Relación matemáticaUna relación  , de los conjuntos   es un subconjunto del producto cartesiano

Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.

El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son

iguales:   en este caso se representa   como  , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

¿Qué es el Dominio de una función?

Es precisamente ese conjunto de partida del que hablábamos, que no necesariamente es el

que está a la vista en la tabla, sino un conjunto más grande desde donde hemos elegido a los

números que están en la tabla. Cabe enfatizar en que si el Dominio  (que es un conjunto),

no se indica explícitamente, se toma por convenio el mayor posible.

A la hora de definir o explicitar el dominio de una función, se escribe de esta manera:

f :       

que se lee “F de   en  ” lo que significa que el Dominio es el conjunto de números reales

y cada uno de ellos tendrá un correlativo o “imagen” en el codominio, que también es  .

En otras ocasiones se expresan cosas como esta:

f :  +      +

Eso significa que el dominio y el codominio no son todos los Números Reales sino sólo el

conjunto de los Números Reales positivos.

¿Qué es el Codominio de una función?

El codominio de una función también es un conjunto, y seguramente ya estás deduciendo

el concepto a partir de los puntos anteriormente abordados. De hecho, el codominio de una

función, es lo que llamamos el conjunto de “llegada” es decir, el conjunto del que forman

parte aquellos elementos resultantes de la interacción del conjunto de partida con su

participación en la función.

Veamos la tabla de valores de la función anterior, expresada en un diagrama de Venn:

El dominio son todos los Números reales, de

los cuales hemos utilizado algunos que vemos en el diagrama de la izquierda; el codominio

también son los Números reales, y entre ellos, llamamos imagen o rango a aquellos que

terminan siendo efectivamente resultado de la función, en este caso serían -3, -1, 0, 1, 5 y 7.

Con este mismo gráfico y a propósito de los conceptos de dominio y codominio de una

función, aprovecharemos a definir otro concepto muy  importante en el contexto de este

tema: el concepto de par ordenado en una función.

Es muy sencillo, si observas con atención, como dijimos antes para cada valor de “x”

elegido, obtendremos un sólo valor de “y”. Ambos valores constituyen un par, donde el

orden importa porque el primer elemento del par señala la variable independiente y el

segundo la variable dependiente.

Así, los pares ordenados que surgen en este ejemplo en especial, son los siguientes: (-2, -

3), (-1,-1), (0,1), (2,5) y (3,7).- See more at: http://matematicasmodernas.com/dominio-y-codominio-de-una-funcion-algebraica/#sthash.AABqKvu2.dpuf

 Definición de Función Hay muchos tipos de relaciones. Entre las más importantes relaciones algebraicas están las funciones. Una función es una relación en la cual una variable especifica un valor determinado de otra variable. Por ejemplo, cuando avientas la pelota, cada segundo que pasa tiene una y sólo una altura correspondiente. El tiempo sólo avanza hacia adelante, y nunca se repite. La altura de la pelota depende de qué tanto tiempo ha pasado desde que dejó tu mano. Ésta es una relación en una sola dirección — a pesar de que cada momento del tiempo es único, es posible que la pelota esté a una altura particular más de una vez cuando va hacia arriba y cuando va hacia abajo. El saber el tiempo te dará la altura, pero el saber la altura no te dará el tiempo. Las partes de una función se llaman entradas y salidas. Una entrada es la cantidad independiente que no se repite. La salida es la cantidad dependiente. El valor de la salida

depende del valor de la entrada. Para cada entrada, hay una salida única. En el caso de aventar la pelota al el aire, el tiempo es la entrada y la altura es la salida. Veamos algunos ejemplos para familiarizarnos con reconocer qué es una función y qué no lo es. ¿Recuerdas la última vez que estuviste en un estacionamiento? No te sorprendería saber que hay una relación entre el número de carros y el número de llantas que hay ahí — el número de carros y el número de llantas están ligados. ¿Es esta relación una función? ¿Puedes utilizar el número de carros para encontrar el número de llantas? Claro que puedes. Cada carro tiene 4 llantas, entonces el número de llantas depende de cuántos carros hay en el estacionamiento. Cada entrada de carros especifica una sola salida posible de llantas. (En éste ejemplo, la relación de llantas a carros es también una función — el número de llantas también especifica el número de carros.) Ahora considera una relación diferente, entre casas y la gente que vive en ellas. Si una dirección es la entrada, y la salida el número de ocupantes, ¿es la relación también una función? Piensa en tu propio apartamento — las personas que se encuentran en él ¿son siempre las mismas? No. Aquella vez que fuiste de campamento, la ocupación cambió. Cada vez que invitaste a un amigo, también cambió. Como una dirección puede producir más de un conjunto de ocupantes, la relación no es una función. He aquí una regla útil que usamos para reconocer funciones: Si aplicas la entrada más de una vez, ¿hay garantía de que siempre obtendrás la misma salida? Con los carros y las llantas, la respuesta es sí, Para una entrada de 25 carros siempre obtendremos una salida de 100 llantas, no importa qué 25 carros entran al estacionamiento o cuándo lo hacen. La relación es una función.

