Representación gráfica y estudio de las funcioneselementales con la hoja de cálculo Calc.

José Luis Mellado-Romero

1. IntroducciónLas funciones lineales, afines y cuadráticas son las funciones polinómicas más

simples y vienen definidas analíticamente por los coeficientes numéricos de los

monomios correspondientes.

El objetivo del presente documento consiste en explicar cómo la hoja de cálculo

puede ayudar a representar y estudiar las funciones polinómicas elementales. De forma

que con esta potente y archiconocida herramienta digital, la hoja de cálculo, y sólo con

introducir los coeficientes o valores numéricos se puede conseguir la representación

gráfica de la función elegida, obteniendo los elementos y las propiedades principales de

dicha función.

Se ha creado una hoja para cada tipo de función elemental, ya que cada una tiene

unas peculiaridades que la hacen diferente a las demás, por tanto, se necesita una

programación diferente aunque con una base muy similar, permitiendo una clasificación

que puede ser útil a la hora de un eventual uso en el aula.

Las hojas de cálculo construidas son:

1.La función lineal. En esta hoja se estudia y representa gráficamente la función

polinómica con la expresión analítica dada por: f x =ax , donde a es el parámetro

que ha de introducirse por parte del usuario, es decir, la pendiente.

1

2.La función afín . En esta hoja se estudia y representa gráficamente la función

polinómica con la expresión analítica dada por: f x =axb , donde a y b son los

parámetros que han de introducirse por parte del usuario, es decir, el usuario debe

introducir la pendiente y la ordenada en el origen.

3.La función cuadrática. En esta hoja se estudia y representa gráficamente la función

polinómica con la expresión analítica dada por: f x =ax2bxc , donde a, b y c

son los parámetros que han de introducirse por parte del usuario.

4.La función cúbica1. En esta hoja se estudia y representa gráficamente la función

polinómica con la expresión analítica dada por: f x =ax3bx2cxd , donde a,

b , c y d son los parámetros que han introducirse por parte del usuario.

2. La tabla de valores y las evaluaciones en cada hoja de cálculoCada hoja tiene establecidas las órdenes necesarias para calcular las evaluaciones

de la función en estudio. Se han elegido 4.000 valores uniformemente en el intervalo

[-20,20], aunque eventualmente puede modificarse este intervalo de inspección, esta

acción no se recomienda.

En cada hoja se determina la sensibilidad de la tabla de valores y del consiguiente

gráfico obtenido a partir de ella, es decir, el salto que se produce entre dos puntos o

valores consecutivos que toma la variable independiente, de forma que una sensibilidad

muy pequeña indica que los valores que toma la variable independiente están muy

cercanos unos de otros, y por tanto se obtiene una gráfica bastante aproximada a la real.

La sensibilidad del gráfico viene dada por la expresión (1) donde n es el número

de puntos elegidos en el intervalo [a,b]. s= b−an

(1).

Como el número de puntos tomados en el intervalo [a,b] está fijado por

construcción, y es n=4.000 y además el intervalo está prefijado, si bien es modificable, la

sensibilidad será:

s= b−a4.000

= 20−−204.000

= 404.000

=0,01

Los valores que considera la hoja son los definidos por la relación (2) :

1 Aunque la función cúbica no debe ser considerada como función elemental puede igualmenteprogramarse teniendo en cuenta diversos aspectos del cálculo diferencial a los que se hará referencia paradeterminar los elementos necesarios para este tipo de funciones en concreto.

2

x0=a=−20

xk=x0k

100∀ k=1,2 , .... ,4000

xk=−20 k100 ∀ k=1,2 , .... , 4000

(2)

Aunque la fórmula que realmente se ha programado ha sido la dada por (3), en la

que s es la sensibilidad de la gráfica y de la tabla de valores. Las fórmulas

correspondientes están incluidas en las celdas de la columna P.

x0=a=−20xk1=xks ∀ k=0,1 ,2 ,... 3.999 (3)

Las evaluaciones que se calculan en cada tabla para poder representar

gráficamente la función con suficientes garantías son:

f xk ∀ k=0,1,2 , ... 4000 , valores que dependerán de la expresión analítica de

la función y de los coeficientes incorporados en cada hoja electrónica por el usuario.

Estos valores están incluidos en la columna Q.

Cada hoja realizará las evaluaciones cada vez que el usuario modifique los

coeficientes que definen a estas funciones elementales.

