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1. Introducción.

En la presente práctica, se muestra como un hilo de pescar es

deformado debido a fuerzas que se le aplican, haciendo colgar de

su extremo diferentes pesos. Durante esta práctica se trabajo un

poco más allá del límite elástico llegando a la zona plástica del

material. El sistema utilizado y este tipo de problemas ayudan a

los ingenieros a saber cuanta resistencia tiene un material

utilizado para diseños y verificaciones de aceptación de

materiales. Además se pretende calcular el modulo de Young

para este hilo mediante la medición directa de la deformación

causada por fuerzas variantes. Con todo esto se espera

comprobar que la ley de Hooke se adapta al comportamiento

esfuerzo-deformación unitaria de una gráfica. Tomando como

base teórica la ley de Hooke, el modulo de Young es decir,

elasticidad

2. Objetivos.

2

Conocer el comportamiento de un hilo de pescar aplicando

conocimientos teóricos de elasticidad

Proponer un modelo empírico que describa la relación

esfuerzo-deformación unitaria de la región elástica

Calcular el modulo de Young para este material

Predecir el valor de una masa.

3. Hipótesis.

Si el modulo de Young para este hilo es correcto, la masa

desconocida que se calculará tendrá que estar dentro del rango de

incerteza, de lo contrario y según el error presente en el modulo

representará una variante en el dato de M

El comportamiento de la región elástica en una grafica fuerza-

deformación, esta representada por una función lineal, si no se

sobrepasa el limite elástico. De lo contrario los puntos no se

distribuirán bien sobre la recta.

4. Marco teórico. Elasticidad

Cuando un objeto de somete a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de forma, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material.Cuando un peso jala y estira a otro y cuando sele quita este peso y regresa a su tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico.

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Elasticidad: Propiedad de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la deformación. Los materiales no deformables se les llaman inelásticos (arcilla, plastilina y masa de repostería).  Si se estira o se comprime más allá de cierta cantidad, ya no regresa a su estado original, y permanece deformado, a esto se le llama límite elástico. *Cuando se tira o se estira de largo se dice que está en tensión (largas y delgadas).*Cuando se aprieta o se comprime se dice que está en compresión (cortas y gruesas).

La plasticidad es la propiedad mecánica de un material, biológico o de otro tipo, de deformarse permanentemente e irreversiblemente cuando se encuentra sometido a tensiones por encima de su rango elástico, es decir, por encima de su límite elástico

En los materiales elásticos, en particular en muchos metales dúctiles, un esfuerzo de tracción pequeño lleva aparejado un comportamiento elástico. Eso significa que pequeños incrementos en la tensión de tracción comporta pequeños incrementos en la deformación, si la carga se vuelve cero de nuevo el cuerpo recupera exactamente su forma original, es decir, se tiene una deformación completamente reversible. Sin embargo, se ha comprobado experimentalmente que existe un límite, llamado límite elástico, tal que si cierta función homogénea de las tensiones supera dicho límite entonces al desaparecer la carga quedan

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deformaciones remanentes y el cuerpo no vuelve exactamente a su forma. Es decir, aparecen deformaciones no-reversibles.

Durante esta practica se realiza la deformación y conocer el comportamiento de una cuerda, sometida a fuerzas de tensión a través de masas que cuelgan de el

Siguiendo con el ejemplo de la cuerda a la cual le producimos un estiramiento mediante la aplicación de una fuerza, es inmediato suponer que dicho estiramiento L será proporcional a la longitud total de la cuerda L, a la fuerza aplicada F, e inversamente proporcional a la sección S. Podemos escribir por tanto:

, que como se ve cumple la ley de Hooke.

El valor de la constante E se deduce del caso particular en el que L=L y S=1, resultando

Es decir, E es la fuerza necesaria, por unidad de superficie, para producir un estiramiento de la cuerda igual a su longitud inicial. Esta constante, inversa de la que aparece en la ley de Hooke, recibe el nombre de módulo de Young (Thomas Young, 1733-1829) y nos da una idea bastante clara de la elasticidad del material.