Función analíticaEn matemáticas una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente. Una función analítica es suave si tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en un abierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica.

Características de las funciones polinomiales de grados: cero, uno y dos.

Características de las funciones polinómicas de grados: cero, uno y dos.

El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el 

polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se 

muestra en las siguientes funciones:

Es de grado cero, se le conoce como función constante. 

Es de grado uno, también conocida como función lineal. 

Es de grado dos, se le conoce como función cuadrática.

FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS 3 Y 4Funciones polinomiales de grado 3: 

Función polinomial de tercer grado. La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:

y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

donde a3 6= 0.

La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.

EJEMPLO: 

y = x^3

 Empezamos calculando sus raíces.

         Para que y = 0 se requiere que x3 = 0.

         _ En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero.

 

          El único número que satisface la condición anterior es x = 0.

         Esta es la única raíz de la función.

         Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el

conjunto de los números reales.

         El contradominio se calcula de la sigiuente manera:

 Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también.

 Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.

         Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x

crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho.

         Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos.

         La gráfica de la función está enseguida:

 

 

 

Segundo Ejemplo:

 

La función f (x) = x^3 puede factorizarse como y = x _ x _ x. Para encontrar una raíz de la función debemos contestar a la pregunta: «¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces es igual a cero?» Y la respuesta es obvia: «el número cero multiplicado por si mismo nos da cero», (0)(0)(0) = 0. Es decir, x = 0 es una raíz de la función, porque f (0) = 0.

y = x^3-3

Empezamos calculando sus raíces.

          Para eso factorizamos la expresión:

y = x . (x^2 - 1) = x. (x + 1)  (x - 1)

         De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función.

         Para que el producto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de ellos sea

cero.

         Tenemos tres casos: x =-1, x = 0  ,y..  x = 1.

         Entonces, la función corta al eje x en x = -1, x = 0 ,y…  x = 1.

         De nuevo,el dominio es el conjunto de los números reales, por cerradura.

         Y el contradominio también, porque cuando los valores de x crecen f (x)crece.

         Esto ocurre para valores positivos como negativos

Introducción Las relaciones y las funciones describen la interacción entre variables que están ligadas. Estas relaciones incluyen valores independientes y entradas, que son las variables que pueden ser manipuladas por las circunstancias. También incluyen valores dependientes y salidas, que son las variables determinadas por los valores independientes. Existe otro par de componentes que debemos considerar cuando hablamos de relaciones, se llaman dominio y rango. El dominio de una función o relación es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Es la colección de todas las entradas posibles. El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de todas las salidas posibles. Al poner a todas las entradas y las salidas en grupos separados, el dominio y el rango nos permiten encontrar y explorar patrones en cada tipo de variable. Dominio y Rango: Ejemplos y Notación El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos. Ya que el tiempo transcurre continuamente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

 El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mando estaba a 3 pies del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 12 pies también con respecto al suelo, entonces el rango es de 3-12 pies. Ya que la altura cambia constantemente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final. Ahora veamos otro ejemplo de dominio y rango, Aquí hay una serie de figuras, cada una de ellas formada por cuadrados.

Función racionalEste artículo trata sobre el concepto matemático. Para la «capacidad de razonar», véase Racionalidad.

En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.1 Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinimios de varias variables.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

 

Las funciones racionales  son del t ipo:

Función racional de grado 2:

Función racional de grado 3:

El dominio  de una función racional  de lo forman todos los

números reales menos los valores de x que anulan el

denominador.

