resistencia a flexocompresiÓn y capacidad de …

DEL 24 AL 27 DE NOVIEMBRE DE 2015, ACAPULCO, GUERRERO, GRAND HOTEL

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA SÍSMICA A. C.

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RESISTENCIA A FLEXOCOMPRESIÓN Y CAPACIDAD DE DEFORMACIÓN

LATERAL DE MUROS RECTANGULARES DE CONCRETO REFORZADO EN

ZONAS SÍSMICAS

Marcelo Iñiguez Alvarado (1), Mario E. Rodríguez (2), José I. Restrepo (3)

1 Becario, Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Ingeniería. [email protected]

2 Investigador, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Ingeniería. [email protected] 3 Profesor, University of California, San Diego, Estados Unidos. [email protected]

RESUMEN

Se estudia una base de datos de 20 muros de concreto de sección rectangular ensayados ante cargas laterales por

diversos autores. Se propone una expresión sencilla para la predicción de la resistencia probable a flexocompresión de

muros de concreto. Se estudia además el problema del pandeo de barras de refuerzo en muros sometidos a cargas

laterales y se propone además un criterio de predicción de curvatura y desplazamiento último de un muro ante cargas

laterales considerando el modo de falla de pandeo de barras de refuerzo. Se comparan los resultados obtenidos con los

resultados experimentales.

Palabras Clave: pandeo de barras de refuerzo, muros estructurales de concreto reforzado.

ABSTRACT

This research uses a database of 20 RC rectangular walls tested by several authors under cyclic reversal lateral loading.

A simple expression is proposed for predicting the probable flexural strength of RC concrete walls and results using

this expression are compared with those measured in lateral load tests of RC wall. This research also studies buckling

of longitudinal reinforcement in RC walls subjected to lateral loads. A procedure is proposed for predicting curvature

and lateral displacement capacities of walls considering buckling of longitudinal reinforcement. Results using this

procedure are compared with experimental results.

Keywords: Buckling or reinforcing bars, RC structural walls

INTRODUCCIÓN

Los edificios con muros estructurales de concreto reforzado tienen características adecuadas de rigidez y resistencia

lateral ante acciones sísmicas, por lo que son preferibles respecto a sistemas estructurales con marcos resistente a

sismos. Los fuerzas sísmicas de diseño son inciertas por lo que no es adecuado diseñar muros estructurales que

permanezcan en el intervalo elástico durante un terremoto, esto indica que los muros se deben diseñar para un

comportamiento inelástico, para lo cual es necesario revisar si tienen la capacidad de alcanzar los valores de

desplazamiento lateral que se esperan en el sismo de diseño. Edificios altos de concreto reforzado con muros

estructurales se han comportado en general bien en terremotos en distintas partes de mundo, incluso aquellos

estructurados con el sistema dual (combinación de marcos y muros estructurales), debido a que en este caso los muros

limitan considerablemente los daños en los marcos. Experiencias en terremotos recientes como el de Maule en Chile

en 2010, así como ensayes de muros estructurales ante cargas laterales cíclicas reversibles han mostrado que aun

cuando los muros hayan sido diseñados para que tengan un comportamiento dúctil, un modo de falla típico observado

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

XX Mexican Congress of Earthquake Engineering Acapulco, 2015


2

es el de pandeo del refuerzo longitudinal. Esto sugiere la importancia de contar con un procedimiento adecuado de

diseño sísmico de muros estructurales que permita el control de este modo de falla.

En esta investigación se proponen expresiones para el cómputo del momento probable resistente de muros de sección

rectangular, y un procedimiento para calcular de manera aproximada el desplazamiento último de muros rectangulares

de concreto reforzado, cuyos resultados se validan con los medidos experimentalmente en estudios experimentales de

muros rectangulares bajo cargas laterales cíclicas, realizados en varias partes del mundo.

