ECUACIÓN FUNDAMENTAL DEL FLUJO DE AGUA EN EL SUELO

Se considera un diferencial de suelo a través del cual fluye agua de dimensiones

El agua fluye a través del elemento y posee componentes de velocidad que son variables dependientes de y no dependen del tiempo (régimen establecido).

El agua entra al elemento con velocidades

Y sale del elemento con velocidades

A partir de la ecuación de flujo se determina que la cantidad de flujo que entra al elemento es

Además, asumiendo que el suelo está saturado, en un régimen establecido, la cantidad de agua que entra debe ser igual a la que sale del elemento, por lo tanto

Reduciendo:

La expresión anterior es la Ecuación de Continuidad y tiene las siguientes limitaciones:

• Régimen es establecido• Suelo saturado• Agua y partículas sólidas incompresibles• No se modifica la estructura del suelo

Teniendo en cuenta la ley de Darcy

Teniendo en cuenta la ley de Darcy

Se puede describir el gradiente hidráulico a través del elemento en sus tres componentes

Lo cual es válido para un suelo permeable anisótropo. Al derivar las expresiones anteriores parcialmente, se pueden reemplazar en la ecuación de continuidad

Consideraciones:La ecuación anterior describe el flujo a través de una región considerada, sin embargo, para problemas prácticos de mecánica de suelos, el flujo puede considerarse bidimensional, como el caso del agua que fluye bajo una presa de tierra.

Fuente: http://civilgeeks.com/wp-content/uploads/2012/08/Descargar-libro-de-Obras-Hidr%C3%A1ulicas-II.jpg

A través del eje transversal, pude considerarse que el flujo no cambia y se desprecia el efecto en los bordes. Por lo tanto

Si el suelo considerado es isotrópico en su permeabilidad

La cual es la ecuación diferencial de Laplace, cuya solución está constituida por dos grupos de ecuaciones

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACESe definen dos funciones: La primera, la función potencial de velocidades

Sumando

Suelo isotrópico

Reemplazando la ecuación de Laplace

Por lo tanto, la función es una solución de la ecuación de Laplace. Esta ecuación puede representarse como una familia de curvas que se desarrollan en una región plana donde permanece constante la energía hidráulica (cabeza constante). La segunda función que se define es la función de flujo , la cual se define de tal modo que cumple

Retomando la expresión de las derivadas parciales de

Se obtiene

Derivando parcialmente

Sumando los términos

Por lo tanto, la función es una solución de la ecuación de Laplace. Esta ecuación puede representarse como una familia de curvas que se desarrollan en una región plana donde circula el flujo, es decir, una línea de corriente.

SOLUCIÓN GRÁFICALa ecuación sigue una curva, en donde cada punto () tiene una misma carga hidráulica , es decir, esta ecuación une puntos con carga hidráulica constante. Estas curvas se denominan líneas equipotenciales.

La curva describe la trayectoria del agua que pasa por un punto . En ese punto, el agua posee velocidad , tangencial a la trayectoria.

Estas dos curvas se relacionan de modo que son ortogonales, como se demuestra a continuación.

Dado que las funciones y son constantes, sus derivadas totales son iguales a cero.

Despejando en cada ecuación, se puede obtener la pendiente de cada curva

Retomando las expresiones

Se reemplazan estas igualdades en la pendiente de la curva de modo que

Comparando y se observa que ambas curvas poseen pendientes recíprocas y de signo contrario, lo que significa que las funciones y son ortogonales. 

Las líneas de constante forman siempre ángulos rectos, de modo que su intersección forma un sistema de cuadrados curvilíneos llamado Red de flujo. Las líneas equipotenciales dividen la zona en donde se produce una serie de caídas de potencial, y las líneas de corriente producen una serie de canales de flujo.

En la red de flujo, los intervalos de potencial y de las funciones de corriente serán constantes e iguales entre las líneas.

CÁLCULO DEL CAUDALEl caudal total que atraviesa el suelo puede simplificarse mediante la ley de Darcy

Donde representa la pérdida total de energía hidráulica, es la longitud total del canal de flujo y es el área total que el flujo atraviesa.

En una porción de una red de flujo, de dimensiones , y , donde es el número de líneas de flujo y es el número de líneas equipotenciales.

Además, teniendo en cuenta que las intersecciones de las curvas y deben ser ortogonales, todas las secciones de la red de flujo deben ser cuadradas, es decir . Por lo tanto

EJERCICIOLa figura muestra la sección transversal de una presa de concreto de gran longitud que está cimentada en arena isotrópica con y tiene una densidad saturada de . Calcular

• Pérdidas por filtración en estado estacionario bajo la presa• Subpresión en la base de la presa• Máximo gradiente hidráulico.

Se establecen las condiciones de frontera: las superficies impermeables definen dos líneas de corriente (BEFGC y HK) y las superficies horizontales con carga hidráulica constante, definen dos líneas equipotenciales (AB y CD).En la línea AB

En CD

Una vez dibujadas las fronteras de la zona de flujo, se facilita la construcción de las líneas equipotenciales y de corriente intermedias, las cuales se cortan formando ángulos rectos, conformando la red de flujo.

por cada metro de profundidad

La caída de energía hidráulica entre dos líneas equipotenciales

adyacentes es:

Lo que permite obtener la energía total en cada línea equipotencial

Por ejemplo, en el punto 4 de la presa (línea número 6) se obtiene la

energía hidráulica total

La presión intersticial

PuntoCabeza Total

(m)Cabeza de

posición (m)Cabeza de presión (m)

Presión intersticial

(kN/m2)

1 22.5 12 10.5 103

2 22 12 10 98.1

3 21.5 12 9.5 93.2

4 21 12 9 88.3

5 20.5 12 8.5 83.4

6 20 12 8 78.5

7 19.75 12 7.75 76

Calculando el área del trapecio de presiones que se forma en la base de la presa, se obtiene la fuerza de empuje ascendente 859 kN.

El gradiente hidráulico máximo en la salida se presenta en el punto C, donde sale la línea de corriente superior.Se calcula la distancia en la que se produce la última caída de presión de 0.5 m. Según la escala del dibujo se aproxima un valor de 1.6 m entre la superficie CD y la última línea equipotencial, por lo tanto

Tubidificación: Si el valor de se aproxima al gradiente crítico , las partículas finas del suelo aguas abajo, pueden empezar a ser levantadas. Esta erosión puede progresar hasta la base de la presa creando cavidades en la cimentación.El valor de se calcula según

Sin embargo, para evitar la tubidificación, el gradiente hidráulico en la salida no debe ser superior a 0.5.