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Repartido POLINOMIOS - Liceo Nº 19 Nocturno – 5º H 1 – ABRIL 2013

Definición: Llamaremos polinomio a toda expresión de la forma: 012

21n

1nn

n axaxa..........xaxa

Donde n es un número natural, 011nn a,a,........,a,a son números reales llamados coeficientes y x es lo que

se denomina indeterminada.

Nota: A los polinomios de un solo término, con coeficiente distinto de cero, se les denomina monomio, a los

de dos binomio y a los de tres trinomio.

GRADO DE UN POLINOMIO: Si an 0 diremos que el grado de P(x) es n.

Ejemplos:

A(x) = 6x3+ 2x gr[A(x)] = 3 B(x) = 0x10 - 5x + ½ gr[B(x)] = 1

C(x) = 0x5 + 0x4 + 8 gr[C(x)] = 0 D(x) = 2 gr[D(x)] = 0

POLINOMIO NULO: Llamaremos polinomio nulo a aquel que tiene todos sus coeficientes cero y lo

notaremos )x( .

Es decir, )x( = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 = 0

Observación 1: El polinomio nulo no tiene grado pues todos sus coeficientes son cero.

Observación 2: Como x0 = 1, un polinomio cuyo único término sea un número real distinto de cero, será un

polinomio de grado 1.

Definiciones:

Llamaremos coeficiente principal al coeficiente del monomio de mayor grado. En caso que dicho

coeficiente sea uno, se dice que el polinomio es mónico.

Llamaremos término independiente al coeficiente del monomio de grado cero.

P(x) an xaxa..........xax 1

22

1n1n

n a0 con an 0

POLINOMIOS IDÉNTICOS: Diremos que dos polinomios son idénticos sí y sólo sí todos los coeficientes

de los términos de los monomios de igual grado son iguales.

Notación: P(x) Q(x)

OPERACIONES CON POLINOMIOS:

I) SUMA DE POLINOMIOS: Dados dos polinomios, llamaremos polinomio suma de A(x) y B(x) a aquel

cuyos coeficientes son la suma de los coeficientes de los términos de igual grado de A(x) y B(x).

Notación: (A+B)(x) A(x) + B(x)

Ejercicio 1: Hallar (A+B)(x), siendo A(x) = 7x3 + 3x - 1 y B(x) = -4x4 + 3x3 + 2x2 - 6x + 5

Coeficiente principal (si an=1

entonces P(x) es mónico) Término independiente

2

Propiedades:

1) Conmutativa: A(x) + B(x) B(x) + A(x) A(x), B(x) polinomios

2) Asociativa: [A(x) + B(x)] + C(x) A(x) + [B(x) + C(x)] A(x), B(x), C(x) polinomios

3) Neutro: )x( (polinomio nulo) / A(x) + )x( A(x) A(x) polinomio

4) Opuesto: Dado un polinomio A(x), existe y es único B(x) / A(x) + B(x) )x(

Diremos que B(x) es el opuesto de A(x) y lo notaremos –A(x).

Observación: los polinomios opuestos tienen todos sus coeficientes de los monomios de igual grado

opuestos.

Propiedad:

(x) Q(x) P(x) ó m,n.máx)x(Q)x(Pgrm)x(Qgr

n)x(Pgr

Ejercicio 2: Dar ejemplos, en caso de ser posible, de dos polinomios P(x) y Q(x) que verifiquen:

a) P(x) y Q(x) tienen distinto grado:

i) gr[P(x) + Q(x)] = 5

ii) gr[P(x) + Q(x)] = 0

iii) P(x) + Q(x) (x)

iv) gr[P(x) + Q(x)] = gr[Q(x)]

v) gr[P(x) + Q(x)] = gr[Q(x)] – 1

b) Idem si gr[P(x)] = gr[Q(x)]

Ejercicio 3: Completa el siguiente esquema: P(x) 3x2 + ........... + 1

+

Q(x) 5x3 - ........... - 7x + 8

________________________________

P(x) + Q(x) ........... + ¾ x2 - 5x + ...........

II) DIFERENCIA DE POLINOMIOS: Dados dos polinomios A(x) y B(x), llamaremos diferencia entre

A(x) y B(x), y lo notaremos A(x) – B(x) o (A-B)(x), a la suma de A(x) y el opuesto de B(x).

