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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CHIAPAS
INGENIERÍA MECATRÓNICA
JUAN CARLOS DOMÍNGUEZ ESPINOSA
INGENIERÍA ECONÓMICA
REPORTE DE INVESTIGACIÓN
TEMAS:
2.5.- Tasa de interés nominal y efectivo.
2.6.- Tasa de interés efectiva para capitalización continua.
INTEGRANTES
ULISES PINEDA MARTÍNEZ
MANUEL ALEMÁN CUETO
LUCAS ALEXIS VICENTE PÉREZ
YASBERT DAVID MARTÍNEZ AGUILAR
JONATHAN ANTONIO PÉREZ SÁNCHEZ
7° B
TUXTLA GUTIÉRREZ, CHIAPAS
31 DE OCTUBRE DE 2013
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se explicará y se mostrará cómo aplicar las tasas de interés nominal
y efectiva tanto en la práctica de la ingeniería como en situaciones de la vida diaria.
El diagrama de flujo relacionado con la tasa de interés efectiva, localizado en el
apéndice para este capítulo, constituye una referencia para las secciones sobre las
tasas nominales y efectivas, así como para las secciones relacionadas con el
cálculo continuo del interés. En este capítulo también se llevan a cabo cálculos de
equivalencia de frecuencias de capitalización en combinación con frecuencias de
flujo de efectivo.
El estudio de caso incluye una evaluación de diferentes planes de financiamiento
para la compra de una vivienda.
Aquí analizaremos las tasas de interés nominal y efectiva, que implican la misma
relación básica. En este caso la diferencia estriba en que los conceptos de nominal
y de efectivo se deben aplicar cuando se calcula el interés compuesto más de una
vez al año. Por ejemplo, si una tasa de interés es de 1% mensual, deben tomarse
en cuenta los términos nominal y efectivo para las tasas de interés.
Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante
para la práctica de la ingeniería y de las finanzas personales. Los proyectos de
ingeniería, según se estudiaron en el capítulo 1, se financian a través de deuda y
de capital propio. Los intereses por préstamos, hipotecas, bonos y acciones se
basan en tasas de interés compuesto para periodos más frecuentes que un año. Un
estudio de ingeniería económica debe tomar en cuenta esos efectos. En nuestras
finanzas personales, administramos la mayoría de nuestros desembolsos e
ingresos de efectivo para periodos distintos a un año. De nuevo, se presenta el
efecto de los cálculos de interés compuesto para periodos más frecuentes que un
año.
Contenido INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 2
TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVO ............................................................................................ 4
TASAS DE INTERESES EFECTIVAS ANUALES ................................................................................... 7
TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS PARA CUALQUIER PERIODO ................................ 10
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: COMPARACIÓN ENTRE LA DURACIÓN DEL PERIODO DE PAGO
Y DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN (PP VERSUS PC) ................................................................. 12
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP>=PC ........................... 13
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP>=PC ........................................... 14
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS Y SERIES CON PP>=PC ....... 15
TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARA CAPITALIZACIÓN CONTINUA ............................. 16
TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO ..................................................... 17
CAPITALIZACIÓN ..................................................................................................................... 18
CAPITALIZACIÓN DIFERIDA ................................................................................................. 18
CAPITALIZACIÓN CON CUOTAS EXTRAS PACTADAS ................................................. 18
CONCLUSION ................................................................................................................................ 19
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS ............................................................................................ 20
TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVO
En el presente documento se explican los diferentes tipos de tasas de interés que
normalmente se utilizan en el mercado financiero. Inicialmente veremos la
diferencia entre una tasa nominal y una efectiva, y su aplicación en las fórmulas y
ecuaciones de valor, seguidamente se verá un método de conversión de una tasa
nominal a una efectiva, y viceversa. Asimismo, como un apéndice, se cuenta con
un Diccionario de Datos, de tal manera que el lector pueda verificar el significado
de las siglas que se utilizan en el presente documento.
Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante
para la práctica de la ingeniería y de las finanzas personales. Los proyectos de
ingeniería, según se estudiaron en el capítulo 1, se financian a través de deuda y
de capital propio. Los intereses por préstamos, hipotecas, bonos y acciones se ba-
san en tasas de interés compuesto para periodos más frecuentes que un año. Un
estudio de ingeniería económica debe tomar en cuenta esos efectos. En nuestras
finanzas personales, administramos la mayoría de nuestros desembolsos e
ingresos de efectivo para periodos distintos a un año. De nuevo, se presenta el
efecto de los cálculos de interés compuesto para periodos más frecuentes que un
año. Primero analicemos una tasa de interés nominal.
