Grafeno no regime Hall quntico: Quebra de simetrias e localizao

eletrnica

Daniel Alejandro Solis Lerma

Relatrio referente ao 1o ano de mestrado

Orientadora:

Dra. Ana Luiza Pereira

Co-orientador:

Dr. Luiz Eduardo Oliveira

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Fsica Gleb Wataghin

Resumo

Durante o primeiro semestre de mestrado foram assistidas as disciplinas Mecnica Quntica I

e Fsica Estatstica I. Na pesquisa, foi implementado o mtodo tight binding (TB) para a rede

de grafeno, conseguindo-se a densidade de estados e a distribuio da funo de onda na rede.

No segundo semestre foram assistidas as disciplinas Mecnica Quntica II e Fsica da Matria

Condensada I, com as quais terminaram-se os crditos requeridos no mestrado. Na pesquisa, foi

implementado o mtodo tight binding (TB) para uma camada de grafeno na presena de campos

magnticos para dois tipos de desordem, desordem nos stios e desordem nos hoppings. Alem disso

estudou-se o mtodo das funes de Green recursivas para o clculo de propriedades de transporte

do grafeno. Tambm foi lida bibliograa e se realizaram reunies semanais com a orientadora para

seguir de perto os avanos do trabalho.

Disciplinas

Foram assistidas as seguintes disciplinas no primeiro semestre

Mecnica Quntica I (FI 001) Fsica Estatstica I (FI 004)Na disciplina FI 001 ministrada pelo professor Marco Aurelio Lima, foi obtido um conceito nal

A. Na disciplina FI 004 ministrada pelo professor Amir Caldeira, foi obtido um conceito nal B.

Foram assistidas as seguintes disciplinas no segundo semestre

Mecnica Quntica II (FI 002) Fsica da Matria Condensada I(FI 104)Na disciplina FI 002, ministrada pelo professor Marco Aurlio Lima, foi obtido o conceito nal

A. Na disciplina FI 104, ministrada pelo professor Jos Antnio Brum foi obtido o conceito nal A.

1 Introduo

O grafeno um altropo do carbono que consiste de uma monocamada formada por uma rede

hexagonal onde cada tomo de carbono contribui com um eltron de valncia.[1]

importante ressaltar a natureza bidimensional deste material, j que um nico plano da

estrutura de grate. Desde o ponto de vista das propriedades eletrnicas, o grafeno comporta-se

como um semicondutor de gap zero[2] onde os portadores de carga so quasi-partculas quirais sem

massa, com relao de disperso linear. Devido s caractersticas do grafeno, este tem potenciais

aplicaes na construo de telas sensveis ao toque, transistores de alta frequncia, fotodetectores,

dispositivos eletrnicos entre outros.[3]

Logo depois de ter sido obtido o grafeno no laboratrio, estudos neste material mostraram a

existncia do efeito Hall quntico, evidenciado na presena de plats na condutividade Hall xy[4],caracterstica que conrmou sua natureza bidimensional experimentalmente.

O surgimento de plats no efeito Hall quntico devido existncia de desordem na rede de

grafeno. A teoria padro deste fenmeno considera a presena de estados estendidos (que participam

1

da conduo) no centro de cada nvel de Landau e estados localizados (que no contribuem para

o transporte) nas extremidades dos nveis de Landau, dando origem aos plats da condutividade

xy.[5]Os nveis de Landau no grafeno so de natureza relativstica, fato reetido na no-equidistncia

dos nveis. O nvel de Landau (n = 0) um caso especial j que tem energia zero e devido simetriaeltron-buraco do problema compartilhado por ambos[6].

Neste projeto, a proposta calcular e analisar os alargamentos dos nveis de Landau do grafeno

com desordem, em diferentes modelos de desordem, tanto para monocamadas quanto para bica-

madas de grafeno. Alm disso, vo se estudar os nveis de Landau no regime de baixos campos

magnticos, com o objetivo de ver o efeito nos estados estendidos.

