Resistencia de los dientes de engranaje

Es importante dimensionar correctamente el diente a los efectos de lograr la resistencia adecuada del mismo. A los efectos de calcular los esfuerzos a que están sometidos los dientes que están interactuando en un engrane, se deben tener en cuenta diversos factores como son principalmente la cantidad de dientes en contacto simultáneos, la variación de la carga en magnitud y dirección durante el tiempo en que están en contacto, a las cargas de choques de los dientes por imperfecciones constructivas, concentración de esfuerzos en la base del diente, desgaste del diente, la geometría propia del diente, etc. Es decir que el diente experimenta esfuerzos dinámicos y cargas de desgaste. En principio la resistencia del engranaje se calcula suponiendo al diente como si fuera una viga en voladizo, basado en la resistencia a la rotura del material sometido al esfuerzo que genera la potencia transmitida.

Calculo de los dientes según el límite de fatiga:

 Resistencia a flexión

Para el cálculo de la resistencia a flexión del diente se parte de una serie de consideraciones que van a simplificar el proceso, y que a la vez quedarán siempre del lado de la seguridad.

Perfil transversal del diente sometido a flexión

Por un lado, el perfil del diente se va a considerar que trabaja como si se tratara de una viga o barra en voladizo (o en ménsula) donde se le aplica una carga puntual en su extremo (Ft), que simula a la solicitación que se transmite una pareja de dientes cuando entran en contacto. En realidad, la zona de contacto no se realiza en la punta del diente, sino que tendrá lugar en una zona de la cara del diente situada más abajo, por lo que si se considera aplicada en su extremo, las tensiones resultantes en la base del diente serán mayores que las reales, y se estaría del lado de la seguridad.

Y por otro lado, también se considerará a efectos de cálculo, que en cada momento sólo existe una pareja de dientes en contacto que absorbe toda esta fuerza transmitida, cuando en realidad y si el diseño se ha realizado correctamente (lo que supone trabajar con un grado de recubrimiento mayor a uno) en cada momento habrá más de una pareja de dientes en contacto que se distribuyan la fuerza transmitida, por lo que realmente el esfuerzo que soportará cada diente será menor que el de aquí considerado.

Supuesto lo anterior, comencemos con el cálculo a flexión de un diente. Como se ha dicho, para calcular su resistencia a flexión se considerará que el diente trabaja como si fuera una viga o barra en voladizo cargada en su extremo.

Como toda barra sometida a flexión, el cálculo de su nivel tensional (σ) viene determinada por la siguiente expresión:

M[1]:     σ =

W

siendo,

M el valor del momento flector en un punto de la barra, y W es el valor del módulo resistente de la sección en ese punto.

Por otro lado, el módulo resistente de la sección del diente vendrá dada por la siguiente expresión (considerada en la base del diente):

IW =

ymáx

en la que:

I es el momento de inercia del perfil del diente respecto al eje neutro de su sección. En este caso, I= b·s3/12, donde s es espesor del diente en la base y b es la anchura de la cara del diente, medida paralela a su eje.

ymáx es la distancia del eje neutro de la sección transversal del diente a la fibra más alejada de la misma. En este caso, ymáx = s/2, con s el espesor del diente en su base.

En otro orden de cosas, como el momento flector máximo se alcanza en la base del diente, éste toma el siguiente valor:

M= Ft · h

Siendo h la altura total del diente, desde su base a la punta, y Ft es el valor de la fuerza tangencial transmitida de un diente a otro.

Sustituyendo los anteriores valores en la expresión de la tensión [1], se obtendrá el valor que alcanza ésta en la base del diente, siendo:

6 · Ft · hσ =

b · s2

De la anterior expresión los parámetro s y h son puramente geométricos del perfil del diente, y pueden ser sustituidos por una nueva expresión que esté en función del módulo (m) y de un nuevo factor  Y   llamado factor de Lewis.

