relaciones de fracciones, decimales y...
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New Jersey Center for Teaching and Learning
Inciativa de Matemática Progresiva
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7º Grado Matemática
Porcentaje
www.njctl.org
2012-12-07
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Tabla de Contenidos
Tres tipos de problemas de porcentajes
Porcentaje de cambio
Porcentaje aplicado al decrecimiento
Problemas aplicados a la vida real
Relaciones de fracciones, decimales y porcentajes.
Porcentaje aplicado al crecimiento
Representaciones de porcentajes - Ecuaciones algebraicas
Haga click en el tema para ir a esa sección
Núcleos comunes: 7.RP.3, 7.EE.2, 7.EE.3
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Relaciones de fracciones, decimales y porcentaje
Volver a la tabla de contenidos
Slide 5 / 130Para ayudarte a recordar...
Llenar cada cuadro de los de abajo con un ejemplo del proceso descripto.
% en una fracción % en decimales
fracciones en % decimales en %
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Ordenar los números de menor a mayor.
0.15 12.5% 0.095
Para hacer esto, deben estar todos con la misma forma.Cambiemos a todos en porcentajes:
15% 12.5% 16% 9.5%
Así de menor a mayor:9.5% 12.5% 15% 16%
0.095 12.5% 0.15
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1 Encuentra el menor valor
A 5%
B 1/2
C .5%
D .05
Res
pues
ta
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2 Encuentra el mayor valor
A 120%
B 1.02
C .2%
D 1.19
Res
pues
ta
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3 Encuentra el mayor valor
A 6%
B .6
C 60
D 6
Res
pues
ta
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4 Encuentra el valor más pequeño
A 2%
B .2
C .02
D .2%
Res
pues
ta
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5 Encuentra el valor más pequeño
A 50%
B 500%
C 50.0
D 50.01
Res
pues
ta
Slide 12 / 130Expresa cada decimal o porcentaje en una fracción en su mínima expresión:1) 18% 2) 0.85 3)
4) 5) 5.008 6) 0.0001
Slide 13 / 130Expresar cada fracción como porcentaje:
1) 2) 3)
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6 Expresala como una fracción.
Res
pues
ta
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7 Exprésalo como un decimal.A
nsw
er
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8 Exprésalo como porcentaje
Res
pues
ta
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9 Exprésalo como un decimal
Res
pues
ta
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10 Exprésalo como porcentaje.
Res
pues
ta
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11 Exprésalo como porcentaje
Res
pues
ta
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Tres clases de problemas de porcentajes
Volver a la tabla de contenidos
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Recuerda, los porcentajes son "partes del entero".La parte es el numerador y el entero es el denominador.
17% significa 17 partes por 100 o
Vamos a resolver los problemas de porcentajes.Hay 3 clases de problemas:
1. Encontrar la parte ¿Qué número es el 54% de 34?
2. Encontrar el entero ¿4 es el 60 % de qué número?
3. Encontrar el porcentaje ¿Qué porcentaje es 18 de 28?
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Dos palabras que aparecerán en este tipo de problemas es "es" y "de".
Estas palabras tienen su significado específico en matemáticas.
· "Es" significa igual (=)· "De" significa multiplicación
Para resolver los problemas de porcentaje, traduce las palabras en una ecuación.
Cambia lo siguiente:1. El porcentaje en un decimal2. "es" en "="3. "de " en " "4. Lo que no conozcas en "x"
Después, resuelve la ecuación.
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Encontrando las partes ...
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Ejemplo:Encuentra
40% de 60
.40 60 = 24
20% de 90
.20 90 = 18
Escribe el enunciado matemático.
Escribe el enunciado matemático.
Click
Click
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Cuál es el 10% de 88?Escribe el enunciado matemático
X = .10 88
X = 8.8
Intenta esto:
Encuentra el 12% de 70 ¿Cuál es 40% de 28?
TIRETIRE
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Otro método:
También puedes resolver los problemas de porcentajes mediante la creación de una proporción .
Dado que los porcentajes son partes de un todo, puedes crear la siguiente proporción:
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Al averiguar cual es "la parte" y cual es "el entero", recuerda que tomas un pocentaje de la totalidad y la respuesta (incógnita) es la parte. En otras palabras, el entero es con la palabra "de" y la parte es con la palabra "es".
