resistencia de materiales
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VIGA CONJUGADATRANSCRIPT
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
I- INTRODUCCIOacuteN
El presente trabajo se basa en la investigacioacuten para conocer un poco maacutes sobre
otro de los meacutetodos que permite encontrar giros y desplazamiento en cualquier
punto de la elaacutestica en una viga me refiero al meacutetodo de la viga conjugada
En este trabajo daremos a conocer sobre la definicioacuten de este meacutetodo para queacute
nos sirve como es su proceso aplicativo en queacute tipo de estructura es aplicable
este meacutetodo queacute es una viga ficticia y queacute relaciones guarda con una viga real la
diferencia de este meacutetodo con el que ya estudiamos anteriormente (aacuterea de
momentos) y por uacuteltimo procederemos a resolver los problemas dados
conociendo los aspectos maacutes baacutesicos de la teoriacutea
En la definicioacuten explicaremos a queacute se le llama ldquoviga conjugadardquo en queacute
fundamentos teoacutericos se basa que tiene la ventaja de que no necesita conocer
previamente un punto de tangente cero por lo cual se puede averiguar
directamente la pendiente y deflexioacuten en cualquier punto de la elaacutestica y que se
utiliza en vigas y columnas estaacuteticamente determinadas
Tambieacuten aprenderemos a traveacutes de un graacutefico que una viga ficticia es aquella que
se carga con el diagrama de momentos reducidos de la viga real y por
consiguiente guardan relacioacuten de donde se obtiene las analogiacuteas que se utilizan
para resolver los ejercicios
La convencioacuten de signos en este meacutetodo se fundamenta en el resultado de haber
encontrado el momento o la fuerza cortante de la viga ficticia pues seguacuten sea el
signo de la respuesta se sabraacute el signo de la flecha o del giro en la viga real
Por uacuteltimo despueacutes de haber conocido todos estos conceptos baacutesicos para poder
resolver los ejercicios procederemos a desarrollar dichos problemas aplicando
todo lo aprendido de la teoriacutea para llevarlos a la praacutectica
La Viga Conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
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Utilizando los Principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a
un conjunto de Meacutetodos en este caso el Meacutetodo de la Viga Conjugada
A su vez el desarrollo operativo de los Meacutetodos se concreta en una serie de
Procedimientos
Principio -gt Teorema -gt Meacutetodo -gt Procedimiento
El conocimiento de las deformaciones resulta tambieacuten sumamente importante
desde el punto de vista constructivo Para dichos caacutelculos se haraacute uso del meacutetodo
de la viga conjugada que consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a
la viga conjugada Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor
conveniencia se obtiene el cortarte que seraacute el giro de la viga real y el momento
en la viga conjugada seraacute el desplazamiento en la misma
La deflexioacuten que presentan las vigas por accioacuten de las cargas que soportan han
motivado la existencia de numerosos meacutetodos de caacutelculo aplicables a cualquier
tipo de estructuras A continuacioacuten analizaremos el meacutetodo de la viga conjugada
Este meacutetodo contaremos con vigas que puede ser isostaacutetica o hiperestaacutetica
(tenemos que hacer que la viga sea como isostaacutetica) ya que esta siempre es una
viga estaacuteticamente determinada a partir de este punto calculamos el diagrama de
momento (M y MEI) obtendremos dos ecuaciones una indica el giro θ (x) de la
viga en cualquier punto y la segunda el valor de la flecha δ(x) de la viga deformada
en cualquier punto de eacutesta
Se resume que la viga conjugada es una ficticia de longitud igual a la de una viga
real y cuya carga es el diagrama de momentos flectores reducidos
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II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
El objetivo principal de este trabajo es el mostrar el comportamiento de una
estructura a traveacutes de este meacutetodo
Caacutelculo de giros y flechas en vigas
Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga
real utilizando una viga ficticia para ello
Graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la viga real
para poder crear asiacute nuestra viga ficticia
OBJETIVOS ESPECIacuteFICOS
Utilizar el meacutetodo de LA VIGA CONJUGADA oacute meacutetodo de la viga
imaginaria para el caacutelculo de deflexiones en vigas
Entender el concepto del meacutetodo de la viga conjugada
Analizar la viga estaacuteticamente determinada
Resolver los ejercicios dados a traveacutes de las relaciones estudiadas entre
una viga real y ficticia
III- MARCO TEORICO
31- METODO DE LA VIGA CONJUGADA
311- DEFINICION- Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y
cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la
compresioacuten
La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
Este meacutetodo consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga
conjugada Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor
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conveniencia se obtiene el cortarte que seraacute el giro de la viga real y el
momento en la viga conjugada seraacute el desplazamiento en la misma y tambieacuten
se le denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los
diagramas de momentos de las cargas reales dadas Este meacutetodo al igual que
el de eje elaacutestico y aacuterea de momentos nos permite calcular los giros y fechas
de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales llamados
columnas La fig 1 muestra un ejemplo de este tipo de vigas
311-MARCO HISTORICO- El meacutetodo de la viga conjugada se debe a
Otto Mohr quien lo presentoacute en 1868 Es de gran importancia para la
determinacioacuten de deformaciones por la operatividad que introduce este
meacutetodo
3111-CHRISTIAN OTTO MOHR-
Christian Otto Mohr (Wesselburen 8 de octubre de 1835 - Dresde 2 de
octubre de 1918) fue un ingeniero civil alemaacuten uno de los maacutes
celebrados del siglo XIX
3112-VIDA-
Mohr pertenecioacute a una familia terrateniente de Wesselburen en la regioacuten
de Holstein y estudioacute en la Escuela Politeacutecnica de Hanoacutever En los
inicios de 1855 durante su vida laboral temprana estuvo trabajando en
el disentildeo de viacuteas de ferrocarriles para las viacuteas de los estados
de Hanoacutever y Oldenburg disentildeando algunos puentes famosos y
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creando algunas de las primeras armaduras de acero
Auacuten en sus primeros antildeos construyendo viacuteas de tren Mohr se sentiacutea
muy interesado por las teoriacuteas de mecaacutenica y la resistencia de
materiales y en 1867 se hizo profesor de mecaacutenica en el Politeacutecnico de
Stuttgart y en 1873 en el Politeacutecnico de Dresde Mohr teniacutea un estilo
directo y sencillo que era muy popular entre sus estudiantes
3111-LOGROS CIENTIFICOS-
En 1874 Mohr formalizoacute la hasta entonces solo intuitiva idea de
una estructura estaacuteticamente indeterminada Mohr fue un entusiasta de
las herramientas graacuteficas y desarrolloacute un meacutetodo para representar
visualmente tensiones en tres dimensiones previamente propuesto
por Carl Culmann En1882 desarrolloacute el meacutetodo graacutefico en dos
dimensiones para el anaacutelisis de tensioacuten conocido como ciacuterculo de
Mohr y lo usoacute para proponer la nueva teoriacutea de resistencia de
materiales basada en el esfuerzo cortante Tambieacuten desarrolloacute
el diagrama Williot-Mohr para el desplazamiento de armaduras y
la teoriacutea de Maxwell-Mohr para el anaacutelisis de estructuras estaacuteticamente
indeterminadas Se retiroacute en 1900 y murioacute en Dresde en 1918
31- PROCEDIMIENTO-
El meacutetodo de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y
cargarlo a la viga conjugada Luego aplicando la estaacutetica se hallan las cortantes y
momentos en la viga ficticia Donde el cortarte seraacute el giro de la viga real y el
momento en la viga conjugada seraacute el desplazamiento en la misma
Este meacutetodo es uacutetil cuando es faacutecil determinar la ley de momentos flectores de la
principal Si no se utiliza otro meacutetodo En la viga conjugada las cargas estaacuten
dirigidas hacia abajo cuando el momento flector de la viga principal es positivo
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MA MB
A B A B
MB MA
Brsquo
C
C A Crsquo
B
A M x xB dx S
M AB
BB tg Ba A A A AB
l l EI EI z z
b b
M B 0 R A l x x B M x x B dx R A l en la viga conjugada
A A
B
A A
M x x B dx R
A lEI EI
z z
Aplicando el primer teorema de Mohr
Existe una relacioacuten entre el cortante
obtenido en la viga conjugada y el aacutengulo
girado en la misma seccioacuten en la viga
principal y una relacioacuten entre el
momento flector en la viga conjugada y el
Desplazamiento producido en esa misma
seccioacuten en la viga principal
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32-POSTULADOS-
1 El giro en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al cortante en la seccioacuten
correspondiente de la viga conjugada
2 La flecha en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al momento flector en la
viga conjugada en la seccioacuten correspondiente
Los apoyos de la viga real para la viga conjugada se transforman a las indicadas
en la figura Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga
conjugada debe ser estaacuteticamente determinada
33- CONVENCION DE SIGNOS
Si el cortante es (+) el giro es (-)
Si el cortante es (-) el giro es (+)
Si el momento es (+) el desplazamiento es hacia abajo
Si el momento es negativo el desplazamiento es hacia arriba
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C 0 M C 0
1
C
2
M C
C 0 M C 0
C 0 M C
Viga principal Viga conjugada
Apoyada ndash apoyada (movil ndash fijo)
C C C 0 Apoyada ndash apoyada
Apoyo articulado moacutevil en el interior
C C 0 C C 0 articulacioacuten
Empotramiento
C 0 C C 0 extremo libre
Extremo libre
C C C 0 empotramiento
34- Condiciones de contorno
35-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA
a- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma
b- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real
c- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real
d-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real
e-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada
f- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada
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g- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado
h- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacioacuten
en la viga conjugada
36- TABLAS DE CONVERSION
Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros desplazamientos)
(Corte momento)
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En algunos casos en especial cuando las estructuras son estaacuteticamente
indeterminadas la viga conjugada puede resultar inestable Este inconveniente
queda resuelto cuando se carga a la misma ya que el propio estado de cargas le
confiere estabilidad
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5- CONCLUSIONES-
1 El cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccioacuten
2 La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
3 La viga conjugada se carga siempre con el DMF en direccioacuten de la
comprensioacuten
4 Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de
esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estaacuteticas como dinaacutemicas
5 Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequentildeas
deformaciones internas tanto en los nudos como en la viga misma
siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformacioacuten El
conocer estos comportamientos permite saber si la deformacioacuten seraacute
resistida por la estructura y asiacute no falle
6 El conocimiento de meacutetodos como la viga conjugada nos permite ver el
