Relacin de indeterminacin de Heisenberg

Grco del Principio de Indeterminacin de Heisenberg.

En mecnica cuntica, la relacin de indeterminacinde Heisenberg o principio de incertidumbre establecela imposibilidad de que determinados pares de magnitu-des fsicas sean conocidas con precisin arbitraria. Sucin-tamente, arma que no se puede determinar, en trminosde la fsica cuntica, simultneamente y con precisin ar-bitraria, ciertos pares de variables fsicas, como son, laposicin y el momento lineal (cantidad de movimiento)de un objeto dado. En otras palabras, cuanta mayor cer-teza se busca en determinar la posicin de una partcula,menos se conoce su cantidad de movimientos lineales y,por tanto, su masa y velocidad. Este principio fue enun-ciado por Werner Heisenberg en 1925.El principio de indeterminacin no tiene un anlogo cl-sico y dene una de las diferencias fundamentales entrefsica clsica y fsica cuntica. Desde un punto de vistalgico es una consecuencia de axiomas corrientes de lamecnica cuntica y por tanto estrictamente se deducede los mismos.

1 Explicacin cualitativa del prin-cipio de incertidumbre

La explicacin divulgativa tradicional del principio deincertidumbre arma que las variables dinmicas comoposicin, momento angular, momento lineal, etc. se de-nen de manera operacional, esto es, en trminos relati-vos al procedimiento experimental por medio del cual sonmedidas: la posicin se denir con respecto a un siste-ma de referencia determinado, deniendo el instrumentode medida empleado y el modo en que tal instrumento seusa (por ejemplo, midiendo con una regla la distancia quehay de tal punto a la referencias ).Sin embargo, cuando se examinan los procedimientos ex-perimentales por medio de los cuales podran medirse ta-les variables en microfsica, resulta que la medida siem-pre acabar perturbada por el propio sistema de medi-cin. En efecto, si por ejemplo pensamos en lo que serala medida de la posicin y velocidad de un electrn, pa-ra realizar la medida (para poder ver de algn modo elelectrn) es necesario que un fotn de luz choque con elelectrn, con lo cual est modicando su posicin y velo-cidad; es decir, por el mismo hecho de realizar la medida,el experimentador modica los datos de algn modo, in-troduciendo un error que es imposible de reducir a cero,por muy perfectos que sean nuestros instrumentos.Esta descripcin cualitativa del principio, sin ser total-mente incorrecta, es engaosa en tanto que omite el prin-cipal aspecto del principio de incertidumbre: el principiode incertidumbre establece un lmite ms all del cul losconceptos de la fsica clsica no se pueden emplear. La f-sica clsica concibe sistemas fsicos descritos por mediode variables perfectamente denidas en el tiempo (velo-cidad, posicin,...) y que en principio pueden conocersecon la precisin que se desee. Aunque en la prctica re-sultara imposible determinar la posicin de una partculacon una precisin innitesimal, la fsica clsica concibetal precisin como alcanzable: es posible y perfectamenteconcebible armar que tal o cual partcula, en el instantede tiempo exacto 2 s, estaba en la posicin exacta 1,57 m.En cambio, el principio de incertidumbre, al armar queexiste un lmite fundamental a la precisin de la medida,en realidad est indicando que si un sistema fsico real sedescribe en trminos de la fsica clsica, entonces se esthaciendo una aproximacin, y la relacin de incertidum-bre nos indica la calidad de esa aproximacin.Por motivos culturales y educativos, las personas se sue-len enfrentar al principio de incertidumbre por prime-