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Método de las proporciones.
Pasos1. Establecer la proporción como se muestra.
2. Sustituir los valores dados en la proporción.
3. Resolver la proporción.
es
de
%
100=Nota: ¡Puedes usar este cuadro para resolver muchos problemas de porcentajes!
Nota: Intenta encontrar los números que se adjuntan a las palabras o a los símbolos:es, de, o porcentaje .
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Ejemplo: ¿Cuál es el 25% de 400?
Pasos1. Establecer la proporción.
2. Sustituir.
3. Resolver.
es
de
%
100=¿Cuál es el 25% de 400?
25
100400
?
Hacé click en el cuadro para ver si sustituiste
correctamente.
400 x 25 = 100 enteros10,000 = 100 enteros10,000/100 = entero100 = entero
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Ejemplo: ¿Cuál es el 32% de 300?
Pasos1. Establecer la proporción.
2. Sustituir.
3. Resolver.
es
de
%
100= 32
100300
?
Hacé click en el cuadro para ver si sustituiste
correctamente
300 x 32 = 100 enteros9,600 = 100 enteros9600/100 = entero96 = entero
¿Cuál es el 32% de 300?
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Intenta esto:¿Cuál es el 20% de 180?
Pasos1. Establece la proporción.
2. Sustituye.
3. Resuelve.
es
de
%
100=
Res
pues
ta
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12 Encuentra el 30% de 45
Res
pues
ta
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13 ¿Cuál es el 15% de 90?R
espu
esta
Slide 34 / 130
14 Encuentra el valor más alto.
A 20% de 16B 10% de 90C 25% de 40D 100% de 7
Res
pues
ta
Slide 35 / 130
15 Encuentra el valor más alto.
A 2% de 1000B 5% de 500C 10% de 300D 15% de 100
Res
pues
ta
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16 Identifica los valores que sean iguales.
A ¿Cuál es el 40% de 80?B 60% de 70C 25% de 128D 200% de 16 R
espu
esta
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Buscando el entero...
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Recuerda, puedes resolver esto por:1. Traducción a una ecuación2. La creación de una proporción
¿el 40% de qué número es 50?
.40 X = 50
X = 50 .40
X = 125
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Intenta esto:
¿100 es 20% de qué número?
100 = .20 x
100 = x .20
x = 500
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17 ¿56 es el 70% de qué?
Res
pues
ta
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18 ¿el 12% de qué número es 6?
Res
pues
ta
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19 ¿el 65% de qué número es 10?
Res
pues
ta
Slide 43 / 130
20 ¿27 es el 150% de qué número?
Res
pues
ta
Slide 44 / 130
21 ¿el 1% de qué número es 12?
Res
pues
ta
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Buscando los porcentajes...
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¿Qué porcentaje de 80 es 24?
x 80 = 24
X = 24 80
X = .30
X = 30%
Recuerda, puedes resolver esto por:1. Traducción a una ecuación2. La creación de una proporción
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60, ¿qué porcentaje es de 15?
60 = X 1560 = X15
4 = X
400% = X
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22 ¿Qué porcentaje de 3 es 12?
Res
pues
ta
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23 30 ¿qué porcentaje es de 36?
Res
pues
ta
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24 ¿Qué porcentaje de 18 es 180?
Res
pues
ta
Slide 51 / 130
25 ¿2 qué porcentaje es de 1?R
espu
esta
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26 ¿Qué porcentaje de 25 es 20?
Res
pues
ta
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Ya has estudiado tres clases diferentes de problemas de porcentajes.Prueba los tres:
24, ¿es el 40% de qué número?
42 ¿es qué porcentaje de 840?
¿Cuál es el 30% de 45?
TIRE
Slide 54 / 130
27 Encuentra el mayor valor.
A ¿Cuál es el 50% de 50?B ¿Qué número es el 45% de 60?C ¿30 es el 60% de qué número?
D ¿25% de qué número es 150?R
espu
esta
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28 Encuentra el máximo valor de porcentaje.