En el tramo OH de la curva del apartado anterior, el módulo de Young es constante, y podemos escribirlo así:

  (5)

Puede observarse ya que la fuerza elástica de recuperación que puede proporcionarnos la cuerda no depende del alargamiento absoluto ni de la longitud total, sino de su cociente:

  (6)

5

El módulo de Young

También llamado módulo elástico longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza.

Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud, no disminuye. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés Thomas Young.

Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente con base al ensayo de tracción del material. Además de éste módulo de elasticidad longitudinal puede definirse en un material el módulo de elasticidad transversal.

Materiales lineales

Como se ha explicado para un material elástico lineal el módulo de elasticidad longitudinal es una constante (para valores de tensión dentro del rango de reversibilidad completa de deformaciones). En este caso su valor se define mediante el coeficiente de la tensión y de la deformación que aparecen en una barra recta estirada que esté fabricada en el material para el cual pretendemos estimar el módulo de elasticidad:

Donde:

Es el módulo de elasticidad longitudinal. Es la presión ejercida sobre el área de sección transversal del

objeto. Es la deformación unitaria en cualquier punto de la barra.

La ecuación anterior se puede expresar también como:

6

Por lo que dadas dos barras o prismas mecánicos geométricamente idénticos pero de materiales elásticos diferentes, al someter a ambas barras a deformaciones idénticas, se inducirán mayores tensiones cuanto mayor sea el módulo de elasticidad. De modo análogo, tenemos que sometidas a la misma fuerza, la ecuación anterior rescrita como:

Nos dice que las deformaciones resultan menores para la barra con mayor módulo de elasticidad. En este caso, se dice que el material es más rígido.

5. Diseño Experimental.

5.1. Materiales.

110 cm de hilo de pescar de diámetro ǿ = 0.30 mmUn soporte universalUna cinta de papelUna cinta métrica.Una balanzaUn juego de 6 masas con su soporte y una masa de 500g con su gancho

5.2. Magnitudes Físicas a Medir.

La longitud inicial sin esfuerzo y final del hilo de pescar sometido a esfuerzo

La masa m que cuelga del hilo

5.3. Procedimiento.

a) Armar el equipo (ver diagrama de diseño experimental, prense el soporte de masas.

b) Mida la longitud inicial de nudo a nudo del hilo de pescar

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c) Con el conjunto de masas arbitrarias circulares y la masa de 500g realice combinaciones hasta obtener 7 datos experimentales y una medida arbitraria.

d) Mida una masa, colóquela en el soporte de masas y mida la longitud final del hilo, repita hasta completar siete datos.

e) Tome una medida arbitraria y mida la longitud finalf) Realice una tabla de datos experimentales. Tomando en

cuanta la longitud inicial del hilo y la final en cada medida.g) Realice un gráfico esfuerzo vs. deformación unitariah) Realice otro gráfico que contenga dos rectas una mas

inclinada que la otra y tome dos puntos arbitrarios en cada recta una inicial y uno final

i) Proponga un modelo matemático σ = αЄ + bj) Tome la medida arbitraria y prediga la masa m, conociendo

la deformación unitaria. ∈= Lf−LoLo

puede con su model o

empirico σ = αЄ + b predecir cuanto es el esfuerzo σ=FA

siendo F=σA, se sabe que F=mg, de donde se obtiene

mg=σA y predecir la masa que cuelga m=σAg

siendo su

incerteza

∆ m=m(∆σσ )Con

∆ σ=∆α∈+α ∆∈+∆b

k) Compare el resultado con la masa ya conocida y establezca un criterio

l) Compare este valor con el calculado experimentalmente y verifique que se encuentra dentro del rango de incerteza.

m)Cual es el modulo de elasticidad de Young para este hilo de pescar.

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5.4. Diagrama del Diseño experimental.

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6. Resultados.

Longitud inicial del hilo de pescar = 0.82±0.001mIncerteza de la masa m = ±0.001kgDiámetro del hilo de pescar= 0.3mm = 0.0003m

Tabla 1.Datos experimentales

No.