comportamiento de una viga con respecto a la rotacioacuten de sus apoyos y la
deformacioacuten en su punto mas critico y asiacute poder predecir si esta
deformacioacuten esta dentro del rango permitido y por lo tanto saber si resiste
la estructura o no
7 Para el anaacutelisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el
cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha seccioacuten
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6-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
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Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
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que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
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I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
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plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
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Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
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El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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4 EJERCICIOS-
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5 EJERCICIOS-
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Utilizando los Principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a
un conjunto de Meacutetodos en este caso el Meacutetodo de la Viga Conjugada
A su vez el desarrollo operativo de los Meacutetodos se concreta en una serie de
Procedimientos
Principio -gt Teorema -gt Meacutetodo -gt Procedimiento
El conocimiento de las deformaciones resulta tambieacuten sumamente importante
desde el punto de vista constructivo Para dichos caacutelculos se haraacute uso del meacutetodo
de la viga conjugada que consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a
la viga conjugada Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor
conveniencia se obtiene el cortarte que seraacute el giro de la viga real y el momento
en la viga conjugada seraacute el desplazamiento en la misma
La deflexioacuten que presentan las vigas por accioacuten de las cargas que soportan han
motivado la existencia de numerosos meacutetodos de caacutelculo aplicables a cualquier
tipo de estructuras A continuacioacuten analizaremos el meacutetodo de la viga conjugada
Este meacutetodo contaremos con vigas que puede ser isostaacutetica o hiperestaacutetica
(tenemos que hacer que la viga sea como isostaacutetica) ya que esta siempre es una
viga estaacuteticamente determinada a partir de este punto calculamos el diagrama de
momento (M y MEI) obtendremos dos ecuaciones una indica el giro θ (x) de la
viga en cualquier punto y la segunda el valor de la flecha δ(x) de la viga deformada
en cualquier punto de eacutesta
Se resume que la viga conjugada es una ficticia de longitud igual a la de una viga
real y cuya carga es el diagrama de momentos flectores reducidos
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II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
El objetivo principal de este trabajo es el mostrar el comportamiento de una
estructura a traveacutes de este meacutetodo
Caacutelculo de giros y flechas en vigas
Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga
real utilizando una viga ficticia para ello
Graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la viga real
para poder crear asiacute nuestra viga ficticia
OBJETIVOS ESPECIacuteFICOS
Utilizar el meacutetodo de LA VIGA CONJUGADA oacute meacutetodo de la viga
imaginaria para el caacutelculo de deflexiones en vigas
Entender el concepto del meacutetodo de la viga conjugada
Analizar la viga estaacuteticamente determinada
Resolver los ejercicios dados a traveacutes de las relaciones estudiadas entre
una viga real y ficticia
III- MARCO TEORICO
31- METODO DE LA VIGA CONJUGADA
311- DEFINICION- Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y
cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la
compresioacuten
La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
Este meacutetodo consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga
conjugada Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor
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conveniencia se obtiene el cortarte que seraacute el giro de la viga real y el
momento en la viga conjugada seraacute el desplazamiento en la misma y tambieacuten
se le denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los
diagramas de momentos de las cargas reales dadas Este meacutetodo al igual que
el de eje elaacutestico y aacuterea de momentos nos permite calcular los giros y fechas
de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales llamados
columnas La fig 1 muestra un ejemplo de este tipo de vigas
311-MARCO HISTORICO- El meacutetodo de la viga conjugada se debe a
Otto Mohr quien lo presentoacute en 1868 Es de gran importancia para la
determinacioacuten de deformaciones por la operatividad que introduce este
meacutetodo
3111-CHRISTIAN OTTO MOHR-
Christian Otto Mohr (Wesselburen 8 de octubre de 1835 - Dresde 2 de
octubre de 1918) fue un ingeniero civil alemaacuten uno de los maacutes
celebrados del siglo XIX
3112-VIDA-
Mohr pertenecioacute a una familia terrateniente de Wesselburen en la regioacuten
de Holstein y estudioacute en la Escuela Politeacutecnica de Hanoacutever En los
inicios de 1855 durante su vida laboral temprana estuvo trabajando en
el disentildeo de viacuteas de ferrocarriles para las viacuteas de los estados
de Hanoacutever y Oldenburg disentildeando algunos puentes famosos y
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creando algunas de las primeras armaduras de acero
Auacuten en sus primeros antildeos construyendo viacuteas de tren Mohr se sentiacutea
muy interesado por las teoriacuteas de mecaacutenica y la resistencia de
materiales y en 1867 se hizo profesor de mecaacutenica en el Politeacutecnico de
Stuttgart y en 1873 en el Politeacutecnico de Dresde Mohr teniacutea un estilo
directo y sencillo que era muy popular entre sus estudiantes
3111-LOGROS CIENTIFICOS-
En 1874 Mohr formalizoacute la hasta entonces solo intuitiva idea de
una estructura estaacuteticamente indeterminada Mohr fue un entusiasta de
las herramientas graacuteficas y desarrolloacute un meacutetodo para representar
visualmente tensiones en tres dimensiones previamente propuesto
por Carl Culmann En1882 desarrolloacute el meacutetodo graacutefico en dos
dimensiones para el anaacutelisis de tensioacuten conocido como ciacuterculo de
Mohr y lo usoacute para proponer la nueva teoriacutea de resistencia de
materiales basada en el esfuerzo cortante Tambieacuten desarrolloacute
el diagrama Williot-Mohr para el desplazamiento de armaduras y
la teoriacutea de Maxwell-Mohr para el anaacutelisis de estructuras estaacuteticamente
indeterminadas Se retiroacute en 1900 y murioacute en Dresde en 1918
31- PROCEDIMIENTO-
El meacutetodo de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y
cargarlo a la viga conjugada Luego aplicando la estaacutetica se hallan las cortantes y
momentos en la viga ficticia Donde el cortarte seraacute el giro de la viga real y el
momento en la viga conjugada seraacute el desplazamiento en la misma
Este meacutetodo es uacutetil cuando es faacutecil determinar la ley de momentos flectores de la
principal Si no se utiliza otro meacutetodo En la viga conjugada las cargas estaacuten
dirigidas hacia abajo cuando el momento flector de la viga principal es positivo
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MA MB
A B A B
MB MA
Brsquo
C
C A Crsquo
B
A M x xB dx S
M AB
BB tg Ba A A A AB
l l EI EI z z
b b
M B 0 R A l x x B M x x B dx R A l en la viga conjugada
A A
B
A A
M x x B dx R
A lEI EI
z z
Aplicando el primer teorema de Mohr
Existe una relacioacuten entre el cortante
obtenido en la viga conjugada y el aacutengulo
girado en la misma seccioacuten en la viga
principal y una relacioacuten entre el
momento flector en la viga conjugada y el
Desplazamiento producido en esa misma
seccioacuten en la viga principal
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32-POSTULADOS-
1 El giro en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al cortante en la seccioacuten
correspondiente de la viga conjugada
2 La flecha en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al momento flector en la
viga conjugada en la seccioacuten correspondiente
Los apoyos de la viga real para la viga conjugada se transforman a las indicadas
en la figura Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga
conjugada debe ser estaacuteticamente determinada
33- CONVENCION DE SIGNOS
Si el cortante es (+) el giro es (-)
Si el cortante es (-) el giro es (+)
Si el momento es (+) el desplazamiento es hacia abajo
Si el momento es negativo el desplazamiento es hacia arriba
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C 0 M C 0
1
C
2
M C
C 0 M C 0
C 0 M C
Viga principal Viga conjugada
Apoyada ndash apoyada (movil ndash fijo)
C C C 0 Apoyada ndash apoyada
Apoyo articulado moacutevil en el interior
C C 0 C C 0 articulacioacuten
Empotramiento
C 0 C C 0 extremo libre
Extremo libre
C C C 0 empotramiento
34- Condiciones de contorno
35-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA
a- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma
b- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real
c- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real
d-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real
e-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada
f- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada
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g- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado
h- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacioacuten
en la viga conjugada
36- TABLAS DE CONVERSION
Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros desplazamientos)
(Corte momento)
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En algunos casos en especial cuando las estructuras son estaacuteticamente
indeterminadas la viga conjugada puede resultar inestable Este inconveniente
queda resuelto cuando se carga a la misma ya que el propio estado de cargas le
confiere estabilidad
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5- CONCLUSIONES-
1 El cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccioacuten
2 La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
3 La viga conjugada se carga siempre con el DMF en direccioacuten de la
comprensioacuten
4 Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de
esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estaacuteticas como dinaacutemicas
5 Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequentildeas
deformaciones internas tanto en los nudos como en la viga misma
siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformacioacuten El
conocer estos comportamientos permite saber si la deformacioacuten seraacute
resistida por la estructura y asiacute no falle
6 El conocimiento de meacutetodos como la viga conjugada nos permite ver el
comportamiento de una viga con respecto a la rotacioacuten de sus apoyos y la
deformacioacuten en su punto mas critico y asiacute poder predecir si esta
deformacioacuten esta dentro del rango permitido y por lo tanto saber si resiste
la estructura o no
7 Para el anaacutelisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el
cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha seccioacuten
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6-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
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wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
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Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
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que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
