REDES CERRADAS

1. DEFINICIN: Conocidas tambin como sistemas con circuitos cerrados o ciclos. Su caracterstica primordial es tener algn tipo de circuito cerrado en el sistema. El objetivo es tener un sistema redundante de tuberas: cualquier zona dentro del rea cubierta por el sistema puede ser alcanzada simultneamente por ms de una tubera, aumentando as la confiabilidad del abastecimiento.

La velocidad mxima en una red de distribucin cerrada es 2m/s

La velocidad mnima en una red de distribucin cerrada es de 0.30m/s

2. MTODO DE HARDY CROSS CON CORRECCIN DE CAUDALES

El mtodo original se basa en suponer los caudales en cada uno de los tubos de la red e ir corrigiendo esta suposicin. Dado que todas las caractersticas de la tubera (d, ks, km, l) se conocen, el mtodo es un proceso de comprobacin de diseo.

La correccin de los caudales en cada uno de los ciclos de clculo se hace de la siguiente manera. Primero se supone un error Qi en el circuito i. Por consiguiente, para ese tubo las perdidas reales son:

Si se define una cabeza que incluya la cabeza perdida por friccin y la cabeza perdida por accesorios, en la siguiente forma:

La anterior ecuacin se convierte en:

El termino Q2, puede ser despreciado en el segundo parntesis de la parte derecha de esta ltima ecuacin, ya que su orden de magnitud es pequeo comparado con los dems sumandos; luego:

Utilizando las ecuaciones anteriores y despejando tenemos:

Pasos que se debe seguir en el anlisis:

1. Se define claramente la geometra de la red, identificando en forma coherente los nodos y los circuitos.

2. S i existe ms de un nodo con cabeza constante (tanque en la red o embalse), es necesario conectarlos en pares por medio de tuberas hipotticas que pueden ser representadas por lneas punteadas. En estas tuberas hipotticas se deben suponer dimetros, longitudes y rugosidades absolutas, de tal manera que se pueda calcular el caudal correspondiente a las diferencias de nivel entre los diferentes pares de embalses o tanques. En las correcciones de caudales, los tubos hipotticos no deben ser incluidos, lo cual si debe hacerse en el clculo de las prdidas de cabeza (por friccin y por accesorios).

3. Se suponen todos los dimetros de la tubera que conforman la red. Tal paso convierte este mtodo en un proceso de comprobacin de diseo.

4. Se supone que la red est compuesta por circuitos cerrados en cualquier orden. Con el fin de acelerar la convergencia se puede suponer que los tubos de dimetros grandes forman circuitos independientes. Se deben utilizar tantos circuitos como sea necesario para asegurar que todos los tubos queden incluidos en por lo menos un circuito.

5. Se supone el caudal a partir de cualquiera de las tuberas de la red. Luego se procede alrededor del circuito que contiene esta tubera para calcular los caudales en las dems tuberas que conforman el circuito teniendo en cuenta los caudales que salen de las uniones (caudales negativos) y los que entran a ellas (caudales positivos). Si los flujos hacia o desde otro circuito son desconocidos, se deben suponer los caudales correspondientes. Esto significa que se deben hacer tantas suposiciones de caudales como circuitos existan en la red que se est analizando. Cuanto mejores sean estas suposiciones ms rpidamente converger el mtodo. La experiencia ayuda mucho en este aspecto.

6. Se calcula la perdida de cabeza en cada tubera de la red utilizando la siguiente ecuacin (de Darcy-Weisbach), si bien podra emplearse cualquier ecuacin de resistencia fluida, tal como la de Hazen- Williams

7. El factor de friccin f se calcula utilizando la ecuacin de Colebrook-White presentada

8. Se calcula la prdida neta de cabeza alrededor del circuito, es decir, se suman las prdidas de cabeza y restando las adiciones de cabeza siempre medidas en el sentido de las agujas del reloj.

9. Si en alguna de las tuberas del circuito existe una bomba centrifuga se debe restar la cabeza generada por esta de las perdidas en la tubera antes de hacer el clculo de la correccin de caudales Qij :

10. Los pasos 5 a 8 se repiten para todos los circuitos teniendo en cuenta los caudales corregidos en los circuitos previamente.