Masa m(kg)

Longitud final(m)

Fuerza de tensión F(N)

Deformación Unitaria Є (m/m)

Esfuerzo σ (N/m2)

Incerteza ∆Є (m/m)

Incerteza ∆σ (N/m2)

1 0,12 0,87 1,176 0,06097561 16636996,72

7,43605E-05

138641,6393

2 0,294 0,88 2,8812 0,073170732

40760641,96

8,92326E-05

138641,6393

3 0,469 0,897 4,5962 0,093902439

65022928,84

0,000114515

138641,6393

4 0,644 0,931 6,3112 0,135365854

89285215,71

0,00016508

138641,6393

5 0,844 0,951 8,2712 0,159756098

117013543,6

0,000194825

138641,6393

6 1,044 0,983 10,2312 0,198780488

144741871,4

0,000242415

138641,6393

7 1,544 1,014 15,1312 0,236585366

214062691,1

0,000288519

138641,6393

Donde:

Fuerza de tensión FT =mg

Deformación Unitaria Є

ϵ= Lf−LoLo

Esfuerzo σ

σ= FA

Incerteza

∆ ϵ=ϵ ∆LoLo

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Incerteza

∆ σ=σ ∆ mm

Medida arbitraria:M=0.5kg±0.001kgLongitud final del hilo = 86.2±0.001m

Grafico 1Esfuerzo vs. Deformación Unitaria

0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

50000000

100000000

150000000

200000000

250000000

f(x) = 1007217601.84278 x − 39704433.0665444R² = 0.972882525784454

Esfuerzo vr. Deformación

σ

Є

Gráfico 2Linealización del gráfico

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0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

50000000

100000000

150000000

200000000

250000000

f(x) = 1007217601.84278 x − 39704433.0665444R² = 0.972882525784455

Esfuerzo vr. Deformación

σ

Є

Propuesta del modelo matemáticoσ=aϵ+b

Calculo de las constantes a y bRecta 1 (Є,σ)P1= (0.098,4.051x107)P2= (0.2283, 1.5977x108)

a1=σ2−σ 1

ϵ 2−ϵ 1

=1.5977 x108−4.051 x107

0.2283−0.098=915.274 x106

a1=915.274 x 106

La ecuación es

σ−σ1=a1(ϵ−ϵ 1)

Despejando σ

σ=a1 ϵ+b1

De donde

b1=σ1−a1 ϵ1=1.5977 x108−(915.274 x 106 ) (0.2283 )=−49.1870 x106

b1=−49.1870 x106

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Recta 2 (Є, σ)

P1= (0.099,3.65x107)

P2= (0.209,1.4879x108)

a2=1.4879 x 108−3.65 x107

0.209−0.099=1.0208 x 109

a2=1.0208 x109

b2=σ2−a2 ϵ 2=1.4879 x108− (1.0208x 109 ) (0.209 )=−64.5572x 106

b2=−64.5572 x106

Promediando resultados:

a=a1+a22

=915.274 x106+1.0208 x 109

2=1936.074 x106

a=1936.074 x106

Incerteza de a

∆ a=a1−a22

=915.274 x106−1.0208x 109

2=52.763 x106

b=b1+b22

=−49.1870 x106−64.5572x 106

2=−56.8721 x106

b=−56.8721 x106

Incerteza de b

∆ b=b1−b22

=−49.1870x 106−64.5572x106

2=−7.6851x 106

Propuesta del modelo matemático:

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σ=aϵ+b

σ=1936.074 x106 ϵ−56.8721x 106

Incerteza ∆ σ=∆aϵ+a∆ϵ+∆b

Predicción de la masa m arbitrariaM=0.5kg±0.001kg (experimental)Longitud final del hilo = 0.872±0.001m