La tasa de interés nominal, r, es una tasa de interés que no considera la
capitalización de intereses. Por definición,
r = tasa de interés por periodo X número de periodos
Una tasa nominal r puede fijarse para cualquier periodo: 1 año, 6 meses, 1 trimestre,
1 mes, 1 semana, 1 día, etcétera. La ecuación [4.1] se aplica para calcular el valor
equivalente de r para cualquier periodo menor o mayor.
La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable a un periodo de tiempo
establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la acumulación del interés
durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Por lo general, se expresa
como tasa anual efectiva ia' pero se puede utilizar cualquier periodo como base.
La frecuencia de capitalización de la tasa efectiva se incluye en el enunciado de la
tasa nominal. Si la frecuencia de capitalización no se menciona explícitamente, se
considera que es la misma que el periodo de r, en cuyo caso las tasas nominal y
efectiva poseen el mismo valor. Los siguientes enunciados corresponden a tasas
nominales; sin embargo, los valores de las tasas de interés efectivas no serán los
mismos durante todos los periodos, como consecuencia de las diferentes
frecuencias de capitalización.
4% anual, compuesto mensualmente (composición más frecuente que el
periodo establecido)
12% anual, compuesto trimestralmente (composición más frecuente que el
periodo establecido)
9% anual, compuesto diariamente (composición más frecuente que el
periodo establecido)
3% cuatrimestral, compuesto mensualmente (composición más frecuente que el
periodo establecido)
6% semestral, compuesto semanalmente (composición más frecuente que el
periodo establecido)
3% trimestral, compuesto diariamente (composición más frecuente que el
periodo establecido)
Observe que estas tasas hacen mención de la frecuencia de capitalización. Todas
tienen la forma: "r% por periodo de tiempo t, compuesto m-mente". La m
corresponde a un mes, trimestre, semana, o alguna otra unidad de tiempo. La
fórmula para calcular el valor de la tasa de interés efectiva para cualquier enunciado
de tasa nominal o efectiva, se estudia en la siguiente sección. Para tomar en cuenta
debidamente el valor del dinero en el tiempo, todas las fórmulas de interés, factores,
valores tabulados y relaciones de hoja de cálculo deben incluir la tasa de interés
efectiva.
Por lo tanto, es primordial determinar la tasa de interés efectiva antes de realizar los
cálculos del valor del dinero en el tiempo para un estudio de ingeniería económica.
Esto es especialmente cierto cuando se presentan flujos de efectivo en intervalo de
tiempo distintos de un año.
Las siglas TPA y RPA se utilizan en muchas situaciones financieras individuales en
lugar de las tasas de interés nominal y efectiva. La tasa porcentual anual (TPA) es
la misma que la tasa de interés nominal, y el rendimiento porcentual anual (RPA) se
utiliza en lugar de la tasa de interés efectiva. Las definiciones e interpretaciones de
este capítulo son las mismas para estos términos.
Sobre la base de estas descripciones, siempre hay dos unidades de tiempo
asociadas con un enunciado relativo a una tasa de interés. Periodo de tiempo, es el
periodo en el que se expresa el interés. Ésta es la t del enunciado de r% por periodo
de tiempo t; por ejemplo, 1% mensual. La unidad de tiempo de un año es por mucho
la más común, de ahí que se suponga así cuando no se especifica otra unidad.
Periodo de capitalización o composición (PC), es la unidad de tiempo más corta
durante la que se paga o gana interés, el cual se identifica por el término
capitalización (o composición*) en el enunciado de la tasa, por ejemplo 8% anual
compuesto mensualmente. Si no se especifica, entonces se supone que es de 1año.
Frecuencia de composición, es el número de veces que la capitalización m ocurre
dentro del periodo de tiempo t. Si los periodos de capitalización PC y de tiempo t
son los mismos, la frecuencia de capitalización es 1, por ejemplo 1% mensual
compuesto mensualmente.
Considere la tasa de 8% anual, capitalizable mensualmente. Tiene un periodo de
tiempo t de 1año, un periodo de capitalización PC de 1mes, y una frecuencia de m
de 12 veces por año. Una tasa de 6% por año, capitalizable en forma semanal, tiene
t = 1 año, PC = 1 semana, y m = 52, con base en el estándar de 52 semanas por
año.
