos en cada uno de los dos planos. Con los sentidos de los ejes mostrados en la figura2.6, las componentes detensinindicadas seranoxzyozx. Debenser iguales (incluido elsigno), por lo que sern como muestra la segunda figura (ambas positivas), o biencomomuestralatercerafigura(ambasnegativas). Obtenidalaconclusinanterior, podemos enunciar la condicin que cumplen esas componentes de tensin, prescindiendo de un sistema de ejes particular.Dicho enunciado es elPrincipio de Reciprocidad de las Tensiones Tangenciales: En dos planos perpendiculares entre s que pasan por un punto considerado, las componentes de tensin perpendiculares a la arista que forman, tendrn ambas el sentido de apuntar hacia la arista, o bien ambas el sentido de apuntar contrariamente a la arista.Figura 2.6: Principio de Reciprocidad de las Tensiones Tangenciales90xyzxyznn'Resistencia de Materiales Pg. 19Nteseque noes posibleobtenerninguna conclusin acerca delas componentes de tensin paralelas a la arista en esos planos. Las mismas seran oxy y ozy, para las que no hemos obtenido ninguna relacin particular.Un ejemplo tpico de aplicacin de este principio es la imposicin de las condiciones de contorno en tensiones en esquinas (reales) que forman ngulo recto. Si es conocido el valor de la tensin tangencial en uno de los planos en ese punto esquina, en el otro plano debe ser tal que se satisfaga el principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales. En particular, si como supone la figura 2.7, la tensin es nula en un plano, debe serlo tambin en el perpendicular, en ese punto.Direcciones y Tensiones PrincipalesComo hemos indicado, el vector tensin no tiene porqu ser perpendicular al plano sobre el queacta.Porello,en general,ambascomponentes intrnsecas delvectortensin,o,t, sern distintas de cero. Sin embargo,nos preguntamos si en el punto considerado existir algn plano en el que excepcionalmente la tensin s que sea perpendicular al plano sobre el que acta. O lo que es lo mismo, si existir siempre algn plano tal que la componente intrnseca t de su vector tensin sea nula. La figura 2.8 ilustra el tipo de situacin por la que nos estamos preguntando.La respuesta a la pregunta anterior es afirmativa. En un punto delslido siempre existen ciertas direcciones npara las que los planos correspondientes tienen slo tensin normal. Se llaman Direcciones Principales. Los valores de la tensin oen esos planos se llaman Figura 2.7: Hiptesis que violara el principio de reciprocidad en las esquinas de una placa (a la izda.), e hiptesis aceptable (dcha.)MALPosibleFigura 2.8: a) n no es direccin principal b) n es direccin principalotTndSo( t0 )TndSn nb) a)Resistencia de Materiales Pg. 20Tensiones Principales. Por tanto, cada direccin principal puede ser especificada mediante un vector unitario adimensional, y cada valor de tensin principal es un escalar con signo. El problema matemtico de encontrar las tensiones y las direcciones principales de tensin resulta ser formalmente idntico al problema de encontrar los valores propios y vectores propios de una matriz simtrica de nmeros reales que se estudia en el lgebra Matricial. Como probablemente se recordar, los resultados conducen a la existencia de tres vectores propios, que son perpendiculares entre s, cada uno de los cuales tiene asociado un valor propio real. Trasladar estos resultados al mbito de la tensin es inmediato, siendo las tensiones principales y las direcciones principales los conceptos correspondientes a los valores propios y vectores propios, respectivamente. As, en elmbito de la tensin tendremos que: En cada punto del slido hay tres direcciones principales (nI, nII, nIII). Las tres direcciones principales son perpendiculares entre s. Siempre podremos definir unos ejes coordenados que coincidan con las direcciones principales en el punto considerado. Se denomina tensin principal al valor de la tensin en cada plano principal (elperpendicular a una direccin principal). Se denotarn como oI, oII, oIII.Cuando se adoptan unos ejes coordenados que coinciden con las direcciones principales, se les