repaso 1º bach ccss - …ticas aplicadas a las ccss i curso: 2008-09 3 tema 1: “nÚmeros...

TEMA 1:

“NÚMEROS RACIONALES Y OPERACIONES”

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I CURSO: 2008-09

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TEMA 1: “NÚMEROS REALES Y OPERACIONES” 1. Introducción

2. Los conjuntos numéricos N, Z y Q. Su representación gráfica.

3. Los números irracionales (I):

3.1. Algunos irracionales interesantes

3.2. Representación en la recta real.

4. Los números reales (R):

4.1. El conjunto de los números reales

4.2. Representación sobre la recta

4.3. Orden en R

4.4. Intervalos y semirrectas. Unión e intersección.

4.5. Valor absoluto.

4.6. Aproximación decimal de un número decimal.

Estimación, redondeo y errores.

4.7. Potenciación.

4.8. Radicales:

4.8.1.Radicales equivalentes

4.8.2.Propiedades, operaciones, racionalización

4.9. Notación Científica

4.10. Logaritmos


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TEMA 1: “NÚMEROS RACIONALES Y OPERACIONES” 1. Explica si cada frase es verdadera o falsa:

a. Todo número entero es racional b. Hay números irracionales que son enteros c. Todo número irracional es real d. Algunos números enteros son naturales e. Hay números decimales que no pueden ser expresados como una

fracción f. Todos los números decimales son racionales g. Entre dos números enteros hay siempre otro número entero h. Entre dos números racionales siempre hay infinitos número racionales i. Los números racionales llenan la recta.

2. Expresa en forma de fracción y efectúa la operación indicada: =− ......355555'0....434343'1

3. Inventa dos números irracionales dados en forma decimal. 4. Observa la figura y justifica que si AB=AC=1 entonces BD= 5. Expresa con una desigualdad, con un intervalo y gráficamente “x es un número

mayor o igual que -3 y menor que 5” 6. Escribe con intervalos y representa gráficamente los siguientes conjuntos

numéricos: a. Números mayores que 3 b. { }52/ <≤ xx c. { }73/ ≤≤ xx d. Números menores que 1 excluyendo el 0. e. { }4/ 2 ≥xx

7. Representa gráficamente los siguientes intervalos: a. ( )1,3 −− b. ( ]9,3 c. [ )+∞,4 d. ( )0,∞−

8. Representa gráficamente los siguientes conjuntos: a. { }52/ <≤− xx b. [ ) ( ]7,55,2 ∪− c. ( ) ( )+∞∪∞− ,30, d. ( ) ( )+∞∪∞− ,11,


4

9. ¿Cuál es el menor número real perteneciente al intervalo [ )5,2 ? 10. Halla el valor absoluto de:

a. 7’4 b. 0 c. -5’87 d. 9 e. 31−

11. ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes igualdades? a. 3=x

b. 0=x

c. 3=x

12. ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades? a. 3<x

b. 3≥x

c. 32 ≤−x 13. Explica cuáles son los números que cumplen cada una de estas expresiones:

a. 5=x

b. 31 =+x

c. 4≤x

d. 10>x

14. Halla los siguientes valores absolutos:

=−11 =0 =− 21 =π =−π3

=− 32 =− 5 =− 23 =− 507

15. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

a. 5=x

b. 5≤x

c. 24 =−x

d. 24 ≤−x

e. 24 >−x

f. 54 >+x


5

16. Si ℜ∈x , explica si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones:

a. 2x es siempre positivo o nulo. b. 3x es siempre positivo o nulo. c. 3 x sólo existe si 0≥x d. 1−x es negativo si lo es x e. 2x− es siempre negativo.

17. ¿Es posible que una potencia de exponente negativo sea igual a un número entero? Acláralo con un ejemplo.

18. Simplificar: a. =12 9x b. =6 8

c. =12 8x d. =9 64

e. =5 10y

f. =8 81 19. Explica cuál es mayor: 4 31 o 3 13 20. Reduce a índice común:

a. 18 712 5 xyx b. 93 13265051 y

21. Simplifica:

a. 8

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x

b. 5 3 10x

22. Reducir: a. =⋅ 53 22 b. =⋅ 63 39 c. =⋅⋅ 84 222

23. Simplificar:

=3

5

xx =

3 2

6 3

aa =

⋅⋅

3 baba =

⋅⋅

⋅⋅33

4 55

cbacba

24. Reduce:

=3

33 2

=3 3

9 =2

165


6

25. Suma y simplifica:

a. =++ xxx 235 b. =−⋅+⋅ 222529 c. =−−+ 825018 d. =++− 8125027

26. Racionalizar y simplificar:

a. =7

5

b. =3 43

c. =37

d. =3

1a

e. =503

f. =184

g. =3 25

2

h. =+12

1

i. =− 5321

j. =++

yxyx

k. =+

+−

+12

112

12

1

l. =− 357

m. =−−

11

aa


7

27. Efectúa las siguientes operaciones utilizando las potencias y sus propiedades:

a. ( )( )

=−⋅

−⋅⋅−

−

32

835

1218362

b. =⋅⋅ −

aaa 14 23 2

28. Opera y simplifica:

a. =+−185

25032

b. =⋅⋅ 3 28 baab 29. Realiza las siguientes operaciones expresadas en notación científica y devuelve el

resultado en notación científica: a. ( ) ( ) =⋅⋅⋅ 86 103'61024'5

b. =⋅⋅

−8

6

103'61024'5

c. =⋅+⋅−⋅ 12109 10932'6105'71083'5

30. Calcula en notación científica sin usar la calculadora: a. ( ) =⋅⋅ 12105'00002'0:800000 b. =⋅−⋅+⋅ −−− 795 106109310486'0