11. Los pasos 5 a 9 se repiten hasta que el balance de cabezas alrededor de todos los circuitos (ecuacin de conservacin de la energa) llegue a valores razonablemente cercanos a cero. Este criterio de convergencia es fijado por el diseador de acuerdo con las caractersticas de la red que este analizando.

3. METODO DE HARDY-CROSS CON CORRECCION DE PERDIDA DE CARGASe utiliza para resolver las ecuaciones de cabeza como las establecidas anteriormente. De nuevo se utiliza la ecuacion de Darcy- Weisbach para el clculo de las perdidas de friccion, aunque se podria recurrir a culaquier ecuacion de resistencia fluida. Las ecuaciones del metodo son, por consiguiente:

En vez de suponer los caudales en cada uno de los tubos de la red, esta variacin supone la cabeza en cada uno de los nodos de sta (la cabeza en uno de los nodos es conocida o en su defecto tiene que ser supuesta por el diseador). Luego se ajustan las cabezas supuestas, nodo por nodo, hasta completar todos los nodos de la red. El proceso se repite hasta que la ecuacin de continuidad llega a valores lo suficientemente cercanos a cero en todos los nodos. Esta cercana es fijada por el diseador de acuerdo con su criterio y con la red que est diseando. El factor que se utiliza para corregir las cabezas en cada uno de los nodos se calcula tal como se explica a continuacin:

De donde se obtiene la siguiente ecuacin:

Para todas las tuberas que llegan al nodo i se puede plantear la siguiente ecuacin:

Pasos que se deben seguir para el anlisis:

El anlisis de una red de distribucin de agua segn el mtodo de Hardy-Cross con correccin de cabezas en los nodos de la red propone los pasos siguientes:

1. Se define claramente la geometra de la red identificada en forma coherente los nodos y los circuitos.

2. Se supone la cabeza piezomtrica en cada uno de los nodos de la red, excepto en aquellos en los que la cabeza sea fija (debe existir al menos un nodo con esta caracterstica). Cuanto mejor sea la estimacin inicial de estas cabezas ms rpidamente converger el mtodo.

3. Se calcula el caudal en cada una de las tuberas mediante la siguiente ecuacin:

El factor de friccin f de Darcy se calcula utilizando la ecuacin de Colebrook-White

4. Se calcula la ecuacin de continuidad para alguno de los nodos. Si sta no arroja un resultado razonablemente similar a cero, se debe corregir la cabeza en este nodo

5. El proceso se detiene en el momento en que la suma de caudales en cada nodo sea razonablemente similar a cero.

El margen de error en esta aproximacin debe ser fijado por el diseador de acuerdo con su experiencia y con la red que se est analizando. En caso de que alguno de los nodos no cumpla con esta condicin se deben repetir los pasos 3,4 y 5.

4. METODO DE NEWTON RAPHSON

Es un mtodo numrico que permite la solucin de ecuaciones no lineales o clculo de races de ecuaciones, en forma rpida y segura; las ecuaciones pueden ser explicitas o no explicitas:

F(x)=0 explicita

G (x)=0 no explicita

Es decir f(x) =g(x)- x

La raz de la ecuacin puede calcularse mediante iteraciones sucesivas siguiendo la regla de Newton. Dicha regla establece que si X0 es una aproximacin a la raz de f(x) entonces X0+x0 es una mejor aproximacin, donde:

En la aplicacin del mtodo de Newton-Raphson se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se suponen las cabezas en todos los nodos de la red. Las cabezas fijadas por tanques o embalses deben permanecer constantes a lo largo del proceso.

2. Se supone en cada tubo de la red que hm es cero. Luego se calcula el caudal mediante la siguiente ecuacin:

3. Con el caudal calculado se estima la velocidad vij y las perdidas menores:

4. Se calcula un nuevo valor de hfij:

5. Con los valores de kmij+fij(lij/dij) calculados se estiman los valores de f/Hj y f/Hi en las ecuaciones siguientes respectivamente. Tambin se determinan los valores de f.