En capítulos anteriores, todas las tasas de interés tenían valores de t y m de un año.
Esto significa que las tasas eran tasas efectivas y nominales, en virtud de que se
utilizaba la misma unidad de un año. Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre
la misma base de tiempo que el periodo de composición. La tasa efectiva
correspondiente por PC se determina mediante la fórmula:
𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑃𝐶 =𝑟% 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡
𝑚 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑡=
𝑟
𝑚 [4.1]
A veces no es evidente si la tasa establecida es nominal o efectiva. Básicamente
existen tres formas de expresar las tasas de interés, como lo indica la tabla 4.1. La
columna de la derecha contiene el enunciado relativo a la tasa de interés efectiva.
Para el primer formato, no hay enunciado para las tasas nominal o efectiva; aunque
el periodo de composición está definido. Debe calcularse la tasa efectiva (lo cual se
analiza en las siguientes secciones). En el segundo formato, la tasa establecida se
identifica como efectiva (también se le denomina RPA), así que la tasa se utiliza
directamente en los cálculos.
En el tercer formato, no se identifica la frecuencia de composición; por ejemplo, 8%
anual. En tal caso, dicha tasa es efectiva exclusivamente durante el periodo (de
composición) de un año. Para cualquier otro periodo, debe calcularse la tasa
efectiva.
TASAS DE INTERESES EFECTIVAS ANUALES
En esta sección sólo se estudiarán las tasas de interés efectivas anuales. Por lo
tanto, el periodo fundamental t será de un año, y el periodo de composición puede
ser cualquier periodo menor a un año. Por ejemplo, una tasa nominal de 6% anual
compuesta trimestralmente equivale a una tasa efectiva de 6.136% anual. Hasta
ahora éstas son las tasas más empleadas en la industria y los negocios. Las literales
utilizadas para representar las tasas de interés nominal y efectiva son las siguientes:
r = tasa de interés nominal anual
m = número de periodos de capitalización o composición por año
i = tasa de interés efectiva por periodo de composición (PC) = r/m
i, = tasa de interés efectiva anual
Como se señaló antes, el análisis de las tasas de interés nominal y efectiva es
análogo al del interés simple y compuesto. Como en el caso del interés compuesto,
una tasa de interés efectiva en cualquier punto del año incluye (capitaliza) la tasa
de interés de todos los periodos de composición previos del año. Por lo tanto, la
deducción de una fórmula para la tasa de interés efectiva es semejante a la lógica
que se sigue para establecer la relación del valor futuro F = P(1 + i)". El valor futuro
F al final de 1 año es el principal P más los intereses acumulados P(i) durante el
año. Puesto que el interés se puede capitalizar varias veces durante el año, se
reemplaza i con la tasa anual efectiva ia. Ahora escribamos la fórmula para F al final
de 1 año.
𝐹 = 𝑃 + 𝑃𝑖𝑎 = 𝑃(1 + 𝑖𝑎) [4.3]
Como lo indica la figura 4.1, la tasa i por PC debe capitalizarse durante todos los m
periodos para obtener el efecto total de la capitalización al final del año. Esto
significa que F también se representa de la siguiente manera:
𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑚 [4.4]
Considere el valor F para un valor presente P de $1. Igualando estas dos
expresiones para F y sustituyendo P por $1, se obtiene la fórmula para la tasa de
interés anual efectiva ia.
1 + 𝑖𝑎 = (1 + 𝑖)𝑚
𝑖𝑎 = (1 + 𝑖)𝑚 − 1 [4.5]
Así, la ecuación [4.5] sirve para calcular la tasa de interés anual efectiva para
cualquier número de periodos de composición cuando i es la tasa para un periodo
de composición.
Si la tasa anual efectiva i, Y la frecuencia de composición m tienen valores
conocidos, la ecuación [4.5] se resuelve para i y se determina la tasa de interés
efectiva por periodo de composición.
𝑖 = (1 + 𝑖𝑎)1
𝑚⁄ − 1 [4.6]
Además, es posible determinar la tasa anual nominal r utilizando la definición de i
antes dada, es decir, i = r/m.
𝑟% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = (𝑖% 𝑝𝑜𝑡 𝑃𝐶)(𝑛ú𝑚. 𝑑𝑒 𝑃𝐶𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜) = (𝑖)(𝑚) [4.7]
Esta expresión es la misma que la ecuación [4.1], donde PC representa el periodo
de tiempo.