Despejando de la anterior expresión la fuerza tangencial (Ft) transmitida, y tendiendo en cuanta la anterior consideración, se tendrá lo siguiente:

[2]:        Ft = σ · b · m · Y

donde b es la anchura del diente medida paralela a su eje, m es el módulo e Y es el llamado factor de Lewis, que depende exclusivamente de la geometría del diente, de la norma de dentado y del número de dientes, y cuya expresión es la siguiente:

s2Y =

6 · m · h

El valor de la fuerza tangencial máxima (Ft,máx) que podría transmitir el diente por limitaciones de resistencia a flexión se obtendría sustituyendo el valor de la tensión (σ) por el valor de la tensión máxima admisible que aguante el diente (generalmente se suele considerar el límite elástico del material (σy) del cual está fabricado el diente, es decir, σadm = σy ). De esta manera se obtendría el valor de la máxima fuerza que podría transmitir el diente por flexión:

Ft,máx = σadm · b · m · Y

El factor de Lewis (Y) depende de los parámetros s y h, que en la mayoría de los casos resulta muy difícil de medir. Por ello, es frecuente calcular el factor de Lewis (Y) a partir de expresiones más simples que proporcionen valores bastante aproximados, o mediante tablas como la que se muestra a continuación:

 

Factor de Lewis (Y)

• Para un ángulo de presión, α = 14º30'  resulta:

2 · ZY =

15 · (Z + 10)

• Para un ángulo de presión, α = 20º  resulta:Z

Y =7 · (Z + 8)

 Por otro lado, la anterior expresión [2] que proporciona la fuerza tangencial (Ft) transmitida al diente, está obtenida aplicando sólo la estática, es decir, no tiene en cuenta los efectos dinámicos producidos durante el movimiento de giro del engranaje.

En efecto, la velocidad de rotación del engranaje introduce nuevas fuerzas ligadas a la inercia de las masas en movimiento, que van a producir un incremento de la fuerza transmitida al diente.

Para tener en cuenta este efecto se corrige la expresión [2] afectándola de un coeficiente Cs de mayoración de la carga, en función de la velocidad de giro (v) medida en la circunferencia primitiva (v = ω · r, donde ω es la velocidad angular de giro en rad/s, y r es el radio primitivo).

• Para v < 600 m/min:

180 + vCs =

180

• Para 600 < v < 1200 m/min:

360 + vCs =

360

• Para engranajes fabricados y montados con gran precisión:

43 + √vCs =

43

Por lo tanto, la expresión que proporcionaría la fuerza transmitida al diente, considerando los efectos dinámicos, quedaría de la siguiente forma:

Ft = σ · b · m · Y· Cs

 

Otro aspecto que todavía no se ha tenido en cuenta es el efecto que sobre el nivel tensional interno del diente tiene la entalladura practicada en la raíz del diente. En efecto, el efecto de la entalladura produce una concentración de tensiones en la raíz del diente que debe ser también tenida en cuenta.

Para tener en consideración este aspecto, la sociedad American Gear Manufacturers Association (AGMA) introduce un nuevo factor, J, o factor AGMA que se encuentra tabulado en función de factores geométricos y constructivos del diente (en concreto, a partir del adendo a, dedendo, del radio de acuerdo en la entalladura rf, y número de dientes.).

Por lo tanto, la expresión AGMA que proporcionaría la fuerza transmitida al diente, considerando los efectos dinámicos y de concentración de tensiones en la raíz, quedaría de la siguiente forma:

Ft = σ · b · m · J· Cs

Carga trasmitida:

Además de las limitaciones impuestas por el calor que se genera en una transmisión por engranajes, que si no se logra disipar con rapidez puede ocasionar una subida de la temperatura a niveles que pueden dañar los materiales; o las limitaciones impuestas por la generación de ruido derivado del impacto entre dientes, sobre todo a velocidades de giro altas o cargas de transmisión elevadas; la capacidad de transmisión de un engranaje quedará limitado, en la mayoría de las ocasiones, por alguno de los siguientes factores:

- Capacidad de resistencia por flexión del diente;

- Límite por rotura a fatiga de la base del diente;

- Desgaste o picadura de la superficie del diente.

En efecto, bajo un criterio puramente estático, un diente se simula a una viga o barra en voladizo que está solicitada por una fuerza en su extremo (que le transmite el diente que engrana). Este esfuerzo en punta del diente genera un esfuerzo a flexión en el diente, que alcanza su máximo en su base o raíz. Por tanto, habrá que realizar una comprobación por resistencia a flexión, que asegure que la tensión estática alcanzada en la

base del diente no sobrepase un máximo admisible, que evite así su plastificación. Pero además de este estudio puramente estático, habrá que ponderar los efectos dinámicos que implica una transmisión por engranajes, donde los dientes se encuentran en un ciclo continuado de carga y descarga, y donde un estudio de fallo del diente por fatiga habrá que incluir.