A ¿Qué porcentaje de 30 es 18?B ¿60 es qué porcentaje de 90?C ¿Qué porcentaje de 70 es 210?D ¿1,000 es qué porcentaje de 100? R
espu
esta
Slide 56 / 130
29 Encuentra 20% de 78.
Res
pues
ta
Slide 57 / 130
30 8, ¿es qué porcentaje de 28?R
espu
esta
Slide 58 / 130
31 ¿Qué número es el 3% de 17?
Res
pues
ta
Slide 59 / 130
32 Encuentra el 27% de 54.
Res
pues
ta
Slide 60 / 130
33 23 ¿es qué porcentaje de 200?
Res
pues
ta
Slide 61 / 130
34 ¿Qué porcentaje de 35 es 20?
Res
pues
ta
Slide 62 / 130
35 ¿el 56% de qué número es 40?
Res
pues
ta
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36 ¿45 es el 30% de qué número?R
espu
esta
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37 ¿cuál es el 62% de 40?
A 24.8B .0155C 24.8%D 15.5
Res
pues
ta
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Porcentaje de cambio
Volver a la tabla de contenidos
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Porcentaje de cambio: La relación de cantidad de aumento o disminución de la cantidad original.
Se trata de un incremento cuando la cantidad nueva es superior a la original y de disminución cuando la nueva cantidad es menor que la original.Para encontrar el porcentaje de cambio, usar la siguiente proporción:
Porcentaje de cambio: Cantidad de crecimiento o disminución = % Cantidad original 100
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Encuentra el porcentaje de cambio (asegurate de marcar si la respuesta es incremento o disminución).
Ejemplo:Cantidad original: 20 Cantidad original: 40Nueva cantidad: 30 Nueva cantidad: 10
Porcentaje de cambio= Porcentaje de cambio=
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Identifica el porcentaje de cambio con aumento o disminución. Luego encuentra el porcentaje de cambio.
1. Original: 45 Nuevo: 75
2. Original: 100 Nuevo: 42
3. Original: 58 Nuevo: 75
TIRE
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¡Intenta esto!
Un CD original costaba $12.99. Ahora está a la venta por $10.99.¿Cuál es el porcentaje de cambio?
TIRE
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¡Intenta esto!
Un alumno en su primera prueba tuvo un 60 y en la segunda evaluación un 85.¿Cuál es el porcentaje de cambio?
TIRE
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38 En 2005, el precio de la hamburguesa en McDonald's fue de $0.89. En 2010, el precio de la hamburguesa en McDonald's fue de $1.19. ¿Cuál es el porcentaje de cambio?
Res
pues
ta
Slide 72 / 130
39 Cantidad original: 500 Nueva: 700 Calcula el porcentaje de cambio.
Res
pues
ta
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40 Cantidad original: 52 Nueva: 17 Encuentra el porcentaje de cambio.
Res
pues
ta
67.3% de decrecimiento
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41 El número de estudiantes que asistieron a FHS en 2010 fue de 1405. En 2011, asistieron 1380 alumnos a FHS. ¿Cuál fue el porcentaje de cambio en cuanto a la inscripción de los alumnos?
Res
pues
ta
Slide 75 / 130
Encuentra el porcentaje de cambio.Precio original: $125Precio para la venta: $75
42
Res
pues
ta
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Res
pues
ta
37.5% de decrecimiento
43 Encuentra el porcentaje de cambio.Precio original: $80Precio para la venta: $50
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42 Un estéreo salía originalmente $360, ahora está de oferta en $200. ¿Cuál es el porcentaje de cambio?
Res
pues
ta
44.4% decrecimiento
44 44
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Representaciones de porcentajes -
Ecuaciones Algebraicas
Volver a la tabla de contenidos
Slide 79 / 130Ya empezaste con la traducción de problemas de porcentajes en ecuaciones.
Recuerda...
Para resolver los problemas de porcentajes, cambia las palabras en ecuaciones.
Cambio:1. Porcentajes en decimales2. "es" en "="3. "de" en " "4. Lo que no conozcas en "x"
Luego, resuelve la ecuación.
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Piensa en esto...
100% + 5% = 105%
¿Cómo es la ecuación en la forma decimal?
