Reflexin paradjico en la Mecnica CunticaPedro Luis Garrido *, Sheldon Goldstein , Jani Lukkarinen , y Roderich Tumulka

02 de mayo 2011

AbstractoEste artculo se refiere a un fenmeno de la mecnica cuntica elemental que es bastante contrario a la intuicin, muy no-clsica, y al parecer no es muy conocida: una partcula cuntica puede quedar reflejado en un paso potencial hacia abajo. En contraste, las partculas clsicas se reflejan slo en las etapas ascendentes. Las condiciones para este efecto son que la longitud de onda es mucho mayor que la anchura de la etapa de potencial y la energa cintica de la partcula es mucho menor que la profundidad de la etapa de potencial. Este fenmeno es sugerido por soluciones no normalizable a la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo, y presentar pruebas, matemtico y numrico, que est tambin en efecto predicho por la ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo. Adems, este efecto paradjico sugiere la reflexin, y confirmar matemticamente, que una partcula cuntica puede ser atrapado por un largo tiempo (aunque no siempre) en una regin rodeada por pasos potenciales a la baja, es decir, en una meseta.PACS: 03.65.-w, 03.65.Nk, 01.30.Rr. Palabras claves: ecuacin de Schrdinger; paso potencial; confinar potencial; coeficientes de reflexin y transmisin.

1. IntroduccinSupongamos que una partcula cuntica se mueve hacia una cada repentina de potencial como en la Figura 1, con la partcula que llega desde la izquierda. Va a acelerar o ser reflejado? Una partcula clsica que es seguro para acelerar, sino una partcula cuntica tiene la oportunidad de ser reflejada.

* Departamento de Electromagnetismo y F'sica de la Materia, Instituto Carlos I Terica yFsica Computacional, Facultad de Ciencias, Universidad de Granada, 18071 Granada, Espaa. E-mail: garrido@onsager.ugr.es Departamentos de Matemticas, Fsica y Filosofa de la Universidad de Rutgers, 110 Frelinghuysen Road,Piscataway, NJ 08854-8019, EE.UU.. E-mail: oldstein@math.rutgers.eduDepartamento de Matemticas y Estadstica de la Universidad de Helsinki, PO Box 68, FI-00014 Helsinginyliopisto, Finlandia. E-mail: jani.lukkarinen@helsinki.fiDepartment de Matemticas de la Universidad de Rutgers, 110 Frelinghuysen Road, Piscataway, NJ 08854-8019, EE.UU.. E-mail: tumulka@math.rutgers.edu

Eso suena paradjico porque la partcula se da la vuelta y regresa a la izquierda bajo una fuerza que apunta a la derecha! Bajo condiciones adecuadas, la reflexin incluso se convierte en cerca de cierto. Este fenmeno no clsico contra-intuitivo cuntica que llamamos "reflexin paradjica", o, cuando una regin est rodeada de medidas posibles a la baja ", el confinamiento paradjica" -donde "paradjica" se entiende en el sentido de "contra-intuitivo" no "ilgico". Puede ser derivado fcilmente utilizando el siguiente razonamiento simple.

Figura 1: Un potencial V (x) que contiene un paso de descenso

Supongamos que la partcula se mueve en 1 dimensin, y el potencial es un paso rectangular como en la Figura 1,V (x) = -E (x) (1) con la funcin de Heaviside y AE 0. Un paquete de ondas que viene de la izquierda se refleja parcialmente en el paso y transmitida parcialmente. El tamao de la reflejadoy los paquetes transmitidos pueden ser determinados por un mtodo libro de texto estndar de clculo (por ejemplo, [1, 2]), el anlisis estacionaria, reemplazando el paquete de ondas por una onda plana de la energa E y la solucin de la ecuacin de Schrdinger estacionaria. Las corrientes de probabilidad de transmisin y reflejados, dividido por la corriente entrante, el rendimiento de la reflexiny coeficientes de transmisin R 0 y T 0 con R + T = 1. Damos los resultados de la Seccin 2 y observamos dos cosas: Primero, R = 0, lo que implica que la reflexin parcialse produce aunque el paso potencial es a la baja. En segundo lugar, incluso R converge a 1, por lo que la reflexin se vuelve casi cierta, como la relacin E / AE va a cero. Por lo tanto, la reflexin paradjica puede hacerse arbitrariamente fuerte mediante una eleccin adecuada de los parmetros (por ejemplo, por suficientemente grande? E si E se mantiene fija).Si suena increble que una partcula puede ser repelida por un paso potencial hacia abajo, el siguiente hecho puede agravar el asombro. Como derivado en [2, p. 76], el coeficiente de reflexin no depende de si la onda entrante viene desde la izquierda o desde la derecha (siempre que la energa total y el potencial no se cambian). Por lo tanto, un paso hacia abajo da el mismo coeficiente de reflexin como un paso hacia arriba. (Pero tenga en cuenta la diferencia entre un paso hacia arriba y un paso a la baja que en un paso hacia arriba, tambin son posibles energas por debajo de la altura del paso de la partcula entrante, un caso en el que la reflexin es cierto, R = 1.)Para proporcionar un poco de perspectiva, puede valer la pena sealar algunos paralelismos con tnel cuntico: all, la probabilidad de que una partcula cuntica que pasa a travs de una barrera de potencial es positiva, incluso en los casos en que esto no es posible para un clsico