llama ejes principales, siendo frecuente la notacin I, II, III, para referirse a ellos (en lugar de los habituales x, y, z). Una consecuencia inmediata de adoptar ejes principales en el punto considerado, es que el tensor de tensiones resultar diagonal en esos ejes, como se muestra en la figura 2.9.Como quiz se recuerde del estudio del lgebra, puede darse el caso de que existan ms de tres direcciones principales. Son los casos en que dos tensiones principales, o las tres, tienenel mismovalor. Enesoscasoshayinfinitasdireccionesprincipales. Nosepretende entrar en detalle al respecto aqu, pero en todo caso est asegurado que siempre podremos tomar unos ejes coordenados en direcciones principales.Figura 2.9: Tensor de tensiones cuando se adoptan ejes principalesc=|cI0 00 cII00 0 cIII IIIIIIoIIoIoIIIResistencia de Materiales Pg. 21Representacin de MohrLarepresentacindeMohresunaconstruccingrficaquesirveparavisualizardeuna manera compacta las tensiones en los infinitos planos de corte que pueden considerarse en unpuntodel slido. Enciertosentido, estarepresentacinnosayudaracompensar el hecho de que nuestros sentidos no estn preparados naturalmente para apreciar un tensor (un vector en el espacio tridimensional es el mximo a ese respecto). Tambin lo utilizaremos como herramienta de clculo ventajosa en problemas bidimensionales. Aqu vamos a dar solamente noticia de los resultados de inters, omitiendo las justificaciones que los sustentan. En caso de interesar, stas pueden consultarse en la bibliografa [9,10,11].Considrese un punto de un slido. En l, un plano de corte ideal, que tendr su vector tensin, consuscomponentesintrnsecaso, t.Representamosesaparejadevaloreso, t, comocoordenadas(abcisayordenada, respectivamente)enunespaciobidimensional. Obtenemos as un punto de ese espacio ot. que representa al vector tensin en el plano considerado. Imaginemosquerealizamosesamismaoperacinparalosinfinitosplanosposiblesque pasan por el punto del slido. Obtendremos una zona del espacio o, t,cuyos puntos representan al vector tensin en los distintos planos. Ocurre que esa zona -lugar geomtrico- est acotada, y se reduce a la zona comprendida entre tres circunferencias que se muestra sombreada en la figura 2.10. Las tres circunferencias son tales que sus centros estn sobre el eje o, y sus dimetros abarcan el segmento entre dos tensiones principales. Es habitual en la representacin de Mohr considerar, sin prdida de generalidad, las tensiones principales ordenadas de forma que oI>oII>oIII(por supuesto, los ejes principales I, II, III, en el espacio fsico se nombran de manera acorde). Llamaremos circunferencia (1) a la que tiene su dimetro entre oII y oIII. Anlogamente, llamaremoscircunferencia (2) a aquella que tiene su dimetro entre oI y oIII, y circunferencia (3) a la que lo tiene entre oI y oIII. Resulta ser que los puntos de la circunferencia 1 representan tensiones en planos de corte que son paralelos al eje I principal (diremos que son planos pertenecientes a la radiacin del eje I). Anlogamente, los puntos de la circunferencia 2 representan tensiones que ocurren en planos de la radiacin del eje II, y los puntos de la circunferencia 3 representan tensiones en planos de la radiacin del eje principalIII.Los puntos interiores de la zona sombreada Figura 2.10: Diagrama de Mohr (izda.) y planos del espacio fsico a los que corresponden las circunferencias (dcha)oIoIIoIIIto(1)(2)(3)IIIIII(1)(2)(3)Resistencia de Materiales Pg. 22representan las tensiones en planos que no son paralelos a ningn eje principal.Todo ello se ilustra en la figura 2.10. En ella, los planos de corte se representan desplazados para su mejor visualizacin, pero debe entenderse que todos ellos pasan por el punto del slido bajo estudio (en el origen de los ejes).El diagrama de Mohr proporciona de un modo inmediato buena parte de la informacin relevante en cuanto a cmo es la solicitacin en el punto considerado, con vistas a enjuiciar la resistencia del material. Por ejemplo, permite saber de un vistazo si existen o no planos que trabajan a traccin (algunos materiales, como