31. Opera con la calculadora y expresa el resultado en notación científica: a. ( ) ( ) =⋅÷⋅⋅⋅ −− 6915 10941'31096'51087'3 b. =⋅−⋅+⋅ −−− 91010 1042'11064'71093'8

32. Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica:

a. =⋅

⋅⋅⋅5

73

108'1102'41012'5

b. =⋅+⋅−⋅ 15163 103'5107104

33. Hallar los siguientes logaritmos: a. =81log3 b. =01'0log c. =2'0log5 d. =125'0log2

34. Sabiendo que 5'3log2 =A y 4'1log2 −=B calcular:

a. =⋅4

log2BA

b. =⋅

3

21

22log

BA


8

35. Hallar con la calculadora:

a. =80log5 b. =100log12 c. =1500log2 d. =200log100 e. =200log5 f. =40log100

36. Halla: a. =16log2 b. =1log9 c. =64log4 d. =4ln e e. =04'0log5 f. =25'0log2 g. =1'0log h. =49log7

37. Calcula el valor de la x en cada apartado: a. 2log7 −=x b. 216log =x c. 125log =x d. 1733 =x

38. Expresa como un solo logaritmo: =−+ dcb lnln2ln


9

TEMA 2:

“POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS”


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TEMA 2: “POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS” 39. Calcular:

a. ( ) ( ) =+⋅++ 112 xxx

b. ( ) ( ) =−−⋅−+− 323253 223 xxxxx

c. ( ) ( ) =−+⋅+− 1213 23 xxxx

d. ( ) ( ) =−+⋅++− 2213 3234 xxxxx

40. Calcula: a. ( ) =++

22 1xx

b. ( ) =− 21x

c. ( ) =+ 31x

d. ( ) ( ) =−⋅+ xxxx 33 22

41. Un polinomio A(x) es de tercer grado y un polinomio B(x) es de segundo grado. ¿Cuál es el grado del polinomio )()( xBxA ⋅ ?

42. Calcular el producto de los polinomios 3253)( 34 +−+= xxxxP y

32)( 2 +−= xxxQ 43. Efectuar:

( ) ( ) =−⋅+ 136 22 xx

44. Desarrolla y simplifica esta expresión: ( ) ( )( )( ) =−−+−− 3111 3 xxxx

45. Dividir 3253)( 34 +−+= xxxxP entre el polinomio 23)( 2 +−= xxxQ 46. Dividir xxxxP 256)( 35 −−= entre el polinomio xxxQ 3)( 2 += 47. Calcula el cociente y el resto de la división:

( ) ( ) =−−+−+−+ 133:587796 22345 xxxxxxx 48. En una división de polinomios, el dividendo es de grado cinco y el divisor de grado

dos. ¿Cuál es el grado del cociente? ¿Qué puedes decir del grado del resto?


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49. Un polinomio A(x) es de grado 4 y otro B(x) es de grado 3.

a. ¿Cuál será el grado de )()( xBxA ⋅ ? b. ¿Y el grado de A(x) entre B(x)? c. ¿Cuál puede ser el grado del resto de la división )(:)( xBxA ?

50. Responde a las siguientes preguntas: a. ¿Cuánto han de valer a y b para que la siguiente división sea exacta?

( ) ( ) =+−+++− 15:35 2234 xxbaxxxx b. ¿Cuánto ha de valer a y b para que el resto de la división sea 3x-7?

51. Calcula el valor numérico del polinomio 4875)( 2345 −+−−+−= xxxxxxP cuando la x toma los valores:

a. -5 b. -2 c. 3 d. -3

52. Expresa el resultado de las siguientes divisiones en la forma drc

dD

+=

a. =++

69

xx

b. =++++

2252

2

2

xxxx

c. =+

+−+2

2543 23

xxxx

53. Efectúa las siguientes divisiones y escribe el cociente y resto de cada una:

a. ( ) =+−+− 1:)52( 34 xxxx b. ( ) ( ) =+−+ 1:1 23 xxx

54. Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios:

a. ( ) ( ) =+++− 1:423 23 xxxx b. ( ) ( ) =+−+−−+ 3:2545145 2345 xxxxxx c. ( ) ( ) =−−− 3:8152 3 xxx d. ( ) ( ) =+++ 1:124 xxx

55. Calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando la Regla de Ruffini:

a. ( ) ( ) =−−−+ 2:352 34 xxxx b. ( ) ( ) =−− 2:325 xx c. ( ) ( ) =++−+ 1:3544 23 xxxx d. ( ) ( ) =−−−+ 1:5.45'35'15'2 23 xxxx

e. =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−+−

25:)4

31

32( 23 xxxx


12

56. Si la división )2(:)( −xxP es exacta, ¿qué puedes afirmar del valor de P(2)? 57. Si 3)5( =−P , ¿cuál será el resto de la división )5(:)( +xxP ? 58. Sin hacer la división hallar el resto de dividir 2725)( 234 −+−= xxxxP entre

3−x (Solu: 412) 59. Calcula el valor de k para que la división ( ) ( )2:1252 234 +−+− xkxxx sea exacta. 60. Calcular utilizando las identidades notables:

a. =+ 22 )2( xx b. ( ) =− 226 yx c. ( ) ( ) =−⋅+ xxxx 2424 33

d. ( ) =+322 xx

e. ( )( ) =−+ 22 22 xxxx

f. =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

2272

23 xx

61. ¿Son x=1 y x=-1 raíces del polinomio 16205)( 34 −−+= xxxxP ? 62. Descomponer en factores este polinomio:

121274)( 234 +−+−= xxxxxP 63. Factorizar el siguiente polinomio:

502527)( 234 +−−+= xxxxxH 64. Factorizar el polinomio xxxxP 2)( 23 −+= .

(Solu: ( )( )12)( −+= xxxxP ) 65. Factorizar el polinomio 4242)( 23 −−+= xxxxP .