En la tabla 4.2 se utiliza la tasa de 18% anual, capitalizada durante diferentes
periodos (anuales a semanales), para determinar las tasas de interés anuales
efectovas durante estos periodos de composición diversos. En cada caso, la tasa
del periodo de composición i se aplica m veces durante el año. Mediante la ecuación
[4.5], la tabla 4.3 resume la tasa anual efectiva para tasas nominales utilizadas con
frecuencia. En los cálculos se utiliza un total de 52 semanas y 365 días por año. En
la sección 4.8 se analizan los valores de la columna correspondiente a la
composición continua.
Cuando se aplica la ecuación [4.5] el resultado normalmente no es un entero. Por
consiguiente, un factor de ingeniería económica no puede obtenerse directa-mente
de las tablas de factores de interés. Existen tres alternativas para determinar el valor
del factor.
• Se lleva a cabo una interpolación lineal entre dos tasas tabuladas (según se indica
en la sección 2.4).
• Se utiliza la fórmula del factor sustituyendo i por ia.
• Se crea una hoja de cálculo utilizando ia o i = r/m en las funciones, según lo
requiera la función de la hoja de cálculo.
En los ejemplos resueltos a mano se emplea el segundo método y el último en las
soluciones por computadora.
Todas las situaciones económicas analizadas en esta sección implican tasas
efectivas y nominales y flujos de efectivo anuales. Cuando los flujos de efectivo no
son anuales, es necesario descartar el supuesto anual del enunciado de la tasa de
interés:
"r% anual con frecuencia de composición m-mente". Se trata del tema de la
siguiente sección.
TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS PARA CUALQUIER PERIODO
Ya se presentaron los conceptos de tasas de interés anual efectiva y nominal.
Ahora, además del periodo de composición (PC), es necesario considerar la
frecuencia de los pagos o ingresos; es decir, el periodo de transacción de flujo de
efectivo. Por sencillez, éste recibe el nombre de periodo de pago (PP). Es
importante distinguir entre el periodo de composición y el periodo de pago, ya que
muchas veces no coinciden. Por ejemplo, si una compañía deposita dinero cada
mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de interés nominal de 14%
anual, con un periodo de composición semestral, el periodo de pago es de un mes,
mientras que el periodo de composición es de 6 meses (figura 4.3). Asimismo, si
una persona deposita dinero cada año en una cuenta de ahorros con un interés
compuesto trimestral, el periodo de pago es de un año, mientras que el periodo de
composición es de 3 meses.
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan con mayor frecuencia que
la anual, es decir, PP < 1 año, en las fórmulas de la ingeniería económica debe
utilizarse la tasa de interés efectiva durante el PP. La fórmula de la tasa de interés
anual efectiva se generaliza fácilmente para cualquier tasa nominal, sustituyendo la
tasa de interés del periodo por r/m en la ecuación [4.5].
𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 = (1 + 𝑟𝑚⁄ )𝑚 − 1 [4.8]
Donde,
𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑃𝑃𝑃)
𝑚 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑃𝐶 𝑜 𝑃𝑃)
En lugar de ia, esta expresión general utiliza la literal i para representar el interés
efectivo. Este hecho coincide con los diferentes usos que se le dan a i en el resto
de la obra. Gracias a la ecuación [4.8], es posible tomar una tasa nominal (r% anual
o cualquier otro periodo) y convertirla en una tasa efectiva i para cualquier periodo
que se defina como base, el más común de los cuales es el periodo PP. Los
siguientes 2 ejemplos ilustran cómo hacerlo.
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: COMPARACIÓN ENTRE LA DURACIÓN DEL PERIODO DE
PAGO Y DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN (PP VERSUS PC)
En los cálculos de equivalencia con porcentajes altos, la frecuencia de los flujos de efectivo no es
igual a la frecuencia de la capitalización de los intereses. Por ejemplo, los flujos de efectivo pueden
ser mensuales, mientras que la capitalización puede ser anual, trimestral o más frecuente. Considere
los depósitos realizados en una cuenta de ahorros cada mes, cuyos rendimientos tienen un periodo
de capitalización trimestral. La duración del PC es de un trimestre, mientras que la duración del PP
es de un mes. Para llevar a cabo correctamente los cálculos de equivalencia, resulta esencial que se
utilice el mismo periodo para el periodo de capitalización y el periodo de pago, y que en
consecuencia la tasa de interés se ajuste.