Es decir: A(x) – B(x) A(x) + B(x) -

Observación: D(x) = A(x) – B(x) D(x) + B(x) = A(x)

III) PRODUCTO DE POLINOMIOS:

Cuando se multiplican dos polinomios no nulos, el resultado es un polinomio cuyo grado es igual a la suma de

los grados de los polinomios factores. Para calcular el producto, multiplicamos cada uno de los monomios de

un polinomio por cada uno de los monomios del otro y luego sumamos. En caso que uno de los polinomios

factores sea el nulo, el producto es el polinomio nulo.

NOTA: El neutro en el producto de polinomios, es el polinomio de grado cero P(x) = 1. Por esta razón, los

únicos polinomios que tienen inverso son los de grado 1.

3

Ejercicio 4: Completa el siguiente esquema de multiplicación:

............... + ............... + 1

X ............... - ..............

_____________________________________

.............. + ............... - ...............

............... - 8 x3 + ...............

_______________________________________________________

40 x4 + ............... + .............. – 6 x - 3

IV) DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS:

Dados dos polinomios A(x) y B(x), con B(x) )x( , diremos que la división entera de A(x) entre B(x) tiene

cociente Q(x) y resto R(x) sí y sólo si se verifican las siguientes condiciones:

1) A(x) B(x).Q(x) + R(x)

2) (x) R(x) o )x(Qgr)x(Rgr

Notas:

El esquema )x(Q)x(R

)x(B)x(A implica que se trata de una división entera y que por tanto B(x) es

no nulo y se verifican las condiciones 1 y 2 de la definición. A(x) se denomina dividendo y

B(x) divisor.

Admitiremos que dados dos polinomios A(x) y B(x) siempre existen y son únicos el cociente y

el resto de la división entera de A(x) entre B(x).

CASO PARTICULAR: DIVISIÓN EXACTA

Si R(X) )x( diremos que la división es exacta

Decir que la división entera de A(x) entre B(x) es exacta equivale a decir que:

B(x) divide a A(x)

A(x) es divisible entre B(x)

A(x) es múltiplo de B(x)

Ejercicio 5: Halla cociente y resto de la división entera de A(x) entre B(x), siendo:

A(x) 3x4 - 12x3 + 6x - 2 y B(x) 3x2 - 1

PROPIEDAD: GRADO DEL COCIENTE

nmxQgr

nm

nxBgr

mxAgr

xQxR

xBxA

)(

)(

)(

)()(

)()(

4

Observación: si gr(A(x)) < gr(B(x)) )x()x(A

)x(B)x(A

VALOR NUMÉRICO DE P(x) PARA x = : Dado un polinomio P(x) y un número real , llamaremos valor

numérico de P(x) para x = , al número que se obtiene al sustituir la indeterminada x por el real en el

polinomio P(x).

Notación: P( ): valor numérico de P(x) para x =

Ejercicio 6: Sea P(x) 3x4 + x3 - 5x + 1

Hallar: P(1), P(-1), P(0), P 23 , P 2 , P(-2).

RAÍZ DE UN POLINOMIO: Dado un polinomio P(x) y un número real , diremos que es raíz de P(x)

cuando su valor numérico en P(x) es cero.

Es decir: Dado P(x) polinomio y R : 0)P(P(x) de raíz es f

DIVISIÓN POR B(x) x -

Si gr(A(x)) = n 1, entonces se tiene que:

ESQUEMA DE RUFFINI:

Dados A(x) = 2x4 - 10x3 - x2 + 18 y B(x) = x – 5 , hallaremos el cociente y resto de la división entera

de A(x) entre B(x).

El esquema de Ruffini correspondiente para realizar esa división es:

7- 5- 1- 0 2

25- 5- 0 10

18 0 1- 10- 2

5 7- R(x) :resto

5x2x 5x1x02x Q(x) :cociente 323

El esquema de Ruffini precedente es únicamente una forma más “corta” de efectuar la siguiente división:

2x4 - 10x3 - x2 + 18 x – 5

-2x4 + 10x3 2x3 – x – 5

/ / - x2 + 18

+ x2 - 5x

/ - 5x + 18

+ 5x - 25

/ – 7

Nota 1: No haremos la demostración de la propiedad del esquema de Ruffini.