(Solu: ( )( )( )1122)( +−+= xxxxP )

66. Descomponer en factores los siguientes polinomios y decir cuáles son sus raíces: a. 234 48243)( xxxxP +−= ( ( ) .43: 22 −xxSolu Las raíces son x=0 y x=4) b. 43)( 24 −−= xxxQ ( ( )( )( ).122: 2 ++− xxxSolu Las raíces son x=2 y

x=-2)

c. 26)( 2 −+= xxxH ( .32

216: ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xxSolu Las raíces son x=1/2 y

x=-2/3) d. 632)( 23 −−+= xxxxP ( ( )( )( ).332: +−+ xxxSolu Las raíces son x=-2,

x= 3 , x=- 3 )

67. Escribir un polinomio que tenga por raíces -2, 5, 3, -1. 68. Hallar las raíces del polinomio xxxxP 34)( 23 ++= . (Solu: x=0, x= -1, x= -3 )


13

69. Descomponer en factores el siguiente polinomio 6032118 234 −++− xxxx .

( ( ) ( ) ( ) ( ))5322. −⋅−⋅+⋅− xxxxSol 70. Calcula las raíces en cada caso:

a. 962 +− xx b. xx 32 + c. xx 32 2 − d. xx 43 −

71. ¿Cuánto debe de valer k en cada caso para que la división sea exacta? a. ( ) ( )3:205 23 −+−+ xkxxx b. ( ) ( ) =−++ 1:12 2 xkxx

72. Razona por qué x-1, x+1, x+5, x-5 son, en principio, posibles divisores del polinomio 252523 +−− xxx

a. Razona por qué x-3 no puede serlo b. Descomponer en factores el polinomio

73. Descomponer el polinomio 142558)( 2345 −+−−+= xxxxxxP . ( ) ( ) ( )7521)(.( 22 ++⋅−⋅−= xxxxxPSol

74. ¿Cuáles de estos polinomios son irreducibles?

a. 12 −x b. 92 −x c. 52 −x d. 12 +x e. 52 +x f. 442 ++ xx g. 442 +− xx h. 342 +− xx

75. Calcular el m.c.m. y el m.c.d. de cada pareja de polinomios: a. 4)( 2 −= xxP 44)( 2 +−= xxxQ b. 234 127)( xxxxP +−= 345 43)( xxxxQ −−= c. 133)( 23 −+−= xxxxP 1464)( 234 +−+−= xxxxxQ

76. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

a. xx

x+−

3

4 1 )1.(2

xxSol −

b. xxx

x96

323 ++

+ ( ))31.(+xx

Sol

77. Efectúa:

=−

−+

+− 11

21

12 x

xx

xx


14

78. Efectúa:

( ) =+−

−+−

++

112

127

xx

xxx

xx

xxxxSol

+++−

2

2 510.

79. Calcular:

=−−

−−

++

− 645

22

3 2 xxx

xx

xx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−6493. 2

2

xxxxSol

80. Opera:

a. =−−

⋅+−

31

232

xx

xx

633. 2

23

−−+−−

xxxxxSol

b. =−

−+−

2

2 23:1

22xx

xxx

25322. 2

34

+−+−

xxxxxSol

81. Efectuar:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⋅

31:

11

2

2 xx

x 22

3. 2

2

−xxSol

82. Opera:

( )=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−− 1

:1

41

422 xx

xxx ( )

( )114.

−+

xxxSol


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TEMA 3:

“ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS”


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TEMA 3: “ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS”

83. Resolver la ecuación 0432 =−− xx y representar la parábola 432 −−= xxy 84. Resolver la ecuación 0753 2 =+− xx y representar la parábola 753 2 +−= xxy 85. Representa las siguientes parábolas:

a. 462 ++−= xxy

b. 442 +−= xxy

c. 652 2 +−= xxy

d. 322 2 −+−= xxy

86. Resolver estas ecuaciones: a. 0753 2 =−x

b. 057 2 =+ xx

c. 0407 2 =−x

d. 0102 2 =+x

e. 054 2 =− xx

f. 094 2 =+x

g. 0273 2 =−x

h. 094 2 =−x

87. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a. 6

12323

22 −+=−

xxx

b. 12

714

13

2 22 +−=

+−

+ xxx

c. xxxxx 32)4)(4()3( −=−++− d. ( ) ( )( )11112 2 −++=+ xxx e. ( ) ( ) 15143 =−−+ xxxx

f. ( ) ( ) 012

4314

13

=+

++⋅−−⋅xxxxx

88. Resolver las siguientes ecuaciones incompletas de 2º grado sin aplicar la fórmula general:

a. ( ) ( ) ( ) 20321 2222 −++=−−+ xxxx

b. 6

1544

32

52 222 +−=

+−

+− xxxxxx

c. 3

22

12

353

13 22 +−

−=

+−

+ xxxx


17

89. Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas: a. 0910 24 =+− xx Sol: 3,3,1,1 4321 =−==−= xxxx

b. 032 24 =−− xx Sol: 3,3 21 =−= xx

c. 010029 24 =+− xx

d. 08118 24 =+− xx

90. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales: a. xx =+− 132 Sol: x=2

b. 3532 2 +=++ xxx

c. 31452 −=++ xxx

d. 5542 =++− xx Sol: x=4

91. Resolver las siguientes ecuaciones factorizando previamente: 023 23 =+− xxx Sol: 2,1,0 321 === xxx

011188 234 =−+− xxxx Sol: 2

57,2

57,1,0 4321−

=+

=== xxxx

92. Resolver las siguientes ecuaciones factorizando previamente: a. 037 23 =+− xxx

b. 01892 23 =+−− xxx

c. 064 234 =++− xxxx

d. 018911 234 =++−− xxxx

93. Tres amigos cobran 756€ por realizar un trabajo. El primero ha dedicado el trabajo 12 horas, y el tercero, que ha dedicado el doble de horas que el segundo, ha cobrado 360€. ¿Cuántas horas y cuánto dinero corresponde a cada uno?

