rectas y planos
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
1. LA RECTA EN R3.
1.1. Ecuaciones de la recta.
En el espacio R3 se determina una recta L si se conoce un punto
Po(xo,yo,zo) de ella y su dirección, representada por un vector,
),,( 321 vvvv
, no nulo.
Figura 1. La Recta en R3.
Como se observa en la Figura 1, para que cualquier otro punto P
este sobre la recta, el vector PPo debe ser paralelo al vector v
, es
decir
vtPPRtvPP oo
///
Además
oo OPOPPP
donde OP y oOP son vectores de posición cuyas componentes
coinciden con las coordenadas de los puntos P y Po
respectivamente, pudiéndose escribir
oo PPPP
De esta manera las coordenadas de los puntos P de la recta se
pueden determinar mediante la relación
RtvtPP o ,
(1)
Def. 1: Un conjunto L, de puntos de R3 constituye una recta si
tomado un punto fijo Po del conjunto, existe un vector v
,
no nulo, tal que
},/{ 3 RtvtPPRPL o
El vector v
se llama vector director de la recta L y la ecuación (1)
se llama ecuación vectorial de la recta L. La ecuación vectorial
expresada en términos de componentes es
),,(),,(),,( 321 vvvtzyxzyx ooo
de donde se determinan las ecuaciones paramétricas de la recta L:
Rt
vtzz
vtyy
vtxx
o
o
o
,
3
2
1
(2)
Despejando el parámetro t e igualando se obtienen las ecuaciones
cartesianas o forma simétrica de la recta L:
0, 321
321
vvvsiv
zz
v
yy
v
xx ooo (3)
x
z
y 0
v
oP
P
L
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 2 / 11
Ejercicios 1:
1) Escribir las ecuaciones de los ejes coordenados.
2) Dados los puntos A y B, determinar las ecuaciones de la recta
que los contiene
a) A(1,3,2), B(-4,3,1) b) A(1,9,3), B(-4,3,-2).
3) Determinar si el punto pertenece a la recta:
a) (-5,7,9); P = (4,-2,3) + s(-3,3,1).
b) (-1,7,3/2); P = (-1,1,3) + t(0,4,1).
4) ¿Cuál de las siguientes rectas coincide con la recta de ecuación P = (1,2,3) + t(-4,2,0)?
a) P = (1,0,4) + s(-4,2,0) b) P = (5,0,3) + s(-4,2,0)
c) P = (2,1,3) + s(2,-1,0) d) P = (-3,4,3) + s(2,-1,0)
5) Escribir la ecuación vectorial de la recta, en R2, definida por la
ecuación cartesiana 2x + y = -3.
2. EL PLANO EN R3.
2.1. Ecuaciones del plano
En R3 un plano se puede determinar con un punto Po(xo,yo,zo) de él
y dos direcciones dadas por vectores ),,( 321 uuuu
y
),,( 321 vvvv
, no paralelos.
Figura 2. El Plano en R3
Para que un punto P(x,y,z) de R3 este sobre el plano el vector PPo
debe ser una combinación lineal de los vectores u
y v
, es decir
vtusPPRts o
/,
Por lo tanto RtsvtusPP o ,,
(4)
Def. 2: Un conjunto , de puntos de R3, determina un plano si
tomado un punto fijo del conjunto, Po, existen vectores u
y v
, no paralelos tales que
},,/P{ 3 RtsvtusPPR o
x
z
y 0
oP P v
u
vtus
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 3 / 11
Los vectores u
y v
se llaman vectores directores del plano y la
ecuación (4) se llama ecuación vectorial del plano; expresándola
en componentes se tiene
),,(),,(),,(),,( 321321 vvvtuuuszyxzyx ooo
Las ecuaciones paramétricas del plano son:
Rt
vtuszz
vtusyy
vtusxx
o
o
o
,
33
22
11
(5)
2.2. La Ecuación Cartesiana del plano en R3
Dados dos vectores no paralelos, u
y v
en R3 se sabe que vu
es
otro vector ortogonal a u
y a v
, es decir
0)()( vuvvuu
por lo tanto de la expresión
vtusPPo
se tiene
0)()()()()(
vuvtvuusvuvtusvuPPo
El vector vu
es ortogonal a todo vector determinado por dos
puntos contenidos en un plano de vectores directores u
y v
, por lo
tanto se le llama vector normal al plano y se denota con n
vun
La ecuación vectorial del plano se puede escribir entonces en la
forma
nPPnPP oo
)(0
Expresándola en términos de componentes se tiene
),,( oooo zzyyxxPP , ),,( CBAvun
0),,(),,(0 CBAzzyyxxnPP oooo
0)( ooo CzByAxCzByAx
La ecuación 0DCzByAx (6)
donde )( ooo CzByAxD
es la ecuación cartesiana de un plano de vector normal
),,( CBAn
, que contiene el punto ),,( oooo zyxP . Se puede
demostrar que toda ecuación de primer grado en las variables x, y, z
representa la ecuación de un plano.