partcula. De hecho, la reflexin paradjica es algo similar a lo que podra llamarse anti-tnel, el efecto de que una partcula cuntica puede tener probabilidad positiva de ser reflejada por una barrera tan pequeo que una partcula clsica sera cierto para cruzarlo. Reflejo paradjico es menos sorprendente cuando pensamos en un ser onda reflejada desde un paso de potencial, y lo ms sorprendente desde el punto de vista de las partculas. A veces es, aunque al parecer no con frecuencia, se ha sealado en los libros de texto [3, p. 84], [4, p. 197-8].El objetivo de este artculo es responder a las siguientes preguntas: Es la reflexin paradjica un fenmeno fsico real o un artefacto de matemtica simplificacin excesiva? (Vamos a ver resultados matemticos numricos y rigurosos.) Cmo se depende de los parmetros de la situacin: la anchura L (vase la Figura 2) y el AE profundidad del paso potencial, la longitud de onda y el ancho de el paquete de ondas entrante? Por qu no se produce este fenmeno en el rgimen clsico? Es decir, cmo puede ser que la mecnica clsica es un lmite de la mecnica cuntica si la reflexin paradjica se produce en el ltimo pero no el primero? Y, se podra utilizar este fenmeno, en principio, para la construccin de una trampa de partculas? En la primavera de 2005, estas preguntas dieron lugar a animados debates y polmicas entre un nmero de investigadores de fsica visitando el Institut desAltos e'tudes Scientifiques cerca de Pars, Francia; estas discusiones inspiraron el presenteartculo.

2 Papelera Anlisis del Paso RectangularComenzamos proporcionando ms detalles sobre el anlisis estacionario del paso rectangular (1), teniendo en cuenta la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo (m = masa)

2tt2m

Esto se puede solucionar de una manera estndar: para x 0, vamos ser una onda transmitidaAeik2x, con un nmero de onda k2 posiblemente diferente. De hecho, a partir de (2) se obtiene quek1 = 2mE / k, k2 =, 2m (E + AE) / k. (3)El valor E 0 es la energa cintica asociada con la onda entrante. La coeficientes A y B se determinan por la continuidad de y su t derivada en x = 0 paraserA = 2k1k1 + k2, B =k1 - k2k1 + k2. (4)La coeficientes de reflexin y transmisin R y T se definen como el cociente de la probabilidad cuntica de corriente j = (k / m) Im ( * t) asociado con el respectivo reflejadaonda transmitida relativamente dividido por la corriente asociada con la onda entrante,R = | jrefl |, T = jtra. (5)jin jinTomando nota de que jtra = KK2 | A | 2 / m, jrefl = -kk1 | B | 2 / m, jin = kk1 / m, encontramos queR = | B | 2 = 1 -k| A | 2, T =1k| A | 2. (6)1