6. Se plantean la ecuacin matricial:

7. Se corrigen los valores de Hj y Hi para todos los nodos:

8. Con los nuevos

9. valores de Hi y Hj se vuelve al paso 2. Los valores de la cabeza en nodos de cabeza constante no se corrigen.

10. El proceso termina cuando los valores sucesivos de los H son razonablemente iguales en iteraciones sucesivas. El proceso converge de manera rpida. Para suposiciones de cabeza iniciales lgicas no se requiere ms de cinco iteraciones.

Los nodos de cabeza constante pueden ser dejados por fuer del anlisis, reducindose as el nmero de elementos de las matrices y vectores de la ecuacin anterior.

5. METODO DE LA TEORA LINEAL

Se basa en la linealizacin de las ecuaciones de energa en cada una de las tuberas de la red. Es un mtodo muy apto para ser programado, ya que solo requiere de inversin de matrices y algunas iteraciones. Se ha demostrado que converge mucho ms rpidamente que los mtodos antes visto.

El mtodo de la teora lineal se basa en las siguientes ecuaciones:

1. Para cada unin (nodo) de la red se debe cumplir la ecuacin de continuidad:

2. Para cada uno de los circuitos de la red se debe cumplir la ecuacin de conservacin de la energa:

Mediante la ecuacin de Darcy-Weisbach, se obtiene:

Para resolver el sistema de ecuaciones, el mtodo de la teora lineal propone el procedimiento siguiente:

En donde:

El caudal Q0ij es el caudal estimado si se trata de la primera iteracin, o el caudal corregido de la iteracin previa para las dems iteraciones.

En el proceso de clculo de la red mediante el mtodo de la teora lineal se proponen los siguientes pasos:

1. Se suponen los caudales son sus respectivos direcciones para cada uno de los tubos. Por ejemplo, se puede suponer un caudal de Qij=100 l/s para todo tubo i,j, todos ellos en la direccin de las agujas del reloj.

2. Con estos caudales se calculan los kij en las ecuaciones mencionadas arriba para cada tubo de la red.

3. Se plantean las ecuaciones lineales de continuidad y de conservacin de energa

4. Se construye la matriz, la cual es una forma compacta de las ecuaciones de continuidad en los nodos y de conservacin de energa en los circuitos.

5. Se calculan los caudales Qij en cada uno de los tubos de la red invirtiendo la matriz, y resolviendo la ecuacin.

6. Se corrigen los Q0, los caudales iniciales para la primera iteracin o los caudales corregidos para las dems, antes de pasar a la siguiente iteracin.

7. Se calculan los nuevos kij mediante las ecuaciones y los caudales corregidos.

8. Se repiten los pasos 3 a 7 hasta que los Qij sean todos lo suficientemente parecidos en dos iteraciones sucesivas. El grado de aproximacin en los caudales es definido por el diseador teniendo en cuenta factores tales como el tamao de la red y los caudales de consumo en cada uno de los nodos.

6. METODO DEL GRADIENTE

Est basado en el hecho de que al tenerse un flujo permanente se garantiza que se cumplan las ecuaciones de conservacin de la energa en cada uno de los circuitos de esta. Por consiguiente, el mtodo se basa en las siguientes dos condiciones:

En cada nodo se debe cumplir la ecuacin de continuidad:

Debe haber relacin no lineal entre las perdidas por friccin y el caudal para cada uno de los tubos que conforman la red:

El proceso de solucin se puede resumir en los siguientes pasos:

1. Se suponen unos caudales iniciales en cada uno de los tubos de la red (no necesariamente balanceados, lo cual implica ahorro de tiempo).

2. Se resuelve el sistema representado por la ecuacin utilizando un mtodo estndar para la solucin de ecuaciones lineales simultneas.

3. Con [Hi+1] calculado se utiliza la ecuacin para determinar [Qj+1].

4. Con este [Qi+1] se vuelve a ensamblar el sistema para encontrar un nuevo [Hi+1].

5. El proceso se repite hasta que en dos iteraciones sucesivas [Hi+1] [Hi].

A partir de la segunda iteracin, los sistemas representados por las ecuaciones se simplifican, ya que se tendr lo siguiente:

TUBERIAS COMERCIALES EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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