1 + 0.05 = 1.05
Por lo tanto, si aumenta el precio de una remera un 5%, el nuevo precio es el 105% del precio original. Para representar la forma algebraica, podrías escribirlo de esta manera:
s = el precio original de la remera
1s + 0.05s = 1.05s
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Ejemplo:
Vendes una remera por $15.50. Este precio representa un 5% de incremento del precio que la pagaste. ¿Cuánto te salió comprar la remera?
s = el precio original de la remera
1s + 0.05s = 15.501.05s = 15.50s = $14.76
La remera te costó $14.76.
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Ejemplo:
La población de la escuela disminuyó un 13% este año con respecto al año anterior. Si hay 957 alumnos en la escuela este año, ¿cuántos había el año pasado?
2 alumnos resolvieron el problema de forma diferente. ¿Cuál es la correcta? ¿Por qué?¿Es un método más fácil que el otro?
Alumno 1: Alumno 2:100% - 13% = 87% 1n - .13n = 957¿87% de qué es 957? 0.87n = 9570.87n = 957 n = 1,100 alumnosn = 1,100 alumnos
Slide 83 / 130Entonces, ¿cuánto significa esto?
m + 0.15m = 1.15m
Esto significa el aumento de m en un 15% o multiplicar m por 1.15.
¡Significan lo mismo!
Del mismo modo, ¿cuál es el significado de...
w - 0.42w = 0.58w
Esto significa que ambos disminuyeron w en 42% o multiplicaron w por 0.58.
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Intenta.
1. Un smart phone sale $299, o 18% menos. ¿Cuál es el precio original del teléfono?Escribe y resuelve una ecuación para representar la situación.
2. ¿Qué significa esta ecuación? p + 0.02p = 1.02p
3. ¿Qué significa esta ecuación? h - 0.1h = 0.9h
Res
pues
ta
Slide 85 / 130
43 Escribe una ecuación para representar el problema, luego resuelve. ¡Está preparado para mostrarme tu ecuación!
Cuando vas de shopping , debes pagar un adicional del 6% en impuestos de ventas. ¿Cuál es el precio de las cosas antes de los impuestos si lo que te cobraron finalmente fue $25?
Res
pues
ta
44 45
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44 Elige una ecuación que represente la situación.
La población de un pueblo se incrementó el 1%.
A x + 0.01x = 1.01xB x + 0.1x = 1.1xC x - 0.1x = 0.9xD x - 0.01x = 0.99x
Res
pues
ta
44 46
Slide 87 / 130
45 Escribe una ecuación para representar el problema, luego resuelve. ¡Está preparado para mostrarme tu ecuación!
El número de los alumnos de la clase decreció un 12% desde septiembre. ¿Cuántos alumnos fueron los que comenzaron si hay una concurrencia de 19 alumnos?
Res
pues
ta44 47
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46 Elige que ecuación representa la situación.
Un 15% de rebaja.
A x + 0.15x = 0.85xB x + 1.5x = 2.5xC x - 0.015x = 0.985xD x - 0.15x = 0.85x
Res
pues
ta
44 48
Slide 89 / 130
47 Escribe una ecuación para representar el problema, luego resuelve. ¡Esta preparado para mostrarme tu ecuación!
Cuando pagaste la factura en un restaurante, incluyó el 24% más por impuestos y propina. Si pagaste $55.80, ¿cuánto fue la cantidad original del almuerzo?
Res
pues
ta
44 49
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Porcentaje aplicado a la disminución
Volver a la tabla de contenidos
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Hay situaciones en las que el porcentaje de cambio va a sufrir una disminución. Los ejemplos son:
· Descuentos· Ventas· Reducción de población
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Cuando encuentras un descuento, hay dos métodos diferentes que puedes usar.
Método 1:Encontrar el porcentaje del precio original (el descuento de la cantidad en $)Resta el descuento del precio original.
Método 2:Resta el porcentaje de 100% (el porcentaje que tú estás pagando)Calcula el porcentaje del precio original.
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Ejemplos: Un sweater de $50 está a la venta con el 20% de descuento. Calcula ese precio.Método 1:Encontrar el porcentaje del precio original (el descuento de la cantidad en $)Restar el descuento del precio original.