Solu: 1º 12 horas y 216 € 2º 10 horas y 180 € 3º 20 horas y 360 €

94. Interpretar y resolver gráficamente estos sistemas:

a. ⎭⎬⎫

=+−=−+

0301623

yxyx

Sol: (2,5)

b. ⎭⎬⎫

=++−=

82452

yxxxy

Sol: (-1, 10) y (4,0)

c. ⎭⎬⎫

=++−=

1442

yxxxy

Sol: No tiene


18

d. ⎭⎬⎫

=−−=+−

02230623

yxyx

Sol: No tiene

e. ⎭⎬⎫

=−+=−−08

0523yx

yx

f. ⎭⎬⎫

=−−−−=

06262

yxxxy

95. La nota media de matemáticas en la clase de 1ºA es 5’4 y en la clase de 1ºB es 6’4. ¿Cuántos estudiantes hay en cada grupo si en total son 50, con una media de 5’88?

Sol: 1ºA tiene 26 estudiantes; 1ºB tiene 24

96. Resolver por el método de sustitución:

⎪⎭

⎪⎬⎫

=++

=−

xyyx

yx 92 Sol:

211536

22

11

==

==

yxyx

97. Resolver los siguientes sistemas:

a. ⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

+=

012

yx

x

xy Sol:

4211

22

11

==

=−=

yxyx

b. ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=+−=+−

117532

4352

zyxzyx

zyx Sol: x=5 y=0 z=-2

98. Resolver el siguiente sistema:

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

=

)18(208'4

1 2

te

te Sol:

10807212024

22

11

==

==

etet

99. Resolver el siguiente sistema:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+

=+

−+

561

359

11

11

yx

yx Sol:

16'74'8

6'061'0

22

11))

))

==

==

yx

yx


19

100. Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres más oportuno:

a. ⎪⎭

⎪⎬⎫

−=+−+

=+−

24

033

yxyx

yx

b. ⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

=+

2

43

xyyx

x

c. ⎪⎭

⎪⎬⎫

=+

=−+

5

1

yxxyyx

d. ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=+=+

4243

yxzxyx

101. Resolver las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita:

a. 712 <+− x

b. 1023 ≤+x

c. 15 >−x

102. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones lineales:

a. ⎭⎬⎫

≥+<−

042093

xx

[ )3,2: −Sol

b. ⎭⎬⎫

>−≤+151023

xx

c. ⎭⎬⎫

≤+≥−

1513652

xx

103. Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas gráficamente:

a. 0452 ≤+− xx

b. 0452 <+− xx

c. 0452 ≥+− xx

d. 0452 >+− xx

e. 0752 ≤+− xx

f. 0752 ≥+− xx

g. 0432 <−− xx

h. 0432 ≥−− xx


20

104. Resuelve los sistemas:

a. ⎭⎬⎫

<−≤+−

0930452

xxx

b. ⎭⎬⎫

>−≥−−

5720432

xxx

105. Resolver las siguientes inecuaciones lineales con dos incógnitas:

a. 6≤+ yx

b. 623 −≥− yx

c. 623 ≥+ yx

d. 01≥+− yx

106. Un polinomio A(x) es de tercer grado y un polinomio B(x) es de segundo grado.

¿Cuál es el grado del polinomio )()( xBxA ⋅ ?


21

TEMA 4:

“ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL”


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TEMA 1: “ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL”

107. Indica cuál es la población y la variable estadística de cada uno de los siguientes

estudios estadísticos. Señala, además, de qué tipo es la variable estadística: a. Preferencias deportivas de los compañeros/as de tu clase b. Tiempo medio invertido por los trabajadores españoles en desplazarse

desde su domicilio hasta el centro de trabajo c. Número de veces, en un año, que asisten al teatro los habitantes de tu

municipio

108. En un estudio estadístico cuya población son todos los ciudadanos españoles, se selecciona una muestra entre los habitantes de cinco comunidades autónomas. ¿Crees que es representativa esta muestra?

109. Indica 3 variables estadísticas discretas y 3 continuas que se pueden considerar

en el conjunto de alumnos/as de tu clase. 110. Un equipo de baloncesto en 20 partidos ha anotado los siguientes puntos:

80, 101, 92, 80, 110, 83, 101, 75, 80, 107, 75, 85, 80, 110, 101, 92, 85, 110, 85, 80 Construye la tabla de frecuencias para esta variable cuantitativa discreta

111. Las calificaciones obtenidas por un grupo de 49 alumnos en un examen son: 4’3, 7’2, 4’7, 6’5, 6’7, 4, 5’9, 5’8, 1’4, 3’2, 5’8, 4’6, 4’1, 3’5, 6’8, 5, 5’9, 2’1, 4’2, 4’5, 4’1, 4’8, 2’8, 4’7, 7’7, 6’0, 3, 5’7, 4’5, 4’9, 3’3, 4’8, 4’7, 7’7, 6, 3, 5’7, 4’5, 4’9, 3’3, 4’8, 4’7, 5’2, 3’8, 6’1, 3, 5’5, 4’4, 6. Construye la tabla de frecuencia de esta variable cuantitativa continua.

112. Representa los datos del ejercicio 4 mediante un diagrama de barras. 113. Representa los datos del ejercicio 5 mediante un histograma y traza el polígono

de frecuencias. 114. La siguiente tabla recoge la distribución de alumnos/as del curso 2006/07 en los

diferentes niveles: Enseñanza Alumnos/as

Infantil 1142981Primaria 2478256Secundaria 1942311Bachillerato y FP 1228130Universidad 1590000

Elabora el diagrama de sectores correspondiente. 115. Calcula la moda, la media aritmética y la mediana para los datos del ejercicio 4. 116. Calcula la moda, la media aritmética y la mediana para los datos del ejercicio 5.


