RELACIONES UTILES (CONOCIDAS, POCO USADAS Y NUEVAS) PARA DETERMINAR LAS TENSIONES NORMALES EN FLEXO-COMPRESIÓN EN RÉGIMEN DE PRE O POSFISURACIÓN

CON COMPORTAMIENTO ELÁSTICO LINEAL DEL CONCRETO PRETENSADO

Giovanni BIANCO A. Prof. Titular de las Cátedras de Concreto Armado y de Concreto Pretensado. Fac. de Ingeniería. Escuela

de Civil. Universidad de Carabobo. Venezuela.

Resumen.

Principalmente en el concreto pretensado, en donde en condición de servicio la sección presenta frecuentemente un comportamiento elástico, en pre o posfisuración, se presenta la necesidad de recurrir a fórmulas de flexo-compresión que normalmente no son aplicadas o no son conocidas en el concreto armado calculado en el estado límite último de rotura. Este trabajo pretende poner ala disposición del lector interesado, un conjunto de relaciones que resuelven el problema planteado.

Summary.

Mainly in the prestressed concrete. where in condition of service the section frequently presents an elastic behavior, before or after fisure, the necessity is presented of appealing to flexion + compression formulate that are not usually applied or they are not known in the armed concrete calculated in the .date last limit of break. This work seeks to put to the interested reader's disposition, a group of

1 GENERALIDADES

Se van a determinar otras relaciones para expresar las tensiones normales en flexo-compresión. La conveniencia de empleo de cada una de ellas, a veces notable, depende del caso específico que se esté tratando y de ninguna manera, sobre todo en prefisuración, se pretende siempre sustituir con éstas las que usualmente se han venido empleando. Para el tratamiento que sigue se indicará con N la fuerza excéntrica genérica que produce flexo compresión sobre la sección considerada. En particular, esta fuerza pudiera ser la de pretensado o suma de la de pretensado y de otra externa. Se especificará en cada caso si la sección es o no fisurada y el campo de validez de cada una de las relaciones obtenidas.

2 FÓRMULAS CLÁSICAS BINOMIAS

a) Sección homogénea (no fisurada). La siguiente relación clásica no amerita mayor comentario, porque es la que se ha venido empleando en el cálculo de la sección homogénea u homogeneizada en concreto, aplicando la superposición de efectos. Ella es (Fig.l ):

Fig.l: Sección no fisurada. Flexo-compresión con excentricidades ee con respecto al eje baricéntrico e-e

de Ae.

b) Sección fisurada. No es más válida la superposición de efectos con respecto a la sección inicial. Suponiendo un comportamiento elástico lineal de las porciones resistente y con referencia a la Fig.2, es también notoria la relación:

Esta relación presupone conocidas la posición del eje baricéntrico e-e de la sección transformada, a partir del cual se miden las ordenadas ye, la excentricidad de N (indicada con ec) con respecto a e-e y las características geométricas Ac, Ic. Su empleo no es práctico, ya que requiere previamente la determinación o el conocimiento de la posición del eje neutro (Ejercicio 4d).

Fig.2: Sección fisurada. Flexo-compresión con excentricidades e, (con respecto al eje baricéntrico e-e de

Ac) y en (con respecto al eje neutro n-n de flexo-compresión).

3 FÓRMULA MONOMIA VÁLIDA PARA SECCIONES NO FISURADAS (Secciones homogéneas o transformadas, resistentes a la tracción)

Vale la superposición de efectos, por la suposición de ser una sección totalmente reactiva. De la relación (1) sigue la fórmula de RANKINE

en ella, la tensión normal se anula para:

es decir, cuando:

Haciendo referencia al sistema z,-y, con zl coincidente con el eje neutro de flexo-compresión (Fig.3), la distancia del elemento dA al eje neutro n-n se expresa:

(2) es decir:

y sustituyendo en la relación (13.2-3):

es decir:

Fig.3: Magnitudes consideradas para la obtención de la fórmula monomia válida para la sección no fisurada. M = N - e es el momento debido a la fuerza excéntrica con respecto al baricentro de la sección A, yn es medido a partir del eje neutro n-n de flexo-compresión, I es el momento de inercia baricéntrico

de A.