Para una correcta visualización del gráfico, el intervalo de inspección en el que se

desee analizar la función ha de estar contenido en el intervalo [-20,20], pues los valores

permitidos en el gráfico están fijados, es decir, no se permite que la hoja dimensione el

gráfico, salvo en contadas excepciones. En estos casos el usuario, que debería tener

conocimientos de manejo de la hoja de cálculo2, debe modificar el gráfico variando la

unidad o la escala del gráfico para que el grafo de la función sea más visible y se puedan

extraer resultados más intuitivamente.

La tabla de valores está implementada en las columnas O,P,Q,de cada una de las

hojas como puede observarse en la imagen 2.1 .

2 Para atreverse a dimensionar un gráfico, se recomienda haber usado previamente la creación de gráficosen las hojas de cálculo.

3

Imagen 2.1

3. La Función linealLas funciones lineales vienen dadas por la expresión f(x)=ax donde a es un número

real cualquiera. El usuario deberá introducir en la celda C2 el valor de la pendiente y

pulsar intro, automáticamente la hoja calculará y presentará una serie de propiedades

similares a las que se presentan en la imagen 3.1, correspondiente a la función lineal con

la expresión analítica f x =−0,5 x , es decir, con la pendiente igual a -0,5.

4

Imagen 3.1

Con esta herramienta, al modificar los valores de la pendiente, el usuario puede

observar y consolidar conocimientos sobre las siguientes propiedades de la función

lineal:

1.La representación gráfica de las funciones lineales corresponde a rectas que pasan por

el origen de coordenadas.

2.Si el valor de la pendiente es positivo la función resulta creciente.

3.Si el valor de la pendiente es negativo la función resulta decreciente.

4.También existe una relación directa entre el valor de la pendiente y el ángulo que forma

con la parte positiva del eje de abcisas, y viene dado por: =arctan a La programación de la hoja lineal corresponde con la inserción de las fórmulas

descritas en la imagen 3.2 y puede comprobarse cómo la fórmula que permite calcular el

ángulo que forma la recta con el eje de abcisas viene calculado en la celda B8 , y tiene la

expresión 180

arctan a puesto que la hoja electrónica devuelve en radianes los

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valores de la función arcotangente y el cociente 180 es el factor de conversión de

radianes a grados.

Imagen 3.2

En la imagen 3.2 puede verse cómo se ha programado para que la hoja informe de la

monotonía de la función lineal que depende del signo de la pendiente. Esta fórmula está

incluida en la celda B13.

4. La función afínLas funciones afines son aquellas que vienen dadas por la expresión f(x)=ax+b con

a y b números reales, y b distinto de cero.

Imagen 4.1

6

Se puede observar con esta herramienta que:

1.Las representaciones gráficas de las funciones afines corresponden a rectas que no

pasan por el origen de coordenadas, pasan por el punto (0,b) que será el punto de corte

con el eje de ordenadas.

2.Si el valor de la pendiente es positivo la función resulta creciente.

3.Si el valor de la pendiente es negativo la función resulta decreciente.

4.También existe una relación directa entre el valor de la pendiente y el ángulo que forma

con la parte positiva del eje de abcisas, y viene dado por: =arctan a 1.Un elemento importante a calcular de la función afín es el punto de corte con el eje de

abcisas. El valor en la abcisa de este punto es x=-b/a, siempre que a sea no nulo. En

caso contrario,la gráfica de la función corresponde con una recta horizontal y no corta al

eje de abcisas, salvo eventualmente en el caso de que b sea también nulo.

f x =axb ; f x=0axb=0 x=−ba

; a≠0

Las órdenes para poder obtener una representación gráfica adecuada de la función afín

vienen dadas en la imagen 4.2. La primera orden define el intervalo en el que se

considera la tabla de valores y la representación gráfica de la función afín.

Imagen 4.2

Esta hoja es muy similar a la hoja en la que representa y explica la función lineal,

de hecho la única diferencia es la existencia de puntos de cortes con los ejes:

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1.- Con el eje de Abcisas, que lo incorpora en la celda B16 con la expresión =-

C3/C2.

2.- Con el eje de Ordenadas que corresponde con el valor de la ordenada en el

origen.

Se puede observar en la imagen 4.3 la gráfica y la información que ofrece la hoja

electrónica para la función afín con la expresión: f x =−3x6

Imagen 4.3

5. La Función cuadrática.

Las funciones cuadráticas vienen definidas por un polinomio de grado dos:

f x =ax2bxc . La tabla de entrada de datos es similar a la de la función afín,

con la única diferencia de que hay que introducir el valor de un coeficiente más, al

tratarse de un trinomio.