el hormign no resisten tracciones), y el valor mximo de la tensin tangencial en los planos que pasan por el punto, que siempre ser elradio de la circunferencia (2). Eventualmente, en la figura se ha representado un caso en el que no habra ningn plano trabajando a compresin, ya que todo el diagrama est en la zona de o positiva.Seguidamentepresentaremosconalgndetallealgunosresultadoscorrespondientes al caso bidimensional del diagrama de Mohr. En primer lugar vamos a dar una definicin provisional de caso bidimensional (debe entenderse aplicable slo en este mbito de estudio de la tensin en un punto). Diremos que se trata de un caso bidimensional, o problema plano cuando concurran estas circunstancias: Una direccin principal es conocida en el punto considerado. Slo nos interesamos por planos de corte pertenecientes a la radiacin de esa direccin principal. En estas circunstancias, podemos observar el problema desde un punto de la direccin principal conocida, y veremos los planos de corte como lneas rectas. Esta vista es la que usaremos para visualizar y analizar el problema, y es la representada en la figura 2.11a. En los planos de corte, la tensin tangencial es perpendicular a la direccin principal conocida, y por tanto se ver en su magnitud real en nuestro dibujo. Lo mismo ocurre con la tensin normal. Sabemos que esas componentes intrnsecas del vector tensin estarn representadas en algn punto de la circunferencia de Mohr correspondiente al eje principal conoFigura 2.11: Elemento visto desde el eje III, y Diagrama de Mohr bidimensionalooo ItTnoo IIo IoIIo t(o,t) o2oa) b)nResistencia de Materiales Pg. 23cido. En la figura 2.11a, ste es el III, y por tanto la circunferencia pertinente es la (3), que tiene su dimetro entre las tensiones oI y oII. Antes de seguir adelante, observemos que en un problema bidimensional, y para un plano dado, la tensin tangencial t slo tiene una direccin posible, con sus dos sentidos. Son, en total, dos posibilidades, en contraposicin a las infinitas posibilidades que tena en elproblema tridimensional(ello motiv que definiramos tcomo un escalar sin signo). Las dos posibilidades pueden ahora discriminarse con un signo. Por ello vamos a definir un convenio de signos para ten problemas bidimensionales: la tensin tangencialtser positiva si dejaa la derecha el slido.Lo anterior se interpreta como sigue: imaginamos que estamos de pie sobre el dibujo, cami nando sobre la lnea que representa el plano, en el mismo sentido que tenga t. Si en esas condicionestenemosel slidoanuestraderecha, el escalartserpositivo. Si el slido queda a nuestra izquierda, t ser negativo.Dibujamos la mitad inferior de los diagramas bidimensionales de Mohr, ya que t tiene signo. En los tridimensionales, la mitad inferior no aporta informacin, y puede omitirse.Finalmente indicaremos, nuevamente sin demostracin, cul es el el punto del diagrama que representalatensinennuestroplano. Enlafigura2.11b, seindicadndeencontrarel ngulo oen el diagrama. ste es el mismo ngulo que forma nuestra normalncon el eje principal I. Con el convenio de signos adoptado para t, el sentido de giro de n a partir de la direccin I es el mismo sentido de giro que debe seguirse en el diagrama, desde la posicin de oIhasta encontrar el punto buscado. ste punto tiene unascoordenadas (o,t), que son las componentes intrnsecas de tensin en nuestro plano (el de la fig. 2.11a). Debido a las propiedades geomtricas de la circunferencia, el ngulo que forma el eje I con elradio dela circunferencia correspondiente alpunto buscado (o,t),ser 2o. Por ello,el ngulo tambin se puede medir desde el centro de la circunferencia, tomando un ngulo de valor doble a lo que corresponde en el espacio fsico.La realizacin de unos pocos ejercicios prcticos, como los que se presentan en el curso, ayudar a asimilar los detalles involucrados. No obstante, se enumeran a continuacin algunos de los aspectos delmanejo deldiagrama de Mohr bidimensional que pueden ser de especial utilidad: Una vez establecido el procedimiento para encontrar un ngulo en el diagrama a partir de la