Redes de Bravais

En geometría y cristalografía las redes de Bravais sonuna disposición infinita de puntos discretos cuya estruc-tura es invariante bajo cierto grupo de traslaciones. Enla mayoría de casos también se da una invariancia bajorotaciones o simetría rotacional. Estas propiedades hacenque desde todos los nodos de una red de Bravais se tengala misma perspectiva de la red. Se dice entonces que lospuntos de una red de Bravais son equivalentes.Mediante teoría de grupos se ha demostrado que sóloexiste una única red de Bravais unidimensional, 5 redesbidimensionales y 14 modelos distintos de redes tridi-mensionales.La red unidimensional es elemental siendo ésta una sim-ple secuencia de nodos equidistantes entre sí. En dos otres dimensiones las cosas se complican más y la variabi-lidad de formas obliga a definir ciertas estructuras patrónpara trabajar cómodamente con las redes.Para generar éstas normalmente se usa el concepto de cel-da primitiva. Las celdas unitarias, son paralelogramos(2D) o paralelepípedos (3D) que constituyen la menorsubdivisión de una red cristalina que conserva las carac-terísticas generales de toda la retícula, de modo que porsimple traslación de la misma, puede reconstruirse la redal completo en cualquier punto.Una red típica R en Rn tiene la forma:

R =

{n∑

i=1

νia⃗i | νi ∈ Z

}

donde {a1,..., an} es una base en el espacio Rn. Puedehaber diferentes bases que generen la misma red pero elvalor absoluto del determinante de los vectores ai vendrásiempre determinado por la red por lo que se lo puederepresentar como d(R).Las celdas unitarias se pueden definir de forma muysimple a partir de dos vectores (2D) o tres vectores (3D).La construcción de la celda se realiza trazando las para-lelas de estos vectores desde sus extremos hasta el puntoen el que se cruzan. Existe un tipo de celda unitaria quese construye de un modo distinto y que presenta ciertasventajas en la visualización de la red ya que posee la mis-ma simetría que la red, es la celda deWigner-Seitz. Unacelda unitaria se caracteriza principalmente por contenerun único nodo de la red de ahí el adjetivo de “unitaria”.Si bien en muchos casos existen distintas formas para lasceldas unitarias de una determinada red el volumen detoda celda unitaria es siempre el mismo.

En ocasiones resulta más sencillo construir otro tipo deceldas que sin ser unitarias describen mejor la estructurade la red que tratamos. Este tipo de celdas se denominanceldas convencionales. Éstas tienen, a su vez, sus propiosparámetros de red y un volumen determinado.Todas estas celdas se consideran celdas primitivas yaque son capaces de cubrir todo el espacio mediante tras-laciones sin que queden huecos ni solapamientos. Sus di-ferencias o características son las siguientes:Empaquetamiento compacto: Esto es cuando losátomos de la celda están en contacto unos con otros. Nosiempre será así y en muchos casos mediará una distan-cia mínima entre las nubes electrónicas de los diferentesátomos.Parámetro de red: Es la longitud de los lados de la celdaunitaria. Puede haber tan solo uno, dos o hasta tres pará-metros de red distintos dependiendo del tipo de red debravais que tratemos. En las estructuras más comunes serepresenta con la letra a y con la c en caso de haber dos.Nodos o átomos por celda:Tal y como dice el nombre esel número de nodos o átomos que posee cada celda. Unacelda cuadrada, por ejemplo, poseerá un nodo por celdaya que cada esquina la comparte con cuatro celdas más.De hecho si una celda posee más de un nodo de red es queno es unitaria, en cambio si posee más de un átomo porcelda pudiera ser que estuviésemos en una celda unitariapero con una base atómica de más de un átomo.Número de coordinación: Es el número de puntos de lared más cercanos, los primeros vecinos, de un nodo de lared. Si se trata de una estructura con empaquetamientocompacto el número de coordinación será el número deátomos en contacto con otro. El máximo es 12.Factor de empaquetamiento: Fracción del espacio dela celda unitaria ocupada por los átomos, suponiendo queéstos son esferas sólidas.f = n·v