La función cuadrática tiene una serie de propiedades muy diferentes a las funciones

vistas anteriormente, la más determinante es que el grafo de dicha función no

corresponde con una recta, sino con una curva.

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En la imagen 5.1 se ha incorporado la gráfica y el análisis de la función que tiene

como expresión analítica f x =x²4x4 .

Imagen 5.1

Se puede observar con esta herramienta que:

1.Las representaciones gráficas de las funciones cuadráticas corresponden a curvas, en

ningún intervalo o tramo la gráfica corresponde con una recta o segmento.

2.Si el valor del coeficiente del monomio

de grado dos es positivo, la función resulta

convexa, es decir, tendrá una forma

similar a la imagen 5.2.

3.Si el valor del coeficiente del monomio

de grado dos es negativo, la función

resulta cóncava, es decir, tendrá una

forma similar a la imagen 5.3.

Imagen 5.2 Imagen 5.3

4.También es diferente a las funciones anteriores la parte correspondiente a los puntos

de corte con el eje de abcisas, que en la hoja está analizado en las celdas

correspondientes a las celdas A14:C19. El discriminante de la ecuación

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ax2bxc=0 tiene la expresión D=b2−4⋅a⋅c y su signo ofrece la

información suficiente para saber el número de puntos de cortes de la función con el eje

de abcisas, en la tabla 5.1 se observa la clasificación del número de puntos de corte con

el eje de abcisas, así como el valor de las abcisas en el que se produce dicho corte.

Signo deldiscriminante

Número de puntos decortes con el eje de abcisas

Valor de las abcisas en lospuntos de corte

D0 2x1=

−bD2a

; x2=−b−D

2aD=0 1

xo=−b2a

D0 0 No tiene puntos de corte con eleje de abcisas

Tabla 5.1

El cálculo del discriminante se realiza en la celda B15. Aplicando la fórmula

D=b2−4⋅a⋅c siendo b el valor de la celda C3 , a el valor de la celda C2 y

c el valor de la celda C3 y obteniendo la expresión :=C3^2-4*C2*C4.

El número de puntos de cortes con el eje de abcisas se determina en la celda B16.

Las soluciones se determinan en las celdas B18 y B19 y en las celdas C18 y C19 se

comprueba numéricamente que las soluciones calculadas efectivamente cumplen la

ecuación que se ha resuelto.

5.Un elemento de gran importancia a calcular de la función cuadrática es el vértice de la

parábola. Cuya expresión viene dada por las igualdades siguientes.

f x =ax2bxc xv=−b2a

es el valor de la abcisa en el vértice.sustituyendo este valor en la expresión analítica de la función cuadrática se obtiene:

f xv=a xv2bxvc= ab2

4a2−b2

2ac= b2

4a−b2

2ac=...

...=c− b2

4a=4ac−b2

4a =−D4a

Es el valor de la ordenada en el vértice.

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•El vértice de coordenadas −b2a ,− D

4a es un mínimo absoluto si la parábola es

convexa.

•El vértice de coordenadas −b2a

,− D4a es un máximo absoluto si la parábola es

cóncava.

•Esta casuística se encuentra programada en la celda B28 con la

expresión :=SI(C2>0;"MÍNIMO";"MÁXIMO")1.También existe una relación entre la abertura de la curva y valor absoluto del

coeficiente del monomio de grado dos. Esta relación es ta,l que si el valor absoluto del

coeficiente a se aproxima a cero, la curva se hace menos puntiaguda, y cuando el

valor absoluto de este coeficiente toma valores muy elevados, la curva se hace muy

puntiaguda. Para visualizar esta propiedad se ha realizado una serie de representaciones

gráficas para distintos valores del coeficiente a ,en los casos se ha tomado el

coeficiente positivo, igualmente se podría haber tomado a negativo.