2 Avanos na pesquisa e resultados

2.1 Mtodo do tight binding (TB)

O Hamiltoniano tight-binding que descreve o grafeno, na presena de campo magntico aplicado

perpendicularmente ao plano dos tomos, escrito na forma[3]:

H =i

iCiCi

tij(eiijCiCj + e

iijCjCi) (1)

onde Ci um operador ferminico que cria uma partcula no sitio i, eiijd conta do efeito do

campo magntico e cuja fase conhecida como fase de Peierls, que igual a

ij = 2pie

h

ij

A.dl. (2)

Figura 1: a)Rede de grafeno que mostra os dois tipos de subredes. b)Rede `brickwall', equivalente topolgico da rede

hexagonal.

2

Com o objetivo de facilitar a implementao computacional do tight-binding para o grafeno,

em vez de usar a rede da gura 1a, usado o equivalente topolgico da rede do grafeno da gura

1b, onde cada hexgono convertido em retngulo mantendo a mesma rea e cada tomo continua

fazendo trs ligaes.

Para fazer a implementao computacional do mtodo, primeiro precisou-se escrever os ele-

mentos da matriz de ligaes dos tomos em papel, para redes de 4x4 e 6x4 que foram a base

para vericar posteriormente se o programa estava escrevendo corretamente as matrizes. Primeiro

implementou-se em Matlab, mas depois foi reescrito em Fortran 90 devido vantagem que repre-

senta o uso do cluster do CENAPAD.

2.2 Localizao

Um estado localizado quando a distribuio da funo de onda est concentrada numa regio

especca da rede e dacai exponencialmente nas outras regies. sabido que as funes tendem a se

concentrar em regies onde existem maiores graus de desordem, que pode ser vacncias, impurezas,

inuncia do substrato, bordas, tomos de outro elemento ou corrugaes.

Existem duas classes de desordem, dinmica e esttica, a primeira devida aos fnons e a

segunda s impurezas no material, em baixas temperaturas domina a esttica[7].

De acordo com o modelo de localizao de Anderson, para desordens sucientemente fortes

os autoestados dos eltrons estaro localizados em regies onde o potencial seja particularmente

apropriado, alm disso possvel calcular a taxa de decaimento das funes de onda do centro de

localizao e o grau de desordem requerido para se ter um estado localizado.[7]

A primeira ideia intuitiva de localizao obtida quando feito o grco de distribuio da

funo de onda na rede, dependendo de como seja esta distribuio (localizada ou no) aquele

estado pode corresponder a um estado, condutor ou isolante. Com o objetivo de aprendizagem

foram feitos distintos grcos e os resultados so apresentados nas guras 2 e 3.

As guras 2 e 3 mostram a distribuio da funo de onda numa rede de grafeno. Nestes grcos

possvel perceber que a funo de onda est mais espalhada sobre a rede da gura 2 do que na

gura 3, o que sicamente vai representar que o estado vai conduzir em toda a rede e o segundo s

nas bordas (estados de borda), mostrando a importncia das condies de contorno do sistema em

estudo.

2.3 Borboleta de Hofstadter

Foi utilizado o mtodo do tight binding para obter o espectro de energias de uma monocamada de

grafeno na presena de campo magntico sem desordem conhecido como Borboleta de Hofstadter[5]-

[12], como mostrado na gura 4.

0 o quanta de uxo magntico e equivalente ah2e .

importante ressaltar que na gura 4 so exibidos nveis de Landau do grafeno na regio

correspondente a uxos magnticos /0 menores que 0.1 e baixas energias(0.8 . Et . 0.8).Alm disso, o comportamento da energia destes nveis da forma E /0, caracterstica denveis de Landau relativsticos.

3

Figura 2: Grco da distribuio da funo de onda para uma rede com 40x40 tomos de carbono, no desordenada,

e com condies de contorno peridicas.

Figura 3: Grco que mostra a distribuio da funo de onda concentrada nas bordas. A rede de 40x40 e s tem

condies de contorno peridicas numa direo, representando uma nanota de grafeno.

4

Figura 4: Borboleta de Hofstadter, onde mostra-se o comportamento da energia com o uxo magntico para os

portadores de carga numa monocamada de grafeno

2.4 Mtodo recursivo das funes de Green (MRFG)

Com o objetivo de entender o mtodo, este foi estudado durante aproximadamente um ms, prin-

cipalmente atravs de dois artigos [13][14]. Depois procedeu-se a fazer testes no programa e com-

paraes dos resultados com os obtidos usando TB.