Método 2:Restar el porcentaje de 100% (el porcentaje que tú estás pagando)Calcular el porcentaje del precio original.
(Descuento)
(Precio para la venta)
(Porcentaje que tú pagas)(Precio para la venta)
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El gerente quiere ofrecer un 30% de descuento en todas las cosas del negocio. Calcular el precio a la venta de un pulover a $25.
Utilizando cualquiera de los métodos, la respuesta es $17.50
(Descuento)(Precio a la venta)
(Porcentaje que pagaste)
(precio de venta)
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El vendedor tiene pantalones a un precio de $45, con rebajas del 35%. ¿Cuál será el precio real de los pantalones?
Los pantalones salen con la oferta $29.25
(Descuento) (Porcentaje que pagas)
(Precio venta)(Precio venta)
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Mark quiere comprar un estéreo que está en oferta, pero quiere ahorrarse un 30%.
El precio original del estéreo es $425.¿Cuánto dinero está dispuesto a pagar Mark?
(Descuento)
(Precio venta)
(Porcentaje que pagas)(Precio venta)
El está dispuesto a pagar $297.50.
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48 Disminución del 10% en 400
Res
pues
ta
44 50
Slide 98 / 130
49 Una computadora de $710 está con un descuento del 30%. ¿Cuál será el precio de la oferta?
Res
pues
ta
44 51
Slide 99 / 130
50 Un collar sale $120, está rebajado al 15%. ¿Cuál será el precio de la oferta?
Res
pues
ta44 52
Slide 100 / 130
51 La cantidad de alumnos de la escuela secundaria disminuirá un 5% el próximo año. La asistencia actual es de 1407 alumnos. ¿Cuántos asistirán el año próximo?
Res
pues
ta
44 53
Slide 101 / 130
52 Un negocio tiene los productos con el 40% de descuento. ¿Cuál es el porcentaje que pagarán los clientes?
Res
pues
ta
44 54
Slide 102 / 130
53 Las botas salen $80 pero tienen un descuento del 20%. Después de la venta, el vendedor aumenta el precio 20%. ¿Cuál será el precio de las botas después de la venta?
Res
pues
ta
44 55
Slide 103 / 130
Porcentaje aplicadoal crecimiento
Volver a la tabla de contenidos
Slide 104 / 130
Hay situaciones en las que el cambio de porcentaje es un aumento. Por ejemplo:
· Propina· IVA· Incremento de la población
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Cuando encuentras un aumento, hay dos métodos diferentes que puedes usar.
Método 1:Encontrar el porcentaje del precio original(cantidad aumentada)Sumarle el incremento al precio original.
Método 2:Sumarle el porcentaje al 100% (porcentaje que estás pagando)Encontrar el porcentaje del precio original.
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Encontrando una nueva cantidad
Aumento del 20% en 55
(Recargo)(Nuevo precio)
(Porcentaje que pagas)
(Nuevo precio)
Slide 107 / 130
Encuentra el nuevo costo
El aumento del 10% en 60
El aumento del 12% en 68 TIRE
Slide 108 / 130
54 El aumento del 25% en 36.
Res
pues
ta
44 56
Slide 109 / 130
55 El aumento del 15% en 40.
Res
pues
ta
44 57
Slide 110 / 130
Propina: Un precio que se agrega a la factura por los servicios prestados . Los clientes tradicionalmente dan una propina del 18 hasta el 20% por un buen servicio en restaurantes y salones.
Ejemplo:Si en un restaurante la factura es de $45 y quieres dejar un 20% de propina, ¿cuánto dinero estás dejando?
45 + .20(45) = 54 or 45(1.20) = 54
El cliente dejará $54 en la mesa. El mozo recibirá una propina de $9 y el restaurante $45.
Para calcular sólo la propina:
.20(45) = 9
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Calcula el 20% de propina en una factura de $75.
TIRE
¿Cuánto dinero está dejando el cliente en total?
TIRE
Por un mal servicio, mi amigo dejará una propina del 5%.¿Cuánto menos ganará el mozo que el del punto anterior?