Rrcon ,)( (x)R(X) o 0)(

A(x) de al igual es Q(x) de principal ecoeficienty 1)(

)()(

)(

rxRxRgr

nxQgr

xQxR

xxA

5

Nota 2: Si al efectuar el esquema de Ruffini para dividir entre un polinomio mónico de primer grado

obtenemos resto cero, habitualmente diremos que “bajamos” por la raíz de dicho polinomio.

Ejercicio 7: Sea A(x) 5x4 + 7x3 - 21x2 + 6 Hallar cociente y resto de dividir A(x) entre:

B(x) x – 2 ; C(x) x + 2 y D(x) 2

1x

Ejercicio 8: a) Completa el siguiente esquema de Ruffini:

0 ___ ___ 3- 1

___ 40- ___ ___

___ 39 ___ ___ ___

4

b) Expresa mediante un esquema de división la realizada en la parte anterior.

RUFFINI CUANDO EL DIVISOR ES mx + n con Rn 1,m ,Rm : (“bajamos” en el esquema de

Ruffini por =m

n )

Dado A(x) y B(x) mx+n queremos hallar el cociente Q(x) y el resto r (r real) de la división entera de

A(x) entre B(x). Como m 0 podemos considera el polinomio

m

nx y efectuar la división entera de A(x)

entre

m

nx mediante el esquema de Ruffini (“bajando” en el esquema por =

m

n ) y obtener así un

cociente C(x) y un resto k (kR).

Veamos qué relación existe entre los cocientes y restos en las divisiones enteras:

)x(Qr

nmx)x(A y

)x(Ckm

nx)x(A

De la división entera )x(Ckm

nx)x(A

, aplicando definición de división, se tiene que:

A(x) km

)x(C.nmx)x(Ak)x(C.

m

nmx)x(Ak)x(C.

m

nx

rdenominado común

m

)x(Ck

nmx)x(A div. .def

Por lo tanto el cociente Q(x) y el resto r de la división entera de A(x) entre (mx + n) buscamos son:

Q(x) m

)x(C y r = k

Ejercicio 9: Hallar cociente y resto de la división entera de A(x) entre B(x), siendo:

A(x) 3x3 -6 x2 + 2 y B(x) 3x + 5

A(x) -x3 + x2 + 5x + 2 y B(x) -2x + 1

A(x) 3x3 - x2 + 5x + 2 y B(x) -x + 5

Ejercicio 10: Hallar a real sabiendo que –3 es el resto de dividir P(x) x2 + 1 – ax5 entre Q(x) 4 - 2x

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TEOREMA DEL RESTO:

El resto de dividir un polinomio entre otro de la forma (x- ) es el valor numérico de dicho polinomio para

x = .

Dem: r ).Q(x)-(xP(x) Q(x)r

xP(x) :hipótesis por

r)P( r0)P( r )0.Q()P( r )).Q(-()P(

Justifica cada uno los pasos de la demostración anterior.

TEOREMA DE DESCARTES:

La condición necesaria y suficiente para que un polinomio P(x) sea divisible entre otro de la forma (x- )

es que sea raíz de P(x).

Condición necesaria: P(x) de raíz es )-(x entre divisible es )x(P

Dem:

Aplicando el teorema del resto tenemos que si dividimos r)P( )-(x entre )x(P

Pero al ser 0)P( 0r )-(x entre divisible es )x(P

Condición suficiente: )-(x entre divisible es )x(P P(x) de raíz es

Dem:

r ).Q(x)-(xP(x) )x(Qr

x)x(P :entera división de definición Por

0 )(P P(x) de raíz es 0 r r )).Q(

0-()P(

)-(x entre divisible es )x(P

TEOREMA: si D(x) entre divisible es P(x) sea o )x(Q)x(

)x(D)x(P

se tiene que:

Q(x) de raíz es o D(x) de raíz es P(x) de raíz es

Dem: Q(x) de raíz es o D(x) de raíz es P(x) de raíz es

Dem: P(x) de raíz es Q(x) de raíz es o D(x) de raíz es

Ejercicio 11: Realiza la demostración de este teorema.

r)P( :Tesis Q(x)r

xP(x) :Hipótesis

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NOTA: El teorema dice que en una división exacta de polinomios se verifica:

1) Las raíces del dividendo son raíces del divisor o del cociente (pudiendo ser de ambos a la vez).