Ejercicios 2:
1) Escribir las ecuaciones de los planos coordenados.
2) Escribir las ecuaciones de un plano que contenga tres puntos no
alineados dados: )2,1,1(1P , )0,2,3(2P y )4,1,1(3P .
3) Escribir las ecuaciones del plano que contiene el punto y la
recta: a) )1,4,1(1P ; )1,0,3()0,2,4(: sPL
b) )2,6,1(1P ; eje x.
4) Dado el plano de ecuación vectorial
RtstsP ,),2,0,1()1,1,2()3,2,1( , determinar si el punto
pertenece al plano: a) (3, 3, 4) b) (2, 1, 1) c) (-2, 1, 4)
5) Escribir las ecuaciones del plano que contiene las rectas:
)2,1,1()2,1,3(:1 sPL y )1,2,3()2,1,3(:2 tQL .
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 4 / 11
3. ÁNGULO ENTRE RECTAS Y PLANOS
3.1. Ángulo entre dos rectas
Def. 3: Un ángulo entre dos rectas es el ángulo entre sus vectores
directores.
Sean RsusPPL ,: 11
y RtvtPPL ,: 22
dos rectas en R
3.
Figura 3. Ángulo entre dos rectas
Un ángulo entre las dos rectas es tal que
),(),( 21 vuLL
es decir vu
vu
cos (7)
Otro ángulo entre las rectas es . Como cos)cos( ,
el ángulo agudo entre las rectas está dado por
vu
vu
cos (8)
Si 0 ó , entonces 1cos ó –1 y las rectas son paralelas.
Si 2/ , entonces 0cos y las rectas son ortogonales.
3.2. Ángulo entre dos planos
Def. 4: Un ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus vectores
normales.
Sean 0)(: 111 nPP
y 0)(: 222 nPP
dos planos en
R3.
Figura 4. Ángulo entre dos planos
Un ángulo entre los dos planos está dado por
),(),( 2121 nn
es decir 21
21cosnn
nn
(9)
Otro ángulo entre los planos es . Al igual que en el caso de
las rectas, el ángulo agudo entre los dos planos está dado por
21
21cos
nn
nn
(10)
Si 0 ó , entonces 1cos ó –1 y los planos son paralelos.
Si 2/ , entonces 0cos y los planos son ortogonales o
perpendiculares.
v
u
2P
1P 2L
1L
2n
1
2
1n
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 5 / 11
3.3. Ángulo entre una recta y un plano
Def. 5: El ángulo entre una recta y un plano es el ángulo entre la
recta y su proyección ortogonal sobre el plano.
Dados la recta vsPPL
1: , y el plano 0)(: 2 nPP
.
Figura 5. Ángulo entre recta y plano
Sean, el ángulo agudo entre la recta L y su proyección, L ,
sobre el plano y el ángulo agudo entre la recta L y una recta
normal al plano (ver figura). Se tiene que
sencos22
Como nu
nu
cos , entonces se determina que el ángulo agudo
entre la recta y el plano está dado por
nu
nusenL
),( (11)
Otro ángulo entre la recta y el plano es .
Si 0 ó , entonces 0sen y la recta es paralela al plano.
Si 2/ , entonces 1sen y la recta es ortogonal ó
perpendicular al plano.
Ejercicios 3:
1) Escribir las ecuaciones de la recta que
a) Pasa por el punto )1,4,1(1P y es paralela a la recta
)1,0,3()0,2,4(: sPL .
b) Pasa por el punto )1,1,1( , es ortogonal a la recta
zyx 23 y paralela al plano 0zyx .
2) Determinar la medida del ángulo en el vértice B del triángulo
ABC, si las coordenadas de los vértices son )2,1,3(A ,
)22,2,0(B y )2,1,1(C .
3) Determinar el ángulo entre
a) las rectas )9,3,0()8,3,0( tP y 4
7
3
)4(1
zyx ,
b) los planos 023 zyx y 015zyx ,
c) la recta que pasa por los puntos )0,0,1( , )0,1,0( y el plano
0432 zyx .
4) Escribir las ecuaciones de los planos que contienen el punto
)1,1,2( , son perpendiculares al plano xz y forman un ángulo
igual a )3/2arccos( con el plano 0322 zyx .