direccin I, es inmediato apreciar (porque los ngulos entre tres direcciones son aditivos) la posibilidad de medir ngulos a partir de cualquier otra direccin. Ello ser til cuando se conozca la tensin en un plano de orientacin no principal. Es inmediato (nuevamente, slo hay que sumar ngulos) que planos cuyas normales formen entre s un ngulo u en el espacio fsico, formarn el mismo ngulo u en la representacin de Mohr. O bien 2u si se miden ngulos desde el centro. En particular, si los planos forman 90 en el espacio fsico, formarn un dimetro en el diagrama. Resistencia de Materiales Pg. 24 Cuandoserealizaunanlisisbidimensional, esaconsejablepensar quese estmirandoprovisionalmenteunproblematridimensional desdeunejeprincipal conocido. No olvidar la tercera tensin principales necesario para estimar correctamente la tensin tangencial mxima, y el plano en que ocurre. Mirando elproblema tridimensionaldesde su eje principalII, observamos el problema plano descrito por la circunferencia (2) del diagrama. De l se obtiene inmediatamente el valor de la tensin tangencial mxima, y que la misma ocurrir siempre en planos de la radiacin del eje II, a 45 de los ejes I y III. Aunque no hay necesidad real de ello, muchos textos denominan Iy IIa las direcciones principales perpendiculares alaconocidainicialmente, independientemente del valor de esta ltima. El detalle es irrelevante mientras no se confunda el circulo del diagrama sobre el que se est trabajando.Para futura ampliacin y profundizacin acerca del concepto de tensin presentado en este tema, puede consultarse por ejemplo [11], o con una notacin y enfoque similares, en [10]. La referencia [9] contempla el mismo enfoque aunque usa una notacin diferente. Un enfoque y notacin ligeramente diferentes pueden encontrarse en [12]. 3.- El Slido ElsticoNociones sobre la DeformacinComo su nombre indica, la deformacin hace referencia a los cambios de forma del slido. Sin necesidad de pensar en las causas o acciones que provocaron la deformacin, resulta claro que si conocisemos los incrementos de longitud de los infinitos segmentos de lnea diferenciales que podamos considerar en el slido, seramos capaces de inducir el cambio de forma de todo el slido macroscpico. Pensando cada uno de los puntos materiales del slido, desearamos conocer los incrementos de longitud de todos los posibles segmentos diferenciales de lnea que pasan por el punto. Y como paso previo, desearamos disponer de unamagnitudcuyovalordescribiesetodosesosincrementosdelongituddel entornodel punto. La pretensin anterior es razonable, ya que el tensor de tensiones ofreca una funcionalidad similar (conocer valor del tensor de tensiones en un punto permite conocer el vector tensin en cualquier plano que pasa por el punto). Similarmente, la deformacin de todos los segmentos de lnea diferenciales delentorno de un punto, puede caracterizarse mediante un tensor simtrico de orden dos. Se llama Tensor de Pequeas Deformaciones, o Tensor de Cauchy. La caracterizacin de la deformacin como tensor cae fuera del mbito de este curso. Simplemente presentaremos sin mayor justificacin algunos resultados relativos a la deformacin, que sern tiles en el desarrollo de los epgrafes siguientes.El tensor de deformaciones guarda muchas analogas formales con el tensor de tensiones. Llamaremos rij a sus 9 componentes, de las que slo 6 son independientes debido a que es simtrico (rij = rji), pudiendo tomar i,j, los valores x,y,z, de unos ejes cartesianos previamente definidos. e=|exxexyexzeyxeyyeyzezxezyezz(3.1)Los trminos diagonales del tensor, rxx , ryy , rzz , representan los alargamientos unitarios de segmentos diferenciales que pasan por el punto considerado, y que inicialmente (antes de la deformacin) tenan respectivamente la orientacin del eje x, y, o z. Si se trata de un alargamiento el trmino es positivo, y si se trata de un acortamiento del segmento, el trmino deltensor es negativo. Se llama longitudinales a estas componentes de deformacin.Resistencia de Materiales Pg. 26Un trmino no diagonal, como el rxy , representa la mitad de lo que