Tenga en cuenta que tanto R y T se encuentran en el intervalo [0, 1], y que R + T = 1. Mediante la insercin (4) en (6), obtenemos(K1 + k2) 2 - 4k1k2(K1 + k2) 2(K2 - K1) 2(K1 + k2) 2(7)y hacer dos observaciones: En primer lugar, R = 0, lo que implica que la reflexin se produce, si k1 = k2, que es el caso tan pronto como AE = 0. En segundo lugar, incluso R converge a 1, por lo que la reflexinse vuelve casi cierta, como la relacin r: = E / AE tiende a cero; eso es porque2 2 0.2. k2 - k1.. E +? E - E.. r + 1 - rR =k2 + k1= E +? E + E=r + 1 + r 1, (8)

ya que tanto el numerador y el denominador tienden a 1 cuando r 0. Este es el ms simplederivacin de reflexin paradjica.El efecto posee un anlogo en la ptica de onda. El ndice de refraccin, que puede variar con la posicin x, desempea un papel similar al potencial (por ejemplo, en que influye en la velocidad de propagacin de la onda), y cambios de repente a una superficie entre los diferentes medios de comunicacin, por ejemplo, entre el agua y el aire. La luz puede ser reflejada en la superficie en ambos lados; en particular, la luz proveniente del agua (la regin de alto ndice) puede reflejarse de nuevo en el agua.

3 Paso SoftPara un anlisis ms profundo de los efectos, consideraremos gradualmente modelos cada vez ms realistas. En esta seccin, consideramos un paso suave (o suave, es decir, diferenciable) potencial, como en la Figura 2, para el que la cada en el potencial no es infinitamente rpida pero tiene lugar en una cierta distancia L. El resultado ser que la reflexin paradjica existe tambin para los pasos suaves, por lo que el efecto no es slo una caracterstica curiosa de pasos rectangulares (que no se poda esperar que ocurra alguna vez en la naturaleza). Otro resultado se refiere a cmo el efecto depende de la anchura L del paso.Para estudiar este caso, es til considerar la funcin explcita

V (x) = -AE. 21 + tanh x.L

, (9)representado en la figura 2. (Recordemos que tanh = senh / cosh converge a 1 cuando x .) El coeficiente de reflexin para que este potencial se puede calcular de nuevo por un anlisis estacionario, la obtencin de la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo ( 2) soluciones (x), que sonasinttica a eik1x + Be-ik1x cuando x - y asinttica a Aeik2x cuando x , es decir,

Figura 2: Un potencial que contiene un paso suave

limx ( (x) - Aprovechaik2x) = 0. El clculo se hace en [2, p. 78]: El k1 y k2 valoresde nuevo se dada por (3), y el coeficiente de reflexin resulta ser

. Sinh. (k2 - k1) L ..R =senh2. (k2 + k1) L.. (10)

De esto y (3) se puede leer de que, una vez ms, R = 0 para AE = 0, y R 1 como E 0mientras que AE y L son fijos (desde entonces k 1 0, k2 2mE / k, por lo tanto el numerador y el denominador tienden a sinh ( 2mEL / k)). Como AE mientras que E y L son2fija, R exp (-22mEL / k), porque para los grandes argumentos senh 1 exp.Adems, podemos mantener E y AE fijo y ver cmo vara con R L: En el lmiteL 0, (10) converge a (7), porque sinh (L) L para L 1 y fijos; esto eslo que uno esperara cuando el paso se vuelve ms ntida y (9) converge a (1). En el lmite L , R converge a 0 porque para fijo > > 0

sinh (L) sinh (L)eL correo L=eL - e-Le (-) L e (--) L=1 - e-2L 0, (11)como numerador tiende a 0 y el denominador a 1. Por lo tanto, la reflexin paradjica desaparece para grandes L; En otras palabras, es crucial para el efecto que la cada en el potencial es repentina.Por otra parte, (10) es una funcin decreciente de L, lo que significa que la reflexin ser el ms probables cuanto ms repentina la cada en el potencial es. Para ver esto, vamos a ver que para > > 0 y L> 0 la funcin f (L) = sinh (L) / sinh (L) es decreciente:

df = cosh (L) sinh (L) - sinh (L) cosh (L) sinh2 dl (L)

0. La simulacin utilizaron un algoritmo estndar parala simulacin de la ecuacin de Schrdinger [6], una rejilla de N = 104 sitios, y que la onda inicialfuncionar un paquete gaussiana con parmetros k1 = 400, x0 = 0.4, = 0,005. La cotade 10 a 17 se deduce de la ecuacin. (18) a continuacin y el hecho de que el coeficiente de reflexin (10) est delimitada por exp (-22mEL / k) = exp (-2k1L), que aqu es exp (-42)