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1. Referente tericoLa investigacin sobre calculadoras se ha enfocado principal-mente en el estudio de las facilidades que ofrece para produ-cir grcas (Cuoco, 1995; diSessa, 1995; Hector, 1992; Ruthven,1990, 1992, 1995, 1996). El material que se presenta en este librose aboca a otros aspectos del rol que puede desempear la cal-culadora en el aula para favorecer el desarrollo de habilidadesalgebraicas; en particular, las que se reeren a la asignacin designicados para las literales y sus aplicaciones en el uso de lasexpresiones algebraicas que juegan un papel determinante enel desarrollo del pensamiento algebraico. Al trabajar en la pgina de inicio de una calculadora alge-braica, el estudiante puede asignar un valor numrico a unaliteral, y en trminos de esa variable denir una expresin alge-braica y ordenar a la calculadora que calcule el valor numricode dicha expresin (gura 1). Figura 1Este recurso permite que el usuario trabaje con las expresionesalgebraicas como objetos activos, en el sentido de que no sloes capaz de expresar algebraicamente el enunciado de un pro-blema, sino tambin de hacer algo con esas expresiones y ob-tener retroalimentacin inmediata de la mquina. Este recursohace surgir consideraciones didcticas como las que se presen-tan a continuacin (Cedillo, 2001).1 2. 2 Desarrollo del pensamiento algebraicoSi leemos la pantalla de izquierda a derecha, encontramos la regla de corres- pondencia de la funcin a2 + 1, despus su dominio y contradominio. Si leemos de de- recha a izquierda observamos un patrn numrico y la regla algebraica que lo gobier- na. En trminos didcticos hay una notable diferencia dependiendo de la direccin en que se lea la pantalla; si es de izquierda a derecha, se empieza con deniciones y reglas sintcticas que conducen a una funcin algebraica que puede usarse para producir un conjunto de valores numricos. Si se lee de derecha a izquierda, se empieza con un patrn numrico mediante el cual, por simple inspeccin visual, se puede encontrar la regla algebraica que lo produce. Ms an, de izquierda a derecha se empieza por leer el contradominio de la funcin y enseguida su dominio.Esas ideas se ubican en el ncleo del acercamiento didctico que se presenta en este libro; este enfoque sugiere una aproximacin al cdigo algebraico como len- guaje en uso y conforma en gran medida el referente terico en que se sustenta la secuencia didctica que proponemos para introducir el estudio del lgebra escolar. Antecedentes El sustento terico del modelo didctico que se presenta en este volumen se confor- m a travs de una constante interaccin entre teora y prctica. Este proceso se origi- n en un estudio exploratorio sobre el potencial de la calculadora programable como herramienta cognitiva; el estudio se llev a cabo con estudiantes de entre 11 y 12 aos de edad que no haban recibido instruccin en lgebra (Cedillo, 1994), y el trabajo de campo tuvo una duracin de diez sesiones de 50 minutos. Las actividades con que se experiment en el aula se basaron en pedir a los estudiantes que identicaran las reglas que gobiernan ciertos patrones numricos. Una vez que lo lograban se les indicaba que construyeran en la calculadora un programa que reprodujera esos patrones. En trmi- nos matemticos, estas actividades requieren que los estudiantes expresen mediante una funcin lineal la forma en que describen verbalmente las reglas que generan un patrn numrico. Por ejemplo, la regla que genera la siguiente tabla puede expresarse mediante la funcin y = 2x - 1.Valor de entradaValor de salida 11 47 6 11 9 17Como se esperaba, la primera reaccin de los estudiantes para enfrentar esas ac- tividades fue expresar verbalmente la regla que genera una tabla como la anterior; por ejemplo, multiplicar por 2 y restar 1; o bien, sumar el nmero consigo mismo y restar uno. Una vez que introducan en la calculadora una funcin lineal que conside- raban que representaba esa regla, asignaban valores numricos a la variable para as vericar la validez de sus respuestas (vea, por ejemplo, las actividades del bloque 1). Debe mencionarse que en este estudio no se incluy instruccin alguna acerca de nomenclatura o conceptos algebraicos; para los estudiantes, esas expresiones alge- 3. Referente terico 3braicas slo eran programas que permitan que la calculadora entendiera lo que ellosqueran hacer.La posibilidad que brinda la calculadora para editar expresiones algebraicas vams all de slo poder escribirlas, como suele hacerse en el ambiente del lpiz y elpapel o en un pizarrn electrnico. El recurso relevante que ofrecen las calculadorases que hacen posible usar las expresiones algebraicas; por ejemplo, obtener su valornumrico para un valor especco de la variable, o construir tablas y grcas paraexploraciones subsecuentes. Esto, adems, proporciona una retroalimentacin inme-diata al usuario.Los resultados de ese estudio sugirieron que los recursos que ofrece la calcu-ladora programable permiten que los estudiantes aborden las