Es necesario el estudio del momento probable resistente en muros de concreto reforzado, debido a que los reglamentos

como el ACI-318-14 (ACI 318, 2014) y las Normas Técnicas Complementarias para estructuras de Concreto del DF

(NTCDF, 2004) subestiman el valor de resistencia máxima a flexión de un muro de concreto reforzado, lo que de

acuerdo con el concepto de diseño por capacidad, lleva a que se subestime también el cortante último actuante en

muros durante el terremoto. Por esta razón es necesario contar con expresiones sencillas que lleven a una buena

predicción de la resistencia a flexión de muros.

El comportamiento sísmico observado de edificios con muros estructurales de concreto reforzado, en particular en el

terremoto de Maule, Chile, 2010, ha mostrado la importancia de contar un procedimiento aceptable para el diseño

sísmico de muros, haciendo énfasis en el modo de falla de pandeo de barras de refuerzo. En esta investigación, se

estudia el modo de falla por pandeo del refuerzo longitudinal, cuyos resultados se emplearon para proponer un

procedimiento de diseño que considera el desplazamiento último en muros. Para este fin se emplean mediciones de

deformaciones en el acero de refuerzo longitudinal en muros, obtenidas de resultados experimentales, en las cuales se

identificaron las deformaciones correspondientes al pandeo de barras, lo cual permitió predecir la capacidad de

curvatura de los muros correspondiente al modo de falla de pandeo del refuerzo, así como el desplazamiento lateral

del muro para esta curvatura. También se propone una expresión para conocer la longitud plástica de muros, dado que

expresiones existentes para esta longitud no son satisfactorias. Los resultados obtenidos para la predicción de

resistencia probable a flexocompresión y capacidad de desplazamiento lateral de muros de sección rectangular se

comparan con los valores medidos obtenidos de la base de datos estudiada.

BASE DE DATOS DE ENSAYES ANTE CARGAS LATERALES DE MUROS ESTRUCTURALES DE

CONCRETO REFORZADO

Para esta investigación se estudió un total de 20 muros de sección rectangular, ensayados bajo cargas laterales cíclicas

reversibles en distintas partes del mundo, y se obtuvieron de la base de datos del ACI 445B Structural Wall Database

que se puede consultar en la siguiente dirección (http://nees.org/groups/aci445b_structural_wall_database/wiki).

Los especímenes se seleccionaron con espesores, h, de al menos 100 mm, excepto el espécimen B1M que tenía 84 mm

de espesor, además, se consideró especímenes con relaciones de esbeltez hw/lw de al menos 2, donde hw es la altura del

muro y lw su longitud. Además se requirió que los muros seleccionados tengan barras de acero de refuerzo sin traslapes

y sin mallas electrosoldadas, debido a su fragilidad. La Tabla 1 muestra algunas características de los muros, tales

como el esfuerzo medido de compresión del concreto, ˆcf , el esfuerzo medido de fluencia del refuerzo longitudinal,

ˆyf , la relación de carga axial, ˆ/( )g cP A f , donde P es la carga axial y Ag es el área de la sección. Se muestra además la

separación de estribos en los elementos de borde, s, el diámetro del refuerzo longitudinal db, y la relación s/db.

http://nees.org/groups/aci445b_structural_wall_database/wiki



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Tabla 1. Características de los muros estructurales de la base de datos.

RESISTENCIA PROBABLE A MOMENTO EN MUROS RECTANGULARES DE CONCRETO

REFORZADO

La resistencia probable a momento es la resistencia teórica a flexión de una sección crítica de un elemento estructural,

con o sin carga axial. El criterio del ACI 318-14 para el cómputo de esta resistencia probable es el considerar una

resistencia del acero de refuerzo igual a 1.25 fy, donde fy es la resistencia especificada de fluencia del acero de refuerzo.

En este trabajo se propone una expresión para el cómputo de la resistencia a momento probable, la cual se basa en los

criterios empleados para definir la resistencia probable de columnas de concreto reforzado propuesta en la literatura

(Restrepo y Rodriguez, 2013).