A=( π4 )d2=( π4 )(0.003)2=70 .6858 x10−9m2

ϵ= Lf−LoLo

=87.2−8282

=0 .0634m /m

σ=1936.074 x106 ϵ−56.8721x 106=1936.074 x 106 (0.0634 )−56.8721x 106

σ=65 .9033 x106 N /m2

Incerteza∆ σ=∆aϵ+a∆ϵ+∆b

∆ σ=(52.763 x 106 ) (0.0634 )+( 1936.074 x106 ) (0.001 )+7.6851 x106

∆ σ=12.9671 x106

La masa es

m=σAg

Donde:

σ=65.9033 x106 N /m2

A=70.6858x 10−9m2

g=9.8m/s2

m=( 65.9033 x106N

m2 )(70.6858 x10−9m2)

9.8m /s2=0.475 kg

Su incerteza

∆ m=m(∆σσ )=0.475( 12.9671 x106

65.9033 x106 )=±0.09kg

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Comparación de la masa con la masa ya conocida

Valor calculado experimentalmente

Valor obtenido teóricamente

0.5kg±0.001kg 0.475±0.09kg

Diagrama de comparación de las masas

0.5kg±0.001kg0.475±0.09kg

{ 0.475kg { 0.50kg } }

0.385kg 0.499kg 0.501kg

0.565kg

Dato Teórico Dato Experimental

El modulo de Young para este hilo es de 1936 .074 x106N /m2según la ecuación empírica propuesta.

7. Discusión de Resultados.

La grafica describe el comportamiento del hilo hasta la zona

plástica, ya que cuando se tomo la ultima medida, este ya no

regreso a su forma original, sino que quedo deforme lo cual quiere

decir que esta en su zona plástica

Como puede notarse en los resultados anteriores, el esfuerzo es

muy grande en comparación del área deformada.

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La masa que se logra predecir no es la que se esperaba aunque

aplicando su incerteza llega al valor de la masa conocida

experimentalmente, aunque este fuera del rango de incerteza del

dato experimental. Esta vez se debe a que se esta trabajando con

valores demasiado grandes, por ello se tenia q usar exponentes

los cuales no siempre son los adecuados ya que no es lo mismo

escribir 1.56x109 que 156.256x107, estos pequeños cambios

afectan en gran manera nuestro resultado final.

El modulo de Young para este hilo quiere decir que el hilo es muy

rígido

La ultima medida tomada, sobrepaso el límite elástico, por ello los

puntos no se distribuyen bien sobre la grafica.

8. Conclusiones.

El hilo tiene una gran zona plástica, ya que el hilo no se rompió

cuando se le aplico una gran tensión

Al trabajar con cifras ya sea muy pequeñas o muy grandes, se

debe tener cuidado al hacer las aproximaciones y al usar

exponentes y puntos decimales, ya que, como en este caso, al

momento de proponer un modelo matemático que describa el

comportamiento de algún material, puede provocarnos fallas y

desviaciones muy grandes, como es el caso del modelo empírico

propuesto en esta practica.

Según el modulo de Young, este material es muy rígido y tiene un

valor de 1936 .074 x106N /m2

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La masa teórica es una subestimación de la masa real conocida,

esta fuera del rango de incerteza del valor experimental, lo cual

quiere decir que la practica debe repetirse, tomando en cuenta

que no debe sobrepasar la región plástica porque quedara

completamente deformado y tampoco estirara mas si le aplicamos

mas peso, lo único que podría pasar es que se rompa.

9. Fuentes de consulta.

9.1. Fuentes Bibliográficas.

Izquierdo, Cesar. “Manual de laboratorio de física Uno” Depto. de

física. Universidad de San Carlos de Guatemala (pág. 40-46)

Giancoli, C. Douglas. “FÍSICA, Principios con aplicaciones” Sexta

edición. Pearson Education. México 2006 (pág. 236-239)

9.2. Fuentes Electrónicas.

Grupo Wikipedia “plasticidad” Consultado el 19/3/10. Disponible

en

http://es.wikipedia.org/wiki/Plasticidad_%28mec

%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos%29

17

Grupo wikipedia “Modulo de Young” Consultado el 17/3/10.

Disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/M

%C3%B3dulo_de_elasticidad