Ejemplo

1.3.- CÁLCULO DEL DOMINIO DE  FUNCIONES RACIONALES

Para el cálculo del dominio de las funciones con la x en el denominador o racionales, hay que tener en cuenta que el denominador de una fracción nunca puede ser nulo.Luego los valores de x que hagan cero el denominador de la función no pueden pertenecer al dominio de la misma

Asíntotas verticales.-

Cuando una función no está definida en un punto b, pero para valores cercanos a dicho punto (por la derecha, por la izquierda o por ambos lados), las imágenes correspondientes se hacen cada vez más grandes en valor absoluto, estamos ante una situación en la que aparece una asíntota vertical, que es la recta x=b. Se dice que en dicho punto, la función "tiende a infinito".

Asíntotas horizontales.-

Si estudiamos lo que ocurre con las imágenes cuando los valores de la variable independiente se hacen muy grandes (hablando en valor absoluto), puede ocurrir que éstas se vayan acercando a un valor determinado, y=c, sin llegar nunca a tomarlo. En tal caso, la recta y=c es una asíntota horizontal, dado que la función tiende a "pegarse" a dicha recta "en el infinito".

En el ejemplo anterior, la función y=5/(x-2) también tenía éste comportamiento, con y=0 (el eje OX) como asíntota horizontal.

Veamos una función parecida: y=5/(x+2) + 3.

Grafica de una función racional

Función exponencialFunciones exponenciales

Gráfica de Funciones exponenciales

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

Ejemplo 1:

Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?

2. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?3. ¿Después de cuanto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Solución:

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?

Si x representa el número de años transcurridos, según lo aprendido en la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, sabemos que la fórmula para la población es:

f x = 50 × 3 x2

2. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?

Usando la fórmula para x = 4, la población será:

f 4 = 50 × 3 42 = 50 × 3 2 = 450

Después de 4 años habrá 450 aves.

3. ¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:

f x = 50 × 3 x2 1000 = 50 × 3 x2 20 = 3 x2 ln (20 ) = ln ( 3 x2 ) ln (20 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (20 )ln (3 ) = x x = 5.4

La población de aves será de 1000 individuos después de 5.4 años.

Reglas de los Exponentes Un exponente sólo aplica al valor que esta inmediatamente a su izquierda Cuando una cantidad entre paréntesis es elevada a una potencia, el exponente aplica a todo lo que está dentro del paréntesis. Para multiplicar dos términos que tienen la misma base, sumar sus exponentes. (nx)(ny)=nx+y

 Para elevar la potencia a una potencia, multiplicar los exponentes. (nx)y= nxy

Logaritmo naturalEl logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el númeroe, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182818284590452353602874713527. El logaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.

El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.

Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.2 Esta definición puede extenderse a los números complejos.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 

1. Dos números distintos tienen logaritmos distintos. 

Si  

2. El logaritmo de la base es 1 

, pues  

3. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base 

, pues  

4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

 

 

5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

 

 6. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la

base de la potencia 

RadiánEl radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas.

Amplitud de onda:

La distancia por encina o por debajo de la línea central de una forma de onda representa la

amplitud de la señal. Cuanto mayor es la distancia, mayor será la variación de presión o la

señal eléctrica.

La amplitud puede medirse usando varios estándares. Los máximos positivos y negativos de

uina onda se conocen como valor de pico, y la distancia entre el pico negativo y positivo se

conoce como valor pico a pico.

El valor medio eficaz (root meant square o RMS) se usa como vaor medio más significativo

entre amos, y es el que se aproxima más al nivel percibido por nuestros oidos.

En una onda sinusoidal, el valor RMS se calvula elevando al cuadrado la amplitud de la onda

en cada punto y es 0.707 veces el valor de pico. Al ser el cuadrado de un número el valor

RMS siempre será un valor positivo.

Frecuencia:

La frecuencia es el número de veces que una masa vibratoria o señal eléctrica repite un ciclo,

de positivo a negativo (amplitud).

El desplazamiento completo de una onda, que corresponde a un giro de 360º en una

circunferencia, se conoce como ciclo.

Se define la longitud de onda, como la distancia que recorre el pulso mientras un punto realiza una oscilación completa. El tiempo que tarda en realizar una oscilación se llama periodo ( T ) y la frecuencia (  ) es el número de oscilaciones (vibraciones) que efectúa cualquier punto de la onda en un segundo.