Las siguientes tres secciones describen los procedimientos para determinar los valores correctos de
i y n, para los factores de la ingeniería económica y las soluciones en hoja de cálculo. Primero se
compara la duración del PP y la duración del PC; después se identifica la serie de flujos de efectivo
con pagos únicos (P y F) o con una serie (A, G o g). La tabla 4.5 contiene las referencias a las
diferentes secciones.
Cuando solamente existen pagos únicos, no hay periodo de pago PP definido en sí por los flujos de
efectivo. La duración del PP, por lo tanto, queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa
de interés. Si la tasa es de 8% semestral, compuesto trimestralmente, el PP es semestral, el PC es
trimestral, y PP > PC.
Observe que las referencias a las diferentes secciones de la tabla 4.5 son las mismas cuando PP = PC
y cuando PP > pe. Las ecuaciones para determinar los valores de i y n son las mismas. Además, la
técnica que toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo es la misma, en virtud de que sólo
cuando se presentan flujos de efectivo se determina el efecto de la tasa de interés. Por ejemplo,
suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses (PP semestral), y que el interés tiene un
periodo de capitalización trimestral (PC trimestral). Después de 3 meses no hay flujo de efectivo ni
es necesario determinar el efecto de la composición trimestral.
Sin embargo, en el mes 6 es necesario considerar los intereses acumulados durante los dos periodos
de composición trimestrales anteriores.
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS CON PP>=PC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago único, hay dos formas
igualmente correctas de determinar i y n para los factores P/F y F/P. El método 1 es
más fácil de aplicar, porque las tablas de interés que aparecen en la parte posterior
del libro por lo común ofrecen el valor del factor. El método 2 quizá requiera cálculos
mediante la fórmula para el factor, ya que la tasa de interés efectiva que resulta no
constituye un entero. Método 1: Se determina la tasa de interés efectiva durante el
periodo de composición pe, y se iguala n al número de periodos de composición
entre P y F. Las relaciones para calcular P y F son:
𝑃 = 𝐹(𝑃 𝐹⁄ , 𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑃𝐶, 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑛) [4.9]
𝐹 = 𝑃(𝐹 𝑃⁄ , 𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑃𝐶, 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑛) [4.10]
Por ejemplo, suponga que la tasa establecida de la tarjeta de crédito es una tasa
efectiva de 15% anual, compuesto mensualmente. En este caso, PC es igual a un
mes. Para calcular P o F a lo largo de un periodo de dos años, se calcula la tasa
mensual efectiva de 15%/12 = 1.25% Y el total de meses de 2(12) = 24. Así, los
valores 1.25% y 24 se utilizan para el cálculo de los factores P/F y F/P.
Se puede utilizar cualquier periodo para determinar la tasa de interés efectiva; sin
embargo, el PC constituye el mejor fundamento. El valor del PC es mejor porque
sólo a lo largo del PC una tasa de interés efectiva tiene el mismo valor numérico
que la tasa nominal durante el mismo periodo del PC, lo cual se estudió en la sección
4.1 y en la tabla 4.1. Esto significa que la tasa de interés efectiva durante el PC por
lo general es un número entero. Entonces, es posible utilizar las tablas de los
factores que aparecen en la parte posterior de este libro.
Método 2: Se determina la tasa de interés efectiva para el periodo t de la tasa
nominal, y sea n igual al número total de periodos utilizando el mismo periodo. Las
fórmulas de P y F son las mismas que las de las ecuaciones [4.9] y [4.10], salvo que
el término i% efectiva por t se sustituye por la tasa de interés.
En el caso de una tasa de tarjeta de crédito de 15% anual compuesto
mensualmente, el periodo t es 1 año. La tasa de interés efectiva durante un año y
los valores n son:
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = (1 +0.15
12)12 − 1 = 16.076% 𝑛 = 2 𝑎ñ𝑜𝑠
El factor P/F es el mismo por ambos métodos: (P/F,1.25%,24) = 0.7422, utilizando
la tabla 5; y (P/F,16.076%,2) = 0.7422 aplicando la fórmula del factor P/F.
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP>=PC
Cuando se incluyen series gradiente o uniformes en la sucesión de flujo de efectivo, el
procedimiento es esencialmente el mismo que el del método 2 antes expuesto, salvo que ahora PP
queda definido por la frecuencia de los flujos de efectivo. Esto también establece la unidad de
tiempo de la tasa de interés efectiva. Por ejemplo, si los flujos de efectivo son trimestrales, el PP
es de un trimestre y, por consiguiente, se necesita una tasa de interés efectiva trimestral. El valor
n es el número total de trimestres. Si PP es igual a un trimestre, 5 años se traducen en un valor de
n de 20 trimestres. Esto constituye una aplicación directa de la siguiente directriz general:
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo, A, G, g) Y el periodo de pago es
igualo mayor que el periodo de capitalización,
• Se calcula la tasa de interés efectiva i por periodo de pago.