23

117. El número de faltas de ortografía cometidas por 40 alumnos/as de 1º Bachillerato

en un dictado se muestra en la siguiente tabla. Calcula la moda, la media aritmética y la mediana.

Número de Faltas 0 1 2 3 4 5 6

Número de alumnos/as 7 9 13 6 3 1 1

118. La siguiente tabla refleja la medida del tórax de un grupo de varones adultos.

Calcula la moda, la media aritmética y la mediana.

Medida del tórax (cm) Número de individuos [80,85) 9 [85,90) 91 [90,95) 509 [95,100) 937 [100,105) 694 [105,110) 201 [110,115) 31 [115,120) 2

119. Calcula el recorrido, la desviación media, la varianza y la desviación típica para

los datos del ejercicio 4. 120. Calcula la desviación media, la varianza y la desviación típica para los datos del

ejercicio 5. 121. El número de pisos habitados de cierta comunidad autónoma, así como su

correspondiente superficie, se expone en la siguiente tabla. Calcula la varianza y la desviación típica.

Superficie (m2) Nº pisos habitados (miles)

[0,30) 30 [30,60) 486 [60,90) 1036 [90,120) 350 [120,150) 92 [150,180) 36 [180,210) 21 [210,240) 12 [240,270) 8 [270,300) 6

122. Calcula Q1, Q3, y P32 considerando los datos del ejercicio 4.


24

TEMA 5:

“ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL”


25

TEMA 2: “ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL”

123. En cada caso indica:

Cuáles son las variables que se relacionan Si se trata de una relación funcional o de una relación estadística El signo de la correlación

a. Renta mensual de una familia y gasto en electricidad b. Litros de lluvia recogidos en una ciudad y tiempo dedicado a ver la

televisión por sus habitantes c. Peso del alumnado de bachillerato y número de calzado que usan d. Toneladas de tomate recogidas en una cosecha y precio del kg de tomate

en el mercado. 124. La tabla muestra cómo se ordenan entre sí diez países, A, B, … según dos

variables, R.P.C. (renta per cápita) e I.N. (índice natalidad). Representa los resultados en una nube de puntos, traza la recta de regresión y di cómo te parece que es la correlación.

País A B C D E F G H I J

RPC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

IN 10 6 9 5 7 4 1 3 6 2

125. La tabla muestra los resultados que se hab obtenido al medir la temperatura (en

ºC) y la presión atmosférica ( en mmHg) durante siete días en una ciudad. a. ¿Es una distribución bidimensional? ¿Qué variables se relacionan? b. ¿Es una relación estadística o funcional?

ºC 15 16 17 20 18 16 12 mmhg 800 810 800 820 810 780 750

126. La tabla muestra la nota de un examen de matemáticas de 10 estudiantes, las

horas dedicadas a su preparación, las horas que vieron la televisión los días previos al examen y el peso de cada uno. Estudia gráficamente la correlación entre la nota y cada una de las otras tres variables.

Nota 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 Horas estudio 3 5 7 12 5 7 11 12 15 14

Horas TV 18 12 14 10 6 8 6 5 8 4

Peso (kg) 60 54 70 68 59 72 70 65 72 64


26

127. Traza, aproximadamente, la recta de regresión en cada una de estas distribuciones bidimensionales:

a. ¿Cuáles de ellas tienen correlación + y cuáles -? b. Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la expresión

analítica de la función que relaciona las dos variables? c. Ordena de menor a mayor las correlaciones.

128. Razona cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta. Si la pendiente de una

recta de regresión es negativa: a. La correlación es muy débil b. La correlación es muy fuerte c. La correlación es inversa d. La correlación es directa


27

129. No es un ejercicio, es sólo para que observes las diferencias:


28

130. Dada la información recogida en la siguiente tabla:

Alumno/a A B C D E F G H I J K L Matemáticas 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 10 10 Física 1 3 2 4 4 4 6 4 6 7 9 10 Calcular la correlación entre las variables nota en Matemáticas, X, y nota en Física, Y. Para ello deberás calcular previamente .,,,, xyyxyx σσσ

:Sol

94'0

92'558'2

45'25

6

=

=

===

=

r

y

x

xy

y

x

σ

σσ

Es una correlación muy fuerte, muy próxima a 1 131. Calcula el coeficiente de correlación entre las variables x, y de la tabla siguiente,

siendo: X: gastos en publicidad de un producto en miles de € Y: ventas conseguidas en miles de €

X 1 2 3 4 5 6 Y 10 17 30 28 39 47

:Sol

97'0

75'20

45'1271'15'28

5'3

=

=

===

=

r

y

x

xy

y

x

σ

σσ

Es una correlación muy fuerte, muy próxima a 1

132. La cotización en bolsa (en cientos de euros) de los dos valores Minerocat (X) y Construcat (Y) a lo largo de 6 días de sesión son los siguientes:

Calcula el coeficiente de correlación e interpreta el resultado.

X 8 7 6 5 7 8 Y 6 5 4’5 4 4’5 5


29

:Sol

835'0

559'0

626'0069'1833'4

833'6

=

=

===

=

r

y

x

xy

y

x

σ

σσ

Una correlación lineal positiva fuerte por su proximidad al 1, lo que se interpreta como que ambos valores cotizan a la alza o a la baja simultáneamente. 133. Indica cuál es la correlación correspondiente a cada una de las nubes de puntos y

explica por qué:

r=0’95 r=-1 r=0 r=-0’63

134. Indica cuáles de las correlaciones dadas se corresponden con las nubes de puntos

de las figuras y explica por qué.

r=0’7 r=-0’98 r= -0’001 r=1

135. Asocia razonadamente las siguientes rectas de regresión con las nubes de puntos

de las figuras: a. 102 +−= xy b. 4+= xy


30

c. 231

+x

La recta “a” corresponde a la nube de puntos de la gráfica “b”, puesto que tiene

pendiente negativa y ésta es la única gráfica en la que se aprecia una correlación negativa.

