Regla de Cramer

La regla de Cramer es un teorema del lgebra lineal queda la solucin de un sistema lineal de ecuaciones en tr-minos de determinantes. Recibe este nombre en honora Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien public la reglaen su Introduction l'analyse des lignes courbes algbri-ques de 1750, aunque Colin Maclaurin tambin publicel mtodo en su Treatise of Geometry de 1748 (y proba-blemente saba del mtodo desde 1729).[1]

La regla de Cramer es de importancia terica porque dauna expresin explcita para la solucin del sistema. Sinembargo, para sistemas de ecuaciones lineales de ms detres ecuaciones su aplicacin para la resolucin del mis-mo resulta excesivamente costosa: computacionalmente,es ineciente para grandes matrices y por ello no es usa-do en aplicaciones prcticas que pueden implicar muchasecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotarmatrices, es ms eciente que la eliminacin gaussianapara matrices pequeas, particularmente cuando son usa-das operaciones SIMD.Si Ax = b es un sistema de ecuaciones. A es la matrizde coecientes del sistema, x = (x1; : : : ; xn) es el vectorcolumna de las incgnitas y b es el vector columna de lostrminos independientes. Entonces la solucin al sistemase presenta as:

xj =det(Aj)det(A)

dondeAj es la matriz resultante de reemplazar la j-simacolumna de A por el vector columna b . Hgase notarque para que el sistema sea compatible determinado, eldeterminante de la matriz A ha de ser no nulo.

0.1 Sistema de 2x2Para la resolucin de un sistema de dos ecuaciones condos incgnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuacio-nes:

ax+ by = e

cx+ dy = f

Se representa matricialmente :

a bc d

xy

=

ef

Entonces, x e y pueden ser encontradas con la regla deCramer, con una divisin de determinantes, de la siguien-te manera:

x =

e bf da bc d =

ed bfad bc ; y =

a ec fa bc d =

af ecad bc

0.1.1 Ejemplo

Ejemplo de la resolucin de un sistema e de 2x2:Dado

3x+ 1y = 9

2x+ 3y = 13

que matricialmente es:

3 12 3

xy

=

913

x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer

x =

9 113 33 12 3 =

9 3 1 133 3 1 2 = 2

y =

3 92 133 12 3 =

3 13 9 23 3 1 2 = 3

0.2 Sistema de 3x3La regla para un sistema de 3x3, con una divisin dedeterminantes:

8>:ax+ by + cz = j

dx+ ey + fz = k

gx+ hy + iz = l

1

2 2 CDIGO EN MATLAB

Que representadas en forma de matriz es:

24a b cd e fg h i

3524xyz

35 =24jkl

35x , y , z pueden ser encontradas como sigue:

x =

j b ck e fl h i

a b cd e fg h i

; y =

a j cd k fg l i

a b cd e fg h i

; z =

a b jd e kg h l

a b cd e fg h i

0.2.1 Ejemplo

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

3x+ 2y + 1z = 1

2x+ 0y + 1z = 2

1x+ 1y + 2z = 4

expresado en forma matricial:

24 3 2 12 0 11 1 2

3524xyz

35 =24124

35Los valores de x; y y z seran:

x =

1 2 12 0 14 1 2

3 2 12 0 11 1 2

; y =

3 1 12 2 11 4 2

3 2 12 0 11 1 2

; z =

3 2 12 0 21 1 4

3 2 12 0 11 1 2

1 DemostracinSean:

x =

0B@x1...xn

1CA b =0B@b1...bn

1CA

Aj =

26666666664

a1;1 a1;j1 b1 a1;j+1 a1;na2;1 a2;j1 b2 a2;j+1 a2;n... . . . ...

an1;1 an1;j1 bn1 an1;j+1 an1;nan;1 an;j1 bn an;j+1 an;n

37777777775Usando las propiedades de la multiplicacin de matrices:

Ax = b , A1Ax = A1b , Ix = A1b , x = A1b

entonces:

x = A1b = (AdjA)t

jAj b

(AdjA)t =A0plA0pl

= Alp

Por lo tanto:

A1b =nX

i=1

A0jijAj bik =

Pni=1 AijbijAj =

jAj jjAj

Aparte, recordando la denicin de determinante, la su-ma denida acumula la multiplicacin del elemento ad-junto o cofactor de la posicin ij , con el elemento i-simo del vector B (que es precisamente el elemento i-simo de la columna j , en la matriz Aj ).

2 Cdigo en MatLabPrograma escrito en Matlab para soluciones de sistemasde ecuaciones lineales usando la regla de Cramer%Mtodo de Cramer %Sea A la matriz aumentada de(n)x(n+1) de algn sistema de ecuaciones %lineales aresolver, previamente denida en consola. % %Fran-cisco Pea Gallardo (Peovsky Freeman) %UMSNH(FisMat) % function cramer(A) a=size(A); %Hacemosel determinante de la matriz de coecientes %paravericar si el sistema tiene solucin distinta de latrivial for i=1:1:a(1) for j=1:1:a(2)1 D(i,j)=A(i,j);end end if det(D)==0 fprintf('El sistema es linealmentedependiente y por ende no tiene solucin\n') returnelse d=det(D); end %Vector de coecientes constantesfor i=1:1:a(1) v(i)=A(i,a(2)); end %Aplicamos Cramerfor i=1:a(1) V=zeros(a(1)); V(:,i)=v; W=zeros(a(1));W(:,i)=D(:,i); X=D-W+V; x(i)=det(X); x(i)=x(i)/d; end%Imprimimos soluciones fprintf('Soluciones\n') fori=1:1:a(1) fprintf('X%.0f=%f\t',i,x(i)) end fprintf('\n')end

33 Referencias[1] Carl B. Boyer,AHistory ofMathematics, 2nd edition (Wi-

ley, 1968), p. 431.

4 Vase tambin Determinante Matriz

4 5 TEXTO E IMGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

5 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias5.1 Texto

Regla de Cramer Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer?oldid=82935090 Colaboradores: Richy, Yrbot, YurikBot,Echani, GermanX, Siabef, Paintman, Rdaneel, Nethac DIU, CEM-bot, Retama, Davius, Rastrojo, Thijs!bot, RoyFocker, IrwinSantos,Rafadose, Isha, Gngora, JAnDbot, Kved, Humberto, Rei-bot, Idioma-bot, Plux, Fremen, VolkovBot, Urdangaray, Djfarlo2002, Matdro-des, Muro Bot, SieBot, Carmin, Pascow, Nberger~eswiki, Mutari, Jarisleif, Dnu72, HUB, Elijax, Farisori, Leonpolanco, UA31, AVBOT,Steve.jaramillov, Dermot, Louperibot, MastiBot, SpBot, Diegusjaimes, MelancholieBot, Arjuno3, Luckas-bot, Nallimbot, Pegna, Xqbot,Jkbw, Efzukowski, PatruBOT, Edslov, EmausBot, Reox~eswiki, ZroBot, Ebrambot, Mentibot, KLBot2, Gins90, Acratta, Elvisor, Jaco-bRodrigues, Sebastiangarcia147, Jarould y Annimos: 122

5.2 Imgenes

5.3 Licencia de contenido Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Sistema de 2x2 Ejemplo

Sistema de 3x3 Ejemplo

Demostracin Cdigo en MatLab Referencias Vase tambin Texto e imgenes de origen, colaboradores y licenciasTextoImgenesLicencia de contenido