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I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
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plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
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Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
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El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
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Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
METODO VIGA CONJUGADA
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
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5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
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METODO VIGA CONJUGADA
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METODO VIGA CONJUGADA
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II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
El objetivo principal de este trabajo es el mostrar el comportamiento de una
estructura a traveacutes de este meacutetodo
Caacutelculo de giros y flechas en vigas
Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga
real utilizando una viga ficticia para ello
Graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la viga real
para poder crear asiacute nuestra viga ficticia
OBJETIVOS ESPECIacuteFICOS
Utilizar el meacutetodo de LA VIGA CONJUGADA oacute meacutetodo de la viga
imaginaria para el caacutelculo de deflexiones en vigas
Entender el concepto del meacutetodo de la viga conjugada
Analizar la viga estaacuteticamente determinada
Resolver los ejercicios dados a traveacutes de las relaciones estudiadas entre
una viga real y ficticia
III- MARCO TEORICO
31- METODO DE LA VIGA CONJUGADA
311- DEFINICION- Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y
cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la
compresioacuten
La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
Este meacutetodo consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga
conjugada Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
conveniencia se obtiene el cortarte que seraacute el giro de la viga real y el
momento en la viga conjugada seraacute el desplazamiento en la misma y tambieacuten
se le denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los
diagramas de momentos de las cargas reales dadas Este meacutetodo al igual que
el de eje elaacutestico y aacuterea de momentos nos permite calcular los giros y fechas
de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales llamados
columnas La fig 1 muestra un ejemplo de este tipo de vigas
311-MARCO HISTORICO- El meacutetodo de la viga conjugada se debe a
Otto Mohr quien lo presentoacute en 1868 Es de gran importancia para la
determinacioacuten de deformaciones por la operatividad que introduce este
meacutetodo
3111-CHRISTIAN OTTO MOHR-
Christian Otto Mohr (Wesselburen 8 de octubre de 1835 - Dresde 2 de
octubre de 1918) fue un ingeniero civil alemaacuten uno de los maacutes
celebrados del siglo XIX
3112-VIDA-
Mohr pertenecioacute a una familia terrateniente de Wesselburen en la regioacuten
de Holstein y estudioacute en la Escuela Politeacutecnica de Hanoacutever En los
inicios de 1855 durante su vida laboral temprana estuvo trabajando en
el disentildeo de viacuteas de ferrocarriles para las viacuteas de los estados
de Hanoacutever y Oldenburg disentildeando algunos puentes famosos y
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
creando algunas de las primeras armaduras de acero
Auacuten en sus primeros antildeos construyendo viacuteas de tren Mohr se sentiacutea
muy interesado por las teoriacuteas de mecaacutenica y la resistencia de
materiales y en 1867 se hizo profesor de mecaacutenica en el Politeacutecnico de
Stuttgart y en 1873 en el Politeacutecnico de Dresde Mohr teniacutea un estilo
directo y sencillo que era muy popular entre sus estudiantes
3111-LOGROS CIENTIFICOS-
En 1874 Mohr formalizoacute la hasta entonces solo intuitiva idea de
una estructura estaacuteticamente indeterminada Mohr fue un entusiasta de
las herramientas graacuteficas y desarrolloacute un meacutetodo para representar
visualmente tensiones en tres dimensiones previamente propuesto
por Carl Culmann En1882 desarrolloacute el meacutetodo graacutefico en dos
dimensiones para el anaacutelisis de tensioacuten conocido como ciacuterculo de
Mohr y lo usoacute para proponer la nueva teoriacutea de resistencia de
materiales basada en el esfuerzo cortante Tambieacuten desarrolloacute
el diagrama Williot-Mohr para el desplazamiento de armaduras y
la teoriacutea de Maxwell-Mohr para el anaacutelisis de estructuras estaacuteticamente
indeterminadas Se retiroacute en 1900 y murioacute en Dresde en 1918
31- PROCEDIMIENTO-
El meacutetodo de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y
cargarlo a la viga conjugada Luego aplicando la estaacutetica se hallan las cortantes y
momentos en la viga ficticia Donde el cortarte seraacute el giro de la viga real y el
momento en la viga conjugada seraacute el desplazamiento en la misma
Este meacutetodo es uacutetil cuando es faacutecil determinar la ley de momentos flectores de la
principal Si no se utiliza otro meacutetodo En la viga conjugada las cargas estaacuten
dirigidas hacia abajo cuando el momento flector de la viga principal es positivo
METODO VIGA CONJUGADA
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MA MB
A B A B
MB MA
Brsquo
C
C A Crsquo
B
A M x xB dx S
M AB
BB tg Ba A A A AB
l l EI EI z z
b b
M B 0 R A l x x B M x x B dx R A l en la viga conjugada
A A
B
A A
M x x B dx R
A lEI EI
z z
Aplicando el primer teorema de Mohr
Existe una relacioacuten entre el cortante
obtenido en la viga conjugada y el aacutengulo
girado en la misma seccioacuten en la viga
principal y una relacioacuten entre el
momento flector en la viga conjugada y el
Desplazamiento producido en esa misma
seccioacuten en la viga principal
METODO VIGA CONJUGADA
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32-POSTULADOS-
1 El giro en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al cortante en la seccioacuten
correspondiente de la viga conjugada
2 La flecha en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al momento flector en la
viga conjugada en la seccioacuten correspondiente
Los apoyos de la viga real para la viga conjugada se transforman a las indicadas
en la figura Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga
conjugada debe ser estaacuteticamente determinada
33- CONVENCION DE SIGNOS
Si el cortante es (+) el giro es (-)
Si el cortante es (-) el giro es (+)
Si el momento es (+) el desplazamiento es hacia abajo
Si el momento es negativo el desplazamiento es hacia arriba
METODO VIGA CONJUGADA
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C 0 M C 0
1
C
2
M C
C 0 M C 0
C 0 M C
Viga principal Viga conjugada
Apoyada ndash apoyada (movil ndash fijo)
C C C 0 Apoyada ndash apoyada
Apoyo articulado moacutevil en el interior
C C 0 C C 0 articulacioacuten
Empotramiento
C 0 C C 0 extremo libre
Extremo libre
C C C 0 empotramiento
34- Condiciones de contorno
35-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA
a- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma
b- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real
c- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real
d-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real
e-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada
f- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada
METODO VIGA CONJUGADA
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g- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado
h- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacioacuten
en la viga conjugada
36- TABLAS DE CONVERSION
Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros desplazamientos)
(Corte momento)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
En algunos casos en especial cuando las estructuras son estaacuteticamente
indeterminadas la viga conjugada puede resultar inestable Este inconveniente
queda resuelto cuando se carga a la misma ya que el propio estado de cargas le
confiere estabilidad
METODO VIGA CONJUGADA
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5- CONCLUSIONES-
1 El cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccioacuten
2 La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
3 La viga conjugada se carga siempre con el DMF en direccioacuten de la
comprensioacuten
4 Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de
esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estaacuteticas como dinaacutemicas
5 Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequentildeas
deformaciones internas tanto en los nudos como en la viga misma
siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformacioacuten El
conocer estos comportamientos permite saber si la deformacioacuten seraacute
resistida por la estructura y asiacute no falle
6 El conocimiento de meacutetodos como la viga conjugada nos permite ver el
comportamiento de una viga con respecto a la rotacioacuten de sus apoyos y la
deformacioacuten en su punto mas critico y asiacute poder predecir si esta
deformacioacuten esta dentro del rango permitido y por lo tanto saber si resiste
la estructura o no
7 Para el anaacutelisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el
cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha seccioacuten
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6-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
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exiones20geometricashtm
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Anaacutelisis Estructural
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7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
METODO VIGA CONJUGADA
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Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
METODO VIGA CONJUGADA
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que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
METODO VIGA CONJUGADA
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I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
METODO VIGA CONJUGADA
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
METODO VIGA CONJUGADA
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plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
METODO VIGA CONJUGADA
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
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1ordm Edicioacuten
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Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
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4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
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5 EJERCICIOS-
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METODO VIGA CONJUGADA
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conveniencia se obtiene el cortarte que seraacute el giro de la viga real y el
momento en la viga conjugada seraacute el desplazamiento en la misma y tambieacuten
se le denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los
diagramas de momentos de las cargas reales dadas Este meacutetodo al igual que
el de eje elaacutestico y aacuterea de momentos nos permite calcular los giros y fechas
de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales llamados
columnas La fig 1 muestra un ejemplo de este tipo de vigas
311-MARCO HISTORICO- El meacutetodo de la viga conjugada se debe a
Otto Mohr quien lo presentoacute en 1868 Es de gran importancia para la
determinacioacuten de deformaciones por la operatividad que introduce este
meacutetodo
3111-CHRISTIAN OTTO MOHR-
Christian Otto Mohr (Wesselburen 8 de octubre de 1835 - Dresde 2 de
octubre de 1918) fue un ingeniero civil alemaacuten uno de los maacutes
celebrados del siglo XIX
3112-VIDA-
Mohr pertenecioacute a una familia terrateniente de Wesselburen en la regioacuten