se cierra el ngulo inicialmente recto que formaban dos segmentos diferenciales que parten del origen de coordenadas, y tienen los sentidos de los ejesx e y. Si el ngulo se cierra, el trmino del tensor es positivo. Si el ngulo se abre, el trmino del tensor es negativo. Se llama transversales a estas componentes de deformacin.Ntese que los trminos del tensor de deformaciones son adimensionales. Los diagonales representan un incremento de longitud dividido por una longitud inicial (resultado adimensional), y los no diagonales, un incremento de ngulo en radianes (nuevamente adimensional). Por otra parte, y en coherencia con la hiptesis de pequeos desplazamientos y cambios de forma que se asumen en elcurso, los trminos deltensorson numricamente pequeos. Matemticamente, se suele caracterizar como pequeas las deformaciones resultantes de un campo de desplazamientos diferenciales 1er orden. Esto es til para formular ecuaciones, pero ayuda poco a establecer un lmite fsicamente aceptable para el concepto de pequeas deformaciones. Aunquenoes posibleestablecer dicholmitedeformauniversal (depende del problema concreto), deformaciones del orden de 10 -3 o menoressuelen hacer aceptable el planteamiento del equilibrio en la configuracin indeformada, y dems hiptesis relacionadas, y pueden considerarse pequeas deformaciones.La figura 3.1 ilustra los significados fsicos de los trminos del tensor de deformaciones en un caso bidimensional. En ella, los puntos materiales que inicialmente estaban en las posiciones A, P, y Q, se desplazan tras la deformacin a las posiciones A', P', y Q' respectivamente, lo que provoca tanto cambios de longitud como de orientacin en los segmentos diferenciales. Como los cambios de orientacin sern muy pequeos, es buena aproximacin calcular el incremento de longitud de un segmento que inicialmente era horizontal (AP) en proyeccin horizontal, como se indica. Para referencia, se dibujan en lnea discontinua los segmentos con su longitud original, tal como quedaran tras una traslacin que llevase A a la posicin A'. Anlogamente, es correcto aproximar el incremento de longitud de AQ mediante su proyeccin vertical. Resistencia de Materiales Pg. 27Para terminar esta breve presentacin de la deformacin, daremos noticia de un resultado que utilizaremos con posterioridad. Considere que cada punto del slido, dado por sus coordenadas iniciales (x,y,z), tiene asociado un vector desplazamiento u(x,y,z), que es el vector con origen en la posicin inicial del punto material, y destino en la posicin final. Como vector que es, tiene sus componentes ux, uy, uz, quevariarn con las coordenadas espaciales. Considere tambin unsegmento diferencialenelslido, de orientacin inicialcoincidente con el eje x (tal como AP en la figura anterior). Se demuestra que el incremento de longitud unitariodetal segmento, queyahemosidentificadocomorxx, puedecalcularsetambin como oux/ox, evaluada en el punto A cuyo entorno estamos considerando:A(AP)AP=exx= uxx(3.2)Ensayo de TraccinEl ensayodetraccinconsisteenestirar deformacontroladaunapequeaprobetadelmaterial con forma de barra esbelta, generalmente hasta su rotura. Se trata de un ensayo muy comn, probablemente el ms comn de los que cabe realizar a un material que se pretenda usar con fines resistentes. Por ello, este ensayo est contemplado y regulado en la normativa(normaUNEEN10002). El resultadodel ensayoesunagrficaenlaquese representaenabcisasel incrementodelongituddelaprobetaencadainstante, dividido entre su longitud inicial, y en ordenadas la fuerza aplicada en cada instante, dividida entre elrea de la seccin de la probeta.En el ensayo de traccin: cxxF/ A ;cxy=cxz=cyy=cyz=czz=0exxAL/ L ;eyy, ezz0 ;exy=exz=eyz=0(3.3)Tanto las soluciones analticas conocidas como una amplia evidencia experimentalmuestran que, salvo en una pequea zona cercana a las mordazas u otros dispositivos que se empleen para sujetar la probeta por sus extremos y aplicar la fuerza, la distribucin de tensiones y deformaciones es prcticamente uniforme en la probeta. Lo anterior es ms cierto cuanto ms esbelta sea la