actividades creandoestrategias no convencionales que ellos generan al seguir su propio razonamiento(Cedillo, 1994). Las respuestas de los estudiantes mostraron que el uso de la calculado-ra favoreci que formularan conjeturas y que las evaluaran por s mismos, lo cual fueun estmulo para que se aventuraran a seguir estrategias propias, sin tener que acudirconstantemente al profesor para pedir su aprobacin o para recordar procedimientosconvencionales aprendidos con anterioridad. En lugar de hacer ese tipo de pregun-tas, las participaciones de los estudiantes se centraron en proponer soluciones, cuyasformas de validacin se analizaban con el profesor. Esto, en principio, daba al profesorla posibilidad de conducir a sus estudiantes hacia un nivel ms alto de aprendizaje.Por ejemplo, el simple hecho de que en general cada estudiante eligiera una literaldistinta para editar sus programas, como p + 4 y b + 4; o cuando alguno construa elprograma a + a -1, y otro el programa 2 b -1, daba lugar a interesantes debatesen el grupo sobre cuestiones relacionadas con la equivalencia algebraica.El ambiente de trabajo que se gener durante ese estudio podra describirse comoun escenario en el que, en esencia, a travs de la exploracin numrica orientada a laconsecucin de un n claramente establecido, los estudiantes iban asignando signica-dos al cdigo algebraico a partir de las formas en que lo usaban, sin requerir el previoconocimiento de deniciones y reglas de transformacin algebraica. Esta forma de tra-bajo sugiri que los estudiantes estaban aprendiendo a emplear el cdigo algebraico apartir de su uso, lo cual condujo a la bsqueda de elementos tericos que permitieranexplicar y analizar lo que ah se haba observado.Un ejemplo relevante del aprendizaje a travs del uso lo proporciona la forma enque adquirimos los elementos bsicos del lenguaje natural. La lengua materna seaprende fundamentalmente a travs de su uso, sin necesidad de conocer previamen-te aspectos gramaticales o reglas sintcticas. Las similitudes que se presentaron enese estudio exploratorio entre el aprendizaje del lgebra y el del lenguaje natural, con-dujeron a la idea de proponer la enseanza del lgebra como un cdigo cuya funcines comunicar ideas matemticas. Desde perspectivas distintas, esta postura ya ha sidoabordada por Papert (1980) y Mason (1984). En la siguiente seccin se analiza la formaen que avanzamos en el desarrollo de estas ideas.Principios tericosEl estudio que se describi sucintamente en la seccin anterior dio lugar a cuestionarun principio terico que subyace en un enfoque de enseanza de amplio uso enmatemticas: 4. 4 Desarrollo del pensamiento algebraicoLos signicados determinan los distintos usos del lenguaje Muchos libros de texto ejemplican este principio. La leccin se inicia con denicio- nes, ejemplos y reglas sintcticas (signicados); despus de esto, el captulo se cierra con una serie de problemas en los que se requiere la aplicacin de las deniciones, reglas y ejemplos que se dieran antes (usos). Este enfoque terico funciona; as han aprendido matemticas muchas generaciones. Pero tambin es cierto que para una gran mayora de los estudiantes las matemticas han resultado algo muy difcil de comprender y en muchos casos un obstculo insuperable (Kchemann, 1981; Booth, 1984; Lee y Wheeler, 1988). Los poco satisfactorios resultados obtenidos aplicando ese mtodo hacen plausible la bsqueda de alternativas como la que se propone a continuacin. La contraparte de ese principio terico se ajusta en buena medida a lo observa- do en el estudio exploratorio expuesto anteriormente, el cual puede resumirse como sigue: Los usos del lenguaje determinan sus signicados La postura terica que conlleva ese principio concuerda con el trabajo desarrollado por Bruner (1980, 1982, 1983, 1985), quien realiz una extensa investigacin sobre la adquisicin del lenguaje materno. Su estudio se centr en indagar cmo los nios aprenden, aparentemente sin esfuerzo, algo tan complejo como el lenguaje natural. Una parte importante de su trabajo se condujo a estudiar qu hace posible que el lenguaje natural sea aprendido por cualquier persona con una inteligencia normal, en tanto que, en general, otros campos del conocimiento presentan una situacin bastante distinta al respecto. Por qu no todos aprendemos matemticas, losofa, geografa o historia, y s aprendemos el lenguaje natural con un aceptable nivel de dominio?La investigacin de Bruner cuestiona sensiblemente posiciones tericas plan- teadas con anterioridad. Entre stas deben destacarse las propuestas por Piaget y Chomsky.Piaget (1985, 1988), dicho brevemente, propone que el desarrollo del lenguaje es un subproducto del desarrollo de operaciones cognitivas no lingsticas. Desde esta perspectiva, el lenguaje es simplemente un sntoma de la semiotizacin automtica de las operaciones cognitivas del desarrollo. Un problema con esta posicin terica es que no especica a travs de qu medios concretos dichas operaciones cognitivas no lingsticas propician la capacidad para reconocer y e