de Holstein y estudioacute en la Escuela Politeacutecnica de Hanoacutever En los
inicios de 1855 durante su vida laboral temprana estuvo trabajando en
el disentildeo de viacuteas de ferrocarriles para las viacuteas de los estados
de Hanoacutever y Oldenburg disentildeando algunos puentes famosos y
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
creando algunas de las primeras armaduras de acero
Auacuten en sus primeros antildeos construyendo viacuteas de tren Mohr se sentiacutea
muy interesado por las teoriacuteas de mecaacutenica y la resistencia de
materiales y en 1867 se hizo profesor de mecaacutenica en el Politeacutecnico de
Stuttgart y en 1873 en el Politeacutecnico de Dresde Mohr teniacutea un estilo
directo y sencillo que era muy popular entre sus estudiantes
3111-LOGROS CIENTIFICOS-
En 1874 Mohr formalizoacute la hasta entonces solo intuitiva idea de
una estructura estaacuteticamente indeterminada Mohr fue un entusiasta de
las herramientas graacuteficas y desarrolloacute un meacutetodo para representar
visualmente tensiones en tres dimensiones previamente propuesto
por Carl Culmann En1882 desarrolloacute el meacutetodo graacutefico en dos
dimensiones para el anaacutelisis de tensioacuten conocido como ciacuterculo de
Mohr y lo usoacute para proponer la nueva teoriacutea de resistencia de
materiales basada en el esfuerzo cortante Tambieacuten desarrolloacute
el diagrama Williot-Mohr para el desplazamiento de armaduras y
la teoriacutea de Maxwell-Mohr para el anaacutelisis de estructuras estaacuteticamente
indeterminadas Se retiroacute en 1900 y murioacute en Dresde en 1918
31- PROCEDIMIENTO-
El meacutetodo de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y
cargarlo a la viga conjugada Luego aplicando la estaacutetica se hallan las cortantes y
momentos en la viga ficticia Donde el cortarte seraacute el giro de la viga real y el
momento en la viga conjugada seraacute el desplazamiento en la misma
Este meacutetodo es uacutetil cuando es faacutecil determinar la ley de momentos flectores de la
principal Si no se utiliza otro meacutetodo En la viga conjugada las cargas estaacuten
dirigidas hacia abajo cuando el momento flector de la viga principal es positivo
METODO VIGA CONJUGADA
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MA MB
A B A B
MB MA
Brsquo
C
C A Crsquo
B
A M x xB dx S
M AB
BB tg Ba A A A AB
l l EI EI z z
b b
M B 0 R A l x x B M x x B dx R A l en la viga conjugada
A A
B
A A
M x x B dx R
A lEI EI
z z
Aplicando el primer teorema de Mohr
Existe una relacioacuten entre el cortante
obtenido en la viga conjugada y el aacutengulo
girado en la misma seccioacuten en la viga
principal y una relacioacuten entre el
momento flector en la viga conjugada y el
Desplazamiento producido en esa misma
seccioacuten en la viga principal
METODO VIGA CONJUGADA
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32-POSTULADOS-
1 El giro en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al cortante en la seccioacuten
correspondiente de la viga conjugada
2 La flecha en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al momento flector en la
viga conjugada en la seccioacuten correspondiente
Los apoyos de la viga real para la viga conjugada se transforman a las indicadas
en la figura Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga
conjugada debe ser estaacuteticamente determinada
33- CONVENCION DE SIGNOS
Si el cortante es (+) el giro es (-)
Si el cortante es (-) el giro es (+)
Si el momento es (+) el desplazamiento es hacia abajo
Si el momento es negativo el desplazamiento es hacia arriba
METODO VIGA CONJUGADA
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C 0 M C 0
1
C
2
M C
C 0 M C 0
C 0 M C
Viga principal Viga conjugada
Apoyada ndash apoyada (movil ndash fijo)
C C C 0 Apoyada ndash apoyada
Apoyo articulado moacutevil en el interior
C C 0 C C 0 articulacioacuten
Empotramiento
C 0 C C 0 extremo libre
Extremo libre
C C C 0 empotramiento
34- Condiciones de contorno
35-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA
a- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma
b- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real
c- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real
d-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real
e-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada
f- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada
METODO VIGA CONJUGADA
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g- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado
h- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacioacuten
en la viga conjugada
36- TABLAS DE CONVERSION
Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros desplazamientos)
(Corte momento)
METODO VIGA CONJUGADA
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En algunos casos en especial cuando las estructuras son estaacuteticamente
indeterminadas la viga conjugada puede resultar inestable Este inconveniente
queda resuelto cuando se carga a la misma ya que el propio estado de cargas le
confiere estabilidad
METODO VIGA CONJUGADA
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5- CONCLUSIONES-
1 El cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccioacuten
2 La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
3 La viga conjugada se carga siempre con el DMF en direccioacuten de la
comprensioacuten
4 Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de
esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estaacuteticas como dinaacutemicas
5 Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequentildeas
deformaciones internas tanto en los nudos como en la viga misma
siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformacioacuten El
conocer estos comportamientos permite saber si la deformacioacuten seraacute
resistida por la estructura y asiacute no falle
6 El conocimiento de meacutetodos como la viga conjugada nos permite ver el
comportamiento de una viga con respecto a la rotacioacuten de sus apoyos y la
deformacioacuten en su punto mas critico y asiacute poder predecir si esta
deformacioacuten esta dentro del rango permitido y por lo tanto saber si resiste
la estructura o no
7 Para el anaacutelisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el
cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha seccioacuten
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6-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
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exiones20geometricashtm
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7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
METODO VIGA CONJUGADA
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Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
METODO VIGA CONJUGADA
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
METODO VIGA CONJUGADA
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plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
METODO VIGA CONJUGADA
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Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
METODO VIGA CONJUGADA
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
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Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
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METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
creando algunas de las primeras armaduras de acero
Auacuten en sus primeros antildeos construyendo viacuteas de tren Mohr se sentiacutea
muy interesado por las teoriacuteas de mecaacutenica y la resistencia de
materiales y en 1867 se hizo profesor de mecaacutenica en el Politeacutecnico de
Stuttgart y en 1873 en el Politeacutecnico de Dresde Mohr teniacutea un estilo
directo y sencillo que era muy popular entre sus estudiantes
3111-LOGROS CIENTIFICOS-
En 1874 Mohr formalizoacute la hasta entonces solo intuitiva idea de
una estructura estaacuteticamente indeterminada Mohr fue un entusiasta de
las herramientas graacuteficas y desarrolloacute un meacutetodo para representar
visualmente tensiones en tres dimensiones previamente propuesto
por Carl Culmann En1882 desarrolloacute el meacutetodo graacutefico en dos
dimensiones para el anaacutelisis de tensioacuten conocido como ciacuterculo de
Mohr y lo usoacute para proponer la nueva teoriacutea de resistencia de
materiales basada en el esfuerzo cortante Tambieacuten desarrolloacute
el diagrama Williot-Mohr para el desplazamiento de armaduras y
la teoriacutea de Maxwell-Mohr para el anaacutelisis de estructuras estaacuteticamente
indeterminadas Se retiroacute en 1900 y murioacute en Dresde en 1918
31- PROCEDIMIENTO-
El meacutetodo de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y
cargarlo a la viga conjugada Luego aplicando la estaacutetica se hallan las cortantes y
momentos en la viga ficticia Donde el cortarte seraacute el giro de la viga real y el
momento en la viga conjugada seraacute el desplazamiento en la misma
Este meacutetodo es uacutetil cuando es faacutecil determinar la ley de momentos flectores de la
principal Si no se utiliza otro meacutetodo En la viga conjugada las cargas estaacuten
dirigidas hacia abajo cuando el momento flector de la viga principal es positivo
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
MA MB
A B A B
MB MA
Brsquo
C
C A Crsquo
B
A M x xB dx S
M AB
BB tg Ba A A A AB
l l EI EI z z
b b
M B 0 R A l x x B M x x B dx R A l en la viga conjugada
A A
B
A A
M x x B dx R
A lEI EI
z z
Aplicando el primer teorema de Mohr
Existe una relacioacuten entre el cortante
obtenido en la viga conjugada y el aacutengulo
girado en la misma seccioacuten en la viga
principal y una relacioacuten entre el
momento flector en la viga conjugada y el
Desplazamiento producido en esa misma
seccioacuten en la viga principal
METODO VIGA CONJUGADA
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32-POSTULADOS-
1 El giro en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al cortante en la seccioacuten
correspondiente de la viga conjugada
2 La flecha en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al momento flector en la
viga conjugada en la seccioacuten correspondiente
Los apoyos de la viga real para la viga conjugada se transforman a las indicadas
en la figura Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga
conjugada debe ser estaacuteticamente determinada
33- CONVENCION DE SIGNOS
Si el cortante es (+) el giro es (-)
Si el cortante es (-) el giro es (+)
Si el momento es (+) el desplazamiento es hacia abajo
Si el momento es negativo el desplazamiento es hacia arriba
METODO VIGA CONJUGADA
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C 0 M C 0
1
C
2
M C
C 0 M C 0
C 0 M C
Viga principal Viga conjugada
Apoyada ndash apoyada (movil ndash fijo)
C C C 0 Apoyada ndash apoyada
Apoyo articulado moacutevil en el interior
C C 0 C C 0 articulacioacuten
Empotramiento
C 0 C C 0 extremo libre
Extremo libre
C C C 0 empotramiento
34- Condiciones de contorno
35-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA
a- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma
b- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real
c- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real
d-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real
e-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada
f- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada
METODO VIGA CONJUGADA
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g- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado
h- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacioacuten
en la viga conjugada
36- TABLAS DE CONVERSION
Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros desplazamientos)
(Corte momento)
METODO VIGA CONJUGADA
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En algunos casos en especial cuando las estructuras son estaacuteticamente
indeterminadas la viga conjugada puede resultar inestable Este inconveniente
queda resuelto cuando se carga a la misma ya que el propio estado de cargas le
confiere estabilidad
