Análisis de Líneas equipotenciales

Universidad del Valle, Facultad de Ciencias y Exactas, Departamento de FisicaMauricio Arango Duque, David Alejandro Ascarate, Cristian Duarte.

Jesús Chamorro

MARCO TEORICO

Proceso de carga y descarga de un capacitor en un circuitoRC:

Un capacitor en un circuito RC serie no se descargainmediatamente cuando es desconectada de unafuente de alimentación(ver interruptor en la figura1) decorriente directa.(figura1)Cuando el interruptor pasa de A aB, elvoltajeen el condensador Vc empieza a descender desde Vo (voltaje inicial en elcondensador) hasta tener 0 voltios de la manera que se ve en elgráfico inferior.La corriente tendrá un valor máximo inicial de

Vo/R

y como la tensión disminuirá hasta llegar a 0 amperios. La corriente que pasa por la resistencia y el condensador es la misma. Acordarse que el un circuito en serie la corriente es la misma por todos los elementos.

Constante de tiempo capacitiva (τ):

Después de un tiempo igual a RC, la corriente en el circuito R- C disminuye a 1/e (cerca de 0.38) de su valor inicial. En este momento, la carga del capacitor ha alcanzado (1 – 1/e) = 0.632 de su valor final Q

f = C Є. El producto RC es, pues una medida de que tan rápido se carga el capacitor. RC se llama constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito y se representa con τ:τ = RC (constante de tiempo para un circuito R – C).Cuando τ es pequeña, el capacitor se carga rápidamente; cuando es más grande, la carga lleva más tiempo. Si la resistencia es pequeña, es más fácil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo. Ejemplos. Carga de un capacitor en un circuito RC

DATOS Y CÁLCULOS

Circuito en serie Circuito en Paralelo

Circuito en serie

Tiempo(s)

Carga(V) Descarga(V) Descarga(V) Ln Carga Ln Descarga

1 0.88 9.66 9.57 -0.12783 2.26799

2 1.18 9.63 8.93 0.16551 2.26488 2.18942

3 1.47 9.58 8.49 0.38526 2.25968 2.13889

4 1.75 9.55 8.07 0.55962 2.25654 2.08815

5 2.16 9.54 7.8 0.77011 2.25549 2.05412

6 2.41 9.5 7.54 0.87963 2.25129 2.02022

7 2.66 8.87 7.17 0.97833 2.18267 1.96991

8 3.01 8.57 6.93 1.10194 2.14827 1.93586

9 3.12 8.42 6.71 1.13783 2.13061 1.9036

10 3.45 8.14 6.49 1.23837 2.09679 1.87026

15 3.51 6.76 5.49 1.25562 1.91102 1.70293

20 5.38 5.52 4.57 1.68269 1.70838 1.51951

25 6.16 4.59 3.85 1.81808 1.52388 1.34807

30 6.73 3.82 3.09 1.90658 1.34025 1.12817

35 7.21 3.13 2.64 1.97547 1.14103 0.97078

40 7.61 2.61 2.2 2.02946 0.95935 0.78846

45 7.93 2.17 1.87 2.07065 0.77473 0.62594

50 8.23 1.81 1.54 2.10779 0.59333 0.43178

55 8.43 1.52 1.26 2.1318 0.41871 0.23111

60 8.62 1.27 1.06 2.15409 0.23902

1. Tiempo vs Voltaje respecto a la carga del circuito en serie

2. Tiempo vs Voltaje respecto a la descarga del circuito en serie

3. Tiempo vs Voltaje carga-descarga del circuito en serie

4. Valores de carga en serie aplicando Ln

5. Valores de descarga en serie aplicando Ln

6. Valores de descarga en paralelo aplicando Ln

DISCUSION

Consideremos la figura 6.1a donde el condensador C se encuentra inicialmente descargado. Cuando el interruptor S se cierra, figura 6.1b, el condensador se carga hasta que su diferencia de potencial sea igual a VC. Una vez que el condensador ha adquirido su carga, el interruptor conmuta a la posición 2, figura 6.1c, y el condensador se descarga a través de la resistencia R. Ni el proceso de carga, ni el proceso de descarga son instantáneos, requiriendo ambos un tiempo característico que depende del valor de C y del valor de R.

Cuando se cierra el interruptor, de la figura 6.1, en t = 0, la carga de la fuente de poder comienza a fluir instantáneamente por el circuito, se establece una corriente I, y el capacitor empieza a acumular esa carga, proceso al cual se llama cargar un condensador. Después de un tiempo t → ∞ cuando el capacitor almacena el máximo valor de carga qm, la cual depende de los valores fem ε de la fuente y la capacitancia C, y la corriente en el circuito es cero.

Figura 6.1. a) El capacitor C no tiene carga en sus placas. b) El interruptor S en t=0 pasa a la posición 1; para t > 0 el capacitor C acumula carga hasta un valor máximo. c) El interruptor se pasa a la posición 2, entonces el capacitor se descarga a través de la resistencia.

Cuantitativamente, por conservación de la energía, para la figura 6.1b:

Proceso de carga (6.1)

en donde Ri es la caída de potencial en la resistencia R y q C la caída de potencial en el capacitor C. La carga q(t) y la corriente i(t) en un cierto tiempo t contado a partir del momento en que se cierra el interruptor están dadas por las siguientes expresiones, solución a la ecuación (5.1):

donde q Cε m = es la carga máxima sobre las placas del capacitor, im = qm RC es la corriente máxima; RC tiene unidades de tiempo, es conocida como la constante capacitiva de tiempo del circuito, τC, y representa el tiempo que le toma al capacitor alcanzar 0.63 veces su carga máxima qm, ó también el tiempo que toma la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor inicial Im es decir:

Una vez el capacitor C alcance su carga mq el interruptor se pasa a la posición 2, figura 6.1c, proceso de descarga. Ese instante de tiempo lo llamamos ahora instante inicial ó t=0. Para t<0 la carga es qm. En el instante t=0 se establece una corriente que circula en dirección opuesta al proceso de carga y el capacitor se comienza a descargar a través de la resistencia R. La ecuación diferencial para este parte, conocido como proceso de descarga del capacitor la ecuación de movimiento está dada por:

La carga q(t) y la corriente i(t) en cualquier instante de tiempo t a partir del momento en que se inicia la descarga del condensador están dados por las expresiones:

La corriente en el proceso de descarga circula en dirección opuesta a la del proceso

de carga, eso explica el signo menos en la ecuación (6.6). La evolución en el tiempo en el proceso de carga, ecuaciones (6.2) y (6.2´), y de descarga, ecuaciones (6.5) y (6.6) está representada en la figura 6.2:

La magnitud física mensurable es el voltaje, así que las expresiones (6.2), (6.2´), (6.5) y (6.6) quedan respectivamente expresadas en función de las caídas de voltaje en los elementos de circuito C y R para la carga y la descarga así:

Figura 6.2. Dependencia exponencial con el tiempo de la carga q y la corriente i en un circuito serie RC.

En el proceso de carga (ó descarga) también podemos calcular el tiempo t1/2 que gasta el circuito en alcanzar ó reducir a la mitad el valor de su carga máxima ó de su corriente y se encuentra en cualquier caso que:

Observemos también que podemos linealizar la ecuación (6.9) si sacamos a ambos miembros la función logaritmo natural ln :

Así n(V (t)) Cy = l es una ecuación lineal con el tiempo, con pendiente negativa e igual al inverso de la constante de tiempo característica τC