La Figura 1 muestra el diagrama de cuerpo libre de un muro de longitud lw en el que actúan la carga axial P y el momento

máximo medido en el muro, MMAX, resultado de la aplicación de cargas laterales cíclicas reversibles. Se considera que

el refuerzo longitudinal se concentra en tres lechos de barras, dos extremos y uno interior. En los lechos extremos

actúan las fuerzas en tracción y compresión, Ts y Cs, respectivamente, y en el lecho central la fuerza Ti. Se emplea la

hipótesis de que las fuerzas Ts y Cs son iguales y opuestas, lo que ha sido demostrado para el caso de columnas

(Restrepo y Rodríguez, 2013), hipótesis que en este trabajo se extrapola al caso de muros. Esta hipótesis implica que

Cc=P+Ti, donde Cc es la compresión resultante de la contribución del concreto. Del equilibrio se obtiene que la

predicción de MMAX, denominada aquí Mcd, se obtiene con

𝑀𝑐𝑑 = 𝑇𝑠 (γ𝑒 𝑙𝑤) + (𝑃 + 𝑇𝑖) (𝑙𝑤

2− 𝑥𝑐) (1)



4

Figura 1. Fuerzas externas e internas de resistencia en un muro rectangular con refuerzo simétrico.

Se emplea la hipótesis adicional de que Ti siempre fluye en tracción, lo que ha sido demostrado que es una hipótesis

aceptable para columnas aun cuando éstas tengan la relación P/(Ag f’c) igual a 0.5 (Restrepo y Rodríguez, 2013), donde

Ag es el área bruta de la sección y f’c es la resistencia especificada a compresión del concreto. Esta hipótesis se extrapola

en este trabajo para el caso de muros debido a que las cargas axiales en éstos son bajas.

La ec (1) se puede escribir en función del área total de refuerzo longitudinal del muro, Ast, y de ˆyf . Además, se emplea

la hipótesis de que el refuerzo longitudinal del muro entra en la zona endurecimiento por deformación, lo que se

considera empleando el factor λ. Se emplea el parámetro κ, el cual es la porción del área total de acero de refuerzo

longitudinal que se puede considerar en cada uno de los dos lechos extremos. Con estas consideraciones, la ec (1) se

escribe como:

𝑀𝑐𝑑 = λ 𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 𝑙𝑤 (𝜅γ𝑒 + (2𝜅 − 1) (1

2−

𝑥𝑐

𝑙𝑤)) + 𝑃 𝑙𝑤 (

1

2−

𝑥𝑐

𝑙𝑤) (2)

El análisis del parámetro κ para la base de datos empleada dio un valor promedio igual a 0.37. Con base en este valor

se consideró de manera aproximada κ =1/3. El parámetro γe depende del valor del diámetro de barra equivalente que

se emplee, dbe; del diámetro del refuerzo transversal en los elementos de borde el muro, dbt; del recubrimiento de

concreto, cc; y de lw. El parámetro γe está dado por:

γ𝑒 = 1 −1

𝑙𝑤(𝑑𝑏𝑒 + 2(𝑐𝑐 + 𝑑𝑏𝑡)) (3)

donde (Restrepo y Rodríguez, 2013):



5

𝑑𝑏𝑒 = 2 √𝜌𝑙 𝐴𝑔

𝑛𝑏 π (4)

donde ρl es la cuantía de acero de refuerzo longitudinal en el muro, y nb es el número de barras en la sección, el cual

basado en el modelo de la Figura 1 se considera igual a 3, dos de borde y una central.

Se empleó las ecs (2), (3) y (4), con κ =1/3 y nb =3, para minimizar el valor del cociente Mmax/Mcd para los especímenes

de la base de datos empleada, para lo cual se obtuvieron valores óptimos para los parámetros xc/lw y λ, obteniendo para

λ el valor 1.15 y para xc/lw la siguiente expresión:

𝑥𝑐

𝑙𝑤= 0.45

𝑃

𝑓𝑐′𝐴𝑔

+ 0.05 (5)

La media y coeficiente de variación (CV) obtenidas para MMAX/Mcd empleando la base de datos seleccionada fueron

1.00 y 0.08, respectivamente. La Figura 2 muestra los resultados obtenidos para la relación MMAX/Mcd en función de la

relación ˆ/( )g cP A f .

Figura 2. Relación entre el momento máximo experimental y el momento máximo calculado.

DEFORMACIÓN CORRESPONDIENTE AL PANDEO DE BARRAS

Para conocer la deformación en la barra de refuerzo sometida a cargas cíclicas reversibles, correspondiente al ciclo

previo al pandeo, se emplea el parámetro εp*, con la definición propuesta por Rodríguez et al. (1999). En el modelo

empleado en esta investigación, para definir εp* se identifica en resultados experimentales, el medio ciclo de descarga

para el cual ocurre el pandeo de la barra, obtenido de la inspección de su historia de deformaciones medidas (línea

delgada en la Fig 3), correspondiente al inicio de una discontinuidad apreciable observada en estas deformaciones en

compresión (Kowalsky et al., 2015). Para definir el ciclo previo al de pandeo se considera la descarga en el ciclo

anterior al de inicio del pandeo (medio ciclo A-B, línea punteada, que ocurre para la descarga de la barra de tracción a

compresión), y se mide la deformación en compresión máxima que alcanza la barra, punto B, εsc. En el medio ciclo

posterior se procede a medir, la deformación máxima a tracción εst (punto C en la Fig 3), correspondiente al ciclo de

inicio del pandeo (medio ciclo B-C). Con estos dos valores de deformaciones y con la ec (6), se obtiene εp*.



6

Figura 3. Modelo propuesto para el pandeo de una barra de refuerzo.

𝜀𝑝∗ = 𝜀𝑠𝑐 + 𝜀𝑠𝑡 (6)

Rodríguez et al. (1999), ensayaron con cargas cíclicas reversibles un grupo de barras de refuerzo lisas con diferentes

relaciones s/db, hasta llegar al pandeo y obtuvieron valores para εp* empleando la ec (6) y mediciones de εst y εsc

obtenidas en estos ensayes. Para ampliar esta base de datos se utilizaron también los valores de deformaciones en las

barras de refuerzo longitudinal de columnas ensayadas por Kowalsky et al. (2015), en las cuales se tenía una

descripción detallada de estas deformaciones, con las cuales, empleando el modelo anteriormente descrito y la ec (6)

se obtuvo εp*. Esto también fue posible para algunos muros de la base de datos. Sin embargo, se debe tener presente

que estas deformaciones que se miden en la barra, dependen de la distancia entre los puntos de medición, lo que agrega

variabilidad a los resultados de procedimientos que empleen estas deformaciones.

Los valores obtenidos de mediciones se muestran en la Fig 4. En ella se puede observar con marcadores en círculos

los valores de εp* obtenidos de deformaciones medidas en barras de las columnas ensayadas por Kowalsky et al. (2015),

con marcadores cuadrados el valor de εp* obtenido para el caso de los muros considerados, y con marcadores en forma

de triángulos el valor de εp* obtenido de ensayes de barras por Rodríguez et al. (1999). Con estos valores se propone

una aproximación lineal conservadora para la predicción de esta deformación, la que se muestra con la línea continua

negra. Es importante mencionar que para llegar a esta aproximación lineal, se tomaron en cuenta principalmente las

deformaciones medidas en las barras de los muros rectangulares considerados y las medidas en las barras de las

columnas de Kowalsky et al. (2015), debido a que éstas son mediciones en barras de acero de refuerzo en elementos

estructurales. Las diferencias entre los resultados de Rodríguez et al. (1999) y los de otros autores, que se muestran en

la Fig 4, se debe a las distintas definiciones de inicio del pandeo de estos criterios, así como al efecto de la corrugación

en una barra en el pandeo, que no fue considerada en el trabajo de Rodríguez et al. (1999) porque emplearon barras

lisas. La expresión propuesta está dada por la ec (7).

0.02 < Ɛ𝑝∗ =

11−𝑠

𝑑𝑏

150< 0.06 (7)



7

Figura 4. Curva de predicción de la deformación correspondiente al pandeo εp*.

CAPACIDAD DE DESPLAZAMIENTO LATERAL DE MUROS RECTANGULARES DE CONCRETO

REFORZADO CONSIDERANDO EL MODO DE FALLA DE PANDEO DE BARRAS DE REFUERZO

La relación de aspecto, hw/lw influye en el comportamiento de muros de concreto reforzado. Los muros con valores

para esta relación menores que 1 tienden a tener un comportamiento por cortante, mientras que los muros con relación

de aspecto mayor que 2, el comportamiento es dominado por flexión. Como se indicó anteriormente, se buscó que los

muros para esta investigación clasifiquen en el segundo caso, en el cual es posible diseñar para que el muro tenga una

falla del tipo dúctil, condición deseable en zonas sísmicas. Para relaciones de aspecto mayores que 2, la deformación

a cortante influye poco (Neuenhofer, 2006), por esta razón en esta investigación para definir un procedimiento de

cálculo de la capacidad de desplazamiento de muros se considera solo deformación por flexión.

El desplazamiento último de un muro sometido a la carga lateral V, Δu, es la suma del desplazamiento de fluencia, Δy,

y el desplazamiento plástico último del muro, Δp, Figura 5. De esta manera:

𝛥𝑢 = 𝛥𝑃 + 𝛥𝑦 (8)



8

Figura 5. Desplazamiento último de muros.

Figura 6. Modelo de distribución de curvatura propuesta por Hines et al. (2004).



9

Desplazamiento de Fluencia.

La expresión para el cálculo de la curvatura de fluencia en muros, φy, es (Priestley et al. 2007):

𝑦

=2 Ɛ𝑦

𝑙𝑤 (9)

donde Ɛy es la deformación de fluencia del acero.

Se puede notar que con esta expresión se obtendría una aproximación bi-lineal de la curva momento-curvatura de una

sección crítica de un muro rectangular de concreto reforzado. Para estimar el desplazamiento lateral de fluencia de

muros rectangulares de concreto reforzado, Priestley et al. (2007) propusieron la ec (10), la cual se basa en el empleo

de un modelo de la demanda sísmica en el que se considera las acciones sísmicas representadas por una carga triangular

distribuida en la altura del muro, hw.

𝛥𝑦 =11

40

𝑦ℎ𝑤

2 (10)

Desplazamiento Plástico.

La Figura 6 (a) muestra la distribución de curvaturas en la altura, hw y la longitud Lsp es la longitud de penetración de

fluencia de las barras de refuerzo longitudinal en la base del muro que se introduce en la cimentación. El área

sombreada en la Fig 6(a) representa el área bajo esta distribución de curvaturas, la que se puede representar de manera

aproximada por las áreas encerradas por las líneas rectas que se muestran en la Figura 6 (a). El parámetro p es la

curvatura plástica última.

El cálculo del desplazamiento plástico, p, de un muro rectangular de concreto reforzado, se basa en la propuesta de

distribución de curvaturas dada por (Hines et al. 2004), la que se muestra en la Figura 6 (b), y está dado por:

𝑝 = 𝐿𝑝 𝑝

ℎ𝑤 (11)

donde la curvatura plástica, p, se calcula con la siguiente expresión:

𝑝=

𝑢−

𝑦 (12)

La Figura 6 (b), muestra que la ec (11), emplea la hipótesis de que el centro del rectángulo de curvatura de dimensiones

𝑝

x Lp se encuentra en la base del muro, esta hipótesis fue validada por Hines et al. (2004).



10

Figura 7. Curvatura última en muros.

Para el cálculo de la curvatura última de un muro rectangular de concreto reforzado que falla por pandeo del refuerzo

longitudinal, se emplea la hipótesis de que las deformaciones en tracción y compresión de la barra B en el primer

medio ciclo de carga (Figura 7), εst1 y εsc1, respectivamente, son iguales a las deformaciones en tracción y compresión

en el segundo medio ciclo de carga εst2 y εsc2, respectivamente. Esto se basa en que la geometría de la sección es

simétrica y que los máximos de carga lateral son iguales en cada uno de los medio ciclos mencionados. Basados en

esta igualdad de deformaciones y considerando la ec (6) se obtiene

𝑢

=Ɛ𝑝

∗

𝑙𝑤−2 𝐶𝑐 (13)

Longitud Plástica.

La longitud plástica de un muro, es la altura del muro en la cual se considera que la curvatura del muro es constante.

Para el cálculo de esta longitud se emplea el criterio de que la carga axial es constante y se iguala el área bajo la

distribución de curvaturas inelásticas de la Figura 6 (a), con el área de curvatura inelástica encerrada por las líneas rectas

de la Figura 6 (b) (Hines et al. 2004), con lo que se obtiene:

𝐿𝑠𝑝𝑝+

𝐿𝑝𝑟𝑝

2= 𝐿𝑝𝑝

(14)

donde Lpr, es la longitud de deformación inelástica del refuerzo longitudinal, Fig 6(a). Cuando la carga axial no es

constante, como ocurre en edificios que responden a un terremoto, la ec (14) es menos acertada que para el caso de

carga axial constante. De la ec (14) se obtiene

𝐿𝑝 = 𝐿𝑠𝑝 +𝐿𝑝𝑟

2 (15)

La longitud Lpr se considera igual a la dimensión longitudinal del acero de refuerzo equivalente en tracción, en la cual

pasa de un estado de tracción equivalente (Te) de endurecimiento por deformación en la base del muro, al estado de

tracción de fluencia del acero (Ty) en una sección del muro encima de su base, Fig 6(a). Esta diferencia de fuerzas en

la altura Lpr del muro se produce por el equilibrio necesario por cortante, el cual requiere que la componente horizontal

de puntales de compresión equilibren a la fuerza cortante resistente dada por los estribos en la longitud Lpr, la

componente vertical de estos puntales causa la referida diferencia de fuerzas, como se observa en la Figura 8.



11

Figura 8. Modelo propuesto para el cálculo de la longitud plástica del refuerzo longitudinal.

Se considera que:

𝑇𝑒 = 𝜆 𝐴𝑠𝑒 𝑓𝑦𝑙 (16)

𝑇𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑓𝑦𝑙 (17)

Donde λ toma en cuenta el endurecimiento por deformación en el acero, Ase es el área de acero de refuerzo longitudinal

equivalente, y fyl el esfuerzo de fluencia de este acero. La Figura 9 muestra las fuerzas que actúan en el nodo i,

suponiendo que el acero transversal fluye en toda la longitud Lpr. En esta figura, Avt es el área de refuerzo transversal

del alma del muro en el punto i y fyt es el esfuerzo de fluencia de éste. Del equilibrio en el nudo i se tiene:

𝐶𝑐𝑖 cos 𝜃𝑖 = 𝐴𝑣𝑡 𝑓𝑦𝑡 (18)



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𝑇𝑒𝑖 − 𝑇𝑦𝑖 = 𝐶𝑐𝑖 sin 𝜃𝑖 (19)

donde Cci es el puntal de compresión en el nudo i , y ϴi es el ángulo entre este puntal y la horizontal.

Figura 9.Fuerzas actuantes en el nudo i.

Despejando Cci de la ec (18) y reemplazando en la (19) se tiene:

𝑇𝑒𝑖 − 𝑇𝑦𝑖 = 𝐴𝑣𝑡𝑓𝑦𝑡 tan 𝜃𝑖 (20)

Se introduce el parámetro dTi, definido como:

𝑑𝑇𝑖 = 𝑇𝑒𝑖 − 𝑇𝑦𝑖 (21)

Se considera el equilibrio de todos los nudos en el eje y que se encuentran en la longitud Lpr

𝑇𝑒 − 𝑇𝑦 = ∑ 𝑑𝑇𝑖 (22)

𝑇𝑒 − 𝑇𝑦 = ∑ 𝐴𝑣𝑡𝑓𝑦𝑡 tan 𝜃𝑖 (23)

De la Figura 8 se puede deducir:

tan 𝜃𝑖 =𝑦𝑖

𝑗𝑑 (24)

donde yi es la distancia desde la base del muro al nodo i y jd es la distancia entre la resultante de las fuerzas C y Te. Si

el valor de dTi, se valúa en la longitud diferencial, dy (ver Figura 8 donde se define la ordenada y), considerando además

la longitud s, de las ecs (23) y (24) se obtiene:

𝑇𝑒 − 𝑇𝑦 = ∫𝐴𝑣𝑡 𝑓𝑦𝑡

𝑠

𝑦

𝑗𝑑

𝐿𝑝𝑟

0 𝑑𝑦 (25)

Reemplazando las ecs (16) y (17) en la ec (25) se obtiene

(𝜆 − 1) 𝐴𝑠𝑒 𝑓𝑦𝑙 = ∫𝐴𝑣𝑡 𝑓𝑦𝑡

𝑠

𝑦

𝑗𝑑

𝐿𝑝𝑟

0 𝑑𝑦 (26)

Resolviendo la integral de la ec (26) y despejando Lpr se llega a



13

𝐿𝑝𝑟 = √(𝐴𝑠𝑒𝑓𝑦𝑙

𝐴𝑣𝑡 𝑓𝑦𝑡)

(𝜆−1) 𝑠 𝑗𝑑

0.5 (27)

En la ec (27) se conocen todos los términos, menos Ase , el área de acero de refuerzo de la barra equivalente en tracción,

y jd, distancia entre la fuerza resultante de compresión C y la tracción equivalente Te , la que se muestra en la Figura

10(b).

Para determinar los valores de jd y Ase es necesario lograr la equivalencia del modelo que se encuentra representado

en la Figura 10 (a), con el modelo equivalente que se muestra en la Figura 10 (b), en el cual se emplea una sola fuerza

en tracción, Te , y una sola en compresión, C. La resistencia probable a momento del muro en la Figura 10 (a) ha sido

obtenida anteriormente, ec (2). Para lograr esta equivalencia se debe cumplir:

𝑇𝑒 = 𝑇𝑠 + 𝑇𝑖 (28)

𝐶 = 𝐶𝑠 + 𝐶𝑐 (29)

Figura 10. Modelo propuesto para la determinación de jd.

Para el modelo de la Figura 10 (a) se ha mostrado que el refuerzo longitudinal del muro se distribuye en tres lechos de

áreas iguales (κ =1/3). Con la hipótesis adicional que tanto Ti como Ts llegan a la fluencia se tiene:

𝑇𝑠 = 𝑇𝑖 (30)

de la ec (28) y (30):



14

𝑇𝑒 = 2 𝑇𝑠 (31)

El área de acero de la barra equivalente en tracción, Ase, está dada por:

𝐴𝑠𝑒 =2 𝑇𝑠

𝑓𝑦𝑙 (32)

Tomando momentos con respecto al punto A, del muro representado en la Figura 10 (b) se tiene:

𝑀𝑐𝑑 = 𝑇𝑒 𝑗𝑑 + 𝑃(𝑗𝑑 − 𝛼 𝑗𝑑) (33)

Para que el modelo propuesto en la Figura 10 (b) sea equivalente al modelo de la Figura 10 (a), los momentos resistentes

en ambos modelos deben ser iguales, de esta manera igualando las ecuaciones (33) y (1), se tiene:

𝑇𝑒 𝑗𝑑 + 𝑃(𝑗𝑑 − 𝛼 𝑗𝑑) = 𝑇𝑠 (γ𝑒 𝑙𝑤) + (𝑃 + 𝑇𝑖) (𝑙𝑤

2− 𝑥𝑐) (34)

Considerando que la contribución de P al momento resistente debe ser la misma en los modelos de la Figura 10 (a) y

Figura 10 (b), se tiene:

𝑇𝑒 𝑗𝑑 = 𝑇𝑠 (γ𝑒 𝑙𝑤) + 𝑇𝑖 (𝑙𝑤

2− 𝑥𝑐) (35)

De las ecs (31) y (35) se tiene:

𝑗𝑑 =γ𝑒 𝑙𝑤+

𝑙𝑤2

−𝑥𝑐

2 (36)

Los valores de ϒe y xc se obtienen con las ecs (3) y (5) respectivamente.

Debido al efecto de penetración de fluencia, la distribución de curvaturas de un muro bajo su base, Lsp, (Priestley et al.

2007), se calcula como:

𝐿𝑠𝑝 = 0.022𝑓𝑦𝑑𝑏𝑙 (37)

La longitud Lp se obtiene con la ec (15), en la que Lpr se obtiene con la ec (27), y Lsp con la ec (37).

Resultados del cálculo del desplazamiento último.

El cálculo del desplazamiento último de muros rectangulares de concreto reforzado, u, cuya falla está asociada al

pandeo de las barras de refuerzo longitudinal, emplea la ec (8), con el procedimiento aquí mostrado. Los resultados

obtenidos se muestran en la Figura 11. Las ordenadas en esta figura representan el cociente del desplazamiento último

medido en ensayes de muros y el desplazamiento último calculado de éstos. Como se puede observar, la predicción

del desplazamiento último es bastante aproximada para los muros que fallan por pandeo del refuerzo longitudinal

dando un promedio para el referido cociente igual a 1.16, y un valor para el CV igual a 0.23. Se nota también en la

Figura 11, que los muros cuya falla es distinta a la de pandeo de barra, fallan a desplazamientos mucho menores que el

calculado, como es de esperar si se intenta validar el procedimiento de cálculo propuesto.

Es importante indicar que el cálculo de la deformación última se realiza considerando un factor conservador de

endurecimiento por deformación en el acero igual a 1.15. Así mismo, el modelo propuesto intenta considerar el

inicio del pandeo, lo cual en general es conservador, ya que la barra después de este inicio puede tener alguna reserva

de disipación de energía. Además, se debe considerar que la identificación visual del pandeo en ensayos de laboratorio

de elementos de concreto reforzado puede llevar a resultados variables por la rapidez con la que ocurre el pandeo.

Estas características influyen en los resultados obtenidos mostrados en la Fig 11.



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Figura 11. Relación entre el desplazamiento último medido y el desplazamiento último calculado.

CONCLUSIONES

1. En esta investigación se propone un procedimiento para el cálculo del momento máximo probable de muros

rectangulares de concreto reforzado, sometidos a cargas laterales cíclicas reversibles. Este procedimiento es

sencillo y lleva a resultados muy cercanos a los valores experimentales. El promedio para MMAX/Mcd fue igual

a 1.00 y el coeficiente de variación fue igual a 0.08. Por ello se recomienda emplear este procedimiento para

la predicción de este momento, con el fin de que con el concepto de diseño por capacidad sea posible un

diseño por cortante del muro del lado de la seguridad.

2. En esta investigación se amplía el estudio del pandeo de barras de refuerzo en elementos de concreto reforzado

sometida a cargas laterales cíclicas reversibles, iniciado por Rodríguez et al. (1999). Con base en la referida

investigación y en el análisis de resultados de ensayes de muros de concreto reforzado, se propone una

expresión para predecir la deformación en la barra en el pandeo de ella. La expresión propuesta se acerca de

manera aceptable y en general razonablemente conservadora, a los resultados obtenidos de deformaciones

experimentales en barras de refuerzo en los especímenes considerados. Estos valores de deformaciones

permiten además calcular de manera aproximada la curvatura última de muros cuando se considera el modo

de falla de pandeo de su refuerzo longitudinal.

3. El procedimiento propuesto para la predicción de desplazamientos últimos de los muros de la base de datos

seleccionada, cuando se considera el modo de falla de pandeo de barras, lleva a resultados en su mayoría

razonablemente conservadores cuando se comparan con los resultados experimentales de la base de datos. Se

puede concluir que el procedimiento propuesto para el cálculo del desplazamiento último en muros

rectangulares de concreto reforzado cuya falla está asociada al pandeo de barras de refuerzo longitudinal es

aceptable, con un promedio de desplazamiento último medido entre el desplazamiento último calculado igual

a 1.16 y un coeficiente de variación igual a 0.23.



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AGRADECIMIENTOS

Se agradece al Profesor Mervyn J. Kowalsky de North Carolina State University, Estados Unidos, quien generosamente

proporcionó a los autores resultados recientes de estudios experimentales en su Universidad referentes al pandeo de

barras de refuerzo en columnas, que se emplearon en esta investigación.

REFERENCIAS

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