METODO VIGA CONJUGADA
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5- CONCLUSIONES-
1 El cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccioacuten
2 La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
3 La viga conjugada se carga siempre con el DMF en direccioacuten de la
comprensioacuten
4 Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de
esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estaacuteticas como dinaacutemicas
5 Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequentildeas
deformaciones internas tanto en los nudos como en la viga misma
siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformacioacuten El
conocer estos comportamientos permite saber si la deformacioacuten seraacute
resistida por la estructura y asiacute no falle
6 El conocimiento de meacutetodos como la viga conjugada nos permite ver el
comportamiento de una viga con respecto a la rotacioacuten de sus apoyos y la
deformacioacuten en su punto mas critico y asiacute poder predecir si esta
deformacioacuten esta dentro del rango permitido y por lo tanto saber si resiste
la estructura o no
7 Para el anaacutelisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el
cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha seccioacuten
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6-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
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Anaacutelisis Estructural
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7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
METODO VIGA CONJUGADA
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Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
METODO VIGA CONJUGADA
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
METODO VIGA CONJUGADA
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Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
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Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
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3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
MA MB
A B A B
MB MA
Brsquo
C
C A Crsquo
B
A M x xB dx S
M AB
BB tg Ba A A A AB
l l EI EI z z
b b
M B 0 R A l x x B M x x B dx R A l en la viga conjugada
A A
B
A A
M x x B dx R
A lEI EI
z z
Aplicando el primer teorema de Mohr
Existe una relacioacuten entre el cortante
obtenido en la viga conjugada y el aacutengulo
girado en la misma seccioacuten en la viga
principal y una relacioacuten entre el
momento flector en la viga conjugada y el
Desplazamiento producido en esa misma
seccioacuten en la viga principal
METODO VIGA CONJUGADA
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32-POSTULADOS-
1 El giro en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al cortante en la seccioacuten
correspondiente de la viga conjugada
2 La flecha en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al momento flector en la
viga conjugada en la seccioacuten correspondiente
Los apoyos de la viga real para la viga conjugada se transforman a las indicadas
en la figura Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga
conjugada debe ser estaacuteticamente determinada
33- CONVENCION DE SIGNOS
Si el cortante es (+) el giro es (-)
Si el cortante es (-) el giro es (+)
Si el momento es (+) el desplazamiento es hacia abajo
Si el momento es negativo el desplazamiento es hacia arriba
METODO VIGA CONJUGADA
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C 0 M C 0
1
C
2
M C
C 0 M C 0
C 0 M C
Viga principal Viga conjugada
Apoyada ndash apoyada (movil ndash fijo)
C C C 0 Apoyada ndash apoyada
Apoyo articulado moacutevil en el interior
C C 0 C C 0 articulacioacuten
Empotramiento
C 0 C C 0 extremo libre
Extremo libre
C C C 0 empotramiento
34- Condiciones de contorno
35-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA
a- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma
b- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real
c- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real
d-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real
e-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada
f- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada
METODO VIGA CONJUGADA
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g- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado
h- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacioacuten
en la viga conjugada
36- TABLAS DE CONVERSION
Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros desplazamientos)
(Corte momento)
METODO VIGA CONJUGADA
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En algunos casos en especial cuando las estructuras son estaacuteticamente
indeterminadas la viga conjugada puede resultar inestable Este inconveniente
queda resuelto cuando se carga a la misma ya que el propio estado de cargas le
confiere estabilidad
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
5- CONCLUSIONES-
1 El cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccioacuten
2 La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
3 La viga conjugada se carga siempre con el DMF en direccioacuten de la
comprensioacuten
4 Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de
esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estaacuteticas como dinaacutemicas
5 Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequentildeas
deformaciones internas tanto en los nudos como en la viga misma
siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformacioacuten El
conocer estos comportamientos permite saber si la deformacioacuten seraacute
resistida por la estructura y asiacute no falle
6 El conocimiento de meacutetodos como la viga conjugada nos permite ver el
comportamiento de una viga con respecto a la rotacioacuten de sus apoyos y la
deformacioacuten en su punto mas critico y asiacute poder predecir si esta
deformacioacuten esta dentro del rango permitido y por lo tanto saber si resiste
la estructura o no
7 Para el anaacutelisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el
cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha seccioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
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Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
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Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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4 EJERCICIOS-
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5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
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METODO VIGA CONJUGADA
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32-POSTULADOS-
1 El giro en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al cortante en la seccioacuten
correspondiente de la viga conjugada
2 La flecha en cualquier seccioacuten de la viga real es igual al momento flector en la
viga conjugada en la seccioacuten correspondiente
Los apoyos de la viga real para la viga conjugada se transforman a las indicadas
en la figura Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga
conjugada debe ser estaacuteticamente determinada
33- CONVENCION DE SIGNOS
Si el cortante es (+) el giro es (-)
Si el cortante es (-) el giro es (+)
Si el momento es (+) el desplazamiento es hacia abajo
Si el momento es negativo el desplazamiento es hacia arriba
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C 0 M C 0
1
C
2
M C
C 0 M C 0
C 0 M C
Viga principal Viga conjugada
Apoyada ndash apoyada (movil ndash fijo)
C C C 0 Apoyada ndash apoyada
Apoyo articulado moacutevil en el interior
C C 0 C C 0 articulacioacuten
Empotramiento
C 0 C C 0 extremo libre
Extremo libre
C C C 0 empotramiento
34- Condiciones de contorno
35-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA
a- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma
b- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real
c- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real
d-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real
e-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada
f- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada
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g- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado
h- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacioacuten
en la viga conjugada
36- TABLAS DE CONVERSION
Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros desplazamientos)
(Corte momento)
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En algunos casos en especial cuando las estructuras son estaacuteticamente
indeterminadas la viga conjugada puede resultar inestable Este inconveniente
queda resuelto cuando se carga a la misma ya que el propio estado de cargas le
confiere estabilidad
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5- CONCLUSIONES-
1 El cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccioacuten
2 La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
3 La viga conjugada se carga siempre con el DMF en direccioacuten de la
comprensioacuten
4 Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de
esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estaacuteticas como dinaacutemicas
5 Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequentildeas
deformaciones internas tanto en los nudos como en la viga misma
siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformacioacuten El
conocer estos comportamientos permite saber si la deformacioacuten seraacute
resistida por la estructura y asiacute no falle
6 El conocimiento de meacutetodos como la viga conjugada nos permite ver el
comportamiento de una viga con respecto a la rotacioacuten de sus apoyos y la
deformacioacuten en su punto mas critico y asiacute poder predecir si esta
deformacioacuten esta dentro del rango permitido y por lo tanto saber si resiste
la estructura o no
7 Para el anaacutelisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el
cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha seccioacuten
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6-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
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7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
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Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
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que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
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I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
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plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
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Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
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El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
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Anaacutelisis Estructural
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1ordm Edicioacuten
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8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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4 EJERCICIOS-
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5 EJERCICIOS-
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C 0 M C 0
1
C
2
M C
C 0 M C 0
C 0 M C
Viga principal Viga conjugada
Apoyada ndash apoyada (movil ndash fijo)
C C C 0 Apoyada ndash apoyada
Apoyo articulado moacutevil en el interior
C C 0 C C 0 articulacioacuten
Empotramiento
C 0 C C 0 extremo libre
Extremo libre
C C C 0 empotramiento
34- Condiciones de contorno
35-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA
a- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma
b- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real
c- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real
d-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real
e-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada
f- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada
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g- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado
h- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacioacuten
en la viga conjugada
36- TABLAS DE CONVERSION
Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros desplazamientos)
(Corte momento)
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En algunos casos en especial cuando las estructuras son estaacuteticamente
indeterminadas la viga conjugada puede resultar inestable Este inconveniente
queda resuelto cuando se carga a la misma ya que el propio estado de cargas le
confiere estabilidad
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5- CONCLUSIONES-
1 El cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccioacuten
2 La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
3 La viga conjugada se carga siempre con el DMF en direccioacuten de la
comprensioacuten
4 Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de
esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estaacuteticas como dinaacutemicas
5 Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequentildeas
deformaciones internas tanto en los nudos como en la viga misma
siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformacioacuten El
conocer estos comportamientos permite saber si la deformacioacuten seraacute
resistida por la estructura y asiacute no falle
6 El conocimiento de meacutetodos como la viga conjugada nos permite ver el
comportamiento de una viga con respecto a la rotacioacuten de sus apoyos y la
deformacioacuten en su punto mas critico y asiacute poder predecir si esta
deformacioacuten esta dentro del rango permitido y por lo tanto saber si resiste
la estructura o no
7 Para el anaacutelisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el
cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha seccioacuten
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6-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
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httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
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7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
METODO VIGA CONJUGADA
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
METODO VIGA CONJUGADA
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Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
METODO VIGA CONJUGADA
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
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El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
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METODO VIGA CONJUGADA
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METODO VIGA CONJUGADA
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g- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado
h- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacioacuten
en la viga conjugada
36- TABLAS DE CONVERSION
Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros desplazamientos)
(Corte momento)
METODO VIGA CONJUGADA
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En algunos casos en especial cuando las estructuras son estaacuteticamente
indeterminadas la viga conjugada puede resultar inestable Este inconveniente
queda resuelto cuando se carga a la misma ya que el propio estado de cargas le
confiere estabilidad
METODO VIGA CONJUGADA
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5- CONCLUSIONES-
1 El cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccioacuten
2 La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
3 La viga conjugada se carga siempre con el DMF en direccioacuten de la
comprensioacuten
4 Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de
esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estaacuteticas como dinaacutemicas
5 Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequentildeas
deformaciones internas tanto en los nudos como en la viga misma
siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformacioacuten El
conocer estos comportamientos permite saber si la deformacioacuten seraacute
resistida por la estructura y asiacute no falle
6 El conocimiento de meacutetodos como la viga conjugada nos permite ver el
comportamiento de una viga con respecto a la rotacioacuten de sus apoyos y la
deformacioacuten en su punto mas critico y asiacute poder predecir si esta
deformacioacuten esta dentro del rango permitido y por lo tanto saber si resiste
la estructura o no
7 Para el anaacutelisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el
cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha seccioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
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6-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
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Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
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-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
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7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
METODO VIGA CONJUGADA
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que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
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I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
METODO VIGA CONJUGADA
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plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
METODO VIGA CONJUGADA
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Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
METODO VIGA CONJUGADA
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
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El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
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Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
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3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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4 EJERCICIOS-
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5 EJERCICIOS-
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En algunos casos en especial cuando las estructuras son estaacuteticamente
indeterminadas la viga conjugada puede resultar inestable Este inconveniente
queda resuelto cuando se carga a la misma ya que el propio estado de cargas le
confiere estabilidad
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5- CONCLUSIONES-
1 El cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccioacuten
2 La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
3 La viga conjugada se carga siempre con el DMF en direccioacuten de la
comprensioacuten
4 Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de
esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estaacuteticas como dinaacutemicas
5 Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequentildeas
deformaciones internas tanto en los nudos como en la viga misma
siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformacioacuten El
conocer estos comportamientos permite saber si la deformacioacuten seraacute
resistida por la estructura y asiacute no falle
6 El conocimiento de meacutetodos como la viga conjugada nos permite ver el
comportamiento de una viga con respecto a la rotacioacuten de sus apoyos y la
deformacioacuten en su punto mas critico y asiacute poder predecir si esta
deformacioacuten esta dentro del rango permitido y por lo tanto saber si resiste
la estructura o no
7 Para el anaacutelisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el
cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha seccioacuten
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6-BIBLIOGRAFIA
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7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
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Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
METODO VIGA CONJUGADA
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que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
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I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
METODO VIGA CONJUGADA
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
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plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
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Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
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El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
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Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
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METODO VIGA CONJUGADA
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5- CONCLUSIONES-
1 El cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccioacuten
2 La viga conjugada es siempre una viga estaacuteticamente determinada
3 La viga conjugada se carga siempre con el DMF en direccioacuten de la
comprensioacuten
4 Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de
esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estaacuteticas como dinaacutemicas
5 Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequentildeas
deformaciones internas tanto en los nudos como en la viga misma
siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformacioacuten El
conocer estos comportamientos permite saber si la deformacioacuten seraacute
resistida por la estructura y asiacute no falle
6 El conocimiento de meacutetodos como la viga conjugada nos permite ver el
comportamiento de una viga con respecto a la rotacioacuten de sus apoyos y la
deformacioacuten en su punto mas critico y asiacute poder predecir si esta
deformacioacuten esta dentro del rango permitido y por lo tanto saber si resiste
la estructura o no
7 Para el anaacutelisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el
cortante en cualquier seccioacuten de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga
real en dicha seccioacuten El momento flector en una seccioacuten de la viga
conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha seccioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
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FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
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ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
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3ordm Edicioacuten
7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
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1ordm Edicioacuten
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8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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5 EJERCICIOS-
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6-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
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Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
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httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
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Anaacutelisis Estructural
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3ordm Edicioacuten
7- ANEXOS-
Los puentes de elevacioacuten vertical utilizan cables poleas motores y contrapesos
para levantar una sola seccioacuten del puente en forma vertical como si fuera un
elevador Cuando el puente estaacute arriba pueden pasar por debajo barcos con la
altura maacutexima de la parte inferior de su estructura Constan de dos torres en los
extremos construidas generalmente con piezas de acero
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Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
METODO VIGA CONJUGADA
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que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