probeta, pero en todo caso en la prctica del ensayo se opera de forma que la medicin se vea afectada lo menos posible por los efectos de borde.En conResistencia de Materiales Pg. 28creto, paraunaprobetacomolaesquematizadaenlafigura3.2, esbuenaaproximacin suponer que: Solamente existe componente de tensin oxx en la barra, la cual tiene un valor constante en todos los puntos. Un sencillo razonamiento de equilibrio conduce a que su valor debe ser oxx=F/A, que se representa en la grfica del ensayo. El resto de componentes oxy, oxz, oyy, oyz, ozz, son nulas. Solamente existen las componentes normales de deformacin rxx, ryy, rzz, en la barra, teniendo cada una un valor constante en los puntos de la barra. Alser constante,rxxdebe coincidir con el incremento de longitud unitario de toda la barra,AL/L, que se representa en la grfica del ensayo. Las componentes transversales de deformacin, rxy, rxz, ryz, son nulas. Las ecuaciones (3.3) resumen lo indicado anteriormente. La figura 3.3 muestra esquemticamente el resultado de un ensayo de traccin para un acero de bajo contenido en carbono. El ensayo comienza en el origen de ejes (tensin nula, y deformacin nula), y evoluciona en principio linealmente, hasta llegar a la tensin denominada Lmite Elstico, denotado como oe. sta es la notacin usual en la literatura, aunque las normas suelen llamarlo fy. La pendiente de esta recta es una caracterstica importante del material, que se denomina Mdulo de Elasticidad, o Mdulo de Young, y se denota como E, de forma que E=tgo. Siendo el cociente de un incremento de tensin ente uno de deformacin (que es adimensional), E tiene dimensiones de tensin.Por, tanto, en esta zona lneal inicial (en la que estaremos interesados fundamentalmente el resto del curso), se satisfacecxx=Eexx(3.4)Al llegar a la tensin del lmite elstico, ocurre un fenmeno particular llamado fluencia del material. Como se aprecia, se trata de un aumento de la deformacin a un valor de la tensin sensiblemente constante, que es el propio valor oe. El ensayo se suele realizar de forma que se impone a la probeta el incremento de longitud deseado en cada instante, gracias a lo cual es posible detener el ensayo en un punto como el B, si se desea. En ese caso, se desFigura 3.3: Resultado tpico de un ensayo de traccin para un acero (Nota: no est a escala para mostrar los detalles)rxxoxxoRoeoBB'oCC'oResistencia de Materiales Pg. 29ciende al nivel de tensin cero por una recta que es paralela a la de subida inicial, y la probetadescargadaterminaconladeformacincorrespondienteal puntoB' indicadoenla figura. Se llaman deformaciones plsticasa estas deformaciones que no se recuperan tras la descarga. Si en lugar de interrumpir el ensayo en B, continuamos, no tarda en llegar un valor de la deformacin para el que vuelve a ser preciso aumentar la tensin para obtener ms deformacin. Se llama etapa de fortalecimientoa esta fase del comportamiento del material. El puntomarcadoC seencuentraenestazona. Nuevamente, si decidimosinterrumpir el ensayo en este punto, descendemos al nivel de tensin cero por una recta de la misma pendientequelarectainicial, ylaprobetadescargadaterminaconladeformacinplstica correspondiente al punto C'. Finalmente, si no se interrumpe el ensayo, se llega a una tensin oR, que se denomina tensin de rotura. La misma corresponde al mximo indicado de la grfica del ensayo. En la zona final descendente de la grfica ocurren fenmenos de gran estrechamiento local de la seccin de la probeta, que hacen que el parmetro F/A que se representa (siendo A el rea inicial de la probeta), no es ya, ni siquiera aproximadamente, el valor real de la tensin oxx en la zona del estrechamiento. En todo caso, en condiciones normales de trabajo, un materialresistente soporta unas cargas dadas (no unos desplazamientos dados, como ocurre en el ensayo). En estas circunstancias, una zona descendente de la grfica se recorre de manera incontrolada hasta la rotura efectiva de la probeta, por lo que el mximo antes citado es el que se toma como valor de la tensin de rotura.Notas: El acerotieneuncomportamientomuysimilaratraccinya