regla mnemotécnica
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Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De
Uniforme".
Método de integración por partes
El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De
Uniforme".
Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución
de la integral.
.
Existen diversos dichos mnemotécnicos para recordar la integración por partes, la cual dice
así:
"Sentado ( ) un día vi, un valiente soldado ( ) vestido de uniforme" .
"Un día vi un viejo sin bastón vestido de uniforme".
"un viejo soldado(-integral) vestido de uniforme" .
"Unamuno dice verdades: una verdad menos integra verdaderas dudas universales" .
Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución
de la integral.
Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:
1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno,
tangente... ⇒ A L P E S.
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la
palabra ALPES.
2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas,
Exponenciales. ⇒ I L A T E.
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la
palabra ILATE.
3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales,
Trigonométricas ⇒ I L P E T
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la
palabra ILPET.
[editar] Método de integración por cambio de variables
El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite
expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la
integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si es la
variable original y es una función invertible, se tiene:
[editar] Integrales de funciones trigonométricas
Artículo principal: Anexo:Integrales de funciones trigonométricas.
Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias
funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso pude lograrse
gracias a las siguientes identidades:
Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la
función coseno por el coseno de ángulos múltiplo:
[editar] Integral que contiene potencias de senos y cosenos
En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias
de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto
de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de
la expresión en términos de seno).
La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.
Existen 3 casos:
[editar] Cuando n es impar
Cuando , podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad
para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:
Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo
, . Como en la expresión no tenemos un
multiplicamos ambos lados por y nos queda la expresión que ya
podemos sustituir:
[editar] Cuando m es impar
Cuando , podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y
emplear para poder expresar los factores restantes en términos del
:
al hacer y tendríamos
[editar] Cuando m y n son pares
Cuando dichas potencias son pares a la vez y , podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo:
algunas veces es útil usar la identidad:
sería igual a:
[editar] Ejemplo #1
Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la
función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos
arriba, entonces aplicamos el algoritmo,
Sustituyendo , tenemos luego:
[editar] Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes
Se puede usar una estrategia similar a la anterior.
Puesto que:
, se puede separar un factor y convertir la potencia
restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio
de la identidad .
O bien, puesto que:
, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
Existen 3 casos:
[editar] Cuando n es par
separar un factor de y utilice para lograr expresar
los factores restantes en términos de :
de esta manera podemos hacer y y el integral quedaría así:
[editar] Cuando m es impar
apartar un factor de y emplear para poder expresar los factores que restan en términos de :
de esta manera se puede hacer y , con lo que queda
[editar] La tangente tiene potencia par
[editar] La Secante tiene potencia impar
En este caso se procede a integrar por partes.
[editar] Ninguno de los anteriores
Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores, se traslada a y ,
recordando que:
Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades,
integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.
A veces será necesario poder integrar por medio de la fórmula
establecida:
Se necesitará también la integral indefinida de la secante:
Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:
Primero se mutiplican numerador y denominador por :
Si se sustituye , después
, también, la integral se convierte en:
Así, se tiene:
NOTA: Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es
análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad:
[editar] Reducción a funciones racionales
Si el integrando puede expresar como una función racional de funciones trigonométicas:
(*)
Entonces el cambio:
permite reescribir la integral (*) como:
Que resulta ser una función racional, y por tanto, de integración mecánica.
[editar] Integrales de funciones racionales
Artículo principal: Anexo:Integrales de funciones racionales.
Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios:
Si el denominador es un polinómico mónico con k raíces diferentes, entonces admitirá
la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:
Si entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de
fracciones racionales de las formas:
Por lo que la integral de la función es una combinación lineal de funciones de la forma:
Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo
algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.
Si a l integrar por partes aparece en e l segundo miembro la integral
que hay que ca l cu la r , se resue lve como una ecuac ión.
Ejercicios
Integrales trigonométricas
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