METODO VIGA CONJUGADA
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I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
METODO VIGA CONJUGADA
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plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
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RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
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El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
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5 EJERCICIOS-
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Utilizando todo lo aprendido acerca del meacutetodo de la viga conjugada podremos
encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada a traveacutes
de un caacutelculo maacutes praacutectico porque soacutelo nos basta graficar correctamente el
diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como
una nueva viga (ficticia) y encontrar lo solicitado Aplicando correctamente la
relacioacuten que existe entre esta viga ficticia con la real
Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre
desplazamientos en sus vigas por la accioacuten de cargas que soporta Si bien es
cierto la deflexioacuten de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista pero
METODO VIGA CONJUGADA
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que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
METODO VIGA CONJUGADA
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I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
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plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
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Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
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El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
METODO VIGA CONJUGADA
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
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METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
que es faacutecil de hacer sus caacutelculos en este caso por el meacutetodo de la viga
conjugada
Ensayo realizado en una viga El aumento de presioacuten haraacute que la viga se flexione
hasta la rotura
Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite
desplazamientos
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
METODO VIGA CONJUGADA
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
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1ordm Edicioacuten
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Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
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2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
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3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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4 EJERCICIOS-
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5 EJERCICIOS-
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METODO VIGA CONJUGADA
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I- INTRODUCCION
El conocimiento del caacutelculo de giros y desplazamiento es necesario para poder
entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga
El presente trabajo esta basado en uno de los meacutetodos para calcular el giro y
desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el
diagrama de momentos
Contiene cinco problemas resueltos seguacuten el marco teoacuterico que ayudaraacute al lector a
tener base para la comprensioacuten de temas posteriores y un glosario de palabras
teacutecnicas de uso seguido que facilitaraacute la interpretacioacuten en el desarrollo del trabajo
El meacutetodo que estudiamos estaacute basado en dos teoremas el cual detallaremos mas
adelante pero que presentaremos a continuacioacuten
1 El aacutengulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos
cualesquiera de una elaacutestica continua es igual al aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
2 La distancia de un punto Brdquo de una elaacutestica continua medida
perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto Ardquo de
dicha curva es igual al momento respecto a B del aacuterea del diagrama MEI
comprendida entre dichos puntos
II- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Aprender los conceptos baacutesicos en relacioacuten del comportamiento fiacutesico de
los diversos elementos que conforman una estructura
Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas
Analizar los disentildeos en elementos estructurales (vigas)
METODO VIGA CONJUGADA
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OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
METODO VIGA CONJUGADA
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plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
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Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
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Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexioacuten
(Vigas)
Identificar los diversos tipos de cargas
Reconocer la parte teoacuterica en hechos cotidianos
III- MARCO TEORICO
31- METODO DEL AREA DE MOMENTO
311- DEFINICION- Este meacutetodo se basa en la relacioacuten que existe entre
el momento M y la curvatura y proporciona medios praacutecticos y eficientes
para calcular la pendiente y la deflexioacuten de la curva elaacutestica de vigas y
poacuterticos
El meacutetodo tiene dos teoremas El primero relaciona la curvatura con la
pendiente de la curva elaacutestica y el segundo la curvatura con la deflexioacuten
De la ecuacioacuten general de flexioacuten tenemos
Integrando
Tengamos presente que curvatura de un elemento viga
El meacutetodo del aacuterea de momentos estaacute sujeto a las mismas limitaciones que el de
la doble integracioacuten Sin embargo para verlo en su totalidad como un conjunto
completamente independiente se repite una pequentildea parte de lo dicho en la
seccioacuten cualquiera La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con
una carga cualquiera La Elaacutestica como interseccioacuten de la superficie neutra con el
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
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El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
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Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
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Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
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5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
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METODO VIGA CONJUGADA
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METODO VIGA CONJUGADA
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plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente
exagerada Al igual que en la deduccioacuten de la foacutermula de la deflexioacuten dos
secciones planas adyacentes distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta giran un aacutengulo dθ una respecto a la otra
32- DEMOSTRACION Es un meacutetodo sencillo para determinar las pendientes y
flechas en las vigas en las cuales intervienen el aacuterea del diagrama de momento y
el momento de dicha aacuterea
METODO VIGA CONJUGADA
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Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Recordemos que Si la viga es linealmente elaacutestica y cumple con la ley
de hooke entonces de la foacutermula de flexioacuten se tiene
Entonces Entonces
Integrando tenemos Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B Por
tanto la ecuacioacuten anterior nos conduce al primer teorema del meacutetodo del aacuterea de
momentos que dice ldquola variacioacuten o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elaacutestica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al aacuterea del
diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EIrdquo
θ es positivo cuando va en sentido anti horario (oacutesea corresponde a un aacuterea
positiva del momento flector) Al observar la segunda figura anterior la distancia
vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A
es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a
la elaacutestica en puntos sucesivos entonces cada uno de eacutestos segmentos es igual
a dt= xdθ integrando
pero como Entonces
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
METODO VIGA CONJUGADA
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
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Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
METODO VIGA CONJUGADA
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Si observamos la tercera figura anterior la expresioacuten x(Mdx) es el momento del
aacuterea del elemento rayado respecto a la ordenada en B por tanto la ecuacioacuten
anterior conduce al segundo teorema que dice ldquoLa desviacioacuten tangencial de un
punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elaacutestica en otro punto
cualquiera A en direccioacuten perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento
respecto de B del aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momento entre los puntos A
y B dividido por EIrdquo
Donde
Xb= Distancia del centroide del aacuterea al eje vertical al cual le estamos sacando la
desviacioacuten en eacuteste caso seriacutea con respecto a B
Tba = Es la desviacioacuten tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto
considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la
tangente
En la mayoriacutea de los casos praacutecticos la elaacutestica es tan llana que no se comete
error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccioacuten dx En estas
condiciones se tiene (b)
Evidentemente dos tangentes trazadas a la elaacutestica en C y D como en la figura 1-
b forman el mismo aacutengulo dθ que el que forman las secciones OC y OD por lo
que la desviacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes a la elaacutestica en dos puntos
cualesquiera A y B es igual a la suma de estos pequentildeos aacutengulos (c)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
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Obseacutervese tambieacuten figura 1-b que la distancia desde el punto B de la elaacutestica
medida perpendicularmente a la posicioacuten inicial de la viga hasta la tangente
trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt
interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos
sucesivos Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes
sucesivas trazadas a la elaacutestica en puntos sucesivos Cada uno de estos
segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y aacutengulo dθ
dt = x dθ
De
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuacioacuten (b) (d)
La longitud tBA se llama desviacioacuten de B con respecto a una tangente trazada por
A o bien desviacioacuten tangencial de B con respecto a A La figura 2 aclara la
diferencia que existe entre la desviacioacuten tangencial tBA de B respecto de A y la
desviacioacuten tAB de A con respecto a B En general dichas desviaciones son
distintas
Figura 2 En general tAB no es igual a tBA
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El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
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Anaacutelisis Estructural
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Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
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3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
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4 EJERCICIOS-
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5 EJERCICIOS-
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METODO VIGA CONJUGADA