1

2 2 CONSECUENCIAS DE LA RELACIN DE INDETERMINACIN

ra vez estando condicionadas por el determinismo de lafsica clsica. En ella, la posicin x de una partcula pue-de ser denida como una funcin continua en el tiempo,x = x(t) . Si la masa de esa partcula es m y se mueve avelocidades sucientemente inferiores a la de la luz, enton-ces el momento lineal de la partcula se dene como masapor velocidad, siendo la velocidad la primera derivada enel tiempo de la posicin: p = mdxdt .Dicho esto, atendiendo a la explicacin habitual del prin-cipio de incertidumbre, podra resultar tentador creer quela relacin de incertidumbre simplemente establece unalimitacin sobre nuestra capacidad de medida que nosimpide conocer con precisin arbitraria la posicin inicialx(0) y el momento lineal inicial p(0) . Ocurre que si pu-diramos conocer x(0) y p(0) , entonces la fsica clsicanos ofrecera la posicin y la velocidad de la partcula encualquier otro instante; la solucin general de las ecuacio-nes de movimiento depender invariablemente de x(0) yp(0) . Esto es, resolver las ecuaciones del movimiento lle-va a una familia o conjunto de trayectorias dependientesde x(0) y p(0) ; segn qu valor tomen x(0) y p(0) , setendr una trayectoria dentro de esa familia u otra, perola propia resolucin de las ecuaciones limita el nmero detrayectorias a un conjunto determinado de ellas. Segn seha razonado, de acuerdo con el principio de incertidum-bre x(0) y p(0) no se pueden conocer exactamente, asque tampoco podrn conocerse x(t) y p(t) en cualquierotro instante con una precisin arbitraria, y la trayectoriaque seguir la partcula no podr conocerse de maneraabsolutamente exacta. Este razonamiento es, sin embar-go, incorrecto, pues en l subyace la idea de que, pese aque x(0) y p(0) no se pueden conocer exactamente, esposible continuar usando la descripcin clsica en virtudde la cual una partcula seguir una trayectoria denidapor la solucin general de las ecuaciones de movimiento,introduciendo la nocin aadida de que las condicionesiniciales x(0) y p(0) no pueden conocerse al detalle: estoes, no podemos conocer exactamente qu trayectoria vaa seguir la partcula, pero estaremos aceptando que, defacto, va a seguir una.Esta forma de proceder es, sin embargo, totalmente in-correcta: el principio de incertidumbre conlleva un des-vo completo de las concepciones clsicas, haciendo quela nocin clsica de trayectoria debe ser desechada: pre-guntar cules son simultneamente los valores de x(t) yp(t) es un absurdo. As dicho, podra resultar paradjicoque primero se establezca una relacin de incertidumbreen trminos de posicin x y momento lineal p , para lue-go armar que x y p , que aparecen en dicha relacin, notienen sentido: si no tienen sentido, qu sentido puedetener una relacin que las emplee? Ocurre que, en fsicacuntica, es posible introducir una serie de entidades ma-temticas x y p que se correspondan en muchos aspectoscon la posicin y el momento clsicos. Dichas entidadesno son, no obstante, exactamente iguales a la posicin yel momento clsicos: el principio de incertidumbre senci-llamente indica que si interpretamos esas entidades como

posicin y momento lineal -y por tanto interpretamos elmovimiento de una forma clsica-, entonces existe un l-mite fundamental en la precisin con que dichas variablespueden ser conocidas; esto es, si intentamos introducir va-riables clsicas e intentamos interpretar el movimiento deforma clsica, la precisin con que estas variables puedenser especicadas est limitada.

2 Consecuencias de la relacin deindeterminacin

Este principio supone un cambio bsico en la naturalezade la fsica, ya que se pasa de un conocimiento absolu-tamente preciso en teora (aunque no en el conocimientobasado slo en probabilidades). Aunque debido a la pe-queez de la constante de Planck, en el mundo macros-cpico la indeterminacin cuntica es casi siempre com-pletamente despreciable, y los resultados de las teorasfsicas deterministas, como la teora de la relatividad deEinstein, siguen teniendo validez en todos casos prcticosde inters.Las partculas, en mecnica cuntica, no siguen trayecto-rias denidas. No es posible conocer exactamente el valorde todas las magnitudes fsicas que describen el estado demovimiento de la partcula en ningn momento, sino s-lo una distribucin estadstica. Por lo tanto no es posibleasignar una trayectoria a una partcula. S se puede decirque hay una determinada probabilidad de que la partculase encuentre en una determinada regin del espacio en unmomento determinado.Comnmente se considera que el carcter probabilsticode la mecnica cuntica invalida el determinismo cien-tco. Sin embargo, existen varias interpretaciones de lamecnica cuntica y no todas llegan a esta conclusin. Se-gn puntualiza Stephen Hawking, la mecnica cunticaes determinista en s misma, y es posible que la aparenteindeterminacin se deba a que realmente no existen po-siciones y velocidades de partculas, sino slo ondas. Losfsicos cunticos intentaran entonces ajustar las ondas anuestras ideas preconcebidas de posiciones y velocida-des. La inadecuacin de estos conceptos sera la causa dela aparente impredecibilidad. Otros fenmenos deduci-bles o conectados con el principio de indeterminacin deHeisenberg son:

Efecto tnel

Energa del punto cero

Existencia de partculas virtuales

Energa del vaco e inexistencia del vaco absoluto.

