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RESERVA _ 2 2013

UUnniivveerrssiiddaadd ddee CCaassttiillllaa llaa MMaanncchhaa –– RReesseerrvvaa -- 22 -- 22..001133

OOppcciióónn AA

11..AA..-- Si la media aritmética de dos números reales positivos es 24, calcula el valor de dichos números para que el

producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

Función a optimizar (mínima): P = x y2. Tenemos que poner una incógnita en función de la otra para poder

derivar. Para ello sabemos que su media aritmética vale 24:

24 = x+y

2 → y = 48-x → P(x) = x 48-x 2= x x2+2304-96x → P(x) = x3-96x2+2304x

P'(x)=dP

d x = 3x2-192x+2304 → P'(x)=0 → 3x2-192x+2304 = 0 →

x = 48x = 16

P''(x)=dP'

d x = 6x-192 →

P'' 48 > 0 → Mínimo

P'' 16 < 0 → Máximo → x = 16 → y = 32

22..AA..-- Calcula las siguientes integrales: 2 Ln x

x+ Ln x dx y 3 2x+1 dx.

2 Ln x

x+ Ln x dx =

2 Ln x

xdx+ Ln x dx=

2

Ln x

xdx→

t =Ln x

dt=1x

dx→ 2 t dt=

2

2t2= Ln

2x

Ln x dx → u=Ln x →du=

1x

dx

dv= dx →v=x → Ln x · x – x·

1

x dx = x Ln x – x

= Ln2x + x Ln x – x + C

3 2x+1 dx → t2 = 2x+1

2t dt = 2 dxt dt = dx

→ 3 t·t dt= 3 t2 dt= 3

1

3t3= 2x+1 3= 2x+1 2x+1 + C

33..AA..-- Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m R:

2y-z=m

3x-2z=11

y+z=6

2x+y-4z=m

. Calcula la

solución cuando el sistema sea compatible determinado.

A =

0302

2011

-1-21-4

→ 3 0 -20 1 12 1 -4

≠ 0 → ∀ m ∈ R : R A = 3

A* =

0302

2011

-1-21-4

m116m

→

F1-2F3

F4-F3

→

0302

0010

-3-21-5

m-12116

m-6

=-(-1)1 0 -3 m-123 -2 112 -5 m-6

=-(12-2m) → -12+2m=0 →

→ ∀ m ∈ R-{6}: R A* = 4

Según Roché-Fröbenius: m = 6 → R(A) = R(A*) = 3 = nº incógnitas → S.C.D

m ≠ 6 → R(A)=3 ≠ R(A*)=4 → S.I

m = 6 → A* =

0302

2011

-1-21-4

6666

→2F3-F1

2F4-F1

→

0304

2000

-1-23-7

6666

→ 3z=6 → z = 2 → y = 4 → x = 5 → Solución: 5, 4, 2

á á

2

Examen Selectividad _ Matemáticas _ CC _ Castilla la Mancha

44..AA-- Dado el plano x-z=0 y las rectas r ≡

x=1+λy=2

z=-1-λ

, R y s ≡ x+y=2

4y+2z=6

a) Halla el ángulo que forman y r. Razona cuantos planos hay perpendiculares a que contengan la recta r.

b) Halla la posición relativa de y s. Razona cuantos planos hay perpendiculares a que contengan la recta s

Ángulo 𝜋 r :

sen = dr · nπ

dr · nπ

→ dr = 1,0,-1

nπ = 1,0,-1 → sen =

1,0,-1 · 1,0,-1

12+0

2+(-1)

2 · 1

2+0

2+(-1)

2

=2

2 · 2→ α arc.sen = 1 → 𝛂 = 90º

Es decir, son perpendiculares. Hay infinitos planos que son perpendiculares al plano y que contengan a la recta

r, todos ellos forman el haz de planos que genera la recta r.

Posición relativa de y s:

x-z=0x+y=2

4y+2z=6

→

A = 1 0 -11 1 00 4 2

≠ 0 → R A = 3

A* = 1 0 -11 1 00 4 2

026

→ R A* = 3

→ S.C.D: Secantes

El plano o los planos perpendiculares al plano son generados por el vector normal de dicho plano, el vector de la

recta s y por el vector PG , donde P es el punto de corte del plano y la recta s y G el punto generador de dicho

plano. Los tres vectores son coplanarios y el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuación pedida

del plano o planos:

s ≡ x+y=2

4y+2z=6 →

ds = 1,1,0 × 0, 4, 2 = 2,-2,4 ∥ 1, -1, 2

S = (2,0,3) → s ≡

x=2+λy=-λ

z=3+2λ

→ π ≡ 2+λ - 3+2λ =0 → λ=-1

→ P=

x=2+(-1)

y=-(-1)

z=3+2(-1)

→ P(1,1,1) →

nπ = 1,0,-1

d s=(1, -1, 2)

PG =(x-1, y-1, z-1)

→ π ≡ x-1 y-1 z-1

1 0 -11 -1 2

=0

→ π ≡ -x - 3y – z + 5 = 0

OOppcciióónn BB

11..BB-- a) Enuncia el teorema de valor medio de Lagrange y da su interpretación geométrica.

b) Calcular un punto del intervalo [-2, 2] en que la recta tangente a la gráfica de la función f(x)= x2+3x+2

sea paralela a la recta que pasa por los puntos (-2,0) y (2,12).