• Se determina n como el número total de periodos de pago.
Al llevar a cabo cálculos de equivalencia para series, sólo estos valores de i y n se pueden utilizar
en las tablas de interés, las fórmulas de factores y las funciones de hoja de cálculo. En otras
palabras, no hay otras combinaciones que proporcionen respuestas correctas, como en el caso de
los flujos de efectivo de pago único.
La tabla 4.7 muestra la formulación correcta de diversas series de flujo de efectivo y tasas de
interés. Observe que n siempre es igual al número total de periodos de pago y que i es una tasa de
interés efectiva que se expresa de acuerdo con el mismo periodo que n.
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS Y SERIES CON PP>=PC
Si una persona deposita dinero cada mes en una cuenta de ahorros con un interés
compuesto trimestral, ¿ganan intereses todos los depósitos mensualmente antes
del siguiente periodo de composición trimestral? La respuesta común es no. Sin
embargo, si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir un préstamo
bancario de $10 millones, con un interés compuesto trimestral, el ejecutivo de
finanzas de la empresa probablemente insistiría en que el banco redujera la
cantidad de intereses, basándose en el pago anticipado. Éstos constituyen ejemplos
de PP <pc. El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de efectivo entre
puntos de capitalización implica la pregunta de cómo manejar la capitalización
interperiódica. Fundamentalmente existen dos políticas: los flujos de efectivo entre
periodos no ganan intereses o ganan un interés compuesto.
En el caso de una política de no intereses interperiódicos, se considera que los
depósitos (flujos de efectivo negativos) se realizan al final del periodo de
capitalización; asimismo, se considera que los retiros se hacen al principio. Como
ejemplo, si se tiene un interés compuesto trimestral, los depósitos mensuales se
trasladan al final del trimestre (no se obtienen intereses interperiódicos), y todos los
retiros se trasladan al principio (no se pagan intereses durante todo el trimestre). Tal
procedimiento puede alterar significativamente la distribución de los flujos de
efectivo, antes de que se aplique la tasa de interés efectiva trimestral para
determinar P, F o
A esto lleva, en efecto, a los flujos de efectivo a una situación donde PP = PC, según
se analizó en las secciones 4.5 y 4.6. El ejemplo 4.10 ilustra este procedimiento y
el hecho económico de que, dentro de un marco temporal de un periodo de
capitalización, no hay ninguna ventaja en intereses si se efectúan pagos
anticipados. Por supuesto, quizá se presenten factores no económicos.
Si PP < PC y se obtienen intereses por composición entre periodos, los flujos de
efectivo no se trasladan; así, los valores equivalentes P, F o A se determinan
utilizando la tasa de interés efectiva por periodo de pago. Las relaciones de la
ingeniería económica se determinan de la misma forma que en las acciones
anteriores para PP>=PC. La fórmula de la tasa de interés efectiva tendrá un valor
m menor que 1, ya que tan sólo hay una parte fraccionaria del PC en un PP. Por
ejemplo, los flujos de efectivo semanales y la composición trimestral requieren que
m = 1/13 de un trimestre.
Cuando la tasa de interés nominal es de 12% anual, con periodo de composición
trimestral (el mismo que 3% cada trimestre, con composición trimestral), la tasa de
interés efectiva por cada PP es:
𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑙 = (1.03)1 13⁄ − 1 = 0.228% 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑙
TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARA CAPITALIZACIÓN
CONTINUA
Si dejamos que la capitalización se presente con más frecuencia cada vez, los
periodos de capitalización se van acortando. Entonces, el valor de m, es decir, el
número de periodos de composición por periodo de pago, aumenta. Esta situación
ocurre en los negocios con una gran cantidad de flujos de efectivo diarios; así, es
adecuado considerar intereses con periodos de capitalización continua. Conforme
m se aproxima al infinito, la tasa de interés efectiva, ecuación [4.8], debe expresarse
de otra forma. Primero recordemos la definición de la base del logaritmo natural.
limℎ→∞
(1 +1
ℎ)
𝑛
= 𝑒 = 2.71828 + [4.11]
El límite de la ecuación [4.8] conforme m se aproxima al infinito se determina
utilizando r/m = l/h, de la cual se deduce m = hr.