f x =0,05 x2−6 f x =0,1 x2−6

f x =0,25 x2−6 f x =0,5 x2−6

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f x =x2−6 f x =3x2−6

6.La monotonía de la función cuadrática difiere notablemente de la de las funciones

lineales y afines, aún así para las funciones cuadráticas la monotonía es simple, puesto

que está basada en una propiedad básica: El valor o punto en el que la función cambia

de creciente a decreciente o viceversa es el vértice. Por ello se ha programado la

siguiente casuística en las celdas A30:C32,de forma que si el valor del coeficiente del

monomio de grado dos es positivo, es decir, la curva es convexa: la función pasa de

decreciente a creciente y por tanto los intervalos de la monotonía corresponden con la

segunda columna de la tabla 5.2, sin embargo, si el valor del coeficiente del monomio de

grado dos es negativo, es decir, la curva es cóncava: la función pasa de creciente a

decreciente y por tanto los intervalos de la monotonía corresponden con la tercera

columna de la tabla 5.2:

Intervalo Carácter de la función si a > 0 Carácter de la función si a < 0

−∞ ,− b2a

La función es decreciente La función es creciente

−b2a ,∞ La función es creciente La función es decreciente

Tabla 5.2

En la imagen 5.5 pueden observarse las fórmulas programadas y a las que se han hecho

referencia anteriormente para el cálculo y determinación de la gráfica y propiedades

incluidas en la hoja de la función cuadrática.

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Imagen 5.4

6. La Función Cúbica.Esta función no es estrictamente una función elemental, sin embargo por su fácil

implementación y las escasas necesidades de cálculo diferencial, he considerado

oportuno incluirla con objeto de que en un eventual uso en el aula de esta hoja se avance

en el conocimiento de las funciones elementales, así como en fijar conceptos básicos

necesarios para obtener la competencia matemática en análisis de representaciones

gráficas de funciones.

Las funciones cúbicas son aquellas que están definidas por un polinomio de

grado tres, a saber: f(x)=ax3+bx2+cx+d.

En este caso la hoja electrónica determina una tabla de valores, el punto inflexión

que siempre existe para este tipo de funciones, los extremos relativos con su máximo

relativo y su mínimo relativo, que no siempre existen, determina la monotonía y la

curvatura de cada función incorporada. La hoja de introducción de coeficientes y el

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cálculo de elementos significativos de la misma se puede ver en la imagen 6.1, que

corresponde al análisis y representación de la función cúbica de expresión

f x =−x325x :

I

Imagen 6.1

La programación de estos cálculos se puede observar en la imagen 6.2 :

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Imagen 6.2

Elementos fundamentales de la función cúbica que determina la hoja de cálculo:

1.El punto de inflexión:

El punto de inflexión es aquel punto del dominio en el que la función pasa de tener

una curvatura determinada (Cóncava o convexa) a tener otra (Convexa o cóncava). En

el caso de la función cúbica ésta siempre posee un único punto de inflexión, la

determinación de su fórmula se deduce de la propiedad de que :

f x =ax3bx2cxd f ' ' x =6⋅ax2⋅b

f ' ' x =06⋅ax2⋅b=0 xinf=−b3⋅a

El cálculo del punto de inflexión se realiza en la celda B15,para la abcisa y C15 para la

ordenada.

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2.La Curvatura

La función cúbica presenta un único cambio de curvatura, este cambio se produce sólo y

exclusivamente en el punto de inflexión que siempre existe y es único en el caso de

funciones cúbicas. El cálculo de los intervalos de concavidad y convexidad se basa en

que si el coeficiente de grado tres es positivo la función cúbica pasa de cóncava a

convexa, y si este coeficiente es negativo la curvatura de función pasa de convexa a

cóncava. Esta casuística está programada en las celdas A26:C28 y viene explicada en la

tabla 6.1.

Intervalo Si a > 0 Si a < 0

−∞ ,− b3⋅a

La función es cóncava La función es convexa

−b3⋅a ,∞ La función es convexa La función es cóncava

Tabla 6.1

3.Existencia de los máximos y mínimos relativos

f x=ax3bx2cxd f ' x =3⋅ax22⋅bxcf ' x =03⋅ax22⋅bxc=0 D3=b2−3⋅a⋅c

Si D30 xext=−bD3

3⋅a y xext=−b−D3

3⋅aSi D3≤0 No tiene máximo y tampoco tiene mínimo relativo.

El cálculo de la existencia se realiza en la celdas A18:B20, hallando, en primer lugar, el

valor de D3 que se determina en la celda B19 y se incorpora las condiciones

anteriores en la celda B20 con la expresión =SI(B19>0;2;0), ofreciendo el número de

extremos de la función. Es evidente3 que un función cúbica sólo puede tener dos

extremos relativos (un máximo y un mínimo) o ninguno.