Este mtodo muito efetivo para solucionar os sistemas em estudo, devido a sua ecincia

e tempo de processamento. Para a implementao deste mtodo temos tido a colaborao do

posdoc Dr Carlos Paez que trabalha em conjunto no grupo sob superviso da professora Ana Luiza

Pereira. A vantagem mais notvel do MRFG o no uso das funes de Bloch o que permite o

estudo de quasi-cristais ou sistemas completamente randmicos, o qual permite fazer estudos de

monocamadas de grafeno com as desordens estudadas usando o TB, alm disso pode-se calcular a

corrente, transmisso e o comprimento de localizao, que mais preciso na denio dos estados

estendidos dos nveis de Landau. A funo de Green total pode ser obtida recursivamente, usando

a equao de Dyson:

G = g + gV G (3)

onde G a funo de Green, V a matriz dos parmetros de hopping horizontais que liga asdiferentes fatias do dispositivo e g funo de green da fatia.De acordo com a gura 5, as diferentes fatias m correspondem s sees individuais com gm =

[E hm]1, onde hi e hp so os hamiltonianos das fatias mpar e par respectivamente, e E aenergia da fatia m. Assim em cada etapa uma nova fatia adicionada no processo, at completaras M fatias do sistema original.[14]

5

Figura 5: Congurao do sistema em estudo sem ligaes longitudinais.

O objetivo do MRFG calcular as funes de Green de cada componente do sistema, de acordo

com a gura 6, o clculo teria que ser feito para cada um dos contatos e tambm para o material.

possvel fazer as contas percorrendo o dispositivo numa direo somente (Esquerda para direita ou

direta esquerda), com o qual encontraria-se a transmisso, se for requerida a densidade de estados,

necessrio o clculo tanto das funes de Green da esquerda para direita como da direita para a

esquerda, j que se no feito assim, as fatias somente estariam ligadas numa direo, com o qual

esta-se perdendo informao do sistema.

2.5 Comprimento de Localizao () e Razo de Participao (RP)

O comprimento de localizao uma escala que pode-se calcular usando a equao

= 2/Ln(T (E)) (4)Onde T(E) a transmisso.

Um estado localizado atingido quando a longitude do sistema L muito maior do que ocomprimento de localizao, por outro lado os regimes difusivo e balstico so caraterizados por Lmenor do que o comprimento de localizao[15].

A razo de participao (RP) tambm utilizada para quanticar a localizao. A RP descreve

a proporo do nmero total de stios do sistema que contribuem efetivamente para a funo de

6

Figura 6: Congurao do sistema em estudo

onda de estados [16] e denida como:

RP =1

Ni |ai|4(5)

onde N o nmero de stios da rede e ai a amplitude de probabilidade da funo de onda no stioi.

Note-se que se RP 0 indica que a funo estar concentrada num ponto da rede, ou seja afuno esta localizada. Por outro lado se RP 1 a funo estar uniformemente distribuda narede o que signica que a funo est no localizada.

Para comparar os tempos de processamento dos dois mtodos foram realizados testes, encontrando-

se que o MRFG requer menos tempo do que o mtodo do TB. Por exemplo para o caso do clculo da

RP no caso do tight binding e no caso do mtodo recursivo das funes de Green, para uma redede 100x80 com desordem nos stios, MRFG demorou ao redor de 7 horas enquanto TB demorou ao

redor de 100 horas.

Na gura 7 feita uma comparao da RP e a densidade de estados de uma monocamada de

grafeno para diferentes desordens nos stios, onde pode notar-se os nveis de Landau com estados

mais localizados (menores valores de RP) nos extremos dos nveis e mais estendidos no centro dos

nveis alargados pela desordem. Alm disso, os nveis misturam-se quando aumentada a desordem

na rede, a tal ponto que para a desordem d) s possvel diferenciar o nvel n = 0.O grco da gura 8 mostra a densidade de estados para uma rede de 100x80 tomos com

desordem nos hoppings e w/t = 0.2, onde w a largura total do intervalo de variao da energiados stios. O nvel de Landau n = 0 apresenta uma diviso, caraterstica deste tipo de desordem.Alem disso, pode-se apreciar misturas de estados em outros nveis.

