resdes de tuberías gradiente hidráulico 02 reservorios
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U.N.S.C.H
Escuela Profesional de Ingeniería Civil
“Diseño de una Red de Abastecimiento de agua – Método del Gradiente Hidráulico” Curso : Abastecimiento de Agua Potable y Alcantarillado Profesor : Ing. Joel Oré Iwanaga Estudiante : CANCHARI GUTIÉRREZ, Edmundo. Cod. Est. : 16005011
Ejemplo #03: Obtener caudales y presiones en cada tubería y nudos de la red respectivamente, elegir diámetro de las tuberías adecuadas. El sistema de agua potable mostrado está abastecido por dos reservorios como se muestra.
Solución: El primer paso es dividir el sistema en una serie de elementos finitos identificando sus puntos extremos como “nudos”, una tubería debe estar plenamente identificada en la red por su nudo inicial y final estableciendo implícitamente la dirección del flujo del caudal en la tubería. Se debe enumerar nudos y tubería como se muestra.
Donde:
- Número de tuberías
- Numeración de nudos
- Dirección flujo de caudal.
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Abastecimiento de Agua Potable Y AlcantarilladoAnálisis y Diseño de Redes de Agua PotableMétodo del Gradiente Hidráulico
Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
2.0 Argumentos
2.1 Definiendo la Red (RED)
Cada fila representa la conectividad de la tubería en la red.
Donde:
Columna #1: Número del nudo inicial
Columna #2: Número del nudo final
Columna #3: Longitud de la tubería en metros [m]
Columna #4: Diámetro de la tubería en milímetros [mm]
Columna #5: Sumatoria de los coeficientes de pérdidas locales
RED1 2 3 4 5
12
3
4
5
6
7
1 3 300 254 03 5 300 203.2 0
3 4 400 203.2 0.5
5 4 500 203.2 0
4 6 400 203.2 0.5
5 6 300 203.2 0
2 7 350 254 0
:=
2.2 Cota Topográfica del terreno (CT) [msnm]
2.3 Demanda en nudos(Qd) [lt/s]
2.4 Rugosidad absoluta de latubería [m]
CT1
12
3
4
5
6
500530
470
470
470
470
:= Qd1
12
3
4
5
6
00
40
50
40
60
:=ks 0.06 10 3−
⋅:=
2.5 Viscocidad cinemática [m2/s]
ν 1.14 10 6−⋅:=
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2.6 Reservorios que abastecen a la red (RSV)
Son los nudos de cota piezométrica conocida y los argumentos son:
Donde:
Columna #1: Número de nudo de cota piezométrica conocida
Columna #2: Cota piezométrica [m]
RSV1 2
12
1 5002 530
:=
2.7 Definiendo bombas en la red (BMB)
Se debe definir el número de la tubería y la altura de agua(presión de agua) adicional con la cualcolabora la bomba a la red
Donde:
Columna #1: Número de tubería
La ecuación de la bomba es de la forma: γ = a(Qac^2) + b(Qac) + c, se debe ingresar:
Columna #2: Coeficiente "a" de la ecuación siempre negativo
Columna #3: Coeficneinte "b" de la ecuación de la bomba
Columna #4: Coeficiente "c" de la ecuación de la bomba
BMB1 2 3 4
12
1 0 0 05 0 0 0
:=
No existe Bombas en la RED!!!!Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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3. Proceso de cálculo
Para realizar el cálculo de presiones y caudales en la red, es necesario el siguiente planteamiento dematrices y vectores teniendo en ceunta que:
Número de nudos de cota piezométrica desconocida:NN rows CT( ) rows RSV( )−:= NN 4=
Número de tuberías (tramos)NT rows RED( ):= NT 7=
Número de nudos de cota piezométrica conocidaNS rows RSV( ):= NS 2=
3.1 Resultados generales
Todas las matrices obtenidas en esta sección se mantienen constante en todo el procedimeinto dediseño.
3.1.1 Obteniendo la matriz de conectividad total (At), su dimensión es NT*(NN+NS) asociada a cauno de los nudos de la red, con solo dos elementos diferentes de cero en la i-ésima fila
"-1" en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i •
"1" en la columna correspondiente al nodo final del tramo i•
At
ni REDi 1, ←
nf REDi 2, ←
Ati ni, 1−←
Ati nf, 1←
i 1 NT..∈for
At
:=
At
1−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1−
1
1−
1−
0
0
0
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
1
0
1−
0
1−
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
de la matriz At se obtiene las matrices A12 y A10.
