Conocer el fundamento teórico que corresponde a relaciones de equivalencia y particiones.

OBJETIVO GENERAL.-

Establecer las características que hacen de una relación, ésta sea una relación de equivalencia.

Determinar los subconjuntos que se obtienen de un conjunto, mediante la partición.

Aplicar la teoría de relación de equivalencia y partición en la resolución de ejercicios.

RELACIONES

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA

REFLEXIVA SIMÉTRICA TRANSITIVA

aRa aRb bRa aRb bRc aRc

x = y (mod ); que se lee “x es equivalente a y módulo de ”

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA

Una relación binaria, definida en un conjunto E≠Ф, es una relaciónde equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Si es una relación de equivalencia, para traducir que una pareja (x,y) verifica la relación se reemplaza la notación general x y por

)(mod)(mod)(mod

)(mod)(mod

)(mod,

zxzyyx

xyyx

yxEx

Entonces si x, y e z son elementos cualesquiera de un conjunto E, y si es una relación de equivalencia en E,

EJEMPLO 1

,...2,1,0,1,2,3..., ZSea

Considere en Z la relación binaria “la diferencia de dosenteros es un múltiplo de 3 ”. (Relación llamada congruencia)

0, aaa

Si a – b es múltiplo de 3, (b – a) es múltiplo de 3.

Si a – b es múltiplo de 3, y (b – c ) es múltiplo de3, a – c es múltiplo de 3.

REFLEXIVA

SIMÉTRICA

TRANSITIVA

EJEMPLO 2Relación de paralelismo

REFLEXIVA

321, lyllrectaslasSean

11 // ll

Determinar si dichas rectas cumplen con la relación de equivalencia.

SIMÉTRICA

1221 //// llllSi

TRANSITIVA313221 ////// llllllSi

1S nSSS ,...,21nSSSE ,...,21

7,6,5,4,3;8,2;9,1

,9,8,7,6,5,4,3,2,1

S

entoncesESea

Es una partición de E en tres conjuntos

Note que: 7,6,5,4,3;8,2;9,2,1Q

No es una partición

Hallar todas las particiones del conjunto dcbaX ,,,

dcbaS ;;;1

dcbaS ,;,2

dcbaS ,,;3

dcabS ,,;4

dbacS ,,;9

cbadS ,,;11

dbcaS ,;,8

cbdaS ,;,10

dcbaS ,;;5

dbcaS ,;;14

cbdaS ,;;12

dacbS ,;;6

cadbS ,;;7

badcS ,;;13

dcbaS ,,,15

LIPSCHUTZ, Seymour. Teoría de Conjuntos. Editorial McGraw – Hill. México. 1992.

Pág. Web. http://elcentro.uniandes.edu.co LOVAL, Service. Diccionario de

matemática. Nuevodia. Ecuador. 2003. Quinet, J. Curso de Matemáticas

Superiores. Edit. Paraninfo. Madrid. 1983.