TIRE
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I.V.A: La cantidad de dinero que se calcula aplicando un porcentaje a los precios de venta . Los impuestos a las ventas (IVA) son cobrados al comprador, quien le da el dinero al vendedor, que lo devuelve al gobierno. En Nueva Jersey el IVA es del 7%.
Para calcular el IVA debemos encontrar el porcentaje (el impuesto) sobre el precio. Esa es la cantidad que debes más el costo del artículo.
Para calcular el costo total de un artículo, debes sumar el impuesto al costo. Existen dos maneras de hacer esto:
1. Calcular el porcentaje del elemento y agregarle la cantidad original .
2. Calcular el 100% + % del IVA sobre la cantidad original.
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Precio de un auto $23,500. ¿Cuánto tendrá que pagar el cliente de IVA?
23,500(0.07) = $1645
¿Cuánto pagará en total por el auto?
23,500 + 1645 = $25,145
El precio total del auto, incluidos los impuestos, se puede calcular de la siguiente manera:
23,500 + .07(23,500) = 25,145 o 23,500(1.20) = 25,145
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Para debatir: ¿Son las propinas y los impuestos iguales?
Slide 115 / 130
56 ¿Cuánto es el precio total de un estéreo de $250 en Nueva Jersey?
Res
pues
ta
44 58
Slide 116 / 130
57 Calcular el IVA en una bicicleta de $125.
Res
pues
ta
44 59
Slide 117 / 130
58 Mike quiere dejar el 20% para la propina. Gastó$35.50. ¿Cuánto deja de propina?
Res
pues
ta44 60
Slide 118 / 130
59 $65 cuesta un plato en un restaurante. Una pareja quiere dejar el 18% de propina. ¿Cuánto deben dejar en total?
Res
pues
ta
44 61
Slide 119 / 130
60 ¿Cuál es el costo total de un ipod de $123 , incluidos los impuestos?
Res
pues
ta
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Problemas de aplicación en la vida real
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El dueño de un negocio paga $12 por una pulsera. Para cubrir los gatos, el propietario la vende al 150%. Calcular el precio de la pulsera para la venta.
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Un negocio tiene todos los CD's al 20% de descuento. Con la oferta, pagas $12 cada CD.¿Cuál es el precio original?
12 = .80 X
15 =xTIRE
Una pareja le dejó al mozo el 20% de propina, $18.¿Cuál fue el costo de la comida?
20% de qué es 18?.20 X = 18 $90
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Tú y tres de tus amigos cenaron en un restaurante. El costo de las comidas es de $62. Quieren dejar el 15% de la propina. Calcula la propina.
Cuando van a la caja el cajero calcula el IVA sobre el gasto de la comida en un 7%.Determinar cuánto es el IVA. (*Nota: nunca entra la propina en el impuesto)
Calcula el costo total de la comida para cada uno de ustedes.
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Un comercio tiene los ipods con 25% de descuento. Tú quieres comprar un ipod al precio original de $249. El IVA que se le aplicará al ipod es del 7%. ¿Cuál es el precio total?
Una notbook tiene un descuento del 10 % sobre su precio original de $ 325. Como no se vende, el gerente la pone con otro descuento del 20% sobre el precio de oferta.
· ¿Cuál es el nuevo precio de la notbook?
· ¿El nuevo precio de venta sería igual que si el gerente la hubiera puesto con un descuento del 30% sobre el precio original? Explica
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61 Precio al por mayor: $56 Porcentaje adicionado para la venta: 50% Nuevo precio: ?
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62 Las entradas salen $7 en la puerta. Por adelantado salen $5. ¿Cuál es el porcentaje de descuento si uno compra el boleto por adelantado?
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63 De las 560 personas que fueron encuestadas, el 25% prefiere Coca-Cola. ¿Cuántas personas prefieren Coca?
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64 El aumento del 25% en 50. ¿Cuál es la nueva cantidad?
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65 ¿Cuál es el precio original de un par de botas que se venden a $72 después de un descuento del 25%?
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66 Un ipod cuesta $176. Está a la venta con un 20% de descuento y se le agregará el valor del IVA del 7% . ¿Cuál será el costo final del Ipod?
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