La relaciones (3) y (4) se prestan también para determinar la excentricidad de la fuerza que produce un diagrama de tensiones normales cualquiera ya conocido (Ejercicio 3). La primera, de manera directa, la segunda tomando en cuenta que dicho diagrama (Fig.3b) siempre se puede suponer como la suma de dos diagramas triangulares.

4 FÓRMULAS MONOMIAS VÁLIDAS PARA SECCIONES NO FISURADAS Y FISURADAS

El diagrama de s de la Fig.4b es directamente proporcional a distancia yn medida a partir del eje neutro n-n de flexo-compresión. Se puede escribir, entonces:

por ser:

con: E = Módulo elástico del materia, constante; r = Radio de curvatura, independiente de la ordenada y; E/r = δ (constante). En efecto, de la Fig.4c resulta que inicialmente AB = dx y luego B pasa a B', por lo que AB sufre un decremento ∆(dx) = BB' = d0 · yn ; es además dx = r · d0, entonces:

a) La condición de equilibrio en dirección horizontal, en el esquema de la Fig.4b se escribe

sustituyendo la relación (5):

de donde, por la misma relación (5):

- Cuando el punto de aplicación de N coincide con S (extremo superior del núcleo):

Por ser:

resulta también:

- Análogamente, cuando el punto de aplicación de N coincide con I (extremo inferior del núcleo):

Por ser

resulta también:

b) La condición de equilibrio a la rotación alrededor del eje n-n, se expresa (Fig.4b):

y por la relación (5) resulta:

y entonces:

- Cuando el punto de aplicación de N coincide con S, resultan:

y las tensiones normales sobre los bordes de la sección son:

- Cuando el eje neutro coincide con el borde inferior, indicando con en = aS,inf , de las relaciones (9) o (10) resulta:

- Análogamente, cuando el punto de aplicación de N coincide con I

- Cuando el eje neutro coincide con el borde inferior, indicando con en = aI,sup , de las relaciones (9) o (11) resulta:

- Igualando la relación (7) con la (l0) y la relación (8) con la (11), se obtienen, respectivamente, las notorias relaciones:

- Igualando las relaciones (6) y (9):

Esta relación es de gran utilidad para la determinación, de manera iterativa, de la posición del eje neutro n-n de flexo-compresión especialmente para secciones fisuradas. Para ello (Ejercicio 4) se comienza fijando la posición k de dicho eje y a determinar las características geométricas Sn e In hasta hacer coincidir primer y segundo miembro de la relación (14). La relación (9) es también de gran utilidad cuando se desea determinar la excentricidad de N con respecto a la posición previamente conocida del eje neutro (por ejemplo en los diagramas triangulares de tensión normal).

Fig.4: Magnitudes consideradas para la determinación la expresión monomia de flexo-compresión, válida

para secciones no fisuradas y fisuradas.

5 RELACIONES MONOMIAS QUE NO DEPENDEN EXPLÍCITAMENTE DE LA POSICIÓN DEL EJE n-n

Todas las anteriores relaciones presuponen conocidas la posición del eje neutro n-n de flexo-compresión. Ahora se va a determinar tres nuevos tipos de relaciones. El primer tipo, no van a depender del conocimiento del mencionado eje; los otros, no dependen explícitamente de su conocimiento, porque la evidencia tensional del problema aseguran su posición. Todas las relaciones se pueden emplear solamente para obtener las tensiones extremas; es decir, aquellas pertenecientes al borde superior y al borde inferior de la sección, y son válidas para secciones no fisuradas. Una premisa indispensable: Cuando N está aplicado en S, el eje neutro coincide con el borde inferior de la sección, la tensión en ese borde es entonces igual a cero y la tensión en el borde superior se puede obtener empleando la relación (7). Recíprocamente, cuando N está aplicado en I, el eje neutro coincide con el borde superior de la sección, la tensión en ese borde es igual a cero y la tensión en el borde inferior se puede obtener empleando la relación (8). a) En flexo-compresión debida a la fuerza excéntrica N, la tensión normal sobre el borde inferior (recipr.: sobre el borde superior) de la sección sometida a flexo compresión se obtiene suponiendo a la misma sección sometida al momento de núcleo (14) superior MS (recipr.: al momento de núcleo inferior M,). Este artificio de cálculo, notoriamente conocido, transforma la fórmula binomia de flexo-compresión en monomia. Con referencia a la Fig. 5b, transportando N en S y agregando el momento MS = N · s* (negativo), se obtiene lo indicado en la Fig. 5c. Luego, para este último esquema, se aplica la superposición de efectos y se obtienen los esquemas de la Figs. 5d y 5e. El primero de estos dos se desecha por arrojar sobre el borde inferior una tensión

normal igual a cero, así que el esquema definitivo para el objetivo específico propuesto, es el de la Fig. 5e y sobre su borde inferior la tensión normal será:

Recíprocamente, trasladando a N sobre I y agregando el momento de traslado M1 = N · i*, se obtiene:

Fig.5: Artificio de cálculo tensional sobre uno de los bordes de la sección empleando solamente el momento de núcleo.

b) Las tensiones normales sobre el borde superior (recipr.: sobre el borde inferior) de una sección sometida a flexo-compresión debida a una fuerza excéntrica N se obtiene: determinando el momento de núcleo M1 (recipr.: el momento de núcleo Ms), convirtiendo ese momento en el par de fuerzas aplicadas en S y en I y considerando solamente la fuerza del par que actúa sobre S (recipr.: que actúa sobre I). Se emplea la ecuación (8) (recipr.: la ecuación 7) escritas bajo la formas:

siendo:

El signo del los numeradores de las relaciones (17) y (18) concuerda con el signo del momento que los produce (MS en el primer caso y MI en el segundo).

es el esfuerzo normal producido por el momento de núcleo MS y aplicado en I.

es el esfuerzo normal producido por el momento de núcleo MI y aplicado en S. Este criterio de cálculo y el que sigue, fueron conjuntamente evidenciados por el autor (1). El criterio que desarrollaremos, aquí se expone como un artificio dentro del artificio ilustrado anteriormente en el punto (a). En lo que sigue se demuestra la validez de la relación (17). Empleando un razonamiento análogo se puede demostrar la validez de la relación (18). Para cualquier posición del centro de presión (Fig.66), trasladando N en S y agregando el momento MS = N · s* (Fig.6c) resulta que la sección está sometida a las fuerzas que se indican en la Fig. d, ya que momento MS que aparece en la Fig.6c puede ser descompuesto en un par de esfuerzos aplicado en S (extremo superior del núcleo) y en I (extremo inferior del núcleo), los esfuerzos del par presentan el valor:

Para diferenciar el hecho de que un esfuerzo del par está aplicado en S (extremo superior del núcleo) y el otro en I (extremo inferior del núcleo), se conviene en agregar a la anterior expresión de el subíndice S e I, respectivamente, en el primer y segundo caso, tal como se mostró en la relación (19). Entonces, por lo expuesto, el esquema de la Fig.6c se transforma en el equivalente de la Fig.6d. Aplicando luego el principio de superposición, se tienen los esquemas de las Figs.6e y 6f.

• Como es objetivo en la obtención de la tensión normal sobre el borde inferior, se desecha el esquema representado en la Fig.6e y para el de la Fig.6f resulta la expresión (17). c) Las tensiones normales sobre los dos bordes extremos de una sección sometida a flexo-compresión debida a una fuerza excéntrica N se obtiene: (1) trasladando N en uno de los extremos del núcleo; (2) agregando el momento de traslado, convertido en un par donde una de las fuerzas se aplica en S y la otra en 1; (3) transformada la sección en examen en dos secciones cargadas solamente con esfuerzos en S y en I; (4) Se utiliza la sección cargada en S para determinar σsup haciendo uso de la relación del tipo (7) y la sección cargada en I para determinar σinf haciendo uso de la relación del tipo (8). Este artificio de cálculo es válido para la compresión axial, la flexión, la flexo- compresión y la flexo-tracción; pero reviste solamente interés, por lo práctico, solamente en las dos últimas solicitaciones compuestas y aquí se aplicará en el caso de la flexo compresión por estar vinculada con el pretensado. Las siguientes observaciones, que se derivan de la observación directa del artificio y de los conocimientos elementales de la estática, pretenden orientar la aplicación correcta y rápida del mismo.

• El extremo de núcleo donde se transporta la fuerza excéntrica tendrá siempre dos fuerzas aplicadas: la transportada y una del parque constituye el momento del núcleo; el signo de esta última (N*) concuerda con el del momento que la produce.