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El significado geomeacutetrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del meacutetodo del aacuterea de momentos En el diagrama de momentos
flexionantes de la figura 1-c se observa que M dx es el aacuterea del elemento
diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B Ahora
bien como es la suma de tales elementos la ecuacioacuten (c) se puede escribir en la
forma(1)
Esta es la expresioacuten algebraica del Teorema I que se puede enunciar como sigue
321- Teorema 1
La derivacioacuten angular o aacutengulo entre las tangentes trazadas a la elaacutestica
en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1EI por el aacuterea
del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos
La figura 6-8c muestra como la expresioacuten x (M dx) que aparece dentro de
la integral en la ecuacioacuten (d) es el momento del aacuterea del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B Por tanto el significado geomeacutetrico de la
integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del
aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B Con ello la expresioacuten algebraica es
TBA = 1EI (aacuterea)AB XB
El aacuterea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elaacutestica
METODO VIGA CONJUGADA
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Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
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Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Paacutegs 21 ndash 37
1ordm Edicioacuten
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Mecaacutenica de Materiales
FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
Paacutegs 528 ndash 537
2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
5 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A
Se mide en radianes Aacutereas positivas indican que la pendiente crece
322- Teorema 2
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada
a la elaacutestica en otro punto cualquiera A en direccion perpendicular a la
inicial de la viga es igual al producto de 1EI por el momento con respecto
a B delo aacuterea de la porcioacuten del diagrama de momentos entre los puntos A
y B
El producto EI se llama rigidez a la flexioacuten Obseacutervese que se ha supuesto
taacutecticamente que E e I permaneciacutean constantes en toda la longitud de la
viga que es un caso muy comuacuten
Sin embargo cuando la rigidez es variable no puede sacarse EI del signo
integral y hay que conocerla en funcioacuten de x tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de MEI al que se
aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M
En los dos teoremas (aacuterea)AB representa el aacuterea de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B xB es
el brazo de momento de eacutesta aacuterea con respecto a B El momento de aacuterea
se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviacioacuten se
desea obtener
Por teoriacutea de los aacutengulos pequentildeos tenemos
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviacioacuten vertical entre las tangentes en A y B
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre
A Y B
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
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1ordm Edicioacuten
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FERDINAND P BEER E RUSSEL JOHNSTON JR
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3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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4 EJERCICIOS-
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5 EJERCICIOS-
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El teorema es ldquoLa desviacioacuten de la tangente en un punto A sobre la curva
elaacutestica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es
igual al momento del aacuterea bajo la curva MEI entre los puntos Ay B con
respecto a un eje A Se cumple siempre cuando en la curva no haya
discontinuidades por articulaciones Esta desviacioacuten siempre es
perpendicular a la posicioacuten original de la viga y se denomina flecha
40- CONVENCION DE SIGNOS-
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia la esviacion
tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la
tangente con respecto a la cual se toma esta desviacioacuten y negativa si queda
debajo de dicha tangente
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes Un valor positivo de
la variacioacuten de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la
derecha B se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada
en el punto mas a la izquierda A es decir que para pasar de la tangente en A a la
tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj y viceversa para los valores
negativos de qAB
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
wwwingunapyAPOYOMecanica20de20Materiales20IClase201220
-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
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1ordm Edicioacuten
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Resistencia de Materiales I ndash II
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3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
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4 EJERCICIOS-
METODO VIGA CONJUGADA
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5 EJERCICIOS-
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6- CONCLUSIONES-
La ecuacioacuten estaacute limitada al estudio de dimensiones pequentildeas debido a las
condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad
La ecuacioacuten es vaacutelida para vigas que no esteacuten sometidas a cargas que
exceda del liacutemite elaacutestico de sus materiales
El trabajo que se estaacute desarrollando sobre ldquoEl Meacutetodo de Aacuterea de
Momentosrdquo es baacutesico para nuestra formacioacuten profesional de ahiacute su
estudio es de suma importancia por el aporte de investigacioacuten y de anaacutelisis
del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio
para obtener resultados reales con la finalidad de tomar decisiones en
mejoras de la comunidad
7-BIBLIOGRAFIA
Resistencia de Materiales
PytelbullSinger 4ta Edicioacuten (Paacuteg 212)
Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales
Universidad Nacional de Ingenieriacutea
httpwwwpolitecnicovirtualeducoana-estruanalis-estruc-1htm
httpestructuraseiaeducoestructurasIdeflexionesmetodos20geometricosdefl
exiones20geometricashtm
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-20Viga20Conjugada20V250505pdf
Anaacutelisis Estructural
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2ordm Edicioacuten
Resistencia de Materiales I ndash II
ARTEAGA N P IBERICO C P IBERICO C C GONZALES A MEGO C
Paacutegs 137 ndash 152
3ordm Edicioacuten
8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
METODO VIGA CONJUGADA
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
METODO VIGA CONJUGADA
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
METODO VIGA CONJUGADA
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8- ANEXOS-
El techo proporciona una carga distribuida a la viga siendo eacutesta menor en los
extremos y mayor en el centro de la viga a esto se suma el peso propio del techo
La accioacuten del viento sobre el techo tambieacuten presenta un tipo de carga distribuida
sobre la viga
La viga transmite la carga a la columna en los apoyos de esta la deflexioacuten es nula
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
METODO VIGA CONJUGADA
RESISTENCIA DE MATERIALES II ndash INGENIERIA CIVIL
Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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4 EJERCICIOS-
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Este ensayo demuestra la gran deflexioacuten que sufre la viga en su centro al
momento de fallar
Viga Empotrada
Viga empotrada (2)
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9- GLOSARIO
Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
Mr=MEI
Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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Moacutedulo de elasticidad(E) El moacutedulo de elasticidad o moacutedulo de Young es un
paraacutemetro que caracteriza el comportamiento de un material elaacutestico seguacuten la
direccioacuten en la que se aplica una fuerza Siendo una constante independiente del
esfuerzo y es siempre mayor que cero
Eje neutro Es la interseccioacuten de la superficie neutra (superficie que no sufre
deformacioacuten e=0) con la seccioacuten transversal
Curva elaacutestica Llamada tambieacuten Elaacutestica La ecuacioacuten de la elaacutestica es la
ecuacioacuten diferencial que para una viga de eje recto permite encontrar la forma
concreta de la curva elaacutestica Concretamente la ecuacioacuten de la elaacutestica es una
ecuacioacuten para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su
forma recta original a la forma curvada o flectada final
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Giro (θ)
Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
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Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
Teacutecnicamente el principio de superposicioacuten afirma que cuando las ecuaciones de
comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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Al trazar rectas tangentes a la curva elaacutestica estas forman con la horizontal
aacutengulos muy pequentildeos estos aacutengulos son los aacutengulos de giro de la curva elaacutestica
Aacutengulo tangente en B medido desde la tangente en A se mide en
radianes
Momento de primer orden con respecto a A del aacuterea bajo la curva de entre A Y B
se denomina flecha
Momento flector - Se denomina momento flector un momento de fuerza
resultante de una distribucioacuten de tensiones sobre una seccioacuten transversal es
perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexioacuten
Diagrama de momento flector - Para elementos lineales el momento flector
Mf(x) se define como una funcioacuten a lo largo del eje transversal del mismo donde
x representa la longitud a lo largo del eje El momento flector asiacute definido dadas
las condiciones de equilibrio coincide con la resultante de fuerzas de todas las
fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccioacuten en equilibrio en la que
pretendemos calcular el momento flector
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Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas cargas distribuidas
y momentos el diagrama de momento flector variacutea a lo largo del mismo
Diagrama de momento reducido Es la representacioacuten graacutefica de los momentos
reducidos
Momento reducido es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la
flexioacuten
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Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
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comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
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de factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los efectos de A
maacutes los efectos de B
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reducidos
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flexioacuten
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Principio de superposicioacuten El principio de superposicioacuten o teorema de
superposicioacuten es un resultado matemaacutetico que permite descomponer un problema
lineal en dos o maacutes subproblemas maacutes sencillos de tal manera que el problema
original se obtiene como superposicioacuten o suma de estos subproblemas maacutes
sencillos
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comportamiento que rigen un problema fiacutesico son lineales entonces el resultado
de una medida o la solucioacuten de un problema praacutectico relacionado con una
magnitud extensiva asociada al fenoacutemeno cuando estaacuten presentes los conjuntos
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