compresin, como muestra esquemticamente la figura 3.4a. Un ensayo de compresin tendra prcticamente la misma forma que uno de traccin, al menos hasta superar el escaln de fluencia.Se han omitido algunos detalles considerados poco relevantes por brevedad. Entreellos, ladiferenciacinentreunatensindefluencia superior y una inferior, y la diferenciacin entre tensiones muy cercanas a oe, que delimitan ciertos fenmenos justo antes de la fluencia (un pequeotramonolineal peroelsticoantesdeoe, yotropequeo tramonoelsticoantesdellegarlafluencia). Noesusual distinguir entre ellas en las aplicaciones de Resistencia de Materiales. La figura 3.3 est distorsionada para poder apreciar algunos detalles. Dibujando el eje de abcisas a escala, el tramo recto inicial aparecera muy cercano al eje de ordenadas. Asimismo, el escaln de fluencia es mucho ms corto de lo que se ha dibujado.Por otra parte, las deformaciones en las direcciones y, z, pueden medirse con instrumentacin adicional, observndose que ryy=rzz. De hecho, cualquier segmento orientado perpendicularmente al eje x experimenta la misma deformacin relativa que el orientado segn esas direcciones y o z. En la zona lineal, el valor de esta deformacin es:Resistencia de Materiales Pg. 30En el ensayo de traccin:eyy=ezz=+exx(3.5)Dondevesunparmetrocaractersticodel material, llamadoCoeficientedePoisson. El signo menos de la ecuacin anterior indica que si en la direccin x existe alargamiento, en las perpendiculares existe un acortamiento (o viceversa). Este acortamiento unitario es una fraccin v del alargamiento unitario existente en la direccin x. Como veremos ms adelante, la Ley de Comportamiento del acero en la zona elstica inicial puede expresarse en funcin de las dos constantes E, v, del material. Es curioso que dichas constantes apenas dependen de la calidad del acero, o incluso de si el mismo est aleado o no. De hecho, la norma CTE indica que sus valores para todos los tipos de acero que contempla (que son aceros para construccin, no aleados y de bajo contenido en carbono), son los siguientes:Para el acero: E=2.1105MPa =0.3 (3.6)Como se adelant en el Tema 1, el CTE establece cuatro calidades de acero para estructuras. Su denominacin consiste en una S, seguido de una cifra que coincide con su lmite elstico en MPa (lmite elstico nominal para espesores menores de 16mm; para espesores mayores se especifican valores menores del lmite elstico). Estos tipos son:S235 S275 S355 S450oe=fy (MPa) 235 275 355 450oR=fu (MPa) 360 410 470 550La figura 3.4b muestra esquemticamente las grficas de los ensayos de traccin para tres aceros tpicos, de muy diferente calidad: un acero para estructuras, un acero de baja aleacin, y un acero para herramientas, o para tornillos de alta resistencia. Puede observarse unagrandiferenciaentresuslmiteselsticos, as comoentresustensionesderotura. Ntese sin embargo como todos comparten la inclinacin de la zona lineal inicial, ya que elvalor de E es comn a todos.Figura 3.4: a) Comportamiento idealizado del acero a traccin y a compresin.b) Comparacin de tres aceros de muy distinta calidad y finalidadHerramientasBaja aleacinEstructuras20% 40%oeoeoxxrxxoe/Ea) b)Resistencia de Materiales Pg. 31En ciertas aplicaciones, la existencia del periodo de fluencia no es deseable. Por ejemplo, no deseamos que la cadena cinemtica de una mquina de mecanizado sufriese deformaciones plsticas una vez puesta en servicio, estropeando los delicados ajustes realizados. En su lugar deseamos un lmite elstico lo ms alto posible. Como ejemplo, el acero para herramientas mostrado en la figura no presenta escaln de fluencia. Esto se consigue generalmente mediante tratamientos previos en fro, que llevan el material hasta la zona de fortalecimiento antes de su puesta en servicio. Porel contrario, enlasaplicacionesestructuraleshabituales, lafluenciaesunfenmeno deseable, yaquelosdesplazamientosapreciablesavisandelapresenciadetensiones altas, y por otra parte, en determinadas circunstancias, dota a las estructuras de una reserva deresistenciaimportante ms alldelaplastificacin