3.1.2 Matriz de conectividad A12 asociada a cada uno de los nudos de la red de cota piezométricadesconocida, de dimensión NT*NN
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Los nudos de cota piezométrica desconocida son(NCPD):
NCPD submatrix NODE rows RSV( ) 1+, rows NODE( ), 1, 1, ( ):=
NCPD
3
4
5
6
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
y la matriz A12 resulta:
A12 A12 AtNCPD1 1, ( )⟨ ⟩
←
i NCPDn 1, ←
A12 augment A12 At i⟨ ⟩, ( )←
n 2 rows NCPD( )..∈for
A12
:=
A12
1
1−
1−
0
0
0
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
1
0
1−
0
1−
0
0
0
0
0
1
1
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
su traspuesta es A21: A21 A12T:=
A21
1
0
0
0
1−
0
1
0
1−
1
0
0
0
1
1−
0
0
1−
0
1
0
0
1−
1
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
3.1.3 Matriz topológica tramo a nodo, que asocia a las tuberías con los nodos de cota piezométricaconocida(Los reservorios) de dimensión NT*NS
Los nudos de cota piezométrica conocida son(NCPC):
NCPC RSV 1⟨ ⟩:=
NCPC1
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
la matriz A10 resulta:
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A10 A10 AtNCPC1 1, ( )⟨ ⟩
←
i NCPCn 1, ←
A10 augment A10 At i⟨ ⟩, ( )←
n 2 rows NCPC( )..∈for
A10
rows NCPC( ) 2≥if
A10
:=
A10
1−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
A10 es la matriz topológica tramo a nodo, para los NS nodos de cota piezométrica conocida, sudimensión es NT*NS con un valor igual a -1 en las filas correspondientes a los tramos conectados alos reservorios(Nudos de cota piezométrica conocida)
3.1.4 Vector de Cotas piezométricas fijas, cuya dimensión es NS*1
Ho RSV 2⟨ ⟩:=
Ho500
530⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
3.1.5 Vector de consumo, de dimensión NN*1
En este vector no interviene los nudos de cota piezométrica conocida.
qsubmatrix Qd rows RSV( ) 1+, rows Qd( ), 1, 1, ( )
1000:=
q
0.04
0.05
0.04
0.06
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= en m3/s
3.1.6 matriz identidad, de dimensión NT*NT 3.1.7 matriz diagonal M, de dimensión NT*NTI identity NT( ):=
Ndw 2 I⋅:=
I
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= Ndw
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
los elementos de la diagonal principal soniguales al coeficiente "m", que depende dequé ecuación para la pérdida de carga seesté utilizando, en este caso utilizaré la deDarcy-Weisbach, para lo cual m=2
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3.1.6 Ordenando el coeficiente de las ecuaciones para cada tubería
BOMB f x y, ( ) 0←
BOMB matrix NT 3, f, ( )←
t BMBi 1, ←
BOMBt 1, BMBi 2, ←
BOMBt 2, BMBi 3, ←
BOMBt 3, BMBi 4, ←
i 1 rows BMB( )..∈for
BOMB
:=
BOMB
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
3.2 Valores iniciales para las iteraciones.
3.2.1 Caudales que circulan en cada tubería
f x y, ( ) 0.2:=
Q matrix rows RED( ) 1, f, ( ):=
QT 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2( )=
3.2.2 Diámetro de la tuberías [m]
DRED 4⟨ ⟩
1000:=
DT 0.254 0.203 0.203 0.203 0.203 0.203 0.254( )=
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4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #1
Qac Q:=El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
355.534
1.113 103×
1.485 103×
1.856 103×
1.485 103×
1.113 103×
414.79
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 4.848 0 4.848 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 0( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
71.107
0
0
0
0
0
0
0
222.677
0
0
0
0
0
0
0
301.75
0
0
0
0
0
0
0
371.128
0
0
0
0
0
0
0
301.75
0
0
0
0
0
0
0
222.677
0
0
0
0
0
0
0
82.958
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 487.201 515.612 488.503 535.889( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.19
0.097
0.053
0.063
0.066
6.401− 10 3−×
3.294
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 3.112=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
10−
102.923−
147.077−
136.522−
133.599−
193.599−
3.094 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #2
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.19
0.097
0.053
0.063
0.066
6.401 10 3−×
3.294
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
356.565
1.157 103×
1.621 103×
1.994 103×
1.589 103×
1.68 103×
390.43
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 1.285 0 1.6 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 0( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
67.747
0
0
0
0
0
0
0
112.205
0
0
0
0
0
0
0
87.194
0
0
0
0
0
0
0
125.611
0
0
0
0
0
0
0
106.447
0
0
0
0
0
0
0
10.752
0
0
0
0
0
0
0
1.286 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 487.128 480.379 478.982 478.646( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.19
0.085
0.065
0.026
0.041
0.019
1.853
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 1.442=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
1.055− 10 12−×
12.202−
12.202
37.059−
24.858−
12.457
1.441− 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #3
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.19
0.085
0.065
0.026
0.041
0.019
1.853
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
356.565
1.168 103×
1.591 103×
2.202 103×
1.665 103×
1.382 103×
391.816
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 1.576 0 0.994 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 0( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
67.747
0
0
0
0
0
0
0
99.246
0
0
0
0
0