L
L
v
n
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 6 / 11
4. INTERSECCIONES ENTRE RECTAS Y/O PLANOS
4.1. Intersección entre dos rectas
Sean usPPL
11 : y vtPPL
22 : dos rectas no paralelas, es
decir los vectores u
y v
no son paralelos. Entonces las rectas 1L y
2L pueden
i) tener un punto común, en ese caso se dice que se cortan o
intersecan en un punto, o
ii) no tener puntos comunes, en ese caso se dice que se cruzan.
a) Rectas que se cortan b) Rectas que se cruzan
Figura 6. Rectas no paralelas
Para determinar si dos rectas no paralelas se cortan o se cruzan se
usa la interpretación geométrica del producto mixto de tres
vectores
i) Si 0)(21 vuPP
, entonces las rectas se cortan.
ii) Si 0)(21 vuPP
, entonces las rectas se cruzan.
Para calcular las coordenadas del punto de intersección entre dos
rectas 1L y 2L se escriben las ecuaciones paramétricas de las
rectas, usando nombres diferentes para los parámetros:
3231
2221
1211
vtzuszzvtyusyy
vtxusxx
se resuelve el sistema de tres ecuaciones para las incógnitas s y t.
1233
1222
1211
zzvtusyyvtusxxvtus
,
con el valor de s ó t determinado se calculan las coordenadas x, y, z
del punto de intersección, sustituyendo en las ecuaciones paramé-
tricas.
Si dos rectas, no paralelas, 1L y 2L se intersecan en un punto,
entonces son coplanares y la ecuación del plano que las contiene
está dado por
0)()( 1 vuPP
ó 0)()( 2 vuPP
Si dos rectas 1L y 2L se cortan formando un ángulo igual a 2
(ortogonales), entonces se dice que son perpendiculares.
2L
1L
v
u
1P
2P 1L
u
1P
v
2P
2L
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 7 / 11
4.2. Intersección entre una recta y un plano
Sean vtPPL
1: , una recta y 0: DCzByAx , un
plano, no paralelos, entonces su intersección es un punto.
Figura 7. Intersección Recta-Plano
Para determinar las coordenadas del punto de intersección, entre la
recta L y el plano , se escriben las ecuaciones paramétricas de la
recta
31
21
11
vtzzvtyyvtxx
y se sustituyen en la ecuación cartesiana del plano
DvtzCvtyBvtxA )()()( 312111 ,
resolviendo, la ecuación obtenida para el parámetro t
321
111
CvBvAv
CzByAxDt ,
con el valor de t encontrado se regresa a las ecuaciones
paramétricas de la recta, calculando las coordenadas x, y, z del
punto de intersección.
4.3. Intersección entre dos planos.
Sean 0)(: 111 nPP
y 0)(: 222 nPP
, dos planos no
paralelos. Entonces su intersección es una recta.
Figura 8. Intersección de dos planos
Para hallar la ecuación de la recta L , de intersección de dos planos
1 y 2 , se halla la solución general del sistema lineal de
ecuaciones cartesianas de los planos
2222
1111
DzCyBxADzCyBxA
.
También se puede determinar un vector director, v
, para la recta
de intersección, con el producto vectorial de los vectores normales
de los planos
21 nnv
2n
1
2
1n
L
L
iP
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 8 / 11
4.4. Intersección de tres planos
Sean tres planos de ecuaciones cartesianas
33331
22221
11111
:::
DzCyBxADzCyBxA
DzCyBxA
Si el sistema lineal constituido por las tres ecuaciones tiene
solución única, es decir es compatible determinado, entonces los
planos se intersecan en un punto, para lo cual debe verificarse que
0)(
333
222
111
321
CBA
CBA
CBA
nnn
Si 0)( 321 nnn
, entonces la intersección de los tres planos es
vacía o es una recta, de acuerdo a si el sistema es incompatible o
compatible indeterminado respectivamente.
a) Un punto b) Una Recta (Sistema compatible determinado) (Sistema compatible indeterminado)
c) Intersección vacía
(Sistema incompatible)
Figura 9. Intersección de tres planos
Ejercicios 4:
1) Determinar si las rectas se cortan o se cruzan
a) )2,1,1()3,1,2( sP ; )3,2,1()1,4,1( tQ
b) )2,1,1()0,1,2( sP ; )2,2,1()0,0,2( tQ
2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )0,4,1(1P y
es perpendicular a la recta )2,1,1()3,3,2( tP .
3) Determinar la intersección de los planos de ecuaciones
232 zyx y 3zx .
4) Determinar los valores de a y b para los cuales la intersección de
los planos 0132:1 zyx
02:2 bzyx y
0106:3 zayx , es
i) un punto ii) una recta iii) vacía.
3
1
2
L
1
2
3
iP
3
1
2
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 9 / 11
5. DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
5.1. Distancia entre un punto y una recta
La distancia entre un punto ),,( oooo zyxP y una recta
vsPPL
1: , denotada ),( LPd o , se mide sobre una
perpendicular a la recta.
