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PROBLEMAS

ARITMÉTICOS

Tema PROPORCIONALIDAD

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PROBLEMAS DE REPARTOS

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• Hemos visto que se cumple en las magnitudes directamente proporcionales:

• a b c a+ b+c• --- = --- = --- = ------------- = r• a’ b’ c’ a’+b’+c’

• Como:

• a a+ b+c a+b+c• --- = ------------ a = a’. ----------- = a’.r• a’ a’+b’+c’ a‘+b’+c’

• En problemas de reparto nos suelen dar la cantidad total a repartir (S=a+b+c) y las cantidades directamente proporcionales (a’,b’,c’).

Repartos directamente p.

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• EJEMPLO 1:

• Una madre reparte 60 € entre sus tres hijos, en razón directamente proporcional al número de semanas que la han ayudado en las tareas caseras, que han sido de 3,4 y 5 respectivamente. ¿Cuánto les ha correspondido a cada uno?.

• RESOLUCIÓN:

• Aplicando la propiedad indicada arriba, tenemos:

• a b c 60• --- = --- = --- = -------- = r• 3 4 5 12

• Como r =60/12 = 5

• a = 2.r = 15• b= 4.r = 20 • c= 5.r = 25

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• EJEMPLO 2:

• Un empresario da a sus cuatro empleados 600 € para que se lo repartan entre ellos en razón directamente proporcional al número de horas extras que han realizado en el último mes, que han sido de 3,6, 9 y 15 respectivamente. ¿Cuánto les ha correspondido a cada uno?.

• RESOLUCIÓN:

• Al saber que el reparto es directamente proporcional:

• a b c d 600• --- = --- = --- = ---- = ------ = r• 3 6 9 12 30

• Como r =600/30 = 20

• a = 3.r = 3.20 = 60 €• b = 6.r = 6.20 = 120 € • c = 9.r = 9.20 = 180 €• d = 12.r =12.20 = 240 €• Comprobamos que efectivamente la suma de los cuatro son los 600 €.

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• Como en dos magnitudes inversamente proporcionales se cumple siempre que:

• a.a’ = k• 1• Podemos poner que a : ---- = k• a’

• 1• Luego a y ---- son directamente proporcionales.• a’

• Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a los números 10, 5 y 2 es equivalente a repartir dicha cantidad en partes directamente proporcionales a 1 / 10 = 0,1 , 1 / 5 = 0,2 y 1 / 2 = 0,5

Repartos inversamente p.

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• EJEMPLO:• Se venden tres máquinas por 1700 €, en razón inversamente

proporcional al número de años de cada una, que son de 10,20 y 50 años respectivamente. ¿Cuánto cuesta cada una?.

• RESOLUCIÓN:

• Repartir de modo inversamente proporcional equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos.

• Por tanto, tenemos:

• a b c 1700 • ------- = ------- = -------- = ----------------------- = r• 1/10 1/20 1/50 1/10+1/20+1/50

• Como r =1700 /(0,1+0,05+0,02) = 1700 / 0,17 = 10000• a = r.0,1 = 10000.0,1 = 1.000• b= r.0,05 = 10000.0,05 = 500 • c= r.0,02 = 10000.0,02 = 200

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• EJEMPLO:• Un profesor reparte 2,5 puntos entre 5 alumnos de forma inversamente

proporcional al número de días que han llegado tarde a clase en el trimestre, y que han sido de 4, 5, 8, 10 y 16 días respectivamente. (A los demás les da directamente 1 punto por ese concepto).¿Cuántos puntos corresponde a cada uno?.

• RESOLUCIÓN: Repartir de modo inversamente proporcional equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos.

• a b c d e 2,5 • ----- = ---- = ------ = ------- = -------- = -------------------------------------------- = r• 1/4 1/5 1/8 1/10 1/16 0,25+0,20+0,125+0,10+0,0625

• Como r = 2,5 / 0,7375 = 3,3898• a = r.0,25 = 3,3898.0,25 = 0,8475 puntos• b = r.0,20 = 3,3898.0,20 = 0,6779 puntos • c = r.0,125 = 3,3898.0,125 = 0,4237 puntos• d = r.0,10 = 3,3898.0,10 = 0,3390 puntos• e = r.0,0625 = 3,3898.0,0625 = 0,2119 puntos

• Y comprobamos que la suma son los 2,5 puntos a repartir.