• El signo de la tensión depende del signo del denominador de la relación. N es siempre negativa (compresión), N* será negativa o positiva, según lo que se acaba de exponer.

• Cuando N está ubicada por encima de S (extremo de núcleo), los momentos de extremos de núcleos son siempre positivos, en consecuencia, N* aplicado en S es de compresión y N* aplicado en I es de tracción.

Cuando N está ubicado entre S (extremo superior del núcleo) e I (extremo inferior del núcleo), el momento de extremo inferior del núcleo (MI) es positivo, por ende vale para N* las mismas consideraciones de signo hechas anteriormente; viceversa, el momento de extremo superior del núcleo (MS) es negativo, en consecuencia, N* aplicado en S es de tracción y N* aplicado en I es de compresión.

• Cuando N está ubicado por debajo de I (extremo inferior del núcleo), los dos momentos de extremos de núcleo son negativos.

• Los esquemas de las Figs.6e y 6f se refieren al caso de transportar la fuerza N hasta S. La tensión normal sobre el borde superior se obtiene del análisis de la Fig.6e, mientras que aquella que existe sobre el borde inferior se obtiene del análisis de la Fig.f. En el primer caso resulta, haciendo uso (cuando no se presta a confusión) de la siguiente notación simplificada,:

(N*S)S = -(N*S)1 = N

Y en el segundo:

Los esquemas de las Figs.6e' y 6f' se refieren al caso de transportar la fuerza N en I.

Fig.6: Artificios para el cálculo de las tensiones normales producidas por la flexo-compresión.

EJERCICIO 1: SECCIÓN NO FISURADA

Sobre la sección homogénea que se indica en la Fig.7a actúa la fuerza externa de compresión N = - 600.000 N con excentricidad e = - 0,5 m con respecto al baricentro de la sección. Determinar las tensiones normales en el borde superior e inferior de la sección aplicando las diferentes fórmulas monomias obtenidas anteriormente. El concreto presenta las siguientes características:

fck = 35 MPa; fc,adm = - 15,75 MPa; fctf = 2, 25 MPa.

SOLUCIÓN

Características geométricas de la sección: A = 3.550102 mm2; I= 4.062.853,6104 mm4; i2 = 1.144,47102 mm2; ysup = - 489,1 mm; yinf = 510,9 mm; ksup = - i2/yinf = - 224,0 mm; kinf = - i2/ysup = 234,0 mm. Antes de proceder a cualquier tipo de cálculo, se ha de constatar si la sección trabaja como no fisurada o como fisurada. Para ello es suficiente aplicar la relación (1). Sustituyendo valores y comparando las tracciones de trabajo con las admisibles se concluye que la sección no es fisurada; comparando además la tensión de compresión de trabajo con la admisible, se concluye q se puede aplicar la hipótesis del cálculo elástico lineal para secciones no fisuradas. Con esto, la solución del problema inicia mente planteado queda conclusa; sin

embargo, se aplicarán las otras relaciones obtenidas anteriormente, a manera de justificación de las diversas alternativas que se pueden emplear, advirtiendo que no siempre son las más expeditas para la obtención de resultados. a) Aplicación de la relación (4):

Ella presupone el conocimiento de la posición del eje neutro n-n de flexo-compresión. La posición de n-n con respecto al eje baricéntrico de la sección homogénea es, en valor y signo, (Fig.c):

Figura 7

Las ordenadas del borde interior y del borde superior de la sección con respecto al eje neutro n-n son (Fig.7c):

Sustituyendo valores:

b) Aplicación de la relación (6):

Se ha de conocer el momento estático de la sección con respecto al eje n-n (Fig.7d):

Sustituyendo valores:

Para determinar Sn , también se puede hacer uso de la relación (14): de la Fig.7f se observa que en = 10,9 + 718 = 728,9 mm; de la Fig.d resulta In = 5.923.405,85 104 mm4 y entonces Sn = 81.265.000 mm2. c) Aplicación de las relaciones (15) y (l6):

Sustituyendo:

d) Aplicando las relaciones (17) y (18):

Los momentos estáticos con respecto al borde superior e inferior de la sección de la Fig.7a son, respectivamente:

Las distancias entre el punto de aplicación de N y el extremo superior e inferior del n.c.i. son, respectivamente:

Resultan, además:

porque el momento de núcleo es positivo; es decir, comprime las fibras superiores.

porque el momento de núcleo es positivo; es decir, tracciona las fibras inferiores. Sustituyendo:

e) Aplicando las relaciones del tipo (22) y (23): Trasladando N en S:

En este caso N y N* aplicado en S tienen el mismo signo (compresión), mientras que el N* aplicado en I es de tracción. Sustituyendo:

EJERCICIO 2:

SECCIÓN NO FISURADA Y FUERZA EXCÉNTRICA SOBRE UNO DE LOS EXTREMOS DEL NÚCLEO

Para la sección de la Fig.7a del Ejercicio 1, determinar las tensiones sobre los bordes superior e inferior cuando la fuerza N está aplicada primero en S (extremo superior del n.c.i.) y después en I (extremo inferior del n.c.i).

Datos: N = - 600 kN ; Ssup = 173.625.000 mm3 ; Sinf = 181.375.000 mm3; h = 1.000 mm.

SOLUCIÓN

Cuando N está aplicado en S, empleando la relación (7) resultan:

Cuando N está aplicado en I, empleando la relación (8) resultan:

EJERCICIO 3: SECCIÓN NO FISURADA Y FUERZA EXCÉNTRICA CUALQUIERA. DETERMINACIÓN DE LA EXCENTRICIDAD

La fuerza excéntrica de pretensado P produce un régimen de tensiones normales como el indicado en la Fig.8a y Fig.9ª. Conociendo el valor de P y las características geométricas de la sección, determinar, en cada caso, el valor y la posición de la excentricidad e.

SOLUCIÓN

El diagrama de la Fig.8a, con fuerza de pretensado P y excentricidad incógnita e, resulta suma del diagrama (a1), con fuerza pretensado P1 y excentricidad el y (a2), con fuerza de pretensado P2 y excentricidad e2. Asumiendo como positivo el momento flector que tracciona las fibras inferiores, entre los tres esquemas de la Fig.8 resulta:

Por la relación (13.2-4):

y al sustituir en la relación (a):

El signo final de e, en caso de ser requerido, es de antemano conocido.

Figura 8

De igual manera, el diagrama de la Fig.9, con fuerza de pretensado P y excentricidad incógnita e, resulta suma de los diagramas (al) y (a2):

Por la relación (13.2-4) y sustituyendo en la relación (b):

El signo final de e es a priori también conocido.

Figura 9

La otra manera general para la determinación de la excentricidad, en valor y signo, es por intermedio de una de las dos relaciones:

Necesariamente, en este caso, deberán ser iguales las dos excentricidades de la fuerza de pretensado; es decir, e1 = e2 , porque P es el valor (único) que genera aquel régimen de tensión. La relación (9) también se presta para tal fin. Conocido el diagrama de tensiones, por geometría se puede determinar la posición del eje neutro. Cuando dicho eje coincide con una de los bordes de la sección, el problema se simplifica notablemente.

EJERCICIO 4: SECCIÓN FISURADA

La sección de concreto armado indicada en la Fig.l0a presenta a 60 mm del borde inferior un área de acero As = 1.000 mm2 y una fuerza normal de compresión N 1.200 kN con excentricidad e = - 500 mm. Los materiales presentan las siguientes características:

fck = 30 MPa; fc,adm = - 13, 5 MPa; fctf = 2, 0 MPa; fyk = 400 MPa; fs,adm = 200 MPa.

La sección presenta las siguientes características: h = L000 mm; bw = 200 mm; bl = binf = 500 mm; b2 = bsup = 600 mm; al = asup = 250 mm; a2 = asup =

200 mm; d = 940 mm (altura útil), cp = 60 mm (posición del tendón resultante con respecto al borde inferior).

Determinar las máximas tensiones normales sobre el concreto y sobre la armadura.