2) Tanto las raíces del divisor como las del cociente son también raíces del dividendo.

Ejercicio 12: Sea P(x) 3x4 + mx3 – (m+3)x2 + px + (m+6)

a) Halla m y p reales sabiendo que P(x) es divisible entre (x2 – 4)

b) Para los valores de m y p hallados en la parte anterior, halla las raíces de P(x). Justifica.

Consecuencia de los teoremas anteriores: División por Ruffini en escalera:

Si P(x) es divisible entre B(x)

)x(Q.x.x P(x) Q(x)(x)

x-xP(x) x-x

Luego por definición de división entera se tiene también que:

)x(Q.x)x(

x)x(P

( P(x) es divisible entre (x - ) ) y C(x) = (x - ).Q(x) es el cociente de dicha

división. Razonando análogamente, se tiene que es raíz de C(x), es decir que la división tiene como resto

el polinomio nulo.

Esquema de Ruffini en escalera:

0 Q(x) de escoeficient

0 C(x) de escoeficient

P(x) de escoeficient

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO

Veamos primero un par de ejemplos.

Sea P(x) = 2x2 – 2x – 3 , cuyas raíces son = 3 y = -1

Aplicando el esquema de Ruffini en escalera, obtenemos:

2 -4 -6

3 6 6

2 2 0

-1 -2

2 0

Aplicando el teorema anterior que )x(Q.x.x P(x) podemos establecer que

P(x) = 2x2 – 2x – 3 = 2(x – 3)(x + 1)

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Esta última expresión se denomina Descomposición factorial de P(x). Observemos que la misma consiste

en el coeficiente principal del polinomio P(x) multiplicado por factores del tipo “x - i”, donde i son las

raíces del polinomio.

Sea ahora un polinomio de tercer grado P(x) = x3 – 7x + 6 , cuyas raíces son 2, 1 y –3. Apliquemos Ruffini

en escalera, y obtengamos su descomposición factorial:

1 0 -7 6

2 2 4 -6

1 2 -3 0

1 1 -3

1 3 0

-3 3

1 0

Es decir, P(x) = x3 – 7x + 6 = 1.(x – 2)(x – 1)(x + 3) , pero como 1 es neutro del producto escribimos

P(x) = (x – 2)(x – 1)(x + 3)

TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS (Sin demostración).

Todo polinomio P(x) = 012

21n

1nn

n axaxa..........xaxa de grado “n” puede escribirse como el

producto de su coeficiente principal por a lo sumo n factores de la forma (x - i), donde i es cada una

de sus raíces.

P(x) = 012

21n

1nn

n axaxa..........xaxa = an (x - 1) (x - 2)... (x - n)

IMPORTANTE:

COROLARIO 1: Todo polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces.

COROLARIO 2: El único polinomio que admite infinitas raíces es el polinomio nulo.

RELACIONES ENTRE COEFICIENTES Y RAÍCES DE UN POLINOMIO.

Vimos que un polinomio de segundo grado puede escribirse, según su descomposición factorial, como

x.xa P(x) n ; por otra parte, el mismo polinomio suele presentarse así: P(x)= ax2 + bx + c

Desarrollemos el polinomio escrito como D.F.:

x.xa P(x) n = an (x2 – x - x + ) = an x

2 – anx - anx + anan x2 – an +x + an

A su vez también es P(x)= ax2 + bx + c, por lo que de acuerdo a la definición de identidad de polinomios,

todos los coeficientes de los términos de los monomios de igual grado son iguales.

De allí obtenemos las siguientes igualdades, conocidas como “Relaciones entre coeficientes y raíces”:

nn

nn

n

nn2

n

2

a

c . a c

a

b- ) (a- b

aa

a )x (a - x a P(x)

c bx ax P(x)

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Ejercicio: A partir de un polinomio de tercer grado P(x) = ax3 + bx2 + cx + d , obtener las siguientes

relaciones entre sus coeficientes y raíces:

na

b

na

c

na

d

GENERALIZACIÓN:

Sin demostración, damos a continuación una lista de las relaciones entre coeficientes y raíces para

polinomios de grado 4 y más.