0
0
104.97
0
0
0
0
0
0
0
57.247
0
0
0
0
0
0
0
69.257
0
0
0
0
0
0
0
26.263
0
0
0
0
0
0
0
726.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 487.128 479.576 479.381 478.292( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.19
0.082
0.068
0.011
0.03
0.03
1.291
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 0.562=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
1.055 10 12−×
3.471−
3.471
14.703−
11.231−
11.231
561.504−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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Abastecimiento de Agua Potable Y AlcantarilladoAnálisis y Diseño de Redes de Agua PotableMétodo del Gradiente Hidráulico
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Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #4
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.19
0.082
0.068
0.011
0.03
0.03
1.291
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
356.565
1.171 103×
1.585 103×
2.523 103×
1.728 103×
1.296 103×
393.175
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 1.648 0 0.727 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 0( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
67.747
0
0
0
0
0
0
0
96
0
0
0
0
0
0
0
109.397
0
0
0
0
0
0
0
27.754
0
0
0
0
0
0
0
52.581
0
0
0
0
0
0
0
38.89
0
0
0
0
0
0
0
507.589
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 487.128 479.393 479.516 478.122( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.19
0.081
0.069
7.725 10 3−×
0.027
0.033
1.168
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 0.124=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
1.499− 10 12−×
1.355−
1.355
3.275−
2.92−
2.92
123.424−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #5
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.19
0.081
0.069
7.725 10 3−×
0.027
0.033
1.168
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
356.565
1.172 103×
1.583 103×
2.696 103×
1.753 103×
1.281 103×
393.642
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 1.673 0 0.654 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 0( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
67.747
0
0
0
0
0
0
0
94.917
0
0
0
0
0
0
0
110.871
0
0
0
0
0
0
0
20.829
0
0
0
0
0
0
0
47.972
0
0
0
0
0
0
0
42.27
0
0
0
0
0
0
0
459.774
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 487.128 479.38 479.524 478.108( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.19
0.081
0.069
7.314 10 3−×
0.027
0.033
1.16
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 7.674 10 3−×=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
2.22− 10 13−×
0.442−
0.442
0.411−
0.244−
0.244
7.629−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #6
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.19
0.081
0.069
7.314 10 3−×
0.027
0.033
1.16
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
356.565
1.172 103×
1.583 103×
2.726 103×
1.753 103×
1.281 103×
393.676
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 1.673 0 0.654 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 0( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
67.747
0
0
0
0
0
0
0
94.917
0
0
0
0
0
0
0
110.871
0
0
0
0
0
0
0
19.935
0
0
0
0
0
0
0
47.972
0
0
0
0
0
0
0
42.27
0
0
0
0
0
0
0
456.664
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 487.128 479.379 479.524 478.108( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.19
0.081
0.069
7.301 10 3−×
0.027
0.033
1.16
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 7.829 10 4−×=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
1.499− 10 12−×
0.446−
0.446
0.013−
0.253−
0.253
0.296
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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5. Ordenado Resultados Programa que Corrige H y Q con los argumentos establecidos en elcapítulo 3, culmina cuando la norma del vector es menor a 0.0001
H
Q⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
f x y, ( ) 0.2←
Qan matrix NT 1, f, ( )←
DQ Qan←
H Qan←
Q Qan←
Re4 Qani 1, ⋅
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
α
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
β
8 Qani 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ( )⋅←
γ BOMBi 1, Qani 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qani 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
A11i i, α Qani 1, ( )2 1−⋅ β+
γ
Qani 1, +←
i 1 NT..∈for
H A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qan A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qan⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅←
Q I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qan⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 H⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−←
DQ Q Qan−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎡⎣ ⎤⎦←
Qan Q→⎯
←
DQ 0.0001>while
H
Q⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=
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Los caudales resultantes(que circulan) en cada tubería son(en litros/s):
El signo negativo indica el flujo del caudalen sentido contrario al supuestoinicialmente.
1000 QT⋅ 170 69.744 60.256 6.982 17.238 22.762 1.16 103×( )=
Las cotas piezométricas en cada nudo son(en metros):
Hf augment HoT HT, ( ):=
Hf 500 530 489.627 483.724 483.858 483.161( )=
Las presiones en los puntos son(en metros):
P Hf CTT−:=
P 0 0 19.627 13.724 13.858 13.161( )=
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