Os resultados da gura 9 mostram a correspondncia dos resultados dos mtodos TB e MRFG.

Alm disso, possvel ver que a caraterstica mais notria do MRFG a denio que tem os

picos do espectro, o que representa uma vantagem no momento de analisar levitao de estados

estendidos, onde previsto que conforme o campo magntico reduzido ou a desordem aumentada

nos sistemas, os estados estendidos deixam de ocupar o centro das bandas, deslocando-se na direo

de mais altas energias.[16]

A gura 10 mostra resultados obtidos com MRFG para uma monocamada de grafeno para

diferentes desordens onde pode ver-se que o alargamento diretamente proporcional com w/t.Note-se que o nvel n = 0 mantem sua simetria, mas nos outros nveis j possvel perceberassimetria para w/t = 1 e w/t = 1.5.

7

Figura 7: Densidade de estados (barras azuis) e RP (linha vermelha) para uma monocada de grafeno com desordem

nos sitios para a)w/t = 0.1, b)w/t = 0.5, c)w/t = 1 e d)w/t = 1.5

Figura 8: Densidade de estados para uma rede de 100x80 com desordem nos hoppings e W/t = 0.2

8

Figura 9: Grco obtido para uma rede de 100x80 e um uxo de 2/100. As Bolhas vermelhas so o RP obtido comTB. Comprimento de localizao (linha preta) obtida com MRFG

Figura 10: Comprimento de localizao para desordem nos stios obtido usando o mtodo recursivo das funes de

Green. A linha preta corresponde com w/t = 0.5, a linha vermelha com w/t = 1 e a linha verde com w/t = 1.5.

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3 Concluses

Apesar de que as disciplinas demandaram a maior parte do tempo no primeiro semestre foi possvel

cumprir plenamente com o cronograma. Esta introduo feita sobre a fsica do grafeno complemen-

tou e reforou os conhecimentos prvios adquiridos na graduao.

No segundo semestre conseguiu-se trabalhar mais na pesquisa e encontrou-se que devido a sua

ecincia computacional, o MRFG a melhor opo para o estudo da levitao dos estados estendi-

dos, que um dos grandes objetivos deste trabalho. Ainda necessrio ressaltar que os resultados

adquiridos com MRFG so melhores e que com este mtodo tambm podem ser calculadas outras

quantidades fsicas, como por exemplo a corrente no sistema, transmisso entre outras. Para o

prximo semestre (segundo semestre de 2014) alm da continuidade da pesquisa de acordo com o

previsto no projeto, as reunies com a orientadora, ser feito o Exame de qualicao de mestrado

(EQM), fara-se a prova de procincia em ingls e serei PED da disciplina Electromagnetismo I (FI

502), que ser ministrada pela professora Fanny Bron

Referncias

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Rev. B 75, 125433 (2007.)

[2] M. I. Katnelson, K. S. Novoselov and A. K. Geim, Chiral tunneling and Klein paradox in

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[3] A. H. Castro-Neto et. al. The electronic properties of graphene. Rev. Mod. Phys. 81 109 (2009).

[4] K. S. Novoselov et. al.,Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene, Nature

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[5] Mikhail I Katsnelson, GRAPHENE, Carbon in Two Dimensions, rst edition, Cambridge

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[6] Kentaro Nomura et. al.,Quantum Hall Eect of Massless Dirac Fermions in a Vanishing Mag-

netic Field. PRL 100, 246806, (2008).

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1978, edited by R. Balian (Saclay), R. Maynard (Grenoble) and G. Toulouse(ENS), North

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[12] L. Schweitzer, B. Kramer e A. MacKinnon, Magnetic eld and electron states in two-

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10

[13] Caio H. Lewenkopf, Eduardo R. Mucciolo, The recursive Green's function method for graphene.

J Comput Electron, 12, 203, (2013).

[14] Tese de doutorado de Dario Andres Bahamon Ardila, Acoplamento entre estados de borda e

suas assinaturas em anis qunticos e nanotas de grafeno. IFGW Universidade Estadual de

Campinas, Julho 2011.

[15] Eur. Phys J. B. 86, 103, (2013).

[16] Ana Luiza Cardoso Pereira, Tese de doutorado defendida no instituto de fsica da Unicamp

em 2005.

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