lim 𝑚→∞
𝑖 = lim 𝑚→∞
(1 +𝑟
𝑚)
𝑚
− 1
limℎ→∞
(1 +1
ℎ)
ℎ𝑟
− 1 = limℎ→∞
[(1 +1
ℎ)ℎ]𝑟 − 1
𝑖 = 𝑒𝑟 − 1
La ecuación [4.12] se aplica para calcular la tasa de interés efectiva continua,
cuando los periodos para i y r son los mismos. Como ejemplo, si la tasa anual
nominal r= 15% anual, la tasa de interés efectiva continua anual es i% = eOl5 - 1 =
16.183%
Por conveniencia, la tabla 4.3 incluye tasas de interés efectivas continuas para las
tasas nominales listadas.
En algunas actividades de negocios, los flujos de efectivo se presentan durante el
día. Ejemplos de costos son los costos de energía yagua, costos de inventario y
costos de mano de obra. Un modelo realista para estas actividades consiste en
incrementar la frecuencia de los flujos de efectivo para que se tornen continuos. En
tales casos, el análisis económico puede llevarse a cabo para un flujo de efectivo
continuo (también denominado flujo continuo de fondos) y para la composición
continua de intereses antes estudiada. Entonces, es necesario derivar expresiones
diversas para los factores. De hecho, las diferencias económicas para los flujos de
efectivo continuos, relativos al flujo de efectivo discreto y a los supuestos de
composición discreta, normalmente no son muy grandes. En consecuencia, muchos
estudios de ingeniería económica no exigen al analista que utilice estas formas
matemáticas para llevar a cabo la evaluación apropiada de un proyecto y tomar una
decisión.
TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Las tasas de interés reales para una corporación varían año con año, dependiendo
del estado financiero de la empresa, de su sector en el mercado, de las economías
nacional e internacional, de las fuerzas de inflación y de muchos otros factores. Las
tasas de préstamo pueden incrementarse de un año a otro. Las hipotecas de bienes
inmuebles financiadas mediante un interés de tipo HTA (hipoteca de tasa ajustable)
constituyen un buen ejemplo. La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada año
para que refleje la antigüedad del préstamo, el costo actual del dinero de la hipoteca,
etcétera. Un ejemplo de tasas de interés que se incrementan con el tiempo son los
bonos protegidos contra la inflación, emitidos por el gobierno de Estados Unidos y
otras agencias. La tasa de dividendos que paga el bono permanece constante a lo
largo de su periodo de vida; sin embargo, a la cantidad global que se debe al
propietario del bono cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste ascendente,
de acuerdo con el índice de inflación del índice de precios al consumidor (lPC).
Esto significa que la tasa anual de rendimiento se incrementará cada año de
acuerdo con la inflación observada. (En los capítulos 5 y 14, respectivamente, se
repasan los bonos y la inflación.)
Cuando los valores de P, F YA se calculan utilizando una tasa de interés constante
o promedio, durante la vida de un proyecto, las alzas y bajas de i son despreciables.
Si la variación de i es grande, los valores equivalentes variarán de manera
considerable de aquellos que se calculan mediante la tasa constante. Aunque un
estudio de ingeniería económica puede ajustar matemáticamente los valores
variables de i, los cálculos resultan más complicados.
Para definir el valor de P para los valores del flujo de efectivo futuro (Fr) con
diferentes valores de i (ir) para cada año t, supondremos una composición anual.
Sea:
𝑖𝑡 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 𝑡(𝑡 = 𝑎ñ𝑜𝑠 1 𝑎 𝑛)
Para determinar el valor presente, se calcula P para cada valor Fr' utilizando la ir
que aplique y sumando los resultados. De acuerdo con la notación estándar y el
factor P/F,
𝑃 = 𝐹1(𝑃 𝐹⁄ , 𝑖1, 1) + 𝐹2(𝑃 𝐹⁄ , 𝑖1, 1)(𝑃 𝐹⁄ , 𝑖2, 1) + ⋯ + 𝐹𝑛(𝑃 𝐹⁄ , 𝑖1, 1)(𝑃 𝐹⁄ , 𝑖2, 1) + ⋯
+ (𝑃 𝐹⁄ , 𝑖𝑛, 1) [4.13]
Cuando sólo están involucradas cantidades únicas, es decir, una P y una F en el
año final n, el último término de la ecuación [4.13] es la expresión del valor presente
del flujo de efectivo futuro.