delprimerpunto delmaterial.Esta reserva de resistencia es debida a que el aumento de deformacin en una zona sin aumento de tensin, hace que otras zonas menos cargadas adquieran tensiones mayores. No debe sorprender que los aceros para estructuras sean los de peor calidad. Elloesunaconsecuenciadel necesariocompromisoentre caractersticas del material y coste econmico, en un campo de aplicacin en que la cantidad de acero necesaria para un proyecto, incluso modesto, se mide por decenas de toneladas.Finalmente, ntese que en la zona elstica lineal inicial, en la que habitualmente desearemos que el acero trabaje, las deformaciones son muy pequeas. Por ello es de esperar que los anlisis que realicemos bajo las hiptesis de pequeos desplazamientos y deformaciones tengan muy poco error debido a este efecto.Ensayo de TorsinEn este momento del curso solamente necesitamos mostrar el efecto de una tensin tangencial, del tipo oxy, sobre un elemento diferencial del material. Aunque este detalle podra presentarse sin justificacin por brevedad, se ha considerado preferible dar noticia del ensayo real que tpicamente permite aplicar a un elemento diferencial del material un estado de tensin que solamente tenga la referida componente de tensin. ste es el ensayo de torsin.Elensayo de torsin se realiza usualmente sobre una probeta macizade geometra cilndrica, aplicando un momento colineal con la directriz de la barra, que llamamos momento torsor y denotamos como T, y cuyo efecto es retorcer la barra en torno a su eje. Para los objetivosilustrativosqueperseguimosaqu, esmsconvenienteconsiderar unaprobeta cilndrica hueca de pared delgada, sobre la que es igualmente posible realizar elensayo. Tericamentelosresultadosdebieranser anlogosparaambasgeometras, perodebe tenerse noticia de que en la prctica, en el caso de seccin de pared delgada, pueden aparecer fenmenos de inestabilidad (abolladura de la pared del tubo) para cierto nivel del par torsor. Si la pared del tubo es muy delgada en comparacin con el dimetro, dichos fenmeResistencia de Materiales Pg. 32nos pueden aparecer antes de la plastificacin delmaterial. Para que esto no suceda,la relacin dimetro D a espesor e debe ser menor que 50, orientativamente. Por otra parte, a los efectos del ensayo puede considerarse de pared delgada a los tubos con relacin D/e mayor que 20, orientativamente. Asumimos que nuestro ensayo estar realizado sobre una probeta cuya relacin D/e est entre esos valores, de forma que se alcance, al menos, la plastificacin sin que aparezcan fenmenos de inestabilidad.La figura 3.5a muestra un tubo de pared delgada sometido a un momento torsor T. La distribucindetensionesquesegeneraenunaseccindelabarraperpendicular asueje, consta de un sistema de tensiones tangenciales que tienen la direccin circunferencial en el perfil, como justificaremos enseguida. Si definimos unos ejes que varen de orientacin con el punto de la barra considerado, de forma que x sea paralelo al eje de la misma, r tenga la direccin radial, y utenga la direccin circunferencial, entonces estas tensiones seran de componenteoxuencadapunto. Seasumecomoaproximacinquedichastensionesson constantes en el espesor por ser ste pequeo. Y por supuesto son constantes en la direccin circunferencial debido a la simetra axial del problema. Es claro que las tensiones oxx sern nulas: Por una parte, su resultante debe ser nula en la seccin, para que la porcin de barra que consideremos est en equilibrio. Por otra parte debe tener un valor constante debido a la simetra axial delproblema. Ambas cosas slo son posibles simultneamente si oxx=0 en todos los puntos. Lasfiguras3.5by3.5cmuestranlajustificacindequelatensintangencial debetener aproximadamente la direccin tangente a la lnea media del perfil, es decir la direccinu. La figura3.5bmuestraampliadoel elementodiferencial delapareddel tuboindicadoenla figura 3.5a. Este elemento tiene dimensiones diferenciales en las direcciones x, u, y abarca el pequeo espesor del tubo en la direccin r. Como se indica, la tensin orxes evidentemente nula en las paredes inter