regresion_polinomica

8/3/2019 Regresion_Polinomica

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Regresin Polinmica

Algunos fenmenos resultan ser mejor representados por un polinomio y aunque a veces

puede no ser particularmente "natural", es decir, aquella que expresa una relacin de causa y

efecto entre las variables; sin embargo, es tan flexible y tan fcilmente manejable en formamatemtica, que resulta de gran utilidad.

El problema consiste en encontrar los coeficientes de los trminos en las ecuaciones, quedarn un polinomio que cumplir el requisito de que la suma de cuadrados sea mnima. Para

esto se har uso de las "ecuaciones normales". Se necesitara tantas ecuaciones como

coeficientes haya, o una mas que el grado de la ecuacin que se quiera ajustar.

Las ecuaciones normales son:

Los puntos suspensivos sugieren la posibilidad de expandir las formulas siguiendo el mismopatrn. Como ilustracin se correr un ejemplo ajustando la curva a tercer grado (cbica).

Respuesta a la Fertilizacin Nitrogenada en palmas de vivero (Datos hipotticos) x = g de N

y = Long. de la hoja

x y y2 x2 x3 x4 x5 x6 xy x2y x3y


2/5

0 27.4 750.8 0 0 0 0 0 0 0 0

4 39.3 1544.5 16 64 256 1024 4096 157.2 628.8 2515.2

7 46.2 2134.4 49 343 2401 16807 117649 323.4 2263.8 15846.6

10 47.8 2284.8 100 1000 10000 100000 1000000 478.0 4780 47800

13 44.5 1980.3 169 2197 28561 371293 4826809 578.5 7520.5 97766.5

18 24.5 600.3 324 5832 104976 1889568 34012224 441.0 7938 142884

52 229.7 9295 58 9436 146194 2378692 39960778 1978.1 23131.1 306812

Sustituyendo los valores observados se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones :

6a + 52b + 658c + 9436d = 229.7 A

52a + 658b + 9436c + 146194d = 1978.1 B

658a + 9436b + 146194c + 2378692d = 23131.1 C

9436a + 14194b + 2378692c + 39960778d = 306812.3 D

Para resolver, primero se eliminara a: Multiplicando la ecuacin B por 6 y la ecuacin A por

52 y sacando la diferencia se tiene :

1244 + 22400c + 386492d = -75.8 E

La ecuacin C multiplicada por 6, menos la A multiplicada por 658, da :

22400b + 444200c + 8063264d = -12356 F

La ecuacin D multiplicada por 6, menos la ecuacin A multiplicada por 9436, da :

386492b + 8063264c + 150726572d = -326575.4 G

Ahora se eliminara b.

La ecuacin F multiplicada por 1244 menos la ecuacin E multiplicada por 22400, da :

50824800c + 1373279616d = -13672944 H

La ecuacin G multiplicada por 1244 menos la ecuacin E multiplicada por 386492 da:

1373279616c + 38127789500d = -276963704 I

Ahora se procede a eliminar c.

La ecuacin H multiplicada por 1373279616 menos la ecuacin I multiplicada por 50824800y dividiendo ambos miembros entre 10000000 para simplificar las cifras, resulta:

5194037206d = -38232948d = -0.00736

Sustituyendo d en la ecuacin H y resolviendo:

50824800c + 1373279616 (-0.00736) = -13672944

50824800c - 10107337.97 = -13672944

50824800c = -13672944 + 10107337.97


3/5

c = -35655606 /50824800

c = -0.07015

Sustituyendo d y c en la ecuacin E y resolviendo :

1244b + 22400 (-0.07015) + 386492 (-0.00736) = -75.8

1244b - 1571.4 - 2844.6 = -75.81244b = -75.8 + 1571.4 + 2844.6

b = 4340 /1244

b = 3.4889

Y finalmente sustituyendo b, c y d en la ecuacin A se tiene:

6a + 52(3.4889)+658(-0.07015) + 9436 (-0.00736) = 229.7

6a + 181.4 - 46.158 - 69.449 = 229.7

6a = 229.7 - 181.4 + 46.158 + 69.449

a = 163.907 /6

a = 27.318

Y entonces el polinomio quedara as :

y = 27.318 + 3.4889X - 0.07015X2 - 0.00736X3

Para facilitar el clculo de la suma de cuadrados conviene definir las siguientes variables :

La suma de cuadrados de la regresin y totales se define as :


4/5

SCR = 3.4888 (-12.63)+(-0.07015)(-2059.33)+(-0.00736)(-54429.23)

= -44.06 + 144.46 + 400.6

= 501

SCT = 9295.03 - (229.7)2/6

= 501.35

El coeficiente de determinacin es :

R2 = SCR/SCT = 501/501.35 = 0.999

Lo que significa un ajuste casi perfecto.

6 52 658 9436

52 658 9436 146194

658 9436 146194 23786929436 146194 2378692 39960778

A=

6 52 658 9436

52 658 9436 146194

658 9436 146194 23786929436 146194 2378692 39960778

,

inverse A=

((48479951)/(49716972)) -((37576769)/(111863187)) ((14835889)/(447452748)) -((109064)/(111863187))

-((37576769)/(111863187)) ((2241339061)/(8054149464)) -((75199127)/

(2013537366)) ((10344175)/(8054149464))((14835889)/(447452748)) -((75199127)/(2013537366)) ((22064693)/(4027074732)) -

((397361)/(2013537366))

-((109064)/(111863187)) ((10344175)/(8054149464)) -((397361)/(2013537366))

((58825)/(8054149464))A*B=

((48479951)/(49716972)) -((37576769)/(111863187)) ((14835889)/(447452748)) -((109064)/(111863187))-((37576769)/(111863187)) ((2241339061)/(8054149464)) -((75199127)/

(2013537366)) ((10344175)/(8054149464))

((14835889)/(447452748)) -((75199127)/(2013537366)) ((22064693)/(4027074732)) -((397361)/(2013537366))

-((109064)/(111863187)) ((10344175)/(8054149464)) -((397361)/(2013537366))

((58825)/(8054149464))


5/5

229.7

1978.123131.1

306812.3=

27. 314

3. 4888

-7. 013010

-7. 360910

y = 27.318 + 3.4889X - 0.07015X2 - 0.00736X3

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