La recta “b” tiene pendiente positiva y por tanto puede corresponder a la nube de puntos de las gráficas “a” o “c”. Sin embargo, que la pendiente de la gráfica “c” es más acusada que la de la gráfica “a”. Luego la recta “b” corresponde a la gráfica “c”. Y la recta “c” a la gráfica “a”.

136. Asocia razonadamente las siguientes rectas de regresión con las nubes de puntos

de las figuras: a. 5+= xy b. 4+−= xy c. 2=y

137. Hemos calculado las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y en una

distribución bidimensional, obteniendo las expresiones siguientes: a. 1'016'0 −= xy b. 77'844'5 += yx ¿Cuál es el coeficiente de correlación de la distribución? Sol: r=0’9333


31

138. Las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y de una distribución

bidimensional son las siguientes: a. 88'591'0 −= xy b. 24'1385'0 += yx ¿Cuál es el coeficiente de correlación de la distribución? Sol: r=0’879

139. A partir del ejercicio 10, calcula la recta de regresión de Y sobre X, y la de X sobre Y, y responde a las siguientes cuestiones:

a. La cotización en bolsa de Minerocat alcanza el valor de 9 en un cierto día. ¿Qué cotización en bolsa cabe esperar que alcance el valor Construcat?

b. En otra ocasión, la cotización en bolsa de Construcat alcanza un valor de 3’5. ¿Qué cotización en bolsa cabe esperar que alcance el valor Minerocat?

Sol a): 6892'5)9(ˆ491'1489'0

≅=+=

yxy

Sol b): 5934'4)5'3(ˆ

061'0427'1≅=

−=x

yx

140. Una asociación dedicada a la protección de la infancia desea estudiar la relación entre la mortalidad infantil en cada país y el número de camas de hospital por cada 1000 habitantes. Para ello, posee los siguientes datos sobre 10 países concretos que pueden considerarse representativos del resto, donde X representa el números de camas por cada 1000 habitantes e Y representa el tanto por ciento de mortalidad infantil. Se pide:

a. Hallar el coeficiente de correlación b. Para un país que tiene 150 camas, ¿qué índice de mortalidad se espera?

X Y 50 5 100 2 70 2’5 60 3’75 120 4 180 1 200 1’25 250 0’75 30 7 90 3

Sol a):

82'0

125'10587'159'68

%025'3

1000115

−=

−=

===

=

r

mortalidady

hporcamasx

xy

y

x

σ

σσ


32

Sol b): 29'2)150(ˆ

59'5022'0=

+−=y

xy

141. Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre el

número de conciertos dados durante el verano por 15 grupos musicales y las ventas de discos de estos grupos (expresados en miles de discos CD), obteniendo:

CD Conciertos [10,30) [30,40) [40,80)

[1,5) 3 0 0

[5,10) 1 4 1

[10,20) 0 1 5

a. Calcular el número medio de CD vendidos por estos grupos b. ¿Cómo es el grado de dependencia del número de conciertos dados por el

grupo y el número de discos vendidos? c. Obtener la recta de regresión que explica la dependencia anterior. d. Si un grupo musical ha vendido 18000 CD, ¿qué número de conciertos es

previsible que dé? Sol a): X = Nº CDs vendidos Y= Nº conciertos

Transformar la tabla de doble entrada en una simple, sustituyendo cada intervalo por su marca de clase. 6'9=x Número medio es de 9’6 miles de CDs = 9600 CDs

Solu b):

81'0

4'63

55'167'4

416'9

=

=

==

==

r

yx

xy

y

x

σ

σσ

Una correlación + y alta.

Sol c): 45'1387'2 += xy Solu d): conciertosy 65)18(ˆ =


33

TEMA 6:

“DISTRIBUCIÓN PROBABILIDAD DISCRETA: BINOMIAL”


34

TEMA 3: “DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA: BINOMIAL”

3.- Sea el experimento lanzar un dado en forma de dodecaedro y observar la puntuación de la cara superior. Define por extensión los siguientes sucesos asociados al experimento: A= Obtener un número par B= Obtener un 8 C= Obtener un 15 D= Obtener un número impar mayor que 5 Al realizar una prueba del experimento se obtiene como resultado una puntuación de 9. Indica cuáles de los sucesos anteriores se verifican. ¿Es alguno de ellos el suceso seguro? ¿Y el suceso imposible?

Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, forzosamente iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.


35


36

REGLA DE LAPLACE 8.- Lanzamos dos veces un dado con forma de tetraedro. ¿Cuál es la probabilidad del suceso A “ la suma de los puntos de las caras ocultas es un número primo”?

9.- Una bolsa contiene tres bolas blancas, tres bolas rojas y tres bolas verdes. Extraemos una bola, miramos el color y la devolvemos a la bolsa. Repetimos el proceso dos veces más. ¿Cuál es la probabilidad del suceso A “ obtener tres bolas de distinto color”? ¿Y la probabilidad del suceso B “ obtener dos bolas rojas y una verde son importar el orden”? 10.- En una urna tenemos cinco bolas blancas, tres bolas rojas y cuatro bolas negras. Si se extrae al azar una bola de la urna, calcula la probabilidad de los sucesos A: bola negra; B: bola blanca o negra; C: bola azul. 11.- Cogemos una ficha de dominó del montón inicial. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: A: que sea la blanca doble B: que la suma de los puntos sea 7 12.- Un juego consiste en lanzar dos dados. Si la diferencia entre los puntos de ambos es par, ganamos. En cambio, si la diferencia es impar, perdemos. Calcula la probabilidad de ganar y la de perder. 13.- En una bolsa hay tres bolas blancas, tres bolas negras y tres bolas rojas. Se extraen tres bolas sucesivamente y con reposición. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos, suponiendo que no importa el orden: A: que sean dos bolas blancas y una roja. B: que sean las tres del mismo color. C: que sean las tres de distinto color. D: que sean las tres rojas. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD 14.- Halla la probabilidad de los sucesos BACCC ∩∩ ,, sabiendo que :

41)( =AP

41)( =BP

161)( =∪ BAP

121)( =CP

Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número

de caras ha de ser forzosamente un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son

triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular.