El segundo criterio que limita la capacidad resistente de una transmisión de engranajes es lo que se conoce como rotura por fatiga de la base del diente. En efecto, en la zona de la superficie de la cara del diente donde se produce el contacto se transmiten fuerzas normales que son de compresión. Esto genera unas tensiones internas mayores en la base del diente, cuya influencia llega a una profundidad del orden del tamaño del área de contacto. Estas tensiones que son dinámicas, esto es, aparecen y desaparecen conforme engranan los dientes, van a terminar generando unas microgrietas en el interior que poco a poco van a ir avanzando hasta alcanzar la superficie.

Una vez que estas grietas llegan a la superficie, permiten que las gotas de aceite provenientes de la lubricación del engranaje penetren hacia el interior del diente. Ya en el interior estas gotas de aceite aumentan de presión cada vez que el diente entra en contacto, produciendo un efecto dinámico que por fatiga termina desprendiendo poco a poco el material de la superficie. De entre todos los factores, el de la fatiga superficial suele ser el criterio determinante y el que suele condicionar el fallo por rotura del diente.

Por último, otro factor a tener en cuenta a la hora de calibrar la resistencia de un diente es el debido al desgaste o picadura de su superficie (pitting). En efecto, el contacto directo entre las superficies de dos dientes engranados genera una abrasión directa por el rozamiento de una superficie sobre otra. Además, al romperse durante el contacto la película de lubricación que envuelve a los dientes se produce lo que se llama un desgaste abrasivo. Ello es debido porque el esfuerzo de compresión en la superficie de contacto entre los dientes eleva la temperatura de esta zona produciéndose microsoldaduras, que puede causar que un diente arrastre parte de material del otro diente, acelerando su desgaste. Este efecto tiene más importancia conforme aumenta la velocidad de giro de los engranajes.

Carga dinámica sobre los dientes de engranaje y en función velocidad:

A pesar de los muchos esfuerzos realizados para lograr una evaluación precisa del coeficiente de cargas dinámicas, aún existen discrepancias entre los diferentes procedimientos y los resultados que se obtienen a partir de los métodos de cálculo del coeficiente Kv. Independientemente de esto, son aceptados un total de cinco métodos para evaluar el coeficiente Kv, conocidos como método A, B, C, y E, con diferencias en la complejidad de cálculo y en los factores considerados con influencia en las cargas dinámicas internas, a continuación se explicarán brevemente los métodos A, B, C y E, y a modo de ejemplo se expondrá el método D por su simplicidad.

Método A: Este es un método recomendado cuando se dispone de toda la información referida a la carga en los dientes y la posibilidad de definir con exactitud practica la magnitud de la fuerza interna generada por los impactos entre los dientes.

Método B: Este método considera la influencia de la frecuencia de resonancia en el incremento de la carga dinámica en los dientes, aunque para ciertos casos los valores esperados no son lo suficientemente precisos, pues no es considerada la influencia de otras etapas de la transmisión en el engranaje analizado, ni los efectos que puede producir la vibración torsional en todo el sistema de transmisión, entre otros aspectos.

Método C: La determinación del coeficiente de carga dinámica mediante este método está basada en el procedimiento brindado por el método B, pero con la introducción de algunas consideraciones simplificadoras

Método E: El procedimiento de cálculo del coeficiente Kv, según este método E, el fundamento del cálculo es empírico y conveniente para engranajes industriales de uso general, según consta en las referencias que sirven de base al método. Este procedimiento no considera las cargas dinámicas producidas en un régimen de resonancia y no debe ser empleado cuando la frecuencia de rotación del piñón exceda el 80% de su frecuencia de resonancia.

Método D: A modo de ejemplo se detallará este método por su simplicidad. Este es un método mucho más simple que el método C, pero prevé la influencia de menos parámetros y factores en el cálculo del coeficiente de cargas dinámicas. Toma en cuenta las consideraciones del método C, asumiendo que la carga lineal en el diente es de Ft.KA/be = 350 N/mm, un valor aceptado como medio en engranajes industriales. A partir de las anteriores consideraciones la ecuación para el cálculo del coeficiente de carga dinámica es:

Dónde:v: velocidad circunferencial (m/s).u: relación de transmisión.K1 y K2: factores de cálculo evaluados según las tablas.