4.Máximos y mínimos relativos

Los extremos relativos se calculan aplicando las formulas deducidas anteriormente

xext1 =

−bD3

3⋅ay xext

2 =−b−D3

3⋅ala forma de discernir cual es máximo y cual

mínimo, ha sido teniendo en cuenta que en una función cúbica la imagen del máximo

3 Para el lector que desconozca el cálculo diferencial esta evidencia no se pone de manifiesto de formaclara.

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relativo es siempre mayor que la imagen del mínimo relativo4. El cálculo se ha realizado

en las celdas A22:C24.

5.Monotonía

Los extremos relativos de una función cúbica5, máximos o mínimos relativos, se

alcanzan en aquellos valores de su dominio en los que se produce el cambio de creciente

a decreciente o viceversa, de decreciente a creciente. Se ha considerado los dos casos

que pueden ocurrir con respecto a a los extremos relativos:

1.Que existan: D3=b2−3⋅a⋅c0 en este caso la monotonía depende del signo

del coeficiente del monomio de grado tres, teniendo en cuenta que existen dos cambios

de signo en los puntos extremos.

Intervalos Si a > 0 Si a < 0

−∞ , xext1 Función creciente Función decreciente

xext1 , xext

2 Funcióndecreciente

Función creciente

xext2 ,∞ Función creciente Función decreciente

Tabla 6.2

2. Que no existan:Esto ocurre si y sólo si D3=b2−3⋅a⋅c≤0 y en este caso la

función es creciente o decreciente en todo el conjunto numérico de definición o dominio.

Este carácter de la función dependerá sólo y exclusivamente del signo del coeficiente del

monomio de grado tres: a . Y puede resumirse de la siguiente forma: si se cumple que

D3=b2−3⋅a⋅c≤0 entonces sólo se tiene una de las dos situaciones siguientes:

•Si a0 la función es creciente en todo su dominio.

•Si a0 la función es decreciente en todo su dominio.

4 Se podía haber usado el criterio de la segunda derivada.5 Esta propiedad no es exclusiva de las funciones cúbicas, si no de toda función derivable, pero esto es

abundar demasiado en el cálculo direfencial.

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Varios ejemplos de funciones cúbicas Ejemplo 1 Considerando la función cúbica con expresión analítica

f x =−4x335x , Se puede observar que en la parte izquierda de la hoja se

presenta todos los resultados importantes, salvo los puntos de corte con el eje de

abcisas, puesto que no se ha implementado la resolución de la ecuación cúbica.

Imagen 6.3

En el ejemplo 1 , que se visualiza en la imagen 6.3, se puede observar una función

cúbica con un mínimo relativo y un máximo relativo,además de tres puntos de cortes con

el eje de abcisa.

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Ejemplo 2 Considerando la función cúbica con expresión analítica f x =10⋅x3xSe puede observar en la parte izquierda de la hoja se presenta todos los resultados,

importantes salvo los puntos de corte con el eje de abcisas, puesto que no se ha

implementado la resolución de la ecuación cúbica.

Imagen 6.4

En la imagen 6.4 se presenta una función cúbica sin extremos relativos, es decir, sin

máximos ni mínimos relativos.

Ejemplo 3 Considerando la función cúbica con expresión analítica

f x =x3−6x210 , en la parte izquierda de la hoja se presenta todos los

resultados importantes, salvo los puntos de corte con el eje de abcisas, puesto que no

se ha implementado la resolución de la ecuación cúbica.

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Imagen 6.5

7.Conclusiones

La hojas de cálculo diseñadas para las funciones descritas pueden ser utilizadas para el

desarrollo de la competencia matemática que pretende asegurar la interpretación de la

gráfica de funciones, así como para el inicio en el manejo de conceptos elementales en la

representación de funciones: Extremos absolutos y relativos, crecimiento y decrecimiento

, curvatura, puntos de inflexión. La utilización de esta herramienta se considera

adecuada en las enseñanzas de matemáticas en ESO y Bachillerato. Es, por tanto, un

instrumento digital que puede permitir acercar esta rama de las matemáticas a los

alumnos a través de recursos TIC. Evidentemente existe una gran cantidad de software

que puede ser utilizado, pero este tipo de programas ajustados a unos casos concretos

puede permitir la concreción del objetivo, por parte del profesor y también una mayor

probabilidad de que el alumno asuma este objetivo. La hoja de cálculo ya lista para ser

usada puede descargarse picando en el enlace:

http://www.omerique.net/twiki/pub/Main/PepeMellado/f_elementales.ods

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