37

15.- Lanzamos un dado trucado en el que se cumple que:

)6()5()4()3()2( SalirPSalirPSalirPSalirPSalirP ==== )6(2)1( SalirPSalirP ⋅= Calcula la probabilidad del suceso A: salir resultado par. 17.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno haya aprobado Matemáticas es 0’45; la de que haya aprobado Lengua es de 0’4; y la de que haya aprobado alguna de las dos materias es 0’7. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado ambas materias? 18.- Extraemos una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de que la carta sea el rey de oros, sabiendo que la carta extraída es de oros. 19.- Lanzamos un dado. Calcula la probabilidad de que sea un 4, sabiendo que hemos obtenido un número par. VARIABLE ALEATORIA 20.- Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado. Si definimos la variable aleatoria X como el doble del valor numérico de la puntuación observada: a) Especifica el dominio y el recorrido b) Indica si X es una variable aleatoria discreta o continua. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN 21.- Considera la v.a. X que cuenta el número de caras que se obtienen al lanzar simultáneamente tres monedas. a) Halla la función de probabilidad b) Halla la función de distribución. 22.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados. Definimos la v.a. X como la suma de sus puntuaciones. a) Halla la función de probabilidad b) Halla la función de distribución. 23.- La v.a. X cuenta el número de ases obtenidos al extraer, con reemplazamiento, cuatro cartas de una baraja española. a) Halla la función de probabilidad b) Halla la función de distribución.


38

24.- Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de la v.a. X, cuya función de probabilidad viene dada por la tabla siguiente:

xi -4 -1 2 5

pi 0’1 0’5 0’3 0’1

25.- Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de la v.a. X, que cuenta el número de caras que se obtienen al lanzar simultáneamente tres monedas. 26.- Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de la v.a. X, que indica la suma de las puntuaciones obtenidas al lanzar dos dados. JUEGOS DE AZAR A un juego de azar podemos asociarle siempre una v.a. X, cuyos valores son las ganancias correspondientes a los posibles resultados. La esperanza de X representa el beneficio medio en cada jugada cuando se considera un número muy elevado de ellas.

Si 0>μ se dice que el juego es favorable al jugador Si 0<μ se dice que el juego perjudica al jugador Si 0=μ se dice que el juego es equitativo

27.- Un juego consiste en extraer una bola de una urna que contiene ocho bolas blancas y dos bolas negras. Cobramos 1€ si la bola extraída es blanca, y pagamos 4’5€, si la bola es negra. Determina si el juego es equitativo. Sol: 1'0−=μ Cabe esperar una pérdida de 10 céntimos por partida. 28.- Un juego consiste en lanzar dos dados, de forma que se cobran tantos euros como indique la suma de puntos si ésta es un número primo, o bien, se pagan 6€ en caso contrario. a) Obtén la función de probabilidad de la v.a. X que indica la ganancia correspondiente a cada resultado. b) Determina si el juego es equitativo. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 29.- Revisamos 500 tornillos fabricados por una máquina que elabora un 10% de piezas defectuosas y observamos si presentan o no alguna anomalía. Razona si la v.a. X que cuenta el número de tornillos defectuosos corresponde a una distribución binomial. De serlo, indica sus parámetros. 30.- Se lanza un dado 100 veces y se observa, en cada lanzamiento, si el resultado es par o impar. Comprueba si la v.a. X que expresa el número de veces que se ha registrado resultado par sigue una distribución binomial. De serlo, indica sus parámetros.


39

31.- Lanzamos una moneda perfecta 250 veces y observamos el resultado. Comprueba que la v.a. X que cuenta el número de veces que se obtiene cruz sigue una distribución binomial. De serlo, indica sus parámetros. CALCULAR PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CON AYUDA DE LA TABLA 32.- Tenemos una moneda trucada tal que, al lanzarla, se obtiene cara en un 25% de los casos. La lanzamos tres veces y contamos el número de caras obtenidas.

a. Comprobar si la v.a. X que indica el número de caras obtenidas en los tres lanzamientos es binomial y halla la función de probabilidad.

b. Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica c. Halla la probabilidad de obtener 0, 1, 2 y 3 caras d. Calcula la probabilidad de obtener a lo suma una cara e. Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara

33.- Un examen tipo test consta de 10 preguntas. Cada pregunta tiene 4 posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. Una alumna que no ha estudiado responde al azar todas las precuentas.

a. Comprobar si la v.a. X que cuenta el número de aciertos es binomial y halla la función de probabilidad.

b. Calcula la probabilidad de que la alumna apruebe el examen, es decir, que acierte al menos 5 preguntas

c. Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de X.