Figura 10. Distancia Punto-Recta
Si es el ángulo entre el vector oPP1 y el vector director, v
, de la
recta, se tiene
senPPLPd oo 1),( .
Sabemos que senvPPvPP oo
11 por lo tanto
v
vPPLPd
o
o
1
),( (12)
5.2. Distancia de un punto a un plano
Al igual que en la distancia Punto-Recta, la distancia entre un
punto ),,( oooo zyxP y un plano 0)(: nPP o
, denotada
),( oPd , se mide sobre una perpendicular al plano.
Figura 11. Distancia Punto-Plano
Usando proyección ortogonal de un vector sobre otro se tiene que
ooo PPCompPPoyPdnn 11Pr),(
n
nPPPd
o
o
1
)( (13)
Si la ecuación del plano está dada en forma cartesiana
0: DCzByAx , entonces ),,( CBAn
y la expresión
(13) se reduce a
222
)(CBA
DCzByAxPd
ooo
o (14)
1P
oP
v
L ),( LPd o
oP
n
),( oPd
1P
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 10 / 11
5.3. Distancia entre dos rectas
Sean usPPL
11 : y vtPPL
22 : dos rectas no paralelas, es
decir los vectores u
y v
no son paralelos. La distancia entre las
dos rectas, denotada ),( 21 LLd , se mide sobre la perpendicular
común a las dos rectas cuya dirección esta dada por el vector
vu
.
Figura 12. Distancia entre dos rectas no paralelas
Usando componente de un vector sobre otro se tiene
vu
vuPPPPCompLLd
vu
)(
),(21
2121 (15)
Si 0)(21 vuPP
, entonces las rectas se cortan (son coplanares)
y la distancia entre ellas es cero.
Si las rectas son paralelas, entonces 0vu
, en ese caso la
distancia entre las rectas es igual a la distancia de un punto de una
de las rectas a la otra, es decir
),(
),(),(
22
2121
LPd
LPdLLd
5.4. Distancia entre una recta y un plano
Sean vtPPL
1: y 0)(: 2 nPP
, una recta y un plano
paralelos entre si, es decir 0nv
, entonces hay una distancia
entre ellos, ),(Ld , que es igual a la distancia de cualquiera de los
puntos de la recta al plano.
Figura 13. Distancia Recta-Plano
De la Figura 13 se observa que
2
212
121 ),(),(n
nPPPPCompPdLd
n
n
nPPLd
12
),( (16)
Si la ecuación del plano está dada en forma cartesiana
0: DCzByAx , entonces ),,( CBAn
y la expresión
(16) se reduce a
222
111),(
CBA
DCzByAxLd (17)
2L
1L
v
u
1P
2P
),( 21 LLd
vu
),( 21 LLd
v
u
2L
1L
2P
1P
2P n
),(Ld
1P v
L
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 11 / 11
5.5. Distancia entre dos planos paralelos
Sean 0)(: 111 nPP
y 0)(: 222 nPP
, dos planos
paralelos, la distancia ente los dos planos, ),( 21d , es igual a la
distancia de un punto cualquiera de uno de los planos al otro plano.
Figura 14. Distancia entre dos planos paralelos
De la Figura 14 se observa que
1
121
12
2
221
2121 ),(),(),(n
nPPPd
n
nPPPdd
Si las ecuaciones de los planos se escriben en la forma cartesiana
0:0:
22
11
DCzByAxDCzByAx
,
entonces se tiene que
222
2111
2121 ),(),(CBA
DCzByAxPdd
y como 1111 DCzByAx , queda
222
12
21 ),(CBA
DDd (17)
Ejercicios 5:
1) Determinar la distancia del punto a la recta:
a) )5,0,2( ; )1,2,2()3,1,1( sP
b) )1,3,1( ; 1,72 yzx
2) Dados el punto )3,2,1(oP y la recta )2,1,2()1,1,0(: sPL .
a) Determinar la distancia del punto a la recta.
b) Determinar el punto de L más próximo a Po.
3) Determinar la distancia del punto al plano:
a) )1,6,3( ; )0,1,1()1,2,3()0,1,2( tsP
b) )4,8,2( ; 0)1,1,2()}1,3,4({ P
c) )4,8,2( ; 423 zyx
4) Determinar la distancia entre las rectas:
)2,1,1()3,1,2( sP y )3,2,1()1,4,1( tQ .
5) Hallar el lugar geométrico de los puntos que distan del plano
12623 zyx el doble que del plano 0422 zyx .
6) Determinar la distancia entre
a) los planos 0984 zyx y 032168 zyx .
b) la recta 3
3
5
1
3
1 zyx y el plano
016332 zyx .
7) Determinar la ecuación del plano que está a una distancia de 2
unidades del origen y contiene a la recta determinada por los
planos 843 zyx , 224 zyx .
2P
1n
2n
),( 21d
1
2
1P