𝑃 = 𝐹𝑛(𝑃 𝐹⁄ , 𝑖1, 1)(𝑃 𝐹⁄ , 𝑖2, 1) … (𝑃 𝐹⁄ , 𝑖𝑛, 1) [4.14]
CAPITALIZACIÓN
La operación que consiste en invertir o prestar un capital, produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la inversión o el préstamo, se llama Capitalización. Por el contrario, la operación que consiste en devolver un capital que nos han prestado con los correspondientes intereses se llama Amortización.
Estudiaremos las leyes matemáticas que regulan las dos operaciones.
El capital que se invierte se llama capital inicial C, el beneficio que nos produce se llama interés I y la cantidad que se recoge al final, sumando el capital y el interés, es el capital final, F. En la práctica, el interés se puede percibir dividido en periodos de tiempo iguales.
El rédito R, o tanto por ciento es la cantidad que producen cien unidades -pesetas, euros, ... - del capital en cada periodo de tiempo. El tanto por uno i es la cantidad que produce una unidad en cada periodo. Se cumple: R = 100 . i.
La capitalización puede ser simple o compuesta según que el interés no se acumule (simple) o se acumule al capital al finalizar cada periodo de tiempo (compuesta). En la capitalización simple el interés no es productivo y podemos disponer de él al final de cada periodo. En la compuesta, el interés es productivo -se une al capital para producir intereses en el siguiente periodo- pero no podemos disponer de él hasta el final de la inversión.
CAPITALIZACIÓN DIFERIDA
Se entiende por capitalización diferida a la capitalización que tiene uno o varios
periodos en los cuales no se efectúan depósitos, pero el capital ahorrado si gana
intereses. Es obvio que éstos periodos se encontrarán entre la fecha del último
depósito y la fecha de retiro del capital.
CAPITALIZACIÓN CON CUOTAS EXTRAS PACTADAS
Las bases teóricas necesarias para elaborar la tabla son las mismas de la
amortización pero poniendo la ecuación en valor final, en consecuencia no
entraremos en más detalles.
CONCLUSION
Como muchas situaciones reales implican frecuencias de flujo de efectivo y periodos
de capitalización distintos a un año, es necesario utilizar las tasas de interés nominal
y efectiva. Cuando una tasa nominal r se establece, la tasa de interés efectiva por
cada periodo de pago se determina aplicando la ecuación de la tasa de interés
efectiva.
Todos los factores de la ingeniería económica requieren el uso de una tasa de
interés efectiva. Los valores de i y n colocados en un factor dependen del tipo de
serie de flujo de efectivo. Si sólo hay cantidades únicas (P y F), existen diversas
formas de llevar a cabo cálculos de equivalencia utilizando los factores. Sin
embargo, cuando los flujos de efectivo en serie (A, G Yg) se encuentran presentes,
sólo cierta combinación de la tasa de interés efectiva i y del número de periodos n
es correcta para los factores. Esto requiere que las duraciones relativas de PP y PC
se consideren conforme i y n se hayan determinado. La tasa de interés y los
periodos de pago deben tener la misma unidad de tiempo, con la finalidad de que
los factores tomen en cuenta correctamente el valor del dinero en el tiempo.
De un año (o periodo de interés) a otro, las tasas de interés variarán. Para llevar a
cabo cálculos de equivalencia con exactitud para P y A, cuando las tasas varían
significativamente, debe utilizarse la tasa de interés que se aplica, no una tasa
promedio o constante. Los procedimientos y factores, ya sea que se efectúen a
mano o por computadora, son los mismos que los de las tasas de interés
constantes; sin embargo, se incrementa el número de cálculos.
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
LELAND BLANK, ANTHONY TARQUIN, INGENIERÍA ECONÓMICA
INGENIERÍA ECONÓMICA
SEXTA EDICIÓN,
MÉXICO, McGRAW HILL.
GUILLERMO BACA CURRERA, INGENIERÍA ECONÓMIA
INGENIERÍA ECONÓMICA
OCTAVA EDICIÓN
FONDO EDUCATIVO PANAMERICANO
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FECHA DE CONSULTA: 26 DE OCTUBRE DE 2013
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FECHA DE CONSULTA: 26 DE OCTUBRE DE 2013
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0....0...1c.1.30.hp..5.15.1102.SBy3GoG3lz8
FECHA DE CONSULTA: 27 DE OCTUBRE DE 2013