Radiacin de Hawking e inestabilidad de agujerosnegros

3.2 Demostracin 3

3 Enunciado matemticoSi se preparan varias copias idnticas de un sistema enun estado determinado, como puede ser un tomo, lasmedidas de la posicin y de la cantidad de movimientovariarn de acuerdo con una cierta distribucin de proba-bilidad caracterstica del estado cuntico del sistema. Lasmedidas del objeto observable sufrirn desviacin estn-dar x de la posicin y el momento p. Verican enton-ces el principio de indeterminacin que se expresa mate-mticamente como:

x p ~2

donde la h es la constante de Planck (para simplicar, h2suele escribirse como ~ )El valor conocido de la constante de Planck es:

h = 6; 626 0693(11)1034 Js = 4; 135 667 43(35)1015 eVsEn la fsica de sistemas clsicos esta indeterminacin dela posicin-momento no se maniesta puesto que se apli-ca a estados cunticos del tomo y h es extremadamen-te pequeo. Una de las formas alternativas del principiode indeterminacin ms conocida es la indeterminacintiempo-energa que puede escribirse como:

E t ~2Esta forma es la que se utiliza en mecnica cuntica paraexplorar las consecuencias de la formacin de partculasvirtuales, utilizadas para estudiar los estados intermediosde una interaccin. Esta forma del principio de indeter-minacin es tambin la utilizada para estudiar el conceptode energa del vaco.

3.1 Expresin general de la relacin de in-determinacin

Adems de las dos formas anteriores existen otras de-sigualdades como la que afecta a las componentes Ji delmomento angular total de un sistema:

JiJj ~2 jhJkij

Donde i, j, k son distintos y Ji denota la componente delmomento angular a lo largo del eje xi.Ms generalmente si en un sistema cuntico existen dosmagnitudes fsicas a y b representadas por los operadoresu observables denotados como A^; B^ , en general no se-r posible preparar una coleccin de sistemas todos ellosen el estado , donde las desviaciones estndar de lasmedidas de a y b no satisfagan la condicin:

A^ B^ 12hj[A^; B^]ji

3.2 DemostracinLa expresin general de la relacin de indeterminacin sededuce de los postulados I y III de la mecnica cuntica.La demostracin ms particular de que existen magnitu-des que no pueden conocerse con precisin arbitraria usatambin y de manera crtica el postulado VI.Para probar el principio de indeterminacin de Heisen-berg supongamos dos observables A y B cualesquieray supongamos un estado j i tal que fj i;Aj i;Bj ig D(A)\D(B) . En esa situacin puede demostrarse que:

(1) A B 12 jh j[A;B] ij

Donde:

A =qhA2i hAi2 , la incertidum-

bre medida como desviacin estndar del va-lor de una medida sobre el estado j i .[A;B] = ABBA , el conmutador de ambosobservables.

Deniendo a partir deA yB , los operadores autoadjuntos:

A = A hAi ; B = B hBi

Se puede construir la funcin real:

y() = h j( A i B)( A + i B)j i =k( A+ i B) k2 0

Y desarrollando el producto escalar anterior:

(2) y() = h j B2 i2 +h ji[ A; B] i+ h j A2 i

Teniendo en cuenta que:

1. [ A; B] = [A;B]2. A2 = (h jA2 i h jA i2) = (hA2i

hAi2 )3. B2 = (h jB2 i h jB i2) = (hB2i

hBi2 )

La ecuacin (2) puede ser reescrita como:

(3) y() = ( B)22+h ji[ A; B] i+( A)

2

Como i[A;B] es un operador hermtico los coecientes dela funcin polinmica anterior son reales, y como la ex-presin anterior es real para todo valor de necesaria-mente el discriminante del polinomio asociado debe sernegativo:

4 4 ESTIMACIN DE LA ENERGA DE NIVELES FUNDAMENTALES

(4) h ji[A;B]j i24( A)2( B)2 0

Reordenando y obteniendo races cuadradas en la ecua-cin anterior se obtiene precisamente la ecuacin (1). Sise particulariza la ecuacin (1) tomando A=P; B=X :

( X)( P ) 12 jh j[X;P ]j ij =12 jh ji~ j ij = ~2

4 Estimacin de la energa de nive-les fundamentales

Mediante el principio de incertidumbre es posible esti-mar la energa del punto cero de algunos sistemas. Pa-ra ello supondremos que en tales sistemas el punto cerocumple que la partcula estara clsicamente en reposo (anivel cuntico signica que el valor esperado del momen-to es nulo). Este mtodo del clculo de energas tan soloda una idea del orden de magnitud del estado fundamen-tal, nunca siendo un mtodo de clculo del valor exacto(en algn sistema puede resultar que el valor obtenido seael exacto pero ello no deja de ser ms que una simple ca-sualidad). La interpretacin fsica del mtodo es que de-bido al principio de incertidumbre, la localizacin de lapartcula tiene un coste energtico (el trmino de la ener-ga cintica), de modo que cuanto ms cerca del centrode fuerzas est la partcula ms energa tendr el sistemadebido a las uctuaciones cunticas, de modo que en elnivel fundamental el sistema minimizar su energa total.