40

TEMA 7:

“DISTRIBUCIÓN PROBABILIDAD CONTINUA: NORMAL”


41

TEMA 4: “DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA: NORMAL”

1. Calcular “k” para que la función [ ]

⎩⎨⎧ ∈

=resto

xsikxf

05,1

)( sea una función de

densidad. Hallar las probabilidades: a. =<≤ )32( xP b. =<≤ )52( xP c. =<≤ )72( xP

2. Calcular “m” para que la función [ ]

⎩⎨⎧ ∈

=resto

xsimxf

04,0


densidad. Hallar )32( << xP

3. Calcular “k” para que la función [ ]

⎩⎨⎧ ∈

=resto

xsikxf

08,3


densidad. Hallar las probabilidades:

a. =<< )64( xP

b. == )6(xP

c. =≤< )52( xP

d. =≤< )105( xP

4. Calcular “m” para que la función [ ]

⎩⎨⎧ ∈

=resto

xsimxf

07,3



a. =<< )53( xP

b. =≤≤ )64( xP

c. =<≤ )75( xP

d. =<≤ )116( xP

5. Hallar la función de distribución de la variable aleatoria continua cuya función de

densidad es: [ ]

⎪⎩

⎪⎨⎧ ∈

=resto

xsixxf

0

4,08)(


42


densidad es: [ ]

⎪⎩

⎪⎨⎧ ∈

=resto

xsixf

0

8,381

)(


densidad es: [ ]

⎪⎩

⎪⎨⎧ ∈

=resto

xsixxf

0

7,320)(

8. Calcular “k” para que la función

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>≤<≤≤

<

=

6064242

20

)(

xsixsikxsik

xsi

xf sea una función de


a. =< )3(xP

b. =≤≤ )53( xP

Obtener la función de distribución correspondiente.

9. Calcular “b” para que la función ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤⋅−

<=

bxsibxsix

xsixf

001'06'0

00)( sea una función

de densidad. Hallar la probabilidad:

a. =<< )21( xP

b. Obtener la función de distribución correspondiente


43

10. En una distribución N(110, 10) calcular:

a. => )110(xP

b. =<< )120110( xP

c. =<< )130110( xP

d. =<< )130120( xP

e. =<< )10090( xP

f. =<< )12090( xP

g. =< )100(xP

11. Los pesos, en kilogramos, de los soldados de un reemplazo se distribuyen N(66, 8).

Queremos saber qué proporción de ellos pesa:

a. Más de 66

b. Entre 66 y 82

c. Menos de 58

Calcula las probabilidades de estos apartados.

Consideramos Z una variable aleatoria que sigue una distribución N(0,1)

12. . Halla las siguientes probabilidades:

a. =≤ )84'0(zP

b. =< )2(zP

c. =< )35'2(zP

d. =< )4(zP

e. =< )5'1(zP

f. =< )87'1(zP

g. =< )0(zP

h. == )1(zP

13. Calcula el valor de “k” en cada caso:

a. 7019'0)( =≤ kzP

b. 5040'0)( =≤ kzP

c. 8997'0)( =< kzP

d. 7054'0)( =< kzP


44

14. Di el valor aproximado de k en cada caso:

a. 9533'0)( =< kzP

b. 62'0)( =≤ kzP

15. Halla:

a. => )3'1(zP

b. =−< )3'1(zP

c. =−> )3'1( zP

d. =<< )96'13'1( zP

e. =−<<− )3'196'1( zP

f. =<<− )96'13'1( zP

g. =<<− )96'196'1( zP

16. Calcula las siguientes probabilidades:

a. =≤ )2'1(zP

b. =≥ )15'1(zP

c. =−≤ )83'0(zP

d. =−> )27'1(zP

e. =<< )6'17'0( zP

f. =<<− )35'01( zP

17. Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades:

a. =≤≤− )11( zP

b. =≤≤− )22( zP

c. =≤≤− )33( zP

d. =≤≤− )44( zP

18. En una distribución N(173,6), halla las siguientes probabilidades:

a. =≤ )173(xP

b. =≥ )5'180(xP

c. =≤≤ )5'180174( xP

d. =≤≤ )170161( xP

e. =≤≤ )5'180161( xP

f. == )174(XP


45

19. Las estaturas de los individuos de una población se distribuyen normalmente con

media 175cm y desviación típica 10 cm. Calcula la probabilidad de que:

a. Un individuo tenga una estatura mayor que 180 cm

b. Un individuo tenga una estatura menos de 170 cm

c. ¿Qué proporción de individuos tiene una estatura comprendida entre

170cm y 180cm?

20. La distribución de puntos obtenidos por los participantes en unas oposiciones es una

normal de media 110 puntos y desviación típica 15 puntos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un opositor obtenga más de 125 puntos?

b. Para aprobar es necesario obtener 100 puntos o más. ¿Qué porcentaje de

opositores aprueba?

c. ¿Cuántos puntos, como mínimo, debe obtener un opositor para estar

entre el 25% de los mejores?

21. Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales mediante

aproximación a la normal correspondiente (en todas ellas, ten en cuenta el ajuste de

media unidad que hay que hacer al pasar de una variable discreta a una continua).

a. )1'0;100(BX ≈ , Calcula )155(),2(),10( <<<= XPXPXP

b. )2'0;1000(BX ≈ , Calcula )80(),30( <> XPXP

c. )9'0;50(BX ≈ , Calcula )30(),45( ≤> XPXP

22. Se efectúan 15 lanzamientos de una moneda. Calcula la probabilidad de que:

a. Salgan exactamente 9 caras.

b. Salgan entre 8 y 12 caras.

23. Un examen tipo test consta de 38 preguntas a contestar verdadero o falso. El

examen se aprueba si se contestan correctamente al menos a 20 preguntas. Un

alumno responde al examen lanzando al aire una moneda y contestando verdadero si

sale cara y falso si sale cruz. Halla:

a. Probabilidad de aprobar el examen

b. Probabilidad de acertar más de 24 y menos de 31.

24. Ciertos estudios demuestran que el consumo de gasolina de los coches es una

variable normal con media de 7 litros a los 100 kilómetros y una desviación típica 1.

¿Qué porcentaje de coches consumen entre 6 y 8 litros por cada 100 kilómetros?

Calcula el consumo C si se sabe que el 30% de los coches tienen un consumo

superior a C. FIN

repaso 1º bach ccss - …ticas aplicadas a las ccss i curso: 2008-09 3 tema 1: “nÚmeros...

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