SOLUCIÓN

a) Con los datos a disposición y trabajando, por simplicidad, con las características geométricas de la sección bruta y suponiendo la sección totalmente reactiva, se obtienen tensiones de trabajo igual al doble de las obtenidas en el Ejercicio 1 (porque también es doble la fuerza que actúa), es decir: σsup = -2 · 5,3 = 10,6 MPa, σinf = 2 · 2,1 = 4,2 MPa. Comparando la tensión de tracción con la resistencia a tracción por flexión, se concluye que la sección es fisurada, razón por la que habrá que tratarla como tal, de la manera que se indica seguidamente. b) Determinación de la posición del eje neutro n-n. Con referencia a la Fig.10, se tiene:

Figura 10

Fijando ac = 12 y sustituyendo In , Sn y en en la relación (14) (o de manera iterativa, fijando valores de k hasta satisfacer la misma relación), resulta k = 438 mm y en consecuencia:

c) Aplicación de la relación (6): Siendo N = - 1.200 kN, Sn = - 402 105 mm3, yn,sup = - 438 mm (distancia entre eje neutro y borde superior), yn,s = d - k = 940 – 438 = 502 mm (distancia entre eje neutro y armadura), y sustituyendo:

d) Aplicación de la relación (2):

- Área efectiva Ae (área reactiva transformada):

- Posición del eje baricéntrico (e-e) del área Ae: Con respecto al borde superior de la sección de la Fig.l0c, el eje baricéntrico del área reactiva transformada se obtiene de la siguiente expresión:

en donde (Sz1)e es el momento estático del área reactiva trasformada con respecto a la recta coincidente con el borde superior de la sección, igual a:

Las ordenadas del borde superior y del acero en tracción, medidas a partir del eje e-e son: yc,sup = kl = - 231,6 mm, yce,s = d - k I = 726,4 mm (kl posición del eje baricéntrico de la sección transformada con respecto al borde superior de la sección). La excentricidad de N con respecto al eje e-e es:

El momento de inercia de la sección resistente transformada con respecto al eje e-e es:

Las tensiones normales son:

OBSERVACIONES:

1.- Se reconfirma lo enunciado sobre las dificultades operacionales cuando se hace uso de la relación (2). 2.- La no coincidencia de los resultados con respecto al uso de otras relaciones es a causa de las aproximaciones aceptada durante el cálculo de algunas de las características geométricas

EJERCICIO 5: SECCIÓN NO FISURADA. RÉGIMEN DE TENSIÓII EN VIGA PRETENSADA ISOSTÁTICA EMPLEAN DO FORMULAS DE SUPERPOSICIÓN Y DE RANKINE

La Fig.11a representa la sección de centro-luz de una viga pretensada de longitud igual a 30 m. Los otros valores de interés son:

El valor de la carga permanente sobrepuesta (diferente a peso propio, cuyo momento es Mg1 = 1.054.687,5 N · m) más la sobrecarga, es g2 + q = 10.000 N/m y producen sobre la sección un momento global MW = M2 + Mq = 787.500 N · m. Considerando, por simplicidad, las características geométricas que se derivan de la sección bruta, y que antes de la intervención de la carga permanente sobrepuesta se hayan manifestado todas las pérdidas, se desea determinar el régimen d tensión normal sobre el concreto en las fases pre + g1 a t = 0 y en pre + g + q a t = ∞ usando las fórmulas de superposición y de RANKINE.

SOLUCIÓN

El momento total es Mg1 + MW = Mg+q = 1.842.187,5 N · m. a) Aplicando las fórmulas de superposición de efectos (compresión + flexión):

Fase pre + g1 a t = 0:

Fase pre + g + q a t = ∞:

b) Empleando las fórmulas de RANKINE. Fase pre + gl a t = 0: Por efecto del momento de peso propio Mg1, la fuerza Pi pasa de la posición C del tendón resultante a la posición definida a partir de C por el desplazamiento, en valor y signo:

La nueva excentricidad de Pi será:

de donde:

Fase pre + g + q a t = ∞: Después de la intervención del momento Mw la posición de la fuerza P será:

Figura 11

6.- NOTACIÓN

Los símbolos a emplearse tienen los siguientes significados:

7.- BIBLIOGRAFÍA

1. Lecciones de Concreto Pretensado. Volumen 1: Análisis de las Tensiones en las Secciones. Giovanni BIANCO ACCARDI. Publ. Fac. Ing. U.C. Junio 1.983.

2. El Comportamiento del Concreto Pretensado. Tomo I: Fundamentos Teóricos, Materiales y Técnicas. Giovanni BIANCO ACCARDI. Edición CODECIH (Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico de la UC). Valencia. Venezuela. 1.996.