4.1 Partcula en un potencial culombianoA continuacin se estimar la energa fundamental de untomo monoelectrnico. Por el principio de indetermina-cin se tiene que:

r p ~2

Empleando como estimacin que para el nivel fundamen-tal se cumple:

r p ~ ) p ~r

La energa total es la suma de cintica ms potencial. Da-do que el valor medio del momento radial es nulo, su valorcuadrtico esperado ser igual a su desviacin y se apro-ximar el valor esperado del inverso del radio al inversode su desviacin.

hEi = hT i+hV i = h p2

2meih 1

40

Ze2

ri ~

2

2me(r)2 140

Ze2

r

En el nivel fundamental la energa ha de ser mnima demodo que:

dE

dr= 0 ) r = ~

240meZe2

= a0

El valor obtenido es casualmente idntico al radio de Bohry sustituyendo en la estimacin obtenida para la energase obtiene:

E = (Ze2)2me

2~2(40)2= E0

Casualmente este es exactamente la energa del estadofundamental de un tomo hidrogenoide. El objetivo delmtodo es la estimacin del valor, si bien en este ejemploparticular obtenido es idntico al calculado formalmente.

4.2 Oscilador armnico unidimensionalEmpleando como estimacin:

x p ~ ) p ~x

Tomando que el valor medio de la posicin y momentoson nulos debido a la simetra del problema se tiene quela energa total es:

hEi = hT i+ hV i ~2

2m(x)2+

1

2m!2(x)2

Minimizando la energa:

dE

dx= 0 ) (x)2 = ~

m!

Sustituyendo el valor en la energa se obtiene:

E = ~! = 2E0

Como se puede observar el valor obtenido es el doble delpunto cero del oscilador armnico, de modo que aunqueel valor obtenido no sea exacto el orden de magnitud s esel correcto.

4.3 Partcula en un pozoSea una partcula que se encuentra connada en un po-zo innito de anchura 2a. Dado que las nicas posicionesposibles de la partcula se encuentran dentro del pozo sepuede estimar que:

6.2 Enlaces externos 5

x p ~ x a ) p ~a

La energa cintica ser por tanto:

hEi = hp2i

2m ~

2

2ma2=

4

2E1

Como se observa el resultado obtenido diere en un factoralgo superior a 2 del valor real, pero de nuevo el ordende magnitud es el correcto. Este clculo da una idea delas energas que hay que aportar para connar una ciertaprticula en una regin, tal como puede ser un nuclen enel ncleo.

5 Vase tambin Fluctuaciones cunticas Ecuacin de Schrdinger

6 Referencias

6.1 Bibliografa Galindo, A.; Pascual, P. (1978).Mecnica Cuntica.Madrid: Alhambra.

Bosyk, Gustavo Martn (2 de septiembre de 2014).Ms all de Heisenberg. Relaciones de incerteza tipoLandau-Pollak y tipo entrpicas.. p. 113. Consultadoel 23 de septiembre de 2014.

6.2 Enlaces externos The certainty principle (en ingls) Principio de indeterminacin y las abuelas (divulga-tivo)

6 7 TEXTO E IMGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

7 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias7.1 Texto

Relacin de indeterminacin de Heisenberg Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_indeterminaci%C3%B3n_de_Heisenberg?oldid=83007740 Colaboradores: 4lex, Moriel, SpeedyGonzalez, Zwobot, Voise, Miguel etsit, Sms, Rodrigouf, Anv, Txuspe,Airunp, Rembiapo pohyiete (bot), Gussisaurio, Magister Mathematicae, Guanxito, Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Chobot, YurikBot,KnightRider, Eskimbot, Hatrum, Cgbraschi, Gtz, Maldoror, Chlewbot, MiGUi, Paintman, BOTpolicia, CEM-bot, Backmind, Roblespe-pe, JMCC1, Durero, Moleculax, Davius, Joigus, Xabier, Latorre, Xoneca, Gabriel Vidal, Migp~eswiki, JAnDbot, Kved, Rafa3040, Murode Aguas, TXiKiBoT, Lon Abirisain, Balrog, Humberto, Narayan82, McLaurin, Jtico, Uruk, AlnoktaBOT, Matdrodes, Lucien leGrey,Peregring-lk, Gerakibot, SieBot, Ensada, DaBot~eswiki, Loveless, Pompilio Zigrino, F. Neir(A), Manw, El bot de la dieta, DragonBot, Pi-xelBot, Veon, Leonpolanco, Alecs.bot, Alexbot, AVBOT, LucienBOT, Louperibot, MastiBot, Hemingway10, Diegusjaimes, Ptbotgourou,FariBOT, Jotterbot, Xqbot, Jkbw, Kismalac, Botarel, AstaBOTh15, RedBot, Manuel Calvo, DixonDBot, CVBOT, Foundling, Groucho-Bot, Astroalicante, Jonas De Kooning, EmausBot, ZroBot, Alfredomalagon, Elas, Eseotres, Akma72, Alberto Leguiza, Palissy, Meibit,Eulehilb, MetroBot, Julix1997, Addbot, Luiseditor99, Gonzalo.villarreal, Jpgonzalez90, Jarould y Annimos: 138

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