reporte lectura 6 seccion aurea

8/9/2019 Reporte Lectura 6 Seccion Aurea

1/8

MDU-SIG IBERO 2010. PORTAFOLIO VISUAL DE PROYECTOS

Cesar Velandia

Reporte No6. LA SECCION AUREA

ABSTRACT

LA REGLA O SECCIN UREA ES UNA PROPORCIN ENTRE MEDIDAS. SE TRATA DE LADIVISIN ARMNICA DE UNA RECTA EN MEDIA Y EXTREMA RAZN. ESTO HACEREFERENCIA A QUE EL SEGMENTO MENOR ES AL SEGMENTO MAYOR, COMO ESTE ES ALA TOTALIDAD DE LA RECTA. O CORTAR UNA LNEA EN DOS PARTES DESIGUALES DEMANERA QUE EL SEGMENTO MAYOR SEA A TODA LA LNEA, COMO EL MENOR ES ALMAYOR.

DE ESTA FORMA SE ESTABLECE UNA RELACIN DE TAMAOS CON LA MISMAPROPORCIONALIDAD ENTRE EL TODO DIVIDIDO EN MAYOR Y MENOR, ESTO ES UNRESULTADO SIMILAR A LA MEDIA Y EXTREMA RAZN. ESTA PROPORCIN O FORMA DESELECCIONAR PROPORCIONALMENTE UNA LNEA SE LLAMA PROPORCIN UREA, SEADOPTA COMO SMBOLO DE LA SECCIN UREA (), Y LA REPRESENTACIN ENNMEROS DE ESTA RELACIN DE TAMAOS SE LLAMA NMERO DE ORO = 1,618.

El nmero designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado nmero de oro y quees la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.

Una diferencia importante desde el punto de vista matemtico entre los dos primeros yel nmero de oro es que los primeros no son solucin de ninguna ecuacin polinmica (aestos nmeros se les llama trascendentes), mientras que el nmero de oro si que lo es.

Efectivamente, una de las soluciones de la ecuacin de segundo grado

es que da como resultado el nmero de oro.La seccin urea es la divisin armnica de una segmento en media y extrema razn. Esdecir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. Deesta manera se establece una relacin de tamaos con la misma proporcionalidad entreel todo dividido en mayor y menor. Esta proporcin o forma de seleccionarproporcionalmente una lnea se llama proporcin urea.

Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la divisin indicadaanteriormente

Aplicando la proporcin urea obtenemos la siguiente ecuacin que tendremos queresolver


2/8

Una de las soluciones de esta ecuacin (la solucin positiva) es x= .

Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayorentre el menor,

Es decir, la relacin entre las dos partes en que dividimos el segmento es el nmero deoro.

Equilibrio y Proporcin

A lo largo de la historia de las artes visuales han surgido diferentes teoras sobre lacomposicin. Platn deca: es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hacefalta una relacin entre ellas que los ensamble, la mejor ligazn para esta relacin es eltodo. La suma de las partes como todo es la ms perfecta relacin de proporcin.

Vitruvio, importante arquitecto romano, acepta el mismo principio pero dice que lasimetra consiste en el acuerdo de medidas entre los diversos elementos de la obra yestos con el conjunto. Invent una frmula matemtica, para la divisin del espaciodentro de un dibujo, conocida como la seccin urea, y se basaba en una proporcin

dada entre los lados ms largos y los ms cortos de un rectngulo. Dicha simetra estregida por un modulo comn, que es el nmero. Definido de otra forma, bisecando uncuadro y usando la diagonal de una de sus mitades como radio para ampliar lasdimensiones del cuadrado hasta convertirlo en "rectngulo ureo". Se llega a laproporcin a:b = c:a.

Dicho esto, y segn Vitruvio, se analiza que al crear una composicin, si colocamos loselementos principales del diseo en una de las lneas que dividen la seccin urea, seconsigue el equilibrio entre estos elementos y el resto del diseo.


3/8

Pitgoras y el nmero dorado

Pitgoras (c. 582-c. 500 a.C.), filsofo y matemtico griego, naci en la isla deSamos. Fue instruido en las enseanzas de los primeros filsofos jonios Tales de Mileto,Anaximandro y Anaxmenes. Se dice que Pitgoras haba sido condenado a exiliarse deSamos por su aversin a la tirana de Polcrates. Hacia el 530 a.C. se instal en Crotona,una colonia griega al sur de Italia, donde fund un movimiento con propsitos religiosos,

polticos y filosficos, conocido como pitagorismo. La filosofa de Pitgoras se conoce sloa travs de la obra de sus discpulos.