SUMA

“SIMPLE”

DE

RAÍCES=

na

b

SUMA DE

LOS

PRODUCTOS

DE 2

RAÍCES=

na

c

SUMA DE

LOS

PRODUCTOS

DE 3

RAÍCES=

nad

SUMA DE

LOS

PRODUCTOS

DE 4

RAíCES=

na

e

...

PRODUCTO

DE TODAS

LAS

RAÍCES(*)=

n

0

n

0

a

a- ó

a

a

Grado 2

Grado 3

Grado 4

...

Grado n n n

Puede observarse que siempre la suma “simple” de las raíces siempre es na

b ; luego se va “aumentando”

el número de raíces que se multiplican entre sí y se suman (primero de a dos, luego de a tres, etc.),

obteniéndose el siguiente coeficiente del polinomio en cuestión dividido entre el coeficiente principal, y

los signos van cambiando de “más” a “menos” en forma alternada. En el caso marcado con (*), el signo

dependerá de cómo continúe la secuencia indicada, pudiéndose afirmar que en el caso de grados pares será

positivo y en el caso de grados impares será negativo. En la práctica muy difícilmente debamos aplicar

estas relaciones para polinomios de grado mayor que 4.

TEOREMAS SOBRE RAÍCES COMUNES:

TEOREMA 1: Si dos polinomios tienen una raíz en común, entonces es raíz de cualquier combinación

lineal entre ambos.

Hip) es raíz de P(x) Tesis) es raíz de a.P(x) + b.Q(x), a, b R

es raíz de Q(x)

Dem:

R b a, 0 )b.Q( )a.P( 0 )Q( Q(x) de raíz es

0 )P(P(x) de raíz es

Este teorema en la práctica lo aplicamos cuando P(x) y Q(x) son del mismo grado, y sabemos además que

ambos polinomios poseen al menos una raíz en común.

ATENCIÓN: No es cierto el recíproco de éste y del siguiente teorema sobre raíces comunes de

polinomios (al final ponemos ejemplos).

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TEOREMA 2: Si dos polinomios tienen una raíz en común, entonces es raíz del resto de la división

entre ambos.

Hip) es raíz de P(x) Tesis) es raíz de R(x), resto de la división

es raíz de Q(x) de P(x) entre Q(x)

gr[P(x)] = n

gr[Q(x)] = m

n > m

Dem:

)x(C)x(R

)x(Q)x(P P(x) = Q(x).C(x) + R(x)

Por hipótesis, es raíz de P(x) y de Q(x)

Observación: Decir “no se cumple el recíproco” es decir que no es cierta la implicación leída al revés. Por

ejemplo, no es cierto que si es raíz del resto de la división lo sea de P(x) y de Q(x). Para “demostrar”

que una proposición no se cumple en matemática, alcanza con dar un ejemplo de donde ello no suceda; a

este “proceso” se le llama “dar un contraejemplo”.

Contraejemplo del Teorema 1:

Sean P(x) = x2 – 3x + 2 y Q(x)= x2 – 7x + 12

Sea la combinación lineal (P – Q)(x) = 4x - 10 ; su raíz es 2

5 pero ésta NO es raíz de P(x) ni de Q(x).

Contraejemplo del Teorema 2:

Sean P(x) = x3 – 4x2 + 5x + 27 y Q(x) = x2 – 8x + 15

x3 – 4x2 + 5x + 27 x2 – 8x + 15

-x3 + 8x2 – 15x x + 4

/ 4x2 - 10x + 27 Hallamos la raíz del resto igualándolo a cero:

-4x2 + 32x – 60 22x – 33 = 0 2

3

22

33 x

/ 22x – 33

Comprobemos mediante el esquema de Ruffini si 2

3 x es raíz de P(x) o de Q(x):

1 -4 5 27 1 -8 15

2

3

2

3

4

15

4

135

2

3

2

3

4

39

1 2

5

4

45 0

4

351 1

2

13 0

4

21

Conclusión (y recomendación): para aplicar cualquiera de estos dos teoremas, asegurarse que la letra del

ejercicio indica que los polinomios tienen raíces comunes.

Prof. Fernando Vales

0 )R( 0 )R( ).C(

0

)Q(

0

)P(