Vc

Donde f es el factor de empaquetamiento o fracción devolumen ocupado, n el número de átomos por celda, v elvolumen del átomo y V el volumen de la celda. Normal-mente se suele dar el factor de empaquetamiento com-pacto para las diferentes celdas como indicador de la den-sidad de átomos que posee cada estructura cristalina. Eneste caso los átomos se tratan como esferas rígidas en con-tacto con sus vecinos más cercanos.Densidad:A partir de las características de la red, puedeobtenerse la densidad teórica del material que conforma

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2 3 BASE ATÓMICA

la red mediante la siguiente expresión.ρ = n·m

NA·Vc

Donde ρ es la densidad, NA el número de Avogadro y mla masa atómica.Volumen de la celda unitaria primitiva: Toda celdaunitaria tiene el mismo volumen representado por la si-guiente fórmula. vcup = |⃗a1(⃗a2 × a⃗3)| Donde a son losvectores de la base de la red.

1 Redes bidimensionales

Según los ángulos y la distancia entre los nodos se distin-guen 5 redes distintas.

2 Redes tridimensionales

En función de los parámetros de la celda unitaria, longi-tudes de sus lados y ángulos que forman, se distinguen 7

Cristal de sulfato de cobre. Se aprecia que el cristal no crece uni-formemente sino que existen planos que han crecido con mayorrapidez.

sistemas cristalinos.Para determinar completamente la estructura cristalinaelemental de un sólido, además de definir la forma geo-métrica de la red, es necesario establecer las posicionesen la celda de los átomos o moléculas que forman el sóli-do cristalino; lo que se denominan puntos reticulares. Lasalternativas son las siguientes:

• P: Celda primitiva o simple en la que los puntos re-ticulares son sólo los vértices del paralelepípedo.

• F: Celda centrada en las caras, que tiene puntos re-ticulares en las caras, además de en los vértices. Sisólo tienen puntos reticulares en las bases, se desig-nan con las letras A, B o C según sean las caras quetienen los dos puntos reticulares.

• I: Celda centrada en el cuerpo que tiene un puntoreticular en el centro de la celda, además de los vér-tices.

• C: Primitiva con ejes iguales y ángulos iguales ó he-xagonal doblemente centrada en el cuerpo, ademásde los vértices.

Combinando los 7 sistemas cristalinos con las disposicio-nes de los puntos de red mencionados, se obtendrían 28redes cristalinas posibles. En realidad, como puede de-mostrarse, sólo existen 14 configuraciones básicas, pu-diéndose el resto obtener a partir de ellas. Estas estructu-ras se denominan redes de Bravais.

3 Base atómica

En el caso más sencillo, a cada punto de red le corres-ponderá un átomo, pero en estructuras más complicadas,como materiales cerámicos y compuestos, cientos de áto-mos pueden estar asociados a cada punto de red formando

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celdas unitarias extremadamente complejas. La distribu-ción de estos átomos o moléculas adicionales se denomi-na base atómica y esta nos da su distribución dentro dela celda unitaria.Existen dos casos típicos de bases atómicas. La estruc-tura del diamante y la hexagonal compacta. Para redesbidimensionales un caso ejemplar sería el grafito cuya es-tructura sigue un patrón de red en panal.

Los nombres (BCC, HCP, FCC) están en nomenclaturainternacional o inglesa.

4 Véase también• Índice de Miller

• Defecto cristalino

• Factor de empaquetamiento atómico

• Número de coordinación

• Tablas internacionales de cristalografía

5 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Redes de BravaisCommons.

4 6 TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES

6 Text and image sources, contributors, and licenses

6.1 Text• Redes de Bravais Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Redes%20de%20Bravais?oldid=72528402 Colaboradores: Youssefsan, Moriel,

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