Los pitagricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmasdel orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumiralimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hbito del autoanlisis. Lospitagricos crean en la inmortalidad y en la trasmigracin del alma. Se dice que elpropio Pitgoras proclamaba que l haba sido Euphorbus, y combatido durante la guerrade Troya, y que le haba sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas susexistencias previas.

Entre las amplias investigaciones matemticas realizadas por los pitagricos seencuentran sus estudios de los nmeros pares e impares y de los nmeros primos y delos cuadrados, esenciales en la teora de los nmeros. Desde este punto de vista

aritmtico, cultivaron el concepto de nmero, que lleg a ser para ellos el principiocrucial de toda proporcin, orden y armona en el universo. A travs de estos estudios,establecieron una base cientfica para las matemticas. En geometra el grandescubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teoremade Pitgoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectnguloes igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Una revuelta provocada en Crotona, por una asociacin de ideas contrarias a laspitagricas, termin con el incendio de la sede. Se cree que Pitgoras se vio obligado ahuir de Crotona y muri en Metaponto. La persecucin de los pitagricos provoc elxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusin de las ideas pitagricas.

La estrella pentagonal o pentgono estrellado era, segn la tradicin,el smbolo de los seguidores de Pitgoras. Los pitagricos pensaban que el mundo estabaconfigurado segn un orden numrico, donde slo tenan cabida los nmerosfraccionarios. La casualidad hizo que en su propio smbolo se encontrara un nmeroraro: el numero de oro.

Por ejemplo, la relacin entre la diagonal del pentgono y su lado esel nmero de oro.


4/8

Tambin podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP estn en proporcinurea

.

El rectngulo ureo

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos conuno de los vrtices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de estamanera obtenemos el lado mayor del rectngulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectngulo

vale por lo que la proporcin entre los dos lados es (nuestro nmero deoro).

Obtenemos as un rectngulo cuyos lados estn en proporcin urea. A partir de esterectngulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, sehan utilizando en arquitectura (Partenn, pirmides egipcias) y diseo (tarjetas decrdito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).

Una propiedad importante de los tringulos ureos es que cuando se colocan dos igualescomo indica la figura, la diagonal AB pasa por el vrtice C.


5/8


6/8

Hay un precedente a la cultura griega donde tambin apareci el nmero de oro. En LaGran Pirmide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres tringulos que

forman la pirmide y el lado es 2 .

Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentgono regular y el lado de dichopentgono es el nmero ureo. En un pentgono regular est basada la construccin dela Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos yromanos, las plasm en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvi para ilustrar el libro LaDivina Proporcin de Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cualeshan de ser las proporciones de las construcciones artsticas. En particular,Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes desu cuerpo sean proporciones ureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en elombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo quecoincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos deambas manos cuando los brazos estn extendidos y formando un ngulo de 90 con eltronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y ladistancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el nmeroureo.


7/8

El cuadro de Dal Leda atmica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradicinmatemtica y simblica, especialmente pitagrica. Se trata de una filigrana basada en laproporcin urea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. Enel boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del anlisis geomtrico realizado por Dalbasado en el pentagrama mstico pitagrico.

La espiral logartmica

En la naturaleza, aparece la proporcin urea tambin en el crecimiento de las plantas,las pias, la distribucin de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pjaros y laformacin de caracolas.


8/8

Si tomamos un rectngulo ureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es ellado menor AD del rectngulo, resulta que el rectngulo EBCF es ureo. Si despus aste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectngulo resultante HGCF tambin es ureo.Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obtenindose una sucesin de

rectngulos ureos encajados que convergen hacia el vrtice O de una espirallogartmica.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atencin de matemticos,artistas y naturalistas. Se le llama tambin espiral equiangular (el ngulo de corte delradio vector con la curva es constante) o espiral geomtrica (el radio vector crece enprogresin geomtrica mientras el ngulo polar decrece en progresin aritmtica). J.Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llam spira mirabilis, rogando que fueragrabada en su tumba.

La espiral logartmica vinculada a los rectngulos ureos gobierna el crecimientoarmnico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas demoluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo ms

visualmente representativo es la concha del nautilus.

reporte lectura 6 seccion aurea

Documents