Teorema del valor medio de Lagrange.- Si una función es continua en [a,b] y derivable en (a,b),

entonces existe un punto c (a,b), tal que: f'(c)=f(b) – f(a)

b - a. La interpretación geométrica es que existe un

punto donde la tangente es paralela a la cuerda limitada por los puntos [a, f(a)] y [b, f(b)].

Podemos aplicar este teorema a la función dada, puesto que es continua y derivable en todo R.

f(-2)= 0

f(2)= 12 → f'(c)=

f(b) – f(a)

b - a =

12 – 0

2 – (-2)→ f'(c)= 3

Para hallar el punto c, sabemos que la pendiente de la recta tangente es la derivada de la función:

f'(x) = 2x + 3

f'(c)= 3 → 2c + 3 = 3 → c = 0

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RESERVA _ 2 2013

22..BB..-- El área del recinto encerrado entre la gráfica de la parábola f(x) = a(x2-2x), a R, a>0, y el eje de

abscisas, es de 12 unidades de superficie. Calcula el valor de a.

El área:

Pº corte con eje x → f(x)=0 → a x2-2x =0 → x = 0x = 2

f(x) por encima o por debajo del eje x? → 1 ∈ (0,2) → f(1) = -a < 0 → f(x) por debajo del eje x

A =- a x2-2x dx2

0

=-a x2-2x dx2

0

=-a 1

3 x3

0

2-2

2 x2

0

2 =-a

1

3 8 - 4 → A =

4a

3 u2 →

4a

3= 12 → a = 9

33..BB..-- Evariste Galois, Niels Abel y Srinivasa Ramanujan fueron tres genios matemáticos que antes de sus

prematuras muertes dejaron desarrollada una importante obra matemática. Calcula las edades que tenían cuando

fallecieron, sabiendo que su suma es 78, que su media aritmética coincide con la edad de Abel, y que cuatro veces

la edad de Ramanujan más dos veces la de Abel es nueve veces la edad de Galois.

x: Galoisy: Abel

z: Ramanujan

→

x+y+z=78x+y+z

3=y

4z+2y=9x

→ x+y+z=78

x-2y+z=0

-9x+2y+4z=0

→ 1 1 11 -2 1-9 2 4

7800

→ F2-F1

F3+9F1

→ 1 1 10 -3 00 11 13

78-78702

→-3y=-78 → y = 26

→ 11y+13z=702→ z = 32 → x = 20 → Solución: (20,26,32)

44..BB..-- Determina el valor del parámetro k R para que la recta r ≡ x=1+λ

y=k-λz=λ

, R esté contenida en el plano

x+2y+z=7. Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, obtén la ecuación implícita de un plano ’ que

corte perpendicularmente a , de modo que la intersección de ambos planos sea r.

Si la recta está contenida en el plano, el vector director de la recta tiene que ser perpendicular al vector normal

del plano y por tanto, su producto escalar debe de ser nulo. Además, un punto cualquiera R de la recta tiene que

pertenecer al plano :

dr · nπ = 0 → (1,-1,1) ·(1,2,1) = 0 → 0= 0 → dr

⊥ nπ → R=(1, k, 0)

π ≡ x+2y+z=7 → π ≡ 1 +2(k)+(0)=7→ k = 3

El plano ’ es el que perteneciendo al haz de planos generados por la recta, tiene un vector director perpendicular

al plano :

r ≡ x=1+λy=k-λz=λ

→r ≡x-1

1=

y-3

-1=z →r ≡

x-1=zy-3=-z

→ r ≡ x-z-1=0y+z-3=0

→ Haz de rectas → π′ ≡ x-z-1 + λ y+z-3 =0

→ π′ ≡ x-z-1+λy+λz-3λ=0 → 𝛑′ ≡ x+λy+(λ-1)z-1-3λ=0

→nπ =(1,2,1)

nπ′ =(1,λ,λ-1)→ nπ ⊥ nπ' → (1,2,1) ·(1,λ,λ-1) = 0 → 1+2λ+λ-1= 